Universal construction in multilinear algebra
数学 において 、 ベクトル空間 V の テンソル代数は T ( V ) または T • ( V ) と表記され、乗算が テンソル積 となる、（任意の階数の） V 上の テンソル の 代数です。テンソル代数は、代数からベクトル空間への 忘却関手 に 左随伴する という意味で、 V 上の 自由代数 です。また、対応する 普遍的性質 （以下参照） の意味で、 V を含む「最も一般的な」代数です。
テンソル代数は、 T ( V )の 商代数 として他の多くの代数が生じるため重要です。これらには、 外積代数 、 対称代数 、 クリフォード代数 、 ワイル代数 、 普遍包絡代数 が
含まれます
テンソル代数には2つの 余代数 構造があります。1つは単純なもので、双代数にはなりませんが、 余自由余代数の概念につながります。もう1つはより複雑なもので、 双代数 を生成し 、対掌体を与えることで ホップ代数 構造を作成できます。
注 ：この記事では、すべての代数は 単位元かつ 結合 的であると仮定します。 余積 を定義するには、単位元が明示的に必要です 。
構成 V を 体 K 上の ベクトル空間 とし ます 。任意の非負 整数 kに対して、 V の k 次のテンソル冪を、V とそれ自身の k 回のテンソル 積 と 定義 し ます 。
T k V = V ⊗ k = V ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ V . {\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V.} 、 T k Vは、 V上の 位数 k の すべてのテンソルから構成されます 。慣例により、 T 0 Vは 基底体 K です （それ自身の上の1次元ベクトル空間として）。
次に、 T ( V )をTkVの直和として k = 0,1,2 , … として 構築します。
T ( V ) = ⨁ k = 0 ∞ T k V = K ⊕ V ⊕ ( V ⊗ V ) ⊕ ( V ⊗ V ⊗ V ) ⊕ ⋯ . {\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .} T ( V )における乗算は、 標準同型によって決定されます。
T k V ⊗ T ℓ V → T k + ℓ V {\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V} テンソル積によって与えられ、線形性によって T ( V )全体に拡張されます。この乗法規則は、テンソル代数 T ( V )が自然に 次数付き代数 であり、 TkV が 次数 k の部分空間として機能することを意味します。
この次数は 、 負の整数 k の部分空間を追加することで Z 次数に拡張できます T k V = { 0 } {\displaystyle T^{k}V=\{0\}}
この構成は、可換環 上の任意の 加 群 M のテンソル代数に直接一般化されます 。Rが非可換環の場合でも 、 任意 の R - R 双加群 M に対してこの構成を実行できます。（通常の R 加群では、反復テンソル積を形成できないため、 この構成は機能しません。）
随伴性と普遍性 テンソル代数 T ( V ) はベクトル空間 V上の 自由代数 とも呼ばれ 、 関数的 である。これは、写像が K ベクトル空間の 圏 から 結合代数 の圏への 関数 を形成するための 線型写像 に拡張されることを意味する 。他の 自由構成 と同様に、関数 Tは、各結合 K 代数をその基底ベクトル空間に 送る 忘却関数 の 左随伴で ある 。 V ↦ T ( V ) {\displaystyle V\mapsto T(V)}
明示的に、テンソル代数は次の 普遍性を満たし、これは V を含む最も一般的な代数であるという主張を形式的に表現する 。
V から K 上の 結合代数 A への任意の線型 写像は、次の 可換図式 で示されるように、 T ( V ) から A への 代数準同型 に一意に拡張できる 。 f : V → A {\displaystyle f:V\to A} テンソル代数の普遍性 ここで 、iは V の T ( V ) への 標準的な包含 です 。他の普遍的性質と同様に、テンソル代数 T ( V ) はこの性質を満たす唯一の代数として定義できます（具体的には、唯一の同型 を除いて 一意です）。ただし、この定義では、この性質を満たす対象が存在することを証明する必要があります。
上記の普遍的性質は、 Tが K 上の ベクトル空間の圏 から K -代数の圏への 関手で あることを意味します。これは、 K -ベクトル空間 U と W間の任意の線型写像が、 T ( U )から T ( W ) への K -代数準同型 に一意に拡張される ことを意味します 。
非可換多項式 V が 有限次元 n を持つ場合 、テンソル代数を「 n 個の 非可換変数を持つ K 上の多項式の代数」と見なすこともできます。V の 基底ベクトルを取ると、それらは T ( V ) の非可換変数（または 不定値 ）になり、 結合法則 、 分配法則 、 K 線型性以外の制約は受けません 。
上の多項式の代数 は ではなく 、 であることに注意してください 。V 上の（同次）線形関数は の 元です。 例えば、ベクトル空間上の座標 は 共 ベクトル です。なぜなら、ベクトルを取り、スカラー（ベクトルの与えられた座標）を返すからです。 T ( V ) {\displaystyle T(V)} T ( V ∗ ) {\displaystyle T(V^{*})} V ∗ , {\displaystyle V^{*},} x 1 , … , x n {\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}}
商 テンソル代数の一般性により、テンソル代数から始めて、生成元に特定の関係を課すこと、つまり T ( V )の特定 の商代数 を構築することで、他の多くの興味深い代数を構築できます。例としては、 外積代数 、 対称代数 、 クリフォード代数 、 ワイル代数 、 普遍包絡代数 などがあります。
余代数 テンソル代数には2つの異なる 余代数構造があります。1つはテンソル積と互換性があるため、 双代数 に拡張でき、さらに ホップ代数 構造への対掌体を使用して拡張できます。もう1つの構造はより単純ですが、双代数に拡張できません。最初の構造はすぐ下で展開され、2番目の構造は 、さらに下の余 自由余代数 のセクションで示されています
以下に示す展開は、 テンソル記号の代わりに ウェッジ記号を用いることで、 外積代数 にも同様に応用できます。外積代数の要素を置換する際には、符号も考慮する必要があります。この対応は双代数の定義にも適用され、ホップ代数の定義にも適用されます。つまり、外積代数にもホップ代数構造を与えることができます ∧ {\displaystyle \wedge } ⊗ {\displaystyle \otimes }
同様に、 対称代数 も、全く同じ方法で、テンソル積を 対称化されたテンソル積に置き換えることによってホップ代数の構造を与えることができる 。 ⊗ {\displaystyle \otimes } ⊗ S y m {\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }} v ⊗ S y m w = w ⊗ S y m v . {\displaystyle v\otimes _{\mathrm {Sym} }w=w\otimes _{\mathrm {Sym} }v.}
いずれの場合も、交代積 と対称積は 双代数とホップ代数の定義に必要な無矛盾条件に従うため、これが可能です。これは以下の方法で明示的に確認できます。これらの無矛盾条件に従う積がある場合、構成は成立します。そのような積が商空間を生じる限り、商空間はホップ代数構造を継承します。 ∧ {\displaystyle \wedge } ⊗ S y m {\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}
圏論 の言語では、 K ベクトル空間の圏から K 結合代数の圏への 関手 T が存在すると言われています。しかし、 ベクトル空間を外積代数の圏に取る関手 Λと、ベクトル空間を対称代数に取る関手 Sym も存在します。T からこれら の それぞれへの自然な写像 が存在します 。商がホップ代数構造を保存することを検証することは、写像が実際に自然であることを検証することと同じです。
余積 余代数は、 余積 または対角演算子
を定義することによって得られます。
Δ : T V → T V ⊠ T V {\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV} ここでは、 括弧の爆発的な増加を避ける ために、 は の略記として使用されています。 記号 は、余代数の定義に必要な「外部」テンソル積を表すために使用されます。これは、テンソル代数で乗算を表すためにすでに使用されている「内部」テンソル積 と区別するために使用されています（この問題の詳細については、以下の 「乗算 」のセクションを参照してください ）。これらの2つの記号の混同を避けるために、ほとんどのテキストでは 、文脈から暗示されていることを理解した上で、 を単純なドットに置き換えるか、完全に削除します。これにより、 を の代わりに使用できるようになります 。以下ではこれは行われず、2つの記号はそれぞれ適切な位置を示すために独立して明示的に使用されます。結果は少し冗長になりますが、理解しやすくなるはずです T V {\displaystyle TV} T ( V ) {\displaystyle T(V)} ⊠ {\displaystyle \boxtimes } ⊗ {\displaystyle \otimes } ⊗ {\displaystyle \otimes } ⊗ {\displaystyle \otimes } ⊠ {\displaystyle \boxtimes }
作用素の定義は 段階的に構築するのが最も簡単です。まず元に対して定義し 、次に代数全体に準同型的に拡張します。余積の適切な選択は Δ {\displaystyle \Delta } v ∈ V ⊂ T V {\displaystyle v\in V\subset TV}
Δ : v ↦ v ⊠ 1 + 1 ⊠ v {\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v} と
Δ : 1 ↦ 1 ⊠ 1 {\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1} ここで 、は体の単位です 。線型性により、明らかに 1 ∈ K = T 0 V ⊂ T V {\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV} K {\displaystyle K}
Δ ( k ) = k ( 1 ⊠ 1 ) = k ⊠ 1 = 1 ⊠ k {\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k} すべてに対して この定義が余代数の公理を満たすことを検証するのは簡単です。つまり、 k ∈ K . {\displaystyle k\in K.}
( i d T V ⊠ Δ ) ∘ Δ = ( Δ ⊠ i d T V ) ∘ Δ {\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta } 上の恒等写像は どこに あるか。実際、 i d T V : x ↦ x {\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x} T V {\displaystyle TV}
( ( i d T V ⊠ Δ ) ∘ Δ ) ( v ) = v ⊠ 1 ⊠ 1 + 1 ⊠ v ⊠ 1 + 1 ⊠ 1 ⊠ v {\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v} 反対側も同様です。この時点で、補題を用いて、 は 自由対象 であり、は 自由代数の 生成元 であり、 は準同型である ため、 は 線形性によって のすべてに自明に拡張されると 言うことができます。しかし、明示的な表現を与えることは洞察に富んでいます。したがって、 について 、（定義により） 準同型が成り立ちます
。 Δ {\displaystyle \Delta } T V {\displaystyle TV} T V {\displaystyle TV} V {\displaystyle V} Δ {\displaystyle \Delta } v ⊗ w ∈ T 2 V {\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}
Δ : v ⊗ w ↦ Δ ( v ) ⊗ Δ ( w ) {\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)} 展開すると、
Δ ( v ⊗ w ) = ( v ⊠ 1 + 1 ⊠ v ) ⊗ ( w ⊠ 1 + 1 ⊠ w ) = ( v ⊗ w ) ⊠ 1 + v ⊠ w + w ⊠ v + 1 ⊠ ( v ⊗ w ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}} 上記の展開では、代数における単なる昔ながらのスカラー乗算であるため、 と 書く必要はありません。つまり、 が自明に成り立ちます。 1 ⊗ v {\displaystyle 1\otimes v} 1 ⊗ v = 1 ⋅ v = v . {\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}
上記の拡張は代数の次数を保持します。つまり、
Δ : T 2 V → ⨁ k = 0 2 T k V ⊠ T 2 − k V {\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V} このように続けると、位数m の同次元に作用する余積の明示的な表現を得ることができます 。
Δ ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v m ) = Δ ( v 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ Δ ( v m ) = ∑ p = 0 m ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v p ) ω ( v p + 1 ⊗ ⋯ ⊗ v m ) = ∑ p = 0 m ∑ σ ∈ S h ( p , m − p ) ( v σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( p ) ) ⊠ ( v σ ( p + 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( m ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,m-p)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}} ここで 、 ш 、つまり sha と表示される記号は、 シャッフル積を表します。これは、すべての ( p 、 m − p ) シャッフル に適用される2番目の和で表されます 。シャッフルは ω {\displaystyle \omega }
Sh ( p , q ) = { σ : { 1 , … , p + q } → { 1 , … , p + q } ∣ σ is bijective , σ ( 1 ) < σ ( 2 ) < ⋯ < σ ( p ) , and σ ( p + 1 ) < σ ( p + 2 ) < ⋯ < σ ( m ) } . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma :\{1,\dots ,p+q\}\to \{1,\dots ,p+q\}\;\mid \;&\sigma {\text{ is bijective}},\;\sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p),\\&{\text{and }}\;\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (m)\}.\end{aligned}}} 慣例により、Sh( m, 0) と Sh(0, m ) は {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }} と等しいとします。また、 p = 0 と p = m （ の空積）に対して、それぞれ 純粋なテンソル積 と を 1 とすることも便利です 。シャッフルは余代数の第一公理から直接導かれます。つまり、リフルシャッフルでは元の相対的な順序が 保持されます 。 リフルシャッフルは、順序付けられたシーケンスを左側と右側の2つの順序付けられたシーケンスに分割するだけです。 v σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( p ) {\displaystyle v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}} v σ ( p + 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( m ) {\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}} T V {\displaystyle TV} v k {\displaystyle v_{k}}
同様に、
Δ ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v n ) = ∑ S ⊆ { 1 , … , n } ( ∏ k = 1 k ∈ S n v k ) ⊠ ( ∏ k = 1 k ∉ S n v k ) , {\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,} ここで、積は にあり 、和は のすべての部分集合にわたっています 。 T V {\displaystyle TV} { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
前と同様に、代数の次数は保持されます。
Δ : T m V → ⨁ k = 0 m T k V ⊠ T ( m − k ) V {\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}
余単位 余単位は、代数から体の成分を射影することによって与えられます。これは に対して、 に対して と 書くことができます 。テンソル積 の下での準同型により 、これは に拡張されます ϵ : T V → K {\displaystyle \epsilon :TV\to K} ϵ : v ↦ 0 {\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0} v ∈ V {\displaystyle v\in V} ϵ : k ↦ k {\displaystyle \epsilon :k\mapsto k} k ∈ K = T 0 V {\displaystyle k\in K=T^{0}V} ⊗ {\displaystyle \otimes }
ϵ : x ↦ 0 {\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0} すべての 余単位元が余代数に必要な公理を満たすことを検証するのは簡単です。 x ∈ T 1 V ⊕ T 2 V ⊕ ⋯ {\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }
( i d ⊠ ϵ ) ∘ Δ = i d = ( ϵ ⊠ i d ) ∘ Δ . {\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .} これを明示的に扱うと、
( ( i d ⊠ ϵ ) ∘ Δ ) ( x ) = ( i d ⊠ ϵ ) ( 1 ⊠ x + x ⊠ 1 ) = 1 ⊠ ϵ ( x ) + x ⊠ ϵ ( 1 ) = 0 + x ⊠ 1 ≅ x {\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}} ここで、最後のステップでは、余単位元の定義公理に適切な同型 性を使用しています T V ⊠ K ≅ T V {\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}
双代数 双 代数 は乗算と余乗算の両方を定義し、それらが両立することを要求します。
乗算 乗算は演算子によって与えられます
∇ : T V ⊠ T V → T V {\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV} この場合、演算子はすでに「内部」テンソル積として与えられています。つまり、
∇ : x ⊠ y ↦ x ⊗ y {\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y} つまり、上記から、なぜ 記号 を使用する必要がある のかが明らかになるはずです。 は 実際には と同じものであり 、ここでの表記のずさんさは完全な混乱につながるでしょう。これをさらに強調すると、テンソル代数のテンソル積は 代数の定義で使用される 乗算に対応しますが、テンソル積は 余代数における余乗算の定義に必要なものです。これら2つのテンソル積は 同じもの
では ありません！ ∇ ( x ⊠ y ) = x ⊗ y . {\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.} ⊠ {\displaystyle \boxtimes } ⊗ {\displaystyle \otimes } ∇ {\displaystyle \nabla } ⊗ {\displaystyle \otimes } ∇ {\displaystyle \nabla } ⊠ {\displaystyle \boxtimes }
単位 代数の単位は
η : K → T V {\displaystyle \eta :K\to TV} 埋め込みにすぎないので、
η : k ↦ k {\displaystyle \eta :k\mapsto k} 単位がテンソル積と互換性があること は「自明」です。これはベクトル空間のテンソル積の標準的な定義の一部にすぎません。つまり、 体元 k と任意の に対して、より冗長に言えば、 結合代数 の公理は 2つの準同型（または可換図式）を必要とします。 ⊗ {\displaystyle \otimes } k ⊗ x = k x {\displaystyle k\otimes x=kx} x ∈ T V . {\displaystyle x\in TV.}
∇ ∘ ( η ⊠ i d T V ) = η ⊗ i d T V = η ⋅ i d T V {\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}} 上で 、そして対称的に、上で 、 K ⊠ T V {\displaystyle K\boxtimes TV} T V ⊠ K {\displaystyle TV\boxtimes K}
∇ ∘ ( i d T V ⊠ η ) = i d T V ⊗ η = i d T V ⋅ η {\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta } ここで、これらの方程式の右辺はスカラー積として理解されるべきです。
互換性 単位元と余単位元、そして乗算と余乗算はすべて、互換性条件を満たす必要があります。次のことは容易にわかります。
ϵ ∘ η = i d K . {\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.} 同様に、単位元は余乗算と互換性があります。
Δ ∘ η = η ⊠ η ≅ η {\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta } 上記は 動作するために同型の使用を必要とします。これがないと線形性が失われます。成分ごとに、 K ⊠ K ≅ K {\displaystyle K\boxtimes K\cong K}
( Δ ∘ η ) ( k ) = Δ ( k ) = k ( 1 ⊠ 1 ) ≅ k {\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k} 右辺は同型を利用しています。
乗算と余単位元は互換性があります。
( ϵ ∘ ∇ ) ( x ⊠ y ) = ϵ ( x ⊗ y ) = 0 {\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0} x または y が の要素でない 場合 、またはそれ以外の場合は、体上でスカラー乗算が成り立ちます。 検証するのが最も難しいのは、乗算と余乗算の互換性です。 K {\displaystyle K} k 1 ⊗ k 2 = k 1 k 2 . {\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}
Δ ∘ ∇ = ( ∇ ⊠ ∇ ) ∘ ( i d ⊠ τ ⊠ i d ) ∘ ( Δ ⊠ Δ ) {\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )} は要素を交換します 。互換性条件は についてのみ検証する必要があります 。完全な互換性は のすべてへの準同型拡張として示されます。 検証は冗長ですが簡単です。最終結果を除いて、ここでは示しません。 τ ( x ⊠ y ) = y ⊠ x {\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x} V ⊂ T V {\displaystyle V\subset TV} T V . {\displaystyle TV.}
( Δ ∘ ∇ ) ( v ⊠ w ) = Δ ( v ⊗ w ) {\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)} これの明示的な表現は 、上記の余代数のセクションで示されました。 v , w ∈ V , {\displaystyle v,w\in V,}
ホップ代数 ホップ 代数は 、双代数の公理に対蹠関係を追加します。対蹠関係 は次のように 与えられます
。 S {\displaystyle S} k ∈ K = T 0 V {\displaystyle k\in K=T^{0}V}
S ( k ) = k {\displaystyle S(k)=k} これは「反恒等式」と呼ばれることもあります。対蹠関係は 次のように与えられます v ∈ V = T 1 V {\displaystyle v\in V=T^{1}V}
S ( v ) = − v {\displaystyle S(v)=-v} そして、 によって v ⊗ w ∈ T 2 V {\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}
S ( v ⊗ w ) = S ( w ) ⊗ S ( v ) = w ⊗ v {\displaystyle S(v\otimes w)=S(w)\otimes S(v)=w\otimes v} これは準同型的に拡張されます
S ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v m ) = S ( v m ) ⊗ ⋯ ⊗ S ( v 1 ) = ( − 1 ) m v m ⊗ ⋯ ⊗ v 1 {\displaystyle {\begin{aligned}S(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=S(v_{m})\otimes \cdots \otimes S(v_{1})\\&=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}\end{aligned}}}
互換性 対蹠体と乗法および余乗法の両立性は、次のことを必要とします
∇ ∘ ( S ⊠ i d ) ∘ Δ = η ∘ ϵ = ∇ ∘ ( i d ⊠ S ) ∘ Δ {\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta } これは、成分ごとに簡単に検証できます 。 k ∈ K {\displaystyle k\in K}
( ∇ ∘ ( S ⊠ i d ) ∘ Δ ) ( k ) = ( ∇ ∘ ( S ⊠ i d ) ) ( 1 ⊠ k ) = ∇ ( 1 ⊠ k ) = 1 ⊗ k = k {\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}} 同様に、次のようになります 。 v ∈ V {\displaystyle v\in V}
( ∇ ∘ ( S ⊠ i d ) ∘ Δ ) ( v ) = ( ∇ ∘ ( S ⊠ i d ) ) ( v ⊠ 1 + 1 ⊠ v ) = ∇ ( − v ⊠ 1 + 1 ⊠ v ) = − v ⊗ 1 + 1 ⊗ v = − v + v = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}} を思い出してください
( η ∘ ϵ ) ( k ) = η ( k ) = k {\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k} そして
( η ∘ ϵ ) ( x ) = η ( 0 ) = 0 {\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0} に含ま れない 任意 の x ∈ T V {\displaystyle x\in TV} K . {\displaystyle K.}
同様の方法で、準同型写像を用いて、対蹠体が適切な相殺符号をシャッフルに挿入することを検証することができます。これは、適合条件から始めて 帰納法によって進めることができます。 T 2 V {\displaystyle T^{2}V}
余剰余完備余代数 テンソル代数上に、上記よりも単純な別の余積を定義することができます。それは次のように与えられます。
Δ ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v k ) := ∑ j = 0 k ( v 0 ⊗ ⋯ ⊗ v j ) ⊠ ( v j + 1 ⊗ ⋯ ⊗ v k + 1 ) {\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})} ここでも、前と同様に、表記法のトリックを使用します （ 自明なことを思い出してください）。 v 0 = v k + 1 = 1 ∈ K {\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in K} v ⊗ 1 = v {\displaystyle v\otimes 1=v}
この余積は余代数を生み出す。これは、 T ( V ∗ ) 上の代数構造と 双対な余代数を記述する。ここで、 V ∗ は 線型写像 V → Fの 双対ベクトル空間 を表す。テンソル代数が 自由代数 であるのと同じように 、対応する余代数は余完備余自由と呼ばれる。通常の積では、これは双代数ではない。これは、 (i,j) が の 二項係数を表す 積で双代数に変換 できる 。この双代数は、 分割冪ホップ代数 として知られている。 v i ⋅ v j = ( i , j ) v i + j {\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}} ( i + j i ) {\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}
これと他の余代数の違いは、 項で最も簡単にわかる。ここでは、 T 2 V {\displaystyle T^{2}V}
Δ ( v ⊗ w ) = 1 ⊠ ( v ⊗ w ) + v ⊠ w + ( v ⊗ w ) ⊠ 1 {\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1} に対して 、明らかに以前と比べてシャッフルされた項が欠けている。 v , w ∈ V {\displaystyle v,w\in V}
参照
参考文献
分野 基本概念 用語集 線型代数と 多重線型代数 代数写像 合成代数 代数構造 場の理論
