Tensor operator generalizes the notion of operators which are scalars and vectors
テンソル演算子 純粋 数学および 応用数学 、 量子力学 、 コンピュータグラフィックス において 、 テンソル演算子は スカラー および ベクトル 演算子 の概念を一般化します 。これらの特別なクラスとして、球面基底と球面調和関数の概念を適用する球面テンソル演算子があります 。 球面 基底 は 、 量子力学 における 角運動量 の記述や球面調和関数と密接に関連しています。テンソル演算子の 座標に依存しない一般化は、 表現演算子 として知られています 。 [1]
スカラー、ベクトル、テンソル演算子の一般的な概念 量子力学では、スカラー、ベクトル、テンソルといった物理的観測量は、それぞれスカラー、ベクトル、テンソルの演算子で表さなければなりません。あるものがスカラー、ベクトル、テンソルのいずれであるかは、座標系が回転によって互いに関連している 2 人の観測者からどのように見えるかによって決まります。あるいは、システムの状態が回転した場合に、1 人の観測者にとって 物理量が どのように変化するかを問うこともできます。たとえば、質量 の分子が 一定の質量中心運動量 で方向 に運動しているシステムを 考えてみましょう。このシステムを軸を 中心に回転させると 、運動量は方向 に に変化します 。しかし、分子の質量中心の運動エネルギーは では変化しません 。運動エネルギーはスカラー、運動量はベクトルであり、これら 2 つの量はそれぞれスカラー演算子とベクトル演算子で表さなければなりません。特に後者とは、初期状態と回転状態における期待値が と である演算子を指します 。一方、運動エネルギーはスカラー演算子で表され、その期待値は初期状態と回転状態において同じでなければなりません。 M {\displaystyle M} p z ^ {\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }} z {\displaystyle z} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} y {\displaystyle y} p x ^ {\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }} x {\displaystyle x} p 2 / 2 M {\displaystyle p^{2}/2M} p z ^ {\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }} p x ^ {\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}
同様に、テンソル量はテンソル演算子で表さなければなりません。テンソル量（ランク2）の例として、上記の分子の電気四重極モーメントが挙げられます。同様に、八重極モーメントと十六重極モーメントは、それぞれランク3とランク4のテンソルとなります。
スカラー演算子の他の例としては、全エネルギー演算子（一般的には ハミルトニアン と呼ばれる）、位置エネルギー、2原子の双極子間相互作用エネルギーなどが挙げられます。ベクトル演算子の例としては、運動量、位置、軌道角運動量、 スピン角運動量など が挙げられます。（ちなみに、角運動量は回転に関してはベクトルですが、位置や運動量とは異なり、空間反転によって符号が変化することはありません。この情報を与えたい場合は、擬ベクトルと呼ばれます。） L {\displaystyle {\mathbf {L} }} S {\displaystyle {\mathbf {S} }}
スカラー、ベクトル、テンソル演算子は、演算子の積によっても形成されます。例えば、 2つのベクトル演算子 と のスカラー積はスカラー演算子で あり 、 スピン軌道相互作用 の議論で重要な役割を果たします。同様に、例に挙げた分子の四重極モーメントテンソルは、以下の9つの要素を持ちます。 L ⋅ S {\displaystyle {\mathbf {L} }\cdot {\mathbf {S} }} L {\displaystyle {\mathbf {L} }} S {\displaystyle {\mathbf {S} }}
Q i j = ∑ α q α ( 3 r α , i r α , j − r α 2 δ i j ) . {\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }\left(3r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij}\right).} ここで、添え字 と は、 3つの直交座標軸に対応する 1、2、3（または 、 、 ）の値を独立に取り、添え字は 分子内のすべての粒子（電子と原子核）にまたがり、 は粒子 の電荷 、 はこの粒子の位置の 番目の成分 です 。和の各項はテンソル演算子です。特に、9つの積は、 ベクトル演算子とそれ自身との 外積 をとることで形成される2階テンソルを形成します 。 i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} α {\displaystyle \alpha } q α {\displaystyle q_{\alpha }} α {\displaystyle \alpha } r α , i {\displaystyle r_{\alpha ,i}} i {\displaystyle i} r α , i r α , j {\displaystyle r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}} r α {\displaystyle {\mathbf {r} }_{\alpha }}
量子状態の回転
量子回転演算子 単位ベクトル n （回転軸を定義する）の周りの角度 θ の 回転演算子 は 、
U [ R ( θ , n ^ ) ] = exp ( − i θ ℏ n ^ ⋅ J ) {\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right)}
ここで、 J = ( J x , J y , J z ) は回転生成子（角運動量行列でもある）である。
J x = ℏ 2 ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ) J y = ℏ 2 ( 0 i 0 − i 0 i 0 − i 0 ) J z = ℏ ( − 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&i&0\\-i&0&i\\0&-i&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
回転行列 とする 。 ロドリゲスの回転公式 によれば 、回転演算子は次のようになる
。 R ^ = R ^ ( θ , n ^ ) {\displaystyle {\widehat {R}}={\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})} U [ R ( θ , n ^ ) ] = 1 1 − i sin θ ℏ n ^ ⋅ J − 1 − cos θ ℏ 2 ( n ^ ⋅ J ) 2 . {\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}.}
演算子が ユニタリ変換 U に対して不変であるとは、 この場合回転に対して 、 Ω ^ {\displaystyle {\widehat {\Omega }}} Ω ^ = U † Ω ^ U ; {\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U;} U ^ ( R ) {\displaystyle {\widehat {U}}(R)} Ω ^ = U ( R ) † Ω ^ U ( R ) = exp ( i θ ℏ n ^ ⋅ J ) Ω ^ exp ( − i θ ℏ n ^ ⋅ J ) . {\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U(R)}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U(R)=\exp \left({\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right){\widehat {\Omega }}\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right).}
角運動量固有値 全角運動量の直交基底関数は である 。 ここ で、 j は全角運動量量子数、 m は磁気角運動量量子数であり、値は − j , − j + 1, ..., j − 1, jである。j 部分 空間 内の一般的な状態は | j , m ⟩ {\displaystyle |j,m\rangle }
| ψ ⟩ = ∑ m c j m | j , m ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}|j,m\rangle }
次の方法で新しい状態に回転します。
| ψ ¯ ⟩ = U ( R ) | ψ ⟩ = ∑ m c j m U ( R ) | j , m ⟩ {\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =U(R)|\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}U(R)|j,m\rangle }
完全性条件 を使用する :
I = ∑ m ′ | j , m ′ ⟩ ⟨ j , m ′ | {\displaystyle I=\sum _{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|}
我々は持っています
| ψ ¯ ⟩ = I U ( R ) | ψ ⟩ = ∑ m m ′ c j m | j , m ′ ⟩ ⟨ j , m ′ | U ( R ) | j , m ⟩ {\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =IU(R)|\psi \rangle =\sum _{mm'}c_{jm}|j,m'\rangle \langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }
Wigner D 行列 要素の紹介 :
D ( R ) m ′ m ( j ) = ⟨ j , m ′ | U ( R ) | j , m ⟩ {\displaystyle {D(R)}_{m'm}^{(j)}=\langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }
行列の乗算を与える：
| ψ ¯ ⟩ = ∑ m m ′ c j m D m ′ m ( j ) | j , m ′ ⟩ ⇒ | ψ ¯ ⟩ = D ( j ) | ψ ⟩ {\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =\sum _{mm'}c_{jm}D_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle \quad \Rightarrow \quad |{\bar {\psi }}\rangle =D^{(j)}|\psi \rangle }
1つの基本ケットの場合:
| j , m ¯ ⟩ = ∑ m ′ D ( R ) m ′ m ( j ) | j , m ′ ⟩ {\displaystyle |{\overline {j,m}}\rangle =\sum _{m'}{D(R)}_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle }
軌道角運動量の場合、 軌道 角運動量演算子 L の固有状態と 3次元球面上の ラプラス方程式の解は 球面調和関数 である。 | ℓ , m ⟩ {\displaystyle |\ell ,m\rangle }
Y ℓ m ( θ , ϕ ) = ⟨ θ , ϕ | ℓ , m ⟩ = ( 2 ℓ + 1 ) 4 π ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos θ ) e i m ϕ {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle ={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}
ここで、 P ℓ m は ルジャンドル従属多項式 、ℓ は軌道角運動量量子数、 m は軌道磁気 量子数 で、−ℓ、−ℓ + 1、... ℓ − 1、ℓ の値をとります。球面調和関数の形式論は応用数学で幅広く応用されており、以下に示すように球面テンソルの形式論と密接に関連しています。
球面調和関数は極角 ϕ と方位角θの関数であり、 これらの角度の方向を指す 単位ベクトル n ( θ , ϕ ) に簡単にまとめることができます。直交座標系では次 のようになります。
n ^ ( θ , ϕ ) = cos ϕ sin θ e x + sin ϕ sin θ e y + cos θ e z {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}(\theta ,\phi )=\cos \phi \sin \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \phi \sin \theta \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}}
したがって、球面調和関数は とも表記できます 。球面調和関数の状態は 逆回転行列 に従って回転します が、 は 初期回転行列 に従って回転します 。 Y ℓ m = ⟨ n | ℓ m ⟩ {\displaystyle Y_{\ell }^{m}=\langle \mathbf {n} |\ell m\rangle } | m , ℓ ⟩ {\displaystyle |m,\ell \rangle } U ( R − 1 ) {\displaystyle U(R^{-1})} | ℓ , m ⟩ {\displaystyle |\ell ,m\rangle } U ^ ( R ) {\displaystyle {\widehat {U}}(R)}
| ℓ , m ¯ ⟩ = ∑ m ′ D m ′ m ( ℓ ) [ U ( R − 1 ) ] | ℓ , m ′ ⟩ , | n ^ ¯ ⟩ = U ( R ) | n ^ ⟩ {\displaystyle |{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle }
テンソル演算子の回転 演算子の回転は、元の演算子の 初期状態に対する期待値が、回転した演算子の回転後の状態に対する期待値と等しくなるように定義する。 A ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {A} }}}
⟨ ψ ′ | A ′ ^ | ψ ′ ⟩ = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi '|{\widehat {A'}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }
さて、
| ψ ⟩ → | ψ ′ ⟩ = U ( R ) | ψ ⟩ , ⟨ ψ | → ⟨ ψ ′ | = ⟨ ψ | U † ( R ) {\displaystyle |\psi \rangle ~\rightarrow ~|\psi '\rangle =U(R)|\psi \rangle \,,\quad \langle \psi |~\rightarrow ~\langle \psi '|=\langle \psi |U^{\dagger }(R)}
我々は持っています、
⟨ ψ | U † ( R ) A ^ ′ U ( R ) | ψ ⟩ = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)|\psi \rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }
は任意なので 、 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle }
U † ( R ) A ^ ′ U ( R ) = A ^ {\displaystyle U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)={\widehat {A}}}
スカラー演算子 スカラー演算子は回転に対して不変である: [2]
U ( R ) † S ^ U ( R ) = S ^ {\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {S}}U(R)={\widehat {S}}}
これは、スカラー演算子が回転生成子と交換可能であると言うことと同じです。
[ S ^ , J ^ ] = 0 {\displaystyle \left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0}
スカラー演算子の例としては、
エネルギー 演算子 ： E ^ ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ {\displaystyle {\widehat {E}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi } 位置エネルギー V （中心ポテンシャルの場合のみ） V ^ ( r , t ) ψ ( r , t ) = V ( r , t ) ψ ( r , t ) {\displaystyle {\widehat {V}}(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=V(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)} 運動エネルギー T : T ^ ψ ( r , t ) = − ℏ 2 2 m ( ∇ 2 ψ ) ( r , t ) {\displaystyle {\widehat {T}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla ^{2}\psi )(\mathbf {r} ,t)} スピン 軌道相互作用 ： L ^ ⋅ S ^ = L ^ x S ^ x + L ^ y S ^ y + L ^ z S ^ z . {\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}={\widehat {L}}_{x}{\widehat {S}}_{x}+{\widehat {L}}_{y}{\widehat {S}}_{y}+{\widehat {L}}_{z}{\widehat {S}}_{z}\,.}
ベクトル演算子 ベクトル演算子（擬似ベクトル 演算子も同様 ）は、以下の式に従って回転できる3つの演算子の集合である。 [2]
U ( R ) † V ^ i U ( R ) = ∑ j R i j V ^ j {\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{i}U(R)=\sum _{j}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}} 量子力学系の観測可能なベクトル量は、参照フレームの選択に依存しない。任意の波動関数に適用される期待値ベクトルの変換は、上記の等式を保証する。ディラック記法では、 右辺は期待値によって形成されるベクトルに作用する回転変換による。 | Ψ ⟩ は任意の量子状態であるため、同じ結果が導かれる。 ここで、「ベクトル」という用語は2つの異なる意味で使用されていることに注意されたい。 | ψ ⟩ のようなケットは抽象ヒルベルト空間の要素であり、ベクトル演算子は、その成分が回転によって特定の方法で変換される量として定義される。 ⟨ ψ ¯ | V ^ a | ψ ¯ ⟩ = ⟨ ψ | U ( R ) † V ^ a U ( R ) | ψ ⟩ = ∑ b R a b ⟨ ψ | V ^ b | ψ ⟩ {\displaystyle \langle {\bar {\psi }}|{\widehat {V}}_{a}|{\bar {\psi }}\rangle =\langle \psi |{U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)|\psi \rangle =\sum _{b}R_{ab}\langle \psi |{\widehat {V}}_{b}|\psi \rangle } U ( R ) † V ^ a U ( R ) = ∑ b R a b V ^ b {\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)=\sum _{b}R_{ab}{\widehat {V}}_{b}}
上記の微小回転の関係と ベーカーハウスドルフの補題 から、次数の係数を等しくすることで 、回転生成子との交換関係を導くことができる。 [2] δ θ {\displaystyle \delta \theta }
[ V ^ a , J ^ b ] = ∑ c i ℏ ε a b c V ^ c {\displaystyle {\left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]=\sum _{c}i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}} ここで、 ε ijk はレヴィ・チヴィタ記号 であり 、すべてのベクトル演算子は構成上必ず満たさなければならない。上記の交換子則は、 ベイカー・ハウスドルフの補題 を用いて示されるベクトル演算子の代替定義としても用いることができる。記号 ε ijk は擬テンソル であるため、擬ベクトル演算子は 符号を除い て 不変である。すなわち、 真回転の場合は +1、 偽回転 の場合は -1 となる 。
演算子は、角運動量成分（回転の生成元）との交換関係によってベクトル演算子を形成することが示されるため、その例には次のものが含まれます。
位置 演算子 : r ^ ψ = r ψ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {r} }}\psi =\mathbf {r} \psi } 運動 量演算子 ： p ^ ψ = − i ℏ ∇ ψ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}\psi =-i\hbar \nabla \psi } 擬似ベクトル演算子には以下が含まれる。
軌道 角運動量演算子 ： L ^ ψ = − i ℏ r × ∇ ψ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\psi =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla \psi } スピン演算子 S も 、したがって全角運動量 J ^ = L ^ + S ^ . {\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}\,.}
ベクトル演算子からのスカラー演算子 と が2 つのベクトル演算子である 場合 、2 つのベクトル演算子間のドット積は次のように定義できます。 V → {\displaystyle {\vec {V}}} W → {\displaystyle {\vec {W}}}
V → ⋅ W → = ∑ i = 1 3 V i ^ W i ^ {\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}=\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}}
座標の回転のもとで、新たに定義された演算子は次のように変換されます。 項を並べ替え、回転行列の転置をその逆の性質として用いると、次のように変換されます。 ここで、右辺は 元々定義された演算子です。定義されたドット積は回転変換に対して不変であるため、スカラー演算子と呼ばれます。 U ( R ) † ( V → ⋅ W → ) U ( R ) = U ( R ) † ( ∑ i = 1 3 V i ^ W i ^ ) U ( R ) = ∑ i = 1 3 ( U ( R ) † V ^ i U ( R ) ) ( U ( R ) † W ^ i U ( R ) ) = ∑ i = 1 3 ( ∑ j = 1 3 R i j V ^ j ⋅ ∑ k = 1 3 R i k W ^ k ) {\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)={U(R)}^{\dagger }\left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}\right)U(R)=\sum _{i=1}^{3}({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{i}U(R))=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{ik}{\widehat {W}}_{k}\right)} U ( R ) † ( V → ⋅ W → ) U ( R ) = ∑ k = 1 3 ∑ j = 1 3 ( ∑ i = 1 3 R j i T R i k ) V ^ j W ^ k = ∑ k = 1 3 ∑ j = 1 3 δ j , k V ^ j W ^ k = ∑ i = 1 3 V ^ i W ^ i {\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}R_{ji}^{T}R_{ik}\right){\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta _{j,k}{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{i=1}^{3}{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{i}} V → ⋅ W → {\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}
球面ベクトル演算子 球面基底 のベクトル演算子は V = ( V +1 , V 0 , V −1 ) で 、その成分は [2] 回転生成器とラダー演算子を 使った様々な交換子は次のようになる。 V + 1 = − 1 2 ( V x + i V y ) V − 1 = 1 2 ( V x − i V y ) , V 0 = V z , {\displaystyle V_{+1}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}+iV_{y})\,\quad V_{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}-iV_{y})\,,\quad V_{0}=V_{z}\,,} J ± = J x ± i J y , {\textstyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}\,,} [ J z , V + 1 ] = + ℏ V + 1 [ J z , V 0 ] = 0 V 0 [ J z , V − 1 ] = − ℏ V − 1 [ J + , V + 1 ] = 0 [ J + , V 0 ] = 2 ℏ V + 1 [ J + , V − 1 ] = 2 ℏ V 0 [ J − , V + 1 ] = 2 ℏ V 0 [ J − , V 0 ] = 2 ℏ V − 1 [ J − , V − 1 ] = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},V_{+1}\right]&=+\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{z},V_{0}\right]&=0V_{0}\\[1ex]\left[J_{z},V_{-1}\right]&=-\hbar V_{-1}\\[2ex]\left[J_{+},V_{+1}\right]&=0\\[1ex]\left[J_{+},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{+},V_{-1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[2ex]\left[J_{-},V_{+1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[1ex]\left[J_{-},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{-1}\\[1ex]\left[J_{-},V_{-1}\right]&=0\\[1ex]\end{aligned}}}
同様の形式の J z | 1 , + 1 ⟩ = + ℏ | 1 , + 1 ⟩ J z | 1 , 0 ⟩ = 0 | 1 , 0 ⟩ J z | 1 , − 1 ⟩ = − ℏ | 1 , − 1 ⟩ J + | 1 , + 1 ⟩ = 0 J + | 1 , 0 ⟩ = 2 ℏ | 1 , + 1 ⟩ J + | 1 , − 1 ⟩ = 2 ℏ | 1 , 0 ⟩ J − | 1 , + 1 ⟩ = 2 ℏ | 1 , 0 ⟩ J − | 1 , 0 ⟩ = 2 ℏ | 1 , − 1 ⟩ J − | 1 , − 1 ⟩ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}|1,+1\rangle &=+\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{z}|1,0\rangle &=0|1,0\rangle \\[1ex]J_{z}|1,-1\rangle &=-\hbar |1,-1\rangle \\[2ex]J_{+}|1,+1\rangle &=0\\[1ex]J_{+}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{+}|1,-1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[2ex]J_{-}|1,+1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[1ex]J_{-}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,-1\rangle \\[1ex]J_{-}|1,-1\rangle &=0\\[1ex]\end{aligned}}}
球面基底では、回転の生成元は次のとおりです。 J ± 1 = ∓ 1 2 J ± , J 0 = J z {\displaystyle J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}J_{\pm }\,,\quad J_{0}=J_{z}}
演算子の変換と ベイカー・ハウスドルフの補題 から：
U ( R ) † V ^ q U ( R ) = V ^ q + i θ ℏ [ n ^ ⋅ J → , V ^ q ] + ∑ k = 2 ∞ ( i θ ℏ [ n ^ ⋅ J → , . ] ) k k ! V ^ q = e x p ( i θ ℏ n ^ ⋅ A d J → ) V ^ q {\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)={\widehat {V}}_{q}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},{\widehat {V}}_{q}\right]+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},.]\right)^{k}}{k!}}{\widehat {V}}_{q}=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot Ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {V}}_{q}}
に比べ
U ( R ) | j , k ⟩ = | j , k ⟩ − i θ ℏ n ^ ⋅ J → | j , k ⟩ + ∑ k = 2 ∞ ( − i θ ℏ n ^ ⋅ J → ) k k ! | j , k ⟩ = e x p ( − i θ ℏ n ^ ⋅ J → ) | j , k ⟩ {\displaystyle U(R)|j,k\rangle =|j,k\rangle -i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}|j,k\rangle +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}\right)^{k}}{k!}}|j,k\rangle =exp\left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle }
状態の変換と比較すると、演算子との交換子は、演算子の状態に対する作用を置き換えると主張できます。
U ( R ) | j , k ⟩ = exp ( − i θ ℏ n ^ ⋅ J → ) | j , k ⟩ = ∑ j ′ , k ′ | j ′ , k ′ ⟩ ⟨ j ′ , k ′ | exp ( − i θ ℏ n ^ ⋅ J → ) | j , k ⟩ = ∑ k ′ D k ′ k ( j ) ( R ) | j , k ′ ⟩ {\displaystyle U(R)|j,k\rangle =\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{j',k'}|j',k'\rangle \langle j',k'|\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{k'}D_{k'k}^{(j)}(R)|j,k'\rangle }
球面基底（元々は直交座標基底で記述）における回転変換は、上に示した交換と演算子の類似性により、次のようになります。 U ( R ) † V ^ q U ( R ) = ∑ q ′ D q ′ q ( 1 ) ( R − 1 ) V ^ q ′ {\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)=\sum _{q'}{{D_{q'q}^{(1)}}(R^{-1})}{\widehat {V}}_{q'}}
ベクトル演算子の概念は、次に示すように、 テンソル演算子 に簡単に 一般化できます 。
テンソル演算子 一般に、テンソル演算子は、テンソルに従って変換する演算子です。 ここで、基底は によって変換され 、ベクトル成分は によって変換されます 。 U ( R ) † T ^ p q r ⋯ a b c ⋯ U ( R ) = R p , α R q , β R r , γ ⋯ T ^ i j k ⋯ α β γ ⋯ R i , a − 1 R j , b − 1 R k , c − 1 ⋯ {\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }^{abc\cdots }U(R)=R_{p,\alpha }R_{q,\beta }R_{r,\gamma }\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }^{\alpha \beta \gamma \cdots }R_{i,a}^{-1}R_{j,b}^{-1}R_{k,c}^{-1}\cdots } R − 1 {\displaystyle R^{-1}} R {\displaystyle R}
テンソル演算子に関する以降の議論では、共変／反変の振る舞いに関する添え字表記は完全に無視される。代わりに、反変成分は文脈から暗示される。したがって、n倍反変テンソルの場合： [2]
U ( R ) † T ^ p q r ⋯ U ( R ) = R p i R q j R r k ⋯ T ^ i j k ⋯ {\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}R_{qj}R_{rk}\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }}
テンソル演算子の例 四 重極 モーメント演算子、 Q i j = ∑ α q α ( 3 r α i r α j − r α 2 δ i j ) {\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }(3r_{\alpha i}r_{\alpha j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij})} 2つのテンソルベクトル演算子の成分を掛け合わせると、別のテンソル演算子が得られます。 一般に、n個のテンソル演算子から、別のテンソル演算子が得られます 。 T i j = V i W j {\displaystyle T_{ij}=V_{i}W_{j}} T p q r ⋯ k = V p ( 1 ) V q ( 2 ) V r 3 ) ⋯ V k ( n ) {\displaystyle T_{pqr\cdots k}=V_{p}^{(1)}V_{q}^{(2)}V_{r}^{3)}\cdots V_{k}^{(n)}} T i 1 i 2 ⋯ j 1 j 2 ⋯ = V i 1 i 2 ⋯ W j 1 j 2 ⋯ {\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots j_{1}j_{2}\cdots }=V_{i_{1}i_{2}\cdots }W_{j_{1}j_{2}\cdots }} 注意: 一般に、テンソル演算子は、上記の例のように他のテンソル演算子のテンソル積として記述することはできません。
ベクトル演算子からのテンソル演算子 と が2つの3次元ベクトル演算子である 場合 、階数2の直交座標系2項テンソルは、 の形式の9つの演算子から形成されます 。 項を整理すると、次のようになります。 方程式の右辺は、2回反変テンソルの基底変換方程式です。ここで、基底は によって変換される か、ベクトル成分は によって変換され 、ベクトル演算子成分の変換と一致します。したがって、記述された演算子テンソルは、テンソル表現では階数2のテンソルを形成します。 同様に、n回反変テンソル演算子は、n個のベクトル演算子によって同様に形成されます。 V → {\displaystyle {\vec {V}}} W → {\displaystyle {\vec {W}}} T ^ i j = V i ^ W j ^ {\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}} U ( R ) † T ^ i j U ( R ) = U ( R ) † ( V i ^ W j ^ ) U ( R ) = ( U ( R ) † V ^ i U ( R ) ) ( U ( R ) † W ^ j U ( R ) ) = ( ∑ l = 1 3 R i l V ^ l ⋅ ∑ k = 1 3 R j k W ^ k ) {\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)={U(R)}^{\dagger }({\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}})U(R)=({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{j}U(R))=\left(\sum _{l=1}^{3}R_{il}{\hat {V}}_{l}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{jk}{\hat {W}}_{k}\right)} U ( R ) † T ^ i j U ( R ) = ∑ k = 1 3 ∑ l = 1 3 ( R i l R j k T ^ l k ) {\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\left(R_{il}R_{jk}{\hat {T}}_{lk}\right)} R − 1 {\displaystyle R^{-1}} R {\displaystyle R} T ^ = V → ⊗ W → = ( V ^ i W ^ j ) ( e i ⊗ e j ) {\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}={\vec {V}}\otimes {\vec {W}}=({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j})}
階数2のテンソル成分の線形結合によって張られる部分空間は不変部分空間を形成する、すなわち、変換された成分自体がテンソル成分の線形結合であるため、部分空間は回転によって変化しないことがわかる。しかし、この部分空間は既約ではない、すなわち、回転の下で不変部分空間にさらに分割することができる。そうでない場合、部分空間は既約であると呼ばれる。言い換えれば、回転の下で同じセットの線形結合に変換されるような、成分の異なる線形結合の特定のセットが存在する。 [3] 上記の例では、9つの独立したテンソル成分を、それぞれが既約な不変部分空間を形成する1、3、5の演算子の組み合わせのセットに分割できることを示します。
既約テンソル演算子 によって張られる部分空間は、3つの独立した反対称成分 と6つの独立した対称成分 の 2つの部分空間に分けられ 、これらは および と定義されます 。 回転変換公式を用いると、 と はどちら も 自身の集合の元の線型結合に変換されること がわかります。 は 既約ですが、 については同じことが言えません 。 { T ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}} { A ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}} { S ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}} A ^ i j = 1 2 ( T ^ i j − T ^ j i ) {\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})} S ^ i j = 1 2 ( T ^ i j + T ^ j i ) {\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})} { T ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}} { A ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}} { S ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}} { A ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}} { S ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}
6 つの独立した対称コンポーネント セットは、5 つの独立したトレースのない対称コンポーネントに分割でき、不変トレースはそれ自身のサブスペースになることができます。
したがって、 の不変部分空間は それぞれ次のように形成されます。 { T ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}
テンソルの不変トレースの1つは、 t ^ = ∑ k = 1 3 T ^ k k {\displaystyle {\hat {t}}=\sum _{k=1}^{3}{\hat {T}}_{kk}} 次の 3 つの線形独立反対称成分: A ^ i j = 1 2 ( T ^ i j − T ^ j i ) {\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})} 5つの線形独立なトレースレス対称成分 S ^ i j = 1 2 ( T ^ i j + T ^ j i ) − 1 3 t ^ δ i j {\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})-{\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}} の場合には 、形成される不変部分空間 は次のように表される: [4] T ^ i j = V i ^ W j ^ {\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}} { T ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}
1つの不変スカラー演算子 V → ⋅ W → {\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}} 3つの線形独立成分から 1 2 ( V ^ i W ^ j − V ^ j W ^ i ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})} 5つの線形独立成分から 1 2 ( V ^ i W ^ j + V ^ j W ^ i ) − 1 3 ( V → ⋅ W → ) δ i j {\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}} 上記の例から、9つの成分は 1つ、3つ、5つの成分からなる部分空間に分割されます。これらの数は、ベクトル部分空間の次元がこれらの部分空間の直和である空間の次元に加算されるのと同様に、元のテンソルの成分の数に加算されます。同様に、 のあらゆる元は、 その不変部分空間の成分の線形結合で表すことができます。 { T ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}} { T ^ i j } {\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}
T ^ i j = 1 3 t ^ δ i j + A ^ i j + S ^ i j {\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}+{\hat {A}}_{ij}+{\hat {S}}_{ij}}
または
T ^ i j = 1 3 ( V → ⋅ W → ) δ i j + ( 1 2 ( V ^ i W ^ j − V ^ j W ^ i ) ) + ( 1 2 ( V ^ i W ^ j + V ^ j W ^ i ) − 1 3 ( V → ⋅ W → ) δ i j ) = T ( 0 ) + T ( 1 ) + T ( 2 ) {\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})\right)+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}\right)=\mathbf {T} ^{(0)}+\mathbf {T} ^{(1)}+\mathbf {T} ^{(2)}}
どこ： T ^ i j ( 0 ) = V ^ k W ^ k 3 δ i j {\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(0)}={\frac {{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}}{3}}\delta _{ij}} T ^ i j ( 1 ) = 1 2 [ V ^ i W ^ j − V ^ j W ^ i ] = V ^ [ i W ^ j ] {\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}-{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right]={\widehat {V}}_{[i}{\widehat {W}}_{j]}} T ^ i j ( 2 ) = 1 2 ( V ^ i W ^ j + V ^ j W ^ i ) − 1 3 V ^ k W ^ k δ i j = V ^ ( i W ^ j ) − T i j ( 0 ) {\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(2)}={\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}+{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right)-{\tfrac {1}{3}}{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}\delta _{ij}={\widehat {V}}_{(i}{\widehat {W}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}}
一般に、階数が1より大きい直交テンソルは既約である。量子力学において、この特定の例は、両方とも3次元である2つのスピン1粒子の加算に似ており、したがって合計空間は9次元であり、それぞれ1次元、3次元、5次元の空間を持つスピン0、スピン1、スピン2のシステムで形成できる。 [4] これらの3つの項は既約ではない。つまり、それ以上分解できず、定義変換則を満たすテンソルのままであり、その下では不変でなければならない。既約表現 T (0) 、 T (1) 、 T (2) ...のそれぞれは、独立成分の数に応じて角運動量固有状態のように変換される。
与えられたテンソルは、これらの成分のうち1つ以上がゼロになる場合があります。例えば、四重極モーメントテンソルは既に対称でトレースレスであるため、最初から5つの独立成分しかありません。 [3]
球面テンソル演算子 球面テンソル演算子は、一般的に、座標系の回転の下で、次の変換規則を持つ演算子として定義されます。
T ^ m ( j ) → U ( R ) † T ^ m ( j ) U ( R ) = ∑ m ′ D m ′ m ( j ) ( R − 1 ) T ^ m ′ ( j ) {\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}
交換関係はLHSとRHSを展開することで次のように求められる: [4]
U ( R ) † T ^ m ( j ) U ( R ) = ( 1 + i ϵ n ^ ⋅ J → ℏ + O ( ϵ 2 ) ) T ^ m ( j ) ( 1 − i ϵ n ^ ⋅ J → ℏ + O ( ϵ 2 ) ) = ∑ m ′ ⟨ j , m ′ | ( 1 + i ϵ n ^ ⋅ J → ℏ + O ( ϵ 2 ) ) | j , m ⟩ T ^ m ′ ( j ) {\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}\left(1-{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)=\sum _{m'}\langle j,m'|\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)|j,m\rangle {\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}
単純化して制限を適用し、第 1 次項のみを選択すると、次のようになります。
[ n ^ ⋅ J → , T ^ m ( j ) ] = ∑ m ′ T ^ m ′ ( j ) ⟨ j , m ′ | J → ⋅ n ^ | j , m ⟩ {\displaystyle {[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}]=\sum _{m'}{\widehat {T}}_{m'}^{(j)}\langle j,m'|{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}|j,m\rangle }
または を選択すると 、次のようになります。 上記は次式と類似していることに注意してください。 と は の線形結合で あるため 、線形性により同じ類似性を共有します。 n ^ = x ^ ± i y ^ {\displaystyle {\hat {n}}={\hat {x}}\pm i{\hat {y}}} n ^ = z ^ {\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}} [ J ± , T ^ m ( j ) ] = ℏ ( j ∓ m ) ( j ± m + 1 ) T ^ m ± 1 ( j ) [ J z , T ^ m ( j ) ] = ℏ m T ^ m ( j ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}{\widehat {T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\[1ex]\left[J_{z},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar m{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\end{aligned}}} J ± | j , m ⟩ = ℏ ( j ∓ m ) ( j ± m + 1 ) | j , m ± 1 ⟩ J z | j , m ⟩ = ℏ m | j , m ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\pm }|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}|j,m\pm 1\rangle \\[1ex]J_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}} J x {\displaystyle J_{x}} J y {\displaystyle J_{y}} J ± {\displaystyle J_{\pm }}
交換関係のみが成立する場合、次の関係を用いると、 | j , m ⟩ → U ( R ) | j , m ⟩ = e x p ( − i θ ℏ n ^ ⋅ J → ) | j , m ⟩ = ∑ m ′ D m ′ m ( j ) ( R ) | j , m ′ ⟩ {\displaystyle |j,m\rangle \rightarrow U(R)|j,m\rangle =exp\left(-{i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,m\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R)|j,m'\rangle }
の波動関数への作用 と の交換関係 の類似性により 、次のことがわかる。 J {\displaystyle J} | j , m ⟩ {\displaystyle |j,m\rangle } T ^ m ( j ) {\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}}
T ^ m ( j ) → U ( R ) † T ^ m ( j ) U ( R ) = e x p ( i θ ℏ n ^ ⋅ a d J → ) T ^ m ( j ) = ∑ m ′ D m ′ m ( j ) ( R − 1 ) T ^ m ′ ( j ) {\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}
ここで、指数関数型は ベーカー・ハウスドルフの補題 によって与えられます。したがって、上記の交換関係と変換性は、球面テンソル作用素の同値な定義です。また、交換関係により、ベクトルのように変換できる ことも示されます。 { a d J ^ i } {\displaystyle \{ad_{{\hat {J}}_{i}}\}}
次の節では、球面テンソルの構築について論じる。例えば、球面ベクトル演算子の例が示されているので、これを用いて高次の球面テンソル演算子を構築することができる。一般に、球面テンソル演算子は2つの観点から構築できる。 [5] 1つの方法は、物理的な回転の下で球面テンソルがどのように変換されるかを指定することである。これは 群論的な 定義である。回転角運動量固有状態は、初期固有状態の線形結合に分解することができる。線形結合の係数は、ウィグナー回転行列の要素から構成される。あるいは、前述の2次二項テンソル T = a ⊗ bの例を続けることで、 a と b をそれぞれ 球面基底にキャストし、 T に代入することで、2次の球面テンソル演算子が得られる。 [ 要出典 ]
クレプシュ・ゴルダン係数を用いた構築 2つの球面テンソルを クレプシュ・ゴルダン係数を 含む次の方法で組み合わせる と、 次の形の球面テンソルが得られることが証明できる。 [4] A q 1 ( k 1 ) {\displaystyle A_{q_{1}}^{(k_{1})}} B q 2 ( k 2 ) {\displaystyle B_{q_{2}}^{(k_{2})}} T q ( k ) = ∑ q 1 , q 2 ⟨ k 1 , k 2 ; q 1 , q 2 | k 1 , k 2 ; k , q ⟩ A q 1 ( k 1 ) B q 2 ( k 2 ) {\displaystyle T_{q}^{(k)}=\sum _{q_{1},q_{2}}\langle k_{1},k_{2};q_{1},q_{2}|k_{1},k_{2};k,q\rangle A_{q_{1}}^{(k_{1})}B_{q_{2}}^{(k_{2})}}
この方程式は、高次の球面テンソル演算子を構築するために使用できます。たとえば、 前述の
2 つの 1 次球面テンソル演算子 ( A と B)を使用して 2 次球面テンソル演算子を構築できます。
T ^ ± 2 ( 2 ) = a ^ ± 1 b ^ ± 1 T ^ ± 1 ( 2 ) = 1 2 ( a ^ ± 1 b ^ 0 + a ^ 0 b ^ ± 1 ) T ^ 0 ( 2 ) = 1 6 ( a ^ + 1 b ^ − 1 + a ^ − 1 b ^ + 1 + 2 a ^ 0 b ^ 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {T}}_{\pm 2}^{(2)}&={\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{\pm 1}\\[1ex]{\widehat {T}}_{\pm 1}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{0}+{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{\pm 1}\right)\\[1ex]{\widehat {T}}_{0}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\left({\widehat {a}}_{+1}{\widehat {b}}_{-1}+{\widehat {a}}_{-1}{\widehat {b}}_{+1}+2{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{0}\right)\end{aligned}}}
無限小回転演算子とそのエルミート共役を用いて、球面基底における交換関係を導くことができる。 また、球面基底における有限回転変換は検証することができる。 [ J a , T ^ q ( 2 ) ] = ∑ q ′ D ( J a ) q q ′ ( 2 ) T ^ q ′ ( 2 ) = ∑ q ′ ⟨ j = 2 , m = q | J a | j = 2 , m = q ′ ⟩ T ^ q ′ ( 2 ) {\displaystyle \left[J_{a},{\widehat {T}}_{q}^{(2)}\right]=\sum _{q'}{D(J_{a})}_{qq'}^{(2)}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}=\sum _{q'}\langle j{=}2,m{=}q|J_{a}|j{=}2,m{=}q'\rangle {\widehat {T}}_{q'}^{(2)}} U ( R ) † T ^ q ( 2 ) U ( R ) = ∑ q ′ D ( R ) q q ′ ( 2 ) ∗ T ^ q ′ ( 2 ) {\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {T}}_{q}^{(2)}U(R)=\sum _{q'}{{D(R)}_{qq'}^{(2)}}^{*}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}
球面調和関数の使用 演算子をスペクトルによって定義します。 回転を伴う球面調和関数の場合、次式が成り立つため、次式 も成り立ちます。また、次式も成り立つことが示されています。 次に 、 （ベクトル演算子）も同様に変換されます。つまり、 は球面テンソル演算子です。この変換は、 を x、y、z で表し、 x、y、z をベクトル演算子 V x、 V y 、V z に置き換えることで実現されます。これらの演算子はベクトル演算子から得られます。したがって、結果として得られる演算子は球面テンソル演算子 です 。 ^ 球面調和関数からの正規化により、定数 が含まれる場合がありますが、これは演算子の文脈では意味がありません。 Υ l m | r ⟩ = r l Y l m ( θ , ϕ ) | r ⟩ = Υ l m ( r → ) | r ⟩ {\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}|r\rangle =r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )|r\rangle =\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})|r\rangle } Y ℓ = k m = q ( n ) = ⟨ n | k , q ⟩ → U ( R ) † Y ℓ = k m = q ( n ) U ( R ) = Y ℓ = k m = q ( R n ) = ⟨ n | D ( R ) † | k , q ⟩ = ∑ q ′ D q ′ , q ( k ) ( R − 1 ) Y ℓ = k m = q ′ ( n ) {\displaystyle Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |k,q\rangle \rightarrow U(R)^{\dagger }Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )U(R)=Y_{\ell =k}^{m=q}(R\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |D(R)^{\dagger }|k,q\rangle =\sum _{q'}D_{q',q}^{(k)}(R^{-1})Y_{\ell =k}^{m=q'}(\mathbf {n} )} Υ l m ( r → ) → U ( R ) † Υ l m ( r → ) U ( R ) = ∑ m ′ D m ′ , m ( l ) ( R − 1 ) Υ l m ′ ( r → ) {\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})\rightarrow U(R)^{\dagger }\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})U(R)=\sum _{m'}D_{m',m}^{(l)}(R^{-1})\Upsilon _{l}^{m'}({\vec {r}})} Υ l m ( V → ) {\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {V}})} V → {\displaystyle {\vec {V}}} Υ l m ( r → ) = r l Y l m ( θ , ϕ ) = Υ l m ( x , y , z ) {\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})=r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=\Upsilon _{l}^{m}(x,y,z)} T ^ m ( l ) {\displaystyle {\hat {T}}_{m}^{(l)}}
球面テンソルの エルミート 随伴関数 は、位相因子の選択にはある程度の任意性があり、 (−1) ± q を含む任意の因子は交換関係を満たす。 [6]上記の位相の選択には、実数であることと、2つの可換 エルミート 演算子 のテンソル積が依然としてエルミートであるという利点がある 。 [7]一部の著者は、 q の符号を変えて定義したり 、 k を 使わずに定義したり、 k の 底のみ を使用したりする。 [8] ( T † ) q ( k ) = ( − 1 ) k − q ( T − q ( k ) ) † . {\displaystyle (T^{\dagger })_{q}^{(k)}=(-1)^{k-q}(T_{-q}^{(k)})^{\dagger }.}
角運動量と球面調和関数
軌道角運動量と球面調和関数 軌道角運動量演算子には ラダー演算子 があります。
L ± = L x ± i L y {\displaystyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}
軌道磁気量子数m ℓ を1単位増減させる 。これは、乗法係数が一定であることを除けば、球面基底とほぼ同じ形をとる。
球面テンソル演算子と量子スピン 球面テンソルは、スピン系において全量子数 j = ℓ + s （かつ ℓ = 0）のスピン作用素 S x 、 S y 、 S z の代数的結合から行列として形成することもできる 。スピン作用素にはラダー作用素がある。
S ± = S x ± i S y {\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}
スピン磁気量子数 m s を 1 単位上げたり下げたりします。
アプリケーション 球面基底は、球面幾何学が生じる純粋数学、応用数学、物理科学の分野で幅広く応用されています。
単電子原子（アルカリ）における双極子放射遷移 遷移振幅は、初期状態と終状態間の双極子演算子の行列要素に比例する。原子には静電的かつスピンレスなモデルを用い、初期エネルギー準位E nℓ から終状態E n′ℓ′ への遷移を考える。これらの準位は縮退しており、エネルギーは磁気量子数mまたはm′に依存しない。波動関数は以下の形をとる。
ψ n ℓ m ( r , θ , ϕ ) = R n ℓ ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R_{n\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
双極子演算子は電子の位置演算子に比例するので、次の形式の行列要素を評価する必要がある。
⟨ n ′ ℓ ′ m ′ | r | n ℓ m ⟩ {\displaystyle \langle n'\ell 'm'|\mathbf {r} |n\ell m\rangle }
ここで、初期状態は右側、最終状態は左側にあります。位置演算子 r は3つの要素を持ち、初期レベルと最終レベルはそれぞれ2ℓ + 1と2ℓ′ + 1の縮退状態から構成されます。したがって、観測されるスペクトル線の強度を評価するには、実際には3(2ℓ′+ 1)(2ℓ+ 1)個の行列要素を評価する必要があります。例えば、3d → 2p遷移では3×3×5 = 45となります。これは実際には誇張であり、後述するように、多くの行列要素は消えますが、消えない行列要素もまだ計算する必要があるためです。
rの成分を直交座標基底ではなく球面基底で表すことで、大幅な簡略化が達成されます。まず、次のように定義します。
r q = e ^ q ⋅ r {\displaystyle r_{q}={\hat {\mathbf {e} }}_{q}\cdot \mathbf {r} }
次に、 Y ℓm ′sの表を調べると 、ℓ = 1の場合には次の式が得られることがわかる。
r Y 11 ( θ , ϕ ) = − r 3 8 π sin ( θ ) e i ϕ = 3 4 π ( − x + i y 2 ) r Y 10 ( θ , ϕ ) = r 3 4 π cos ( θ ) = 3 4 π z r Y 1 − 1 ( θ , ϕ ) = r 3 8 π sin ( θ ) e − i ϕ = 3 4 π ( x − i y 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}rY_{11}(\theta ,\phi )&=&&-r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left(-{\frac {x+iy}{\sqrt {2}}}\right)\\rY_{10}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos(\theta )&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}z\\rY_{1-1}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{-i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left({\frac {x-iy}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}
ここで、各Y 1 m に半径 r を乗じています 。右側には 位置ベクトル rの球面成分 r q が 示されています。結果は次のようにまとめられます。
r Y 1 q ( θ , ϕ ) = 3 4 π r q {\displaystyle rY_{1q}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}r_{q}}
q = 1, 0, −1 に対して、q は磁気量子数として明示的に現れる。この式はベクトル演算子と角運動量 ℓ = 1 の関係を明らかにしているが、これについては後ほど詳しく説明する。行列要素は、ラジアル積分と角積分の積となる。 ⟨ n ′ ℓ ′ m ′ | r q | n ℓ m ⟩ = ( ∫ 0 ∞ r 2 d r R n ′ ℓ ′ ∗ ( r ) r R n ℓ ( r ) ) ( 4 π 3 ∫ sin ( θ ) d Ω Y ℓ ′ m ′ ∗ ( θ , ϕ ) Y 1 q ( θ , ϕ ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) ) {\displaystyle \langle n'\ell 'm'|r_{q}|n\ell m\rangle =\left(\int _{0}^{\infty }r^{2}drR_{n'\ell '}^{*}(r)rR_{n\ell }(r)\right)\left({\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}\int \sin {(\theta )}d\Omega Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{1q}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\right)}
3つの磁気量子数（m′,q,m）への依存性はすべて、積分の角度部分に含まれていることがわかります。さらに、角度積分は3つのYℓmの公式で評価でき 、 クレプシュ ・ゴルダン係数に比例します。
⟨ ℓ ′ m ′ | ℓ 1 m q ⟩ {\displaystyle \langle \ell 'm'|\ell 1mq\rangle }
ラジアル積分は3つの磁気量子数（ m ′、 q 、 m ）とは独立しており、ここで用いたトリックはそれを評価するのに役立ちません。しかし、ラジアル積分は1つの積分に過ぎず、これを実行すれば、他のすべての積分はクレプシュ・ゴルダン係数を計算するか調べるだけで評価できます。
クレプシュ・ゴルダン係数における 選択則 m ′ = q + mは、多くの積分が消滅することを意味するため、必要な積分の総数を誇張して計算しています。しかし、 r の直交座標成分 r i を扱っていたならば、この選択則は明らかではなかったかもしれません。いずれにせよ、選択則を適用したとしても、実行すべき非零積分は依然として多く存在する可能性があります（3d → 2pの場合は9個）。双極子遷移の行列要素の計算を簡略化する先ほど示した例は、実際にはウィグナー・エッカート定理の応用であり、この定理については本稿で後ほど取り上げます。
磁気共鳴 球面テンソル形式は、 核磁気共鳴 におけるコヒーレンスと緩和を扱うための共通のプラットフォームを提供する。NMR と EPRでは、 球面 テンソル演算子を用いて、 密度行列 要素の運動方程式を用いて 粒子スピンの量子ダイナミクスを表現したり、 リウヴィル空間 における運動方程式を用いてダイナミクスを定式化したりしている 。リウヴィル空間の運動方程式は、スピン変数の観測可能な平均を支配する。リウヴィル空間における球面テンソル基底を用いて緩和を定式化すると、緩和行列がスピン観測量の相互緩和を直接示すため、洞察が得られる。 [5]
画像処理とコンピュータグラフィックス
参照
参考文献
注記 ^ Jeevanjee, Nadir (2015). 『物理学者のためのテンソルと群論入門（第2版）』 Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4714-8 。 ^ abcde E. アバース (2004)。 「5」。 量子力学 。アディソン・ウェスリー。 ISBN 978-0-13-146100-0 。 ^ ab Littlejohn, Robert G. (2023年9月23日). 「Irreducible Tensor Operators and the Wigner-Eckart Theorem」 (PDF) . 2023年2月10日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF) . 2023年 9月23日 閲覧。 ^ abcd 桜井 淳 J.; ナポリターノ ジム J. (2014). 現代量子力学 （第2版）. ニューデリー: ピアソン・エデュケーション・インディア. ISBN 978-93-325-1900-8 。 ^ ab RD Nielsen; BH Robinson (2006). 「磁気共鳴における緩和への球面テンソル形式の適用」 . 磁気共鳴の概念 パートA. 28A ( 4): 270– 271. doi :10.1002/cmr.a.20055 . 2023年4月6日 閲覧 。
出典
さらに読む
球面調和関数
角運動量とスピン
凝縮物質物理学
磁気共鳴 LJ Mueller (2011). 「NMRにおけるテンソルと回転」. 磁気共鳴の概念 パートA. 38A ( 5): 221– 235. doi :10.1002/cmr.a.20224. S2CID 8889942. MS Anwar (2004).「NMRにおける球面テンソル演算子」 (PDF) . P. Callaghan (1993). 核磁気共鳴顕微鏡の原理. オックスフォード大学出版局. pp. 56– 57. ISBN 978-0-198-539-971 。
画像処理 M. Reisert; H. Burkhardt (2009). S. Aja-Fernández (編). 画像処理とコンピュータビジョンにおけるテンソル. Springer. ISBN 978-184-8822-993 。 DH Laidlaw、J. Weickert (2009). 『テンソル場の可視化と処理：進歩と展望』 数学と可視化. Springer. ISBN 978-354-088-378-4 。 M. Felsberg; E. Jonsson (2005). エネルギーテンソル：二次位相不変画像演算子 . コンピュータサイエンス講義ノート. 第3663巻. Springer. pp. 493– 500. E. König; S. Kremer (1979). 「点群のテンソル作用素代数」. 遷移金属イオンの磁性図 . コンピュータサイエンス講義ノート. 第3663巻. Springer. pp. 13– 20. doi :10.1007/978-1-4613-3003-5_3. ISBN 978-1-4613-3005-9 。
外部リンク (2012) クレブシュ・ゴードン係数とテンソル球面調和関数 テンソル球面調和関数 (2010) 既約テンソル演算子とウィグナー・エッカート定理 2014年7月20日アーカイブ、 Wayback Machine M. Fowler (2008)「テンソル演算子」 Tensor_Operators はWayback Machine で 2018-01-07 にアーカイブされています (2009) テンソル演算子とウィグナー・エッカート定理 ウィグナー・エッカートの定理 (2004) 回転変換と球面テンソル演算子 テンソル演算子 放射遷移の行列要素の評価 DK Ghosh, (2013) 角運動量 - III : ウィグナー・エッカート定理 B. Baragiola (2002) テンソル演算子 球面テンソル アーカイブ 2015-06-09 at the Wayback Machine
![{\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2e2c9e053dfe3f097248a2903d84574f65951f)
![{\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e4e6c2e396eee7cfb4e780e8af0d07462e1bab)
![{\displaystyle |{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae037361ee8660fd19b7d5126180419c786622d5)
![{\displaystyle \left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869c5d415ee1ee8b26893a562bb3d7a71177634a)
![{\displaystyle {\left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]=\sum _{c}i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8d6befc38bd475e513c77bf8f196655edc172a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},V_{+1}\right]&=+\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{z},V_{0}\right]&=0V_{0}\\[1ex]\left[J_{z},V_{-1}\right]&=-\hbar V_{-1}\\[2ex]\left[J_{+},V_{+1}\right]&=0\\[1ex]\left[J_{+},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{+},V_{-1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[2ex]\left[J_{-},V_{+1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[1ex]\left[J_{-},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{-1}\\[1ex]\left[J_{-},V_{-1}\right]&=0\\[1ex]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb89be03ee922c0664acacf50de9e1e0e9fbfd5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}|1,+1\rangle &=+\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{z}|1,0\rangle &=0|1,0\rangle \\[1ex]J_{z}|1,-1\rangle &=-\hbar |1,-1\rangle \\[2ex]J_{+}|1,+1\rangle &=0\\[1ex]J_{+}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{+}|1,-1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[2ex]J_{-}|1,+1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[1ex]J_{-}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,-1\rangle \\[1ex]J_{-}|1,-1\rangle &=0\\[1ex]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1090c91f6b9695d7163ff89cab12f18d66b68356)
![{\displaystyle {U(R)}^{\dagger}{\widehat {V}}_{q}U(R)={\widehat {V}}_{q}+i{\frac {\theta}{\hbar}}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},{\widehat {V}}_{q}\right]+\sum _{k=2}^{\infty}{\frac {\left(i{\frac {\theta}{\hbar}}[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},.]\right)^{k}}{k!}}{\widehat {V}}_{q}=exp\left({i{\frac {\theta}{\hbar}}}{\hat {n}}\cdot Ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {V}}_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9897cc1f004d9cb8f33c2ec2641ebbf41eb1bce3)
![{\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}-{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right]={\widehat {V}}_{[i}{\widehat {W}}_{j]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5da10a73e01c4f4c7b67ae2602bf545406f69ce)
![{\displaystyle {[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}]=\sum _{m'}{\widehat {T}}_{m'}^{(j)}\langle j,m'|{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}|j,m\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4316ee441337699138a9158e78a6b825ed9a07d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}{\widehat {T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\[1ex]\left[J_{z},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar m{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/face2c36ed427f5b0dacb0da9c32ba2a9c428657)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\pm }|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}|j,m\pm 1\rangle \\[1ex]J_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60b3d582e21b9ef4cd68f0419169ebeb4db3ff9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {T}}_{\pm 2}^{(2)}&={\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{\pm 1}\\[1ex]{\widehat {T}}_{\pm 1}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{0}+{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{\pm 1}\right)\\[1ex]{\widehat {T}}_{0}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\left({\widehat {a}}_{+1}{\widehat {b}}_{-1}+{\widehat {a}}_{-1}{\widehat {b}}_{+1}+2{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{0}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5e6846f3a41f46907440bb8f8abaed79f12e27)
![{\displaystyle \left[J_{a},{\widehat {T}}_{q}^{(2)}\right]=\sum _{q'}{D(J_{a})}_{qq'}^{(2)}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}=\sum _{q'}\langle j{=}2,m{=}q|J_{a}|j{=}2,m{=}q'\rangle {\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12962647e7835dffd9869ddf19fd49ead0b75c4)
