テンソル積

Mathematical operation on vector spaces

数学において、 2 つのベクトル空間と(同じ体上)のテンソル積は、 ペアを⁠ ⁠ で表される⁠ ⁠の元に写像する双線型写像が関連付けられているベクトル空間です。 ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\times W\rightarrow V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w),\ v\in V,w\in W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

の形の元は、とのテンソル積と呼ばれます。 の元はテンソルであり、2つのベクトルのテンソル積は、基本テンソルまたは分解可能テンソルと呼ばれることもあります。基本テンソルは、 のすべての元が基本テンソルの和であるという意味で張られます。との基底が与えられている場合、の基底元と の基底元のすべてのテンソル積によっての基底が形成されます。 ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

2 つのベクトル空間のテンソル積は、 から別のベクトル空間への双線型写像が線型写像を通じて一意に因数分解されるという意味で、すべての双線型写像の特性を捉えています(§ 普遍性を参照)。つまり、双線型写像は、テンソル積からへの一意の線型写像に関連付けられています。 ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V\otimes W\to Z}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle Z}$

テンソル積は、物理学や工学を含む多くの応用分野で用いられています。例えば、一般相対論では、重力場は計量テンソルによって記述されます。計量テンソルは、時空多様体の各点に1つのテンソルを持つテンソル場であり、各テンソルは、その点における余接空間とそれ自身とのテンソル積に属します。

定義と構成

2つのベクトル空間のテンソル積は、同型を除いて定義されるベクトル空間である。テンソル積を定義する方法はいくつかあり、それらは同値である。その多くは、テンソル積と呼ばれるベクトル空間を明示的に定義することから成り、一般に、同値性の証明は、このように定義されたベクトル空間の基本的な性質からほぼ直ちに得られる。

テンソル積は普遍性によって定義することもできます。詳しくは後述の§ 普遍性を参照してください。あらゆる普遍性と同様に、その性質を満たすすべてのオブジェクトは、その普遍性に適合する唯一の同型性によって同型です。この定義を用いると、他の定義は普遍性を満たすオブジェクトの構成と見なすことができ、普遍性を満たすオブジェクトが存在すること、つまりテンソル積が存在することの証明と見なすことができます。

基地から

VとW を、それぞれ基底と⁠ ⁠ を持つ体F上の2つのベクトル空間とします。 ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$

VとWのテンソル積は 、および⁠ ⁠を満たすすべての関数の集合を基底とするベクトル空間です。この定義は次のように形式化できます（この形式化は実際にはほとんど使用されませんが、前述の非公式な定義で通常は十分です）。は、有限個の非零値を持つ直積からFへの関数の集合です。点ごとの演算はベクトル空間を構成します。を1に、 の他の要素を0に写像する関数は⁠ ⁠ と表記されます。 ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle v\in B_{V}}$ ${\displaystyle w\in B_{W}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

すると、この集合は単純に⁠ ⁠の基底となり、これは⁠ ⁠と⁠ ⁠のテンソル積と呼ばれます。 ${\displaystyle \{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$

⁠ ⁠の有限個の元においてのみ非零となる ⁠上の双線型形式の集合を ⁠ ⁠ と定義することも同値です。これを確認するには、 ⁠ ⁠ と双線型形式⁠ ⁠が与えられている場合、 と を基底およびで次のように分解します。ここで、 と は有限個の元においてのみ非零であり、 の双線型性によって次式を得ます。 ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B:V\times W\to F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$ $${\displaystyle x=\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\quad {\text{and}}\quad y=\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w,}$$ ${\displaystyle x_{v}}$ ${\displaystyle y_{w}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B(x,y)=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,B(v,w)}$$

したがって、任意の に対するの値は、⁠ ⁠でそれが取る値によって一意かつ完全に決定されることがわかります。これにより、以前と同様に で定義された写像を双線型写像 に拡張することができます。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w:V\times W\to F}$ $${\displaystyle (v\otimes w)(x,y):=\sum _{v'\in B_{V}}\sum _{w'\in B_{W}}x_{v'}y_{w'}\,(v\otimes w)(v',w')=x_{v}\,y_{w}.}$$

すると、任意の双線型形式は、次のように写像の（潜在的に無限の）形式的線型結合として表現できます。これらの写像は、⁠ ⁠上のすべての双線型形式のベクトル空間に対するSchauder基底に類似したものになります。代わりにこれを適切なHamel基底にするには、 ⁠ ⁠の有限個の元においてのみ が非ゼロであるという要件を追加し、代わりにそのような写像の部分空間を考慮するだけです。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ $${\displaystyle B=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}B(v,w)(v\otimes w)}$$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W;F)}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$

どちらの構成でも、2つのベクトルのテンソル積は、それらの基底分解から定義されます。より正確には、前述と同様に、とを基底分解すると、次のようになります。 ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in W}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x\otimes y&={\biggl (}\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v{\biggr )}\otimes {\biggl (}\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w{\biggr )}\\[5mu]&=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,v\otimes w.\end{aligned}}}$$

この定義は、上で行ったように、基底と⁠ ⁠を用いたの双線型展開におけるの係数から非常に明確に導かれます。この定義を用いると、写像が からへの双線型写像であり、テンソル積の任意の構成が 満たす普遍性（下記参照）を満たすことが容易に証明できます。 ${\displaystyle B(v,w)}$ ${\displaystyle B(x,y)}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$ ${\displaystyle {\otimes }:(x,y)\mapsto x\otimes y}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

長方形の配列に並べると、の座標ベクトルは⁠ ⁠の座標ベクトルの 外積になります。したがって、テンソル積は外積の一般化、つまり座標ベクトルを超えた抽象化です 。 ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

このテンソル積の定義の限界は、基底を変更すると異なるテンソル積が定義されることです。しかしながら、一方の基底の元を他方の基底に分解することにより、ベクトル空間の2つのテンソル積の間に標準同型が定義され、これらを同一視することが可能になります。また、以下の2つの代替定義とは異なり、この定義は環上の加群のテンソル積の定義には拡張できません。

商空間として

基底に依存しないテンソル積の構築は、次のようにして得ることができます。

VとWを体F上の2 つのベクトル空間とします。

まず、直積を基底とするベクトル空間Lを考えます。つまり、Lの基底元はとのペアです。このようなベクトル空間を得るには、有限個の非零値を持ち、かつ で1、それ以外で0をとる関数と同一視される関数のベクトル空間として定義することができます。 ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle V\times W\to F}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle (v,w)}$

R をLの線型部分空間とし、テンソル積が満たすべき関係式によって張られるものとする。より正確には、Rは以下のいずれかの形式の元によって張られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}}$

ここで⁠ ⁠ ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$、および⁠ ⁠。 ${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W}$ ${\displaystyle s\in F}$

そして、テンソル積は商空間として定義されます。

${\displaystyle V\otimes W=L/R,}$

そしてこの商における の像は⁠ ⁠と表される。 ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

この構成の結果が以下で検討する普遍性を満たすことは簡単に証明できます。（非常によく似た構成を使用して、モジュールのテンソル積を定義できます。）

普遍的な財産

テンソル積の普遍性：hが双線型ならば、唯一の線型写像が存在する〜hこれにより、図は可換となる（つまり、h =〜h∘ φ )。

この節では、テンソル積が満たす普遍性について述べる。すべての普遍性と同様に、この性質を満たす2つの対象は、一意の同型性によって関連付けられる。したがって、これは2つのベクトル空間のテンソル積を定義する（非構成的な）方法である。この文脈において、これまでのテンソル積の構成は、このように定義されたテンソル積の存在証明と見なすことができる。

このアプローチの結果、テンソル積のすべての特性は普遍特性から演繹することができ、実際にはその存在を証明するために使用された方法を忘れてしまう可能性があります。

2 つのベクトル空間のテンソル積の「普遍性定義」は次のとおりです (双線型写像は、各引数に対して個別に 線形である関数であることを思い出してください)。

2 つのベクトル空間VとWのテンソル積は、 ⁠ ⁠と表記されるベクトル空間と、 ⁠ ⁠から⁠ ⁠への双線型写像から成り、すべての双線型写像⁠ ⁠に対して、となる一意の線型写像⁠ ⁠が存在します(つまり、すべての ⁠ ⁠と⁠ ⁠に対して となります)。 ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle {\varphi }:(v,w)\mapsto v\otimes w}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle h:V\times W\to Z}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$ ${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ {\varphi }}$ ${\displaystyle h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W}$

線形分離

上記の普遍的性質と同様に、次の特徴付けは、与えられたベクトル空間と与えられた双線形写像がテンソル積を形成するかどうかを判断するためにも使用できます。^[1]

定理— ⁠ ⁠ 、 ${\displaystyle X,Y}$およびを複素ベクトル空間とし、を双線型写像とする。このとき、がおよびのテンソル積となるのは、 ^[1]の像が⁠ ⁠ 全体を張る（つまり、⁠ ⁠ ）場合のみであり、また、およびは-線型的に互いに素であり、これは定義により、すべての正の整数および⁠ ⁠となるすべての元およびに対して、 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle (Z,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \;T(X\times Y)=Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}T\left(x_{i},y_{i}\right)=0}$

1. すべてが線形独立であれば、すべてが⁠ ⁠であり、 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0}$
2. すべてが線形独立であれば、すべてが⁠ ⁠です。 ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0}$

同様に、と が-線形に互いに素である場合、かつ⁠ ⁠内のすべての線形独立なシーケンスに対してベクトルが線形独立である場合に限ります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}}$

例えば、⁠ ⁠ ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{m}}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} ^{n}}$（ただし、とは正の整数）であれば、 ⁠ ⁠ のテンソル積を形成するように双線型写像を設定して定義することができることが直ちに分かる。 [ ^2]この写像はしばしば⁠ ⁠と表記され、 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z=\mathbb {C} ^{mn}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}&\to \mathbb {C} ^{mn}\\(x,y)=((x_{1},\ldots ,x_{m}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))&\mapsto (x_{i}y_{j})_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$ ${\displaystyle x\otimes y=T(x,y).}$

別の例として、 が、点ごとに定義された加算とスカラー乗算を持つ集合上のすべての複素数値関数のベクトル空間であるとします（つまり、は写像であり、は写像⁠ ⁠です）。およびを任意の集合とし、任意の ⁠ ⁠ に対して、 を⁠ ⁠で定義される関数とします。および がベクトル部分空間である場合、のベクトル部分空間は双線型写像と合わせて、 と⁠ ⁠のテンソル積を形成します。^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle s\mapsto f(s)+g(s)}$ ${\displaystyle cf}$ ${\displaystyle s\mapsto cf(s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{T}}$ ${\displaystyle f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}}$ ${\displaystyle (s,t)\mapsto f(s)g(t)}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}}$ ${\displaystyle Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S\times T}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

プロパティ

寸法

VとW が有限次元のベクトル空間である場合、 は有限次元であり、その次元はVとWの次元の積です。 ${\displaystyle V\otimes W}$

これは、 の基底が、Vの基底要素とWの基底要素のすべてのテンソル積を取ることによって形成されるという事実から生じます。 ${\displaystyle V\otimes W}$

結合性

テンソル積は、3つのベクトル空間が与えられたときに、標準同型が存在する という意味で結合的です。 ${\displaystyle U,V,W}$

${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),}$

これは⁠ ⁠にマッピングされます。 ${\displaystyle (u\otimes v)\otimes w}$ ${\displaystyle u\otimes (v\otimes w)}$

これにより、2 つ以上のベクトル空間またはベクトルのテンソル積で括弧を省略できるようになります。

ベクトル空間演算としての可換性

2つのベクトル空間のテンソル積は、標準同型が存在するという意味で 可換である。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V,}$

これは⁠ ⁠にマッピングされます。 ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle w\otimes v}$

一方、⁠ ⁠ ${\displaystyle V=W}$の場合でも、ベクトルのテンソル積は可換ではありません。つまり、一般に⁠ ⁠です。 ${\displaystyle v\otimes w\neq w\otimes v}$

からそれ自身への写像は、線形自己同型写像​​を誘導し、これは ${\displaystyle x\otimes y\mapsto y\otimes x}$ ${\displaystyle V\otimes V}$組紐写像。より一般的に、そして通常通り（テンソル代数）、ベクトル空間Vn 個のテンソル積を。最初のn 個の順列s、写像： ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$の線形自己同型写像​​を誘導します。これは編組写像と呼ばれます。

線形写像のテンソル積

線型写像⁠ ⁠ ${\displaystyle f:U\to V}$とベクトル空間Wが与えられた場合、テンソル積は次のようになります。

${\displaystyle f\otimes W:U\otimes W\to V\otimes W}$

は、次の唯一の線形写像である。

${\displaystyle (f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w.}$

テンソル積も同様に定義されます。 ${\displaystyle W\otimes f}$

2つの線形写像と⁠ ⁠が与えられた場合、それらのテンソル積は次のようになります。 ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle g:W\to Z}$

${\displaystyle f\otimes g:U\otimes W\to V\otimes Z}$

は次を満たす唯一の線形写像である。

${\displaystyle (f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w).}$

1つは以下を持っています:

${\displaystyle f\otimes g=(f\otimes Z)\circ (U\otimes g)=(V\otimes g)\circ (f\otimes W).}$

圏論の観点から言えば、これはテンソル積がベクトル空間の圏からそれ自身への双関数であることを意味する。^[3]

fとg が両方とも単射または全射である場合、上で定義されたすべての線型写像についても同様です。特に、ベクトル空間とのテンソル積は完全関数です。これは、すべての完全列が完全列に写像されることを意味します（加群のテンソル積は単射を単射に変換するものではありませんが、完全関数です）。

関係するすべてのベクトル空間の基底を選択することで、線型写像fとgは行列で表すことができます。テンソルのベクトル化方法に応じて、テンソル積を記述する行列は2つの行列のクロネッカー積になります。例えば、上記のV、X、W、Uがすべて2次元で、それらの基底がすべて固定されており、fとg がそれぞれ行列 で与えられている場合、 これら2つの行列のテンソル積は次のようになります。 ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle f\otimes g}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

結果のランクは最大 4 なので、結果の次元は 4 になります。ここでのrank はテンソルのランク、つまり必要なインデックスの数を示します (一方、行列の rankは結果の配列の自由度の数をカウントします)。⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B}$。

二項積は、同じ次元の 2 つのベクトル間のテンソル積の特殊なケースです。

一般テンソル

非負の整数rとsに対して、ベクトル空間V上の型テンソルは次の要素です。ここでは、双対ベクトル空間( Vから基底体Kへのすべての線形写像fから構成されます)です。 ${\displaystyle (r,s)}$ $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.}$$ ${\displaystyle V^{*}}$

テンソルの（テンソル）積と呼ばれる積写像がある：^[4] $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).}$$

これは、発生するすべての「因子」Vをグループ化することによって定義されます。Vの要素と双対空間の要素については次のように書きます。 ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ $${\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}$$

Vが有限次元の場合、 Vの基底とそれに対応する の双対基底を選ぶと、自然にの基底が導かれます（この基底についてはクロネッカー積の記事で説明されています）。これらの基底を用いて、 2つ（またはそれ以上）のテンソルの（テンソル）積の成分を計算することができます。例えば、FとG がそれぞれm次とn次の共変テンソル（つまりと）である場合、それらのテンソル積の成分は次のように与えられます。^[5] ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle F\in T_{m}^{0}}$ ${\displaystyle G\in T_{n}^{0}}$ $${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.}$$

したがって、2つのテンソルのテンソル積の成分は、それぞれのテンソルの成分の通常の積です。別の例：Uを(1, 1)型の成分⁠ ⁠ ${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }}$を持つテンソルとし、Vを⁠ ⁠ 型の成分⁠ ⁠を持つテンソルとします。すると、次のようになります。 ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle V^{\gamma }}$ $${\displaystyle \left(U\otimes V\right)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }}$$ $${\displaystyle (V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.}$$

テンソルは積演算を備え、テンソル代数と呼ばれる代数を形成します。

評価マップとテンソル収縮

(1, 1)型のテンソルに対しては、純粋なテンソルに対する作用によって定義される 標準的な評価マップが存在する。 $${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$$ $${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$$

より一般的には、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle (r,s)}$型のテンソル（r、s > 0 ）の場合、テンソル縮約と呼ばれるマップが存在します。 （このマップを適用するとのコピーを指定する必要があります。） $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

一方、が有限次元の場合、逆方向には標準写像（共評価写像と呼ばれる）が存在する。ここでは⁠ ⁠の任意の基底、はその双対基底である。この写像は基底の選択に依存しない。^[6] ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{i}^{*}}$

評価と共評価の相互作用は、基底を参照せずに有限次元ベクトル空間を特徴付けるために使用できます。^[7]

随伴表現

テンソル積は、対角作用によってリー代数のモジュールとして自然に考えることができる。簡単のため、 ⁠ ⁠と仮定すると、各⁠ ⁠に対して、 はuの転置であり、つまり⁠ ⁠上の明らかなペアリングに関して、 ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle r=s=1}$ ${\displaystyle u\in \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$$ ${\displaystyle u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ $${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .}$$

次のような標準的な同型性がある: ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$$

この同型性の下では、 ⁠ ⁠ の任意のuは、まず ⁠ ⁠の準同型として見ることができ、次に ⁠ ⁠ の準同型として見ることができます。実際、これは⁠ ⁠の随伴表現ad( u )です。 ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$

テンソルとしての線形写像

同じ体K上の二つの有限次元ベクトル空間U、Vが与えられ、Uの双対空間をU*、UからVへのすべての線型写像の成すKベクトル空間をHom( U , V )と表記する。同型写像が存在する。これは、 ⁠ ⁠の元への純粋テンソルの作用によって定義される。 $${\displaystyle U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),}$$ ${\displaystyle f\otimes v\in U^{*}\otimes V}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle (f\otimes v)(u)=f(u)v.}$$

その「逆」は、上記の「評価マップとテンソル収縮」のセクションのように、基底とその双対基底を使用して定義できます。 ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ ${\displaystyle \{u_{i}^{*}\}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}}$$

この結果は次を意味します。 これは、 UとVの基底であるの基底を形成する重要な事実を自動的に示します。 $${\displaystyle \dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),}$$ ${\displaystyle \{u_{i}\otimes v_{j}\}}$ ${\displaystyle U\otimes V}$ ${\displaystyle \{u_{i}\},\{v_{j}\}}$

さらに、3 つのベクトル空間U、V、Wが与えられている場合、テンソル積は次のようにすべての線形マップのベクトル空間にリンクされます。これは随伴関数の例です。テンソル積は Hom に対して「左随伴」です。 $${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).}$$

環上の加群のテンソル積

可換環R上の 2 つのモジュール AとBのテンソル積は、体上のベクトル空間のテンソル積とまったく同じ方法で定義されます。ここで、は直積によって生成される自由Rモジュールであり、 Gはこれらの関係によって生成されるRモジュールです。 $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G,}$$ ${\displaystyle F(A\times B)}$

より一般的には、環が非可換であってもテンソル積を定義できます。この場合、Aは右R加群、Bは左R加群でなければならず、上記の最後の2つの関係式の代わりに、次の関係式が課されます。R が非可換である場合、これはもはやR加群ではなく、単なるアーベル群です。 $${\displaystyle (ar,b)\sim (a,rb)}$$

普遍性もわずかに修正されて継承される。つまり、によって定義される写像は中線型写像（「標準中線型写像」^[8]と呼ばれる）である。つまり、次式を満たす：^[9] ${\displaystyle \varphi :A\times B\to A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a,b)\mapsto a\otimes b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (a+a',b)&=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)\\\varphi (a,b+b')&=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')\\\varphi (ar,b)&=\varphi (a,rb)\end{aligned}}}$$

最初の2つの性質により、 φ はアーベル群 ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\times B}$の双線型写像となる。 ⁠ ⁠の任意の中線型写像に対して、 ⁠ ⁠の群準同型fは⁠ ⁠を満たし、この性質は群内同型を決定する。詳細は本文を参照。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle \psi =f\circ \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

非可換環上の加群のテンソル積

Aを右R加群、Bを左R加群とする。AとBのテンソル積は、次式で定義されるアーベル群である。ここで、は上の自由アーベル群であり、G は の関係によって生成される の部分群である。 $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$$ ${\displaystyle F(A\times B)}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle F(A\times B)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}$$

普遍性は次のように述べられる。Gを、以下の意味で双線型な写像を持つアーベル群とする。 ${\displaystyle q:A\times B\to G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}}$$

すると、すべてのおよび⁠ ⁠に対してとなるような一意の写像が存在します。 ${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$ ${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$

さらに、いくつかの追加条件下でモジュール構造を与えることができます。 ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

1. A が( S , R )-双加群である場合、 は左S -加群であり、ここで⁠ ⁠です。 ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b}$
2. B が( R , S )-双加群である場合、 は右S -加群であり、ここで⁠ ⁠です。 ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs)}$
3. Aが ( S , R )-双加群で、Bが ( R , T )-双加群である場合、は ( S , T )-双加群であり、ここで左作用と右作用は前の 2 つの例と同じ方法で定義されます。 ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$
4. Rが可換環であれば、 AとBは ( R , R )-双加群( ⁠ ⁠ )です。3) により、は ( R , R )-双加群であると結論付けることができます。 ${\displaystyle ra:=ar}$ ${\displaystyle br:=rb}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

テンソル積の計算

ベクトル空間の場合、前述のように、VのWの基底は⁠ ⁠の基底を直ちに決定するため、テンソル積は高速に計算されます。一般（可換）環上の加群では、すべての加群が自由であるとは限りません。例えば、 Z / n Zは自由アーベル群（Z -加群）ではありません。Z / n Zとのテンソル積は次のように与えられます。 ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ $${\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.}$$

より一般的には、いくつかのRモジュールM 、つまり関係を伴う生成元の数の表現が与えられると、 テンソル積は次のコカーネルとして計算できます。 ${\displaystyle m_{i}\in M,i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$$ $${\displaystyle M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$$

ここで⁠ ⁠ ${\displaystyle N^{J}=\oplus _{j\in J}N}$であり、写像はのj番目のコピーの一部を( ⁠ ⁠で)に送ることで決定されます。口語的には、これはMの表現が⁠ ⁠の表現を生み出すと言い換えることができます。これは、テンソル積が右完全関数であると言われることによって示されます。これは一般に左完全ではありません。つまり、R加群の入射的な写像⁠ ⁠が与えられた場合、テンソル積:は通常は入射的ではありません。たとえば、n、n  : Z → Zとの乗算によって与えられた (入射的な) 写像をZ / n Zでテンソル化すると、ゼロ写像0 : Z / n Z → Z / n Zが生成されますが、これは入射的ではありません。より高次のTor 関数は、テンソル積が左完全ではないという欠陥を測定します。すべての高次の Tor 関数は、導出されたテンソル積に組み立てられます。 ${\displaystyle N^{J}\to N^{I}}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle N^{J}}$ ${\displaystyle a_{ij}n}$ ${\displaystyle N^{I}}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle M_{1}\to M_{2}}$ $${\displaystyle M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N}$$

代数のテンソル積

R を可換環とする。R 加群のテンソル積は、特にA と B が R 代数であるときに適用される。この場合、テンソル積は以下のように置くことでR代数自身となる。例えば、 ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ $${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).}$$ $${\displaystyle R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].}$$

特別な例としては、AとB が共通の部分体Rを含む体である場合が挙げられます。体のテンソル積はガロア理論と密接に関連しています。たとえば、A = R [ x ] / f ( x )で、f がRに係数を持つ既約多項式である場合、テンソル積は次のように計算できます。ここで、fは同じ多項式として解釈されますが、その係数はBの要素と見なされます。より大きな体Bでは、多項式は既約になる可能性があり、ガロア理論が導入されます。たとえば、A = BがRのガロア拡大である場合、 は ( A代数として) ⁠ ⁠と 同型です。 $${\displaystyle A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)}$$ $${\displaystyle A\otimes _{R}A\cong A[x]/f(x)}$$ ${\displaystyle A^{\operatorname {deg} (f)}}$

テンソルの固有配置

体に要素を持つ正方行列は、 ベクトル空間⁠ ⁠ の線型写像、つまり ⁠ ⁠上の射影空間の線型写像を表します。が特異でない場合、 はどこでも明確に定義され、の固有ベクトルは⁠ ⁠の不動点に対応します。がジェネリックであり、代数的に閉じている場合、の固有構成は⁠ ⁠内の点で構成されます。非線形写像の不動点は、テンソルの固有ベクトルです。 を、特性0の代数的に閉じた体に要素がある形式の 次元テンソルとします。このようなテンソルは、座標を持つ多項式写像とを定義します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\times n\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\in (K^{n})^{\otimes d}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ $${\displaystyle \psi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{2}=1}^{n}\sum _{j_{3}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,\ldots ,n}$$

したがって、の座標のそれぞれは、 ⁠ ⁠の次数の同次多項式である。 の固有ベクトルは制約条件の解であり 、固有配置はこの行列の小行列式の多様体によって与えられる。 ^[10] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi _{1}(\mathbf {x} )&\psi _{2}(\mathbf {x} )&\cdots &\psi _{n}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\leq 1}$$ ${\displaystyle 2\times 2}$

テンソル積の他の例

位相テンソル積

ヒルベルト空間は、有限次元ベクトル空間を任意の次元に一般化する。「テンソル積」とも呼ばれる類似の演算があり、これによってヒルベルト空間は対称モノイド圏となる。これは本質的に、上述の代数的テンソル積の計量空間完備化として構成される。しかし、テンソル積を定義する普遍性^[11]の明らかな類似性を満たさない。この性質の射は、ヒルベルト・シュミット作用素に限定されなければならない。^[12]

内積の適用が不適切な状況でも、代数テンソル積を位相テンソル積として完成させることは可能です。しかし、そのような構成はもはや一意に特定できるものではなく、多くの場合、代数テンソル積には複数の自然な位相が存在します。

次数付きベクトル空間のテンソル積

いくつかのベクトル空間は、部分空間の直和に分解できます。そのような場合、2つの空間のテンソル積は、部分空間の積の和に分解できます（乗算が加算に分配されるのと同様に）。

表現のテンソル積

追加の乗法構造を備えたベクトル空間は代数と呼ばれる。そのような代数のテンソル積はリトルウッド・リチャードソン則によって記述される。

二次形式のテンソル積

多重線形形式のテンソル積

二つの多重線型形式 と体上のベクトル空間上のテンソル積は多重線型形式である: ^[13] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$$

これは、テンソルを多重線型写像とみなした場合のテンソル積の特別なケースです（多重線型写像としてのテンソルも参照）。したがって、多重線型形式のテンソル積の成分はクロネッカー積によって計算できます。

加群の層のテンソル積

線束のテンソル積

体のテンソル積

グラフのテンソル積

なお、「テンソル積」と呼ばれていますが、これは上記の意味でのグラフのテンソル積ではありません。実際には、グラフとグラフ準同型の圏における圏論的積です。ただし、これは実際にはグラフの隣接行列のクロネッカーテンソル積です。上記の「線型写像のテンソル積」の節も参照してください。

モノイド的カテゴリ

テンソル積の最も一般的な設定はモノイド圏である。これは、テンソル化の対象を具体的に指定することなく、テンソル化の代数的本質を捉えている。したがって、すべてのテンソル積は、モノイド圏を特定の設定に適用し、特定の対象に作用させることで表現できる。

商代数

テンソル代数の重要な部分空間の多くは商として構築できます。これには外積代数、対称代数、クリフォード代数、ワイル代数、および一般的な普遍包絡代数が含まれます。

外積代数は外積から構成される。ベクトル空間Vが与えられたとき、外積は次のように定義される。 ${\displaystyle V\wedge V}$ $${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}\{v\otimes v\mid v\in V\}.}$$

Vの基礎体が特性 2 を持たない場合、この定義は次の定義と同等です。 $${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

外積におけるの像は通常と表記され、構成により⁠ ⁠を満たす。同様の構成は( n因子)に対しても可能であり、Vのn次外乗⁠ ⁠が生じる。後者の概念は微分n形式の基礎となる。 ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}}$ ${\displaystyle V\otimes \dots \otimes V}$ ${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$

対称代数は、対称積から同様の方法で構築されます。 $${\displaystyle V\odot V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

より一般的には： $${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}{\big /}(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )}$$

つまり、対称代数では、隣接する2つのベクトル（ひいてはそれらすべて）は交換可能です。その結果得られるオブジェクトは対称テンソルと呼ばれます。

プログラミングにおけるテンソル積

配列プログラミング言語

配列プログラミング言語には、このパターンが組み込まれている場合があります。例えば、APLではテンソル積は○.×（例えばA ○.× BまたはA ○.× B ○.× C）と表現されます。Jでは、テンソル積は*/（例えばa */ bまたはa */ b */ c）の2項形式です。

J の扱いにより、テンソル場を と として表現することも可能となり、これらは定数でaはbなく関数となる。この2つの関数の積は導来関数であり、aと が微分可能であればbは微分可能である。a */ b

しかし、このような表記法は配列言語に普遍的に存在するわけではありません。他の配列言語では、インデックスの明示的な処理が必要な場合（例：MATLAB）、またはヤコビ微分などの高階関数をサポートしていない場合があります（例：Fortran /APL）。

参照

• 二元論 – ベクトル代数における2階テンソル
• スカラーの拡張 – 代数における演算Pages displaying short descriptions of redirect targets
• モノイド圏 – テンソル積を許容する圏
• テンソル代数 – 多重線型代数における普遍的な構成
• テンソル収縮 – 数学における演算
• 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成

注記

1. Treves 2006、403–404 ページ。
2. Trèves 2006、407頁より。
3. ヘイズウィンケル、ミシェル;グバレニ、ナデジダ・ミハイロヴナ。グバレニ、ナディヤ。キリチェンコ、ウラジミール V. (2004)。代数、環、加群。スプリンガー。 p. 100.ISBN​ 978-1-4020-2690-4。
4. Bourbaki (1989)、p. 244では、それぞれのモジュールの要素である「 xとyのテンソル積」の使用法を定義しています。
5. 反変テンソルや混合分散テンソルにも同様の公式が成り立つ。ただし、内積が定義されている場合など、多くの場合、この区別は無関係である。
6. 「ベクトル空間における共評価」The Unapologetic Mathematician . 2008年11月13日. 2017年2月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年1月26日閲覧。
7. コンパクト閉カテゴリを参照。
8. ハンガーフォード、トーマス・W. (1974).代数学. シュプリンガー. ISBN 0-387-90518-9。
9. Chen, Jungkai Alfred (2004年春)、「テンソル積」(PDF)、Advanced Algebra II (講義ノート)、国立台湾大学、2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF){{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. 阿保、H.セイガル、A . Sturmfels、B. (2015)。 「テンソルの固有配置」。arXiv : 1505.05729 [math.AG]。
11. Garrett, Paul (2010年7月22日). 「ヒルベルト空間のテンソル積の非存在性」(PDF) .
12. Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997).作用素環理論の基礎.大学院数学研究科. 第1巻. プロビデンス, ロードアイランド州:アメリカ数学会. Thm. 2.6.4. ISBN 978-0-8218-0819-1. MR  1468229。
13. Tu, LW (2010).多様体入門. Universitext. Springer. p. 25. ISBN 978-1-4419-7399-3。

参考文献

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• ガワーズ、ティモシー. 「テンソル積への恐怖をなくす方法」. 2021年5月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• グリエ、ピエール・A. (2007). 『抽象代数』 . Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674。
• ハルモス、ポール(1974)。有限次元ベクトル空間。スプリンガー。ISBN 0-387-90093-4。
• ハンガーフォード、トーマス・W. (2003).代数学. シュプリンガー. ISBN 0387905189。
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001
• Mac Lane, S. ; Birkhoff, G. (1999).代数学. AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2。
• Aguiar, M.; Mahajan, S. (2010).モノイド関数、種、ホップ代数. CRMモノグラフシリーズ第29巻. ISBN 978-0-8218-4776-3。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。
• 「群の非アーベルテンソル積に関する参考文献」。

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