Tensor index notation for tensor-based calculations
数学 において 、 リッチ計算は、 計量テンソル や 接続 の有無に関わらず、 微分可能多様体 上の テンソル と テンソル場 に対する添字表記法と操作規則から構成されます 。 [a] [1] [2] [3] これはまた、かつては 絶対微分計算 （テンソル計算の基礎）、 テンソル計算 、あるいは テンソル解析と呼ばれていたものの現代名であり、 グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ が1887～1896年に開発し、その後、弟子の トゥリオ・レヴィ＝チヴィタ と共著した1900年の 論文で普及しました。 [4] ヤン・アーノルドゥス・スハウテンは この数学的枠組みの現代的な表記法と形式論を開発し、 20世紀初頭の 一般相対性理論 と 微分幾何学 への応用において理論に貢献しました。 [5] 現代のテンソル解析の基礎は、 1861年の論文で ベルンハルト・リーマンによって開発されました 。[6]
テンソルの成分は、テンソル空間の基底元の係数として使用される 実数 です。テンソルは、その成分と対応する基底元の積の和です。テンソルとテンソル場は、その成分で表現でき、テンソルとテンソル場の演算は、その成分の演算で表現できます。テンソル場とその成分による演算の記述は、リッチ計算の焦点です。この表記法により、このようなテンソル場と演算を効率的に表現できます。表記法の多くはどのテンソルにも適用できますが、微分構造に関連する演算は、 テンソル場にのみ適用できます。必要に応じて、この表記法は、特に 多次元配列 などの非テンソルの成分にも拡張されます 。
テンソルは、ベクトル と 共ベクトル の基底要素の テンソル 積の線形和として表すことができます 。得られたテンソル成分は、基底のインデックスによってラベル付けされます。各インデックスは、 基底 ベクトル空間の 次元 ごとに1つの値を持ちます。インデックスの数は、テンソルの次数（または位数）に等しくなります。
簡潔さと利便性のため、リッチ計算は アインシュタイン記法 を採用しています。これは、項内で繰り返される添字の和と自由添字の 全称量 化を意味します。リッチ計算の記法による表現は、一般に、成分を多様体上の関数、より具体的には多様体上の座標の関数として関連付ける連立方程式の集合として解釈できます。これにより、限られた規則のみを熟知するだけで、表現を直感的に操作できます。
アプリケーション テンソル計算は、 弾性 、 連続 体力学 、 電磁気学 （ 電磁場の数学的記述 を参照 ）、 一般相対性理論 （ 一般相対性理論の数学 を参照） 、量子場の理論 、 機械学習など、 物理学、 工学 、 コンピュータサイエンスの 分野 で多くの応用があります。
外積分学 の主唱者である エリー・カルタン とともに、影響力のある幾何学者 シー・シェン・チャーンは テンソル計算の役割を次のように要約している。 [7]
微分幾何学という分野、つまり多様体を扱う分野において、一つの難しさがあります。それは、幾何学は座標で記述されるものの、その座標自体には意味がないということです。座標は変換可能です。このような状況に対処するために重要なツールとなるのが、いわゆるテンソル解析、あるいはリッチ計算です。これは数学者にとって新しいものでした。数学では関数があり、その関数を書き記し、計算したり、足し算したり、掛け算したり、微分したりします。非常に具体的なものが得られます。幾何学では、幾何学的な状況は数値で記述されますが、数値は任意に変えることができます。そのため、これに対処するにはリッチ計算が必要なのです。
インデックスの表記
空間と時間の座標 古典物理学の4次元時空における空間的基底要素と時間的要素を区別する場合、通常は次のようなインデックスを用いて区別する。 [8]
小文字の ラテンアルファベット a 、 b 、 c 、... は、 3 次元 ユークリッド空間 への制限を示すために使用され、空間コンポーネントとして値 1、2、3 を取ります。また、 0 で示される時間のような要素は別途表示されます。 小文字の ギリシャ文字 α 、 β 、 γ 、 ... は 4 次元 時空 に使用され、通常、時間成分の場合は 0 、空間成分の場合は 1、2、3 の値を取ります。 一部の文献では、時間に対応するインデックス値として0ではなく4が使用されていますが、この記事では0を使用します。ただし、一般的な数学の文脈では、インデックスには任意の記号を使用でき、通常はベクトル空間のすべての次元にわたって使用されます。
座標とインデックス表記 著者は通常、下付き文字が索引として意図されているか、ラベルとして意図されているかを明確にします。
例えば、3次元ユークリッド空間で 直交座標 を用いる場合、 座標ベクトル A = ( A 1 , A 2 , A 3 ) = ( A x , A y , A z ) は、添字 1、2、3 とラベル x 、 y 、 z が直接対応していることを示します。式 A i において、 i は値 1、2、3 の範囲のインデックスとして解釈されますが、添字 x 、 y 、 z は変数ではなくラベルのみです。時空においては、インデックス値 0 は慣例的にラベル t に対応します。
基準への参照 インデックス自体は、 ハット (ˆ)、 バー (¯)、 チルダ (˜)、プライム (′)
などの 分音記号 のような記号 を使用して ラベル付けされることがあります。
X ϕ ^ , Y λ ¯ , Z η ~ , T μ ′ {\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}} そのインデックスの基底 が異なる可能性があることを示す 。例としては、 ある 参照系から別の参照系への ローレンツ変換が 挙げられる。この場合、一方の参照系にはプライムが付いておらず、もう一方の参照系にはプライムが付いている場合があり、次のようになる。
v μ ′ = v ν L ν μ ′ . {\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.} これを、スピノルのキラリティーを反映するためにインデックスにハットとオーバードットを使用するスピノル の ファンデ ルワールデン表記法 と混同しないでください。
上限と下限のインデックス リッチ計算、およびより一般的には 指数表記 では、下付き添字と上付き添字を区別します。後者は、数学の他の部分にのみ精通している読者には指数のように見えるかもしれませんが、指数では ありません 。
計量テンソルが単位行列に等しくなる特殊な場合には、上限添え字と下限添え字の区別を省略することが可能であり、その場合、すべての添え字を下位に記述することができます。線形代数における行列の積などの座標式が その一例です。しかし、一般的には、上限添え字と下限添え字の区別は維持されるべきです。 a i j b j k {\displaystyle a_{ij}b_{jk}}
より低い インデックス （下付き文字）は、そのインデックスに関するコンポーネントの共分散を示します。
A α β γ ⋯ {\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }} 上付きインデックス （ 上付き文字）は、そのインデックスに対するコンポーネントの反変性を示します。
A α β γ ⋯ {\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots }} テンソルには上限インデックスと下限インデックスの両方がある場合があります。
A α β γ δ ⋯ . {\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.} インデックスの順序付けは、分散が異なる場合でも重要です。ただし、基本記号を維持しながらインデックスが増減しないことが分かっている場合、表記上の便宜上、共変インデックスが反変インデックスの下に置かれることがあります（例えば、 一般化クロネッカーのデルタ ）。
テンソルの種類と次数 テンソルのそれぞれの上限インデックスと下限インデックスの数によってテンソルの タイプ が決まります。上限インデックスが p個、下限インデックスが q 個のテンソルは ( p , q ) タイプ、または ( p , q ) タイプ テンソルと呼ばれます。
テンソルの添字の数は、分散に関わらず、 テンソルの 次数と呼ばれます（あるいは、 価数 、 位数 、または 階数 と呼ばれることもありますが、 階数は曖昧です）。したがって、型 ( p , q ) のテンソルは 次数 p + q を持ちます。
用語内に同じ記号が 2 回 (1 つは上、もう 1 つは下) 出現する場合は、次のインデックスのペアの合計を示します。
A α B α ≡ ∑ α A α B α or A α B α ≡ ∑ α A α B α . {\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.} このような合計によって暗示される演算は テンソル収縮 と呼ばれます。
A α B β → A α B α ≡ ∑ α A α B α . {\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.} この合計は、インデックスのペアごとに異なるシンボルを持つ項内で複数回発生する可能性があります。次に例を示します。
A α γ B α C γ β ≡ ∑ α ∑ γ A α γ B α C γ β . {\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.} 用語内の繰り返しインデックスの他の組み合わせは、不正な形式であるとみなされます。
A α α γ {\displaystyle A_{\alpha \alpha }{}^{\gamma }\qquad } （両方の出現回数は 少ないので 問題ありません） α {\displaystyle \alpha } A α α γ {\displaystyle A_{\alpha }{}^{\alpha \gamma }} A α γ γ B α C γ β {\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }} ( は下位のインデックスとして 2 回出現します。 またはでも 問題ありません)。 γ {\displaystyle \gamma } A α γ γ B α {\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }} A α δ γ B α C γ β {\displaystyle A_{\alpha \delta }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}
このような式を除外する理由は、これらの量は数値の配列として計算できるものの、一般に基底の変更によってテンソルとして変換されないためです。
テンソルがすべての上限または下限のインデックスのリストを持つ場合、リストに大文字を使用するのが1つの省略形です。 [9]
A i 1 ⋯ i n B i 1 ⋯ i n j 1 ⋯ j m C j 1 ⋯ j m ≡ A I B I J C J , {\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J},} ここで 、I = i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i n 、 J = j 1 j 2 ⋅⋅⋅ j m です。
逐次加算 上付き添字または下付き添字（両方ではない）の組を囲む 一対の縦棒 | ⋅ | は 、式が2つの添字の組のそれぞれで 完全に反対称である場合に、別の添字の組との縮約に関連付けられます。 [10]
A | α β γ | ⋯ B α β γ ⋯ = A α β γ ⋯ B | α β γ | ⋯ = ∑ α < β < γ A α β γ ⋯ B α β γ ⋯ {\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }} は、各インデックス値が次のインデックス値より必ず小さくなるという制約のもと、インデックス値全体にわたる制限付き合計を意味します。この方法で複数のグループを合計することもできます。例えば、
A | α β γ | | δ ϵ ⋯ λ | B α β γ δ ϵ ⋯ λ | μ ν ⋯ ζ | C μ ν ⋯ ζ = ∑ α < β < γ ∑ δ < ϵ < ⋯ < λ ∑ μ < ν < ⋯ < ζ A α β γ δ ϵ ⋯ λ B α β γ δ ϵ ⋯ λ μ ν ⋯ ζ C μ ν ⋯ ζ {\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}} 複数インデックス表記を使用する場合、インデックスブロックの下に下矢印が配置されます。 [11]
A P ⇁ Q ⇁ B P Q R ⇁ C R = ∑ P ⇁ ∑ Q ⇁ ∑ R ⇁ A P Q B P Q R C R {\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}} どこ
P ⇁ = | α β γ | , Q ⇁ = | δ ϵ ⋯ λ | , R ⇁ = | μ ν ⋯ ζ | {\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |} 非特異な 計量テンソル でインデックスを縮約することにより、 テンソルの 型を変更して、下位のインデックスを上位のインデックスに、またはその逆に変換することができます。
B γ β ⋯ = g γ α A α β ⋯ and A α β ⋯ = g α γ B γ β ⋯ {\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }} 多くの場合、基本シンボルは保持されます (例: B が 表示されている場所に A を使用する)。また、あいまいさがない場合は、インデックスの再配置がこの操作を意味するものと解釈できます。
インデックス位置と不変性の相関関係 この表は、共変および反変のインデックスの操作が、基底間の 受動的な変換 における不変性とどのように適合するかをまとめたものであり、各基底関数の成分は、最初の列に反映されている。横棒で囲まれたインデックスは、変換後の最終的な座標系を指す。 [12]
クロネッカー のデルタ が使用されます。以下も参照してください。
基底変換 コンポーネント変換 不変性 共変ベクトル、1形式 ω α ¯ = L β α ¯ ω β {\displaystyle \omega ^{\bar {\alpha }}=L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }} a α ¯ = a γ L γ α ¯ {\displaystyle a_{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}} a α ¯ ω α ¯ = a γ L γ α ¯ L β α ¯ ω β = a γ δ γ β ω β = a β ω β {\displaystyle a_{\bar {\alpha }}\omega ^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }\omega ^{\beta }=a_{\beta }\omega ^{\beta }} ベクトル、反変ベクトル e α ¯ = e γ L α ¯ γ {\displaystyle e_{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }} u α ¯ = L α ¯ β u β {\displaystyle u^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }} e α ¯ u α ¯ = e γ L α ¯ γ L α ¯ β u β = e γ δ γ β u β = e γ u γ {\displaystyle e_{\bar {\alpha }}u^{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }u^{\gamma }}
インデックス表記と演算の概要 テンソルは、対応するすべての成分が等しい場合にのみ 等しい 。例えば、テンソル Aが テンソル B に等しい場合、またその場合のみ、
A α β γ = B α β γ {\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }} すべてのα 、 β 、 γ について 。したがって、この表記法には、方程式が意味を成すかどうかを確認するのに役立つ側面があります（ 次元解析 に類似した手順）。
縮約に関係しないインデックスは フリーインデックス と呼ばれます。縮約に使用されるインデックスは ダミーインデックス または 合計インデックス と呼ばれます。
テンソル方程式は多くの通常の（実数値の）方程式を表す テンソルの成分（ A α 、 B β γ など）は単なる実数です。添字はテンソルの特定の成分を選択するために様々な整数値を取るため、単一のテンソル方程式は多くの常方程式を表します。テンソル等式が n 個の 自由添字を持ち、基となるベクトル空間の次元が m である場合、等式は m n 個の方程式を表します。つまり、各添字は特定の値集合のすべての値を取ります。
例えば、
A α B β γ C γ δ + D α β E δ = T α β δ {\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }} が 4次元 （つまり、各インデックスが0から3または1から4）の場合、3つの自由インデックス（ α 、 β 、 δ ）があるので、4 3 = 64通りの方程式が存在します 。そのうち3つは次のとおりです。
A 0 B 1 0 C 00 + A 0 B 1 1 C 10 + A 0 B 1 2 C 20 + A 0 B 1 3 C 30 + D 0 1 E 0 = T 0 1 0 A 1 B 0 0 C 00 + A 1 B 0 1 C 10 + A 1 B 0 2 C 20 + A 1 B 0 3 C 30 + D 1 0 E 0 = T 1 0 0 A 1 B 2 0 C 02 + A 1 B 2 1 C 12 + A 1 B 2 2 C 22 + A 1 B 2 3 C 32 + D 1 2 E 2 = T 1 2 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}} これは、インデックス表記法を使用すると簡潔で効率的であることを示しています。つまり、同様の構造を共有する多くの方程式を 1 つの単純なテンソル方程式にまとめることができます。
インデックスは置き換え可能なラベルです テンソル方程式全体を通して、任意の添字記号を別の記号に置き換えても、テンソル方程式は変更されません（既に使用されている他の記号と衝突しない限り）。これは、 ベクトル解析の恒等式や クロネッカーのデルタ と レヴィ・チヴィタ記号 の恒等式 （下記も参照）を添字表記を用いて検証する場合など、添字を操作する際に便利です。正しい置換の例を以下に示します。
A α B β γ C γ δ + D α β E δ → A λ B β μ C μ δ + D λ β E δ , {\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,} 一方、誤った変更は次のようになります。
A α B β γ C γ δ + D α β E δ ↛ A λ B β γ C μ δ + D α β E δ . {\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.} 最初の置換では、 λ が α を 、 μ が γ を 全て 置換している ため、式の意味は同じです。2番目の置換では、 λ は α を 完全には置換しておらず 、 μ は γ を 完全には置換していません（ちなみに、 γ インデックスの縮約は テンソル積になっています）。これは、次に示す理由により、完全に矛盾しています。
インデックスはどの期間でも同じです テンソル式における自由添字は、各項を通して常に同じ位置（上または下）に現れ、テンソル方程式では両辺の自由添字は同じです。ダミー添字（その添字の和を求めることを意味する）は、必ずしも同じである必要はありません。例えば、
A α B β γ C γ δ + D α δ E β = T α β δ {\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }} 誤った表現については、
A α B β γ C γ δ + D α β γ E δ . {\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.} 言い換えれば、重複しない添え字は、式のすべての項で同じ型でなければなりません。上記の恒等式では、 α 、 β 、 δ は 式全体を通して一直線上に並んでおり、 γ は 縮約により1つの項に2回出現しています（1回は上添え字として、もう1回は下添え字として）。したがって、これは有効な式です。無効な式では、 β は 一直線上に並んでいますが、 α と δ は 一直線上に並んでおらず、 γ は 1つの項に2回（縮約により）出現し、 もう1つの項に1回出現しており 、これは矛盾しています。
括弧と句読点は、暗黙的に使用される場合のみ 複数のインデックスに規則を適用する場合 (次に示す微分化、対称化など)、規則を示す括弧または句読点の記号は、適用されるインデックスの 1 つのグループにのみ表示されます。
括弧内に 共変インデックス が含まれている場合、この規則は 括弧内に含まれるすべての共変インデックス にのみ適用され、括弧間の中間に配置される反変インデックスには適用されません。
同様に、反変インデックス を括弧で囲む場合、この規則は 括弧で囲まれたすべての反変インデックス にのみ適用され 、中間に配置された共変インデックスには適用されません。
対称部分と反対称部分 複数の添え字を囲む括弧 ( ) は 、テンソルの対称化された部分を表します。σ を用いて p個の添え字を対称化し 、 1 から p までの数の順列にわたって範囲を定める場合、 i = 1, 2, 3, ..., p について、 それらの添え字の 順列 α σ ( i ) の合計をとり 、それを順列の数で割ります。
A ( α 1 α 2 ⋯ α p ) α p + 1 ⋯ α q = 1 p ! ∑ σ A α σ ( 1 ) ⋯ α σ ( p ) α p + 1 ⋯ α q . {\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.} たとえば、対称化するインデックスが 2 つある場合、並べ替えて合計するインデックスが 2 つあることになります。
A ( α β ) γ ⋯ = 1 2 ! ( A α β γ ⋯ + A β α γ ⋯ ) {\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)} 一方、対称化するインデックスが 3 つある場合は、合計して並べ替えるインデックスが 3 つあります。
A ( α β γ ) δ ⋯ = 1 3 ! ( A α β γ δ ⋯ + A γ α β δ ⋯ + A β γ α δ ⋯ + A α γ β δ ⋯ + A γ β α δ ⋯ + A β α γ δ ⋯ ) {\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)} 対称化は 加算に対して 分配的です。
A ( α ( B β ) γ ⋯ + C β ) γ ⋯ ) = A ( α B β ) γ ⋯ + A ( α C β ) γ ⋯ {\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }} インデックスは次の場合には対称化の一部ではありません。
たとえば、同じレベルではないなど。 A ( α B β γ ) = 1 2 ! ( A α B β γ + A γ B β α ) {\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)} 括弧内と縦棒の間（つまり |⋅⋅⋅|）で、前の例を変更します。 A ( α B | β | γ ) = 1 2 ! ( A α B β γ + A γ B β α ) {\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)} ここで、 α と γ の インデックスは対称化されていますが、 β は対称化されていません。
複数の添字を囲む 角括弧 [ ] は、テンソルの反対称化部分を表します。p 個の反対称添字の場合 、 それら の添字の順列 α σ ( i ) の合計 に順列の符号 sgn( σ ) を乗じ、それを順列の数で割ります。
A [ α 1 ⋯ α p ] α p + 1 ⋯ α q = 1 p ! ∑ σ sgn ( σ ) A α σ ( 1 ) ⋯ α σ ( p ) α p + 1 ⋯ α q = δ α 1 ⋯ α p β 1 … β p A β 1 ⋯ β p α p + 1 ⋯ α q {\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}} ここで δ β 1 ⋅⋅⋅ β p α 1 ⋅⋅⋅ α p は、以下に定義されるスケーリングを持つ、 2 p 次の 一般化クロネッカー デルタ です 。
たとえば、2 つの反対称化インデックスは次のことを意味します。
A [ α β ] γ ⋯ = 1 2 ! ( A α β γ ⋯ − A β α γ ⋯ ) {\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)} 3つの反対称化指標は次のことを意味します。
A [ α β γ ] δ ⋯ = 1 3 ! ( A α β γ δ ⋯ + A γ α β δ ⋯ + A β γ α δ ⋯ − A α γ β δ ⋯ − A γ β α δ ⋯ − A β α γ δ ⋯ ) {\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)} より具体的な例として、 Fが 電磁テンソル を表す場合 、式
0 = F [ α β , γ ] = 1 3 ! ( F α β , γ + F γ α , β + F β γ , α − F β α , γ − F α γ , β − F γ β , α ) {\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,} 磁気に関するガウスの法則 と 電磁誘導に関するファラデーの法則 を表します 。
前と同様に、反対称化は加算に対して分配的です。
A [ α ( B β ] γ ⋯ + C β ] γ ⋯ ) = A [ α B β ] γ ⋯ + A [ α C β ] γ ⋯ {\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }} 対称化と同様に、インデックスは次の場合には反対称化されません。
たとえば、同じレベルではないなど。 A [ α B β γ ] = 1 2 ! ( A α B β γ − A γ B β α ) {\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)} 角括弧内と縦棒の間（つまり |⋅⋅⋅|）で、前の例を変更します。 A [ α B | β | γ ] = 1 2 ! ( A α B β γ − A γ B β α ) {\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)} ここで、 α と γ の インデックスは反対称化されていますが、 β は反対称化されていません。
対称部分と反対称部分の合計 任意のテンソルは、2 つのインデックス上の対称部分と反対称部分の合計として表すことができます。
A α β γ ⋯ = A ( α β ) γ ⋯ + A [ α β ] γ ⋯ {\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }} 上記の式をA ( αβ ) γ ⋅⋅⋅ と A [ αβ ] γ ⋅⋅⋅ について足し合わせると、この式が成り立つことがわかります 。これは2つの添え字以外では成り立ちません。
差別化 簡潔にするために、導関数はコンマまたはセミコロンの後に添え字を追加して表すことができる。 [13] [14]
リッチ計算の式のほとんどは任意の基底に対して有効ですが、テンソル成分の座標に関する偏微分を含む式は、 座標基底 、 つまり座標に関する微分を通じて定義される基底に対してのみ適用されます。座標は典型的には x μ で表されますが、一般にベクトルの成分を形成しません。線形座標化を伴う平坦時空では、座標の 差 の組 Δ x μ は反変ベクトルとして扱うことができます。空間と座標系の選択に対する同じ制約により、座標に関する偏微分は実質的に共変な結果をもたらします。この特殊なケースでの使用は別として、テンソルの成分の偏微分は一般に共変変換しませんが、以下の共変微分、外微分、およびリー微分のように、偏微分が明示的に使用される場合は、座標基底を持つとしても共変な式の構築に役立ちます。
テンソル場の成分を座標変数x γ に関して偏微分することを示すには 、 座標変数の下位インデックスの前に コンマを付けます。
A α β ⋯ , γ = ∂ ∂ x γ A α β ⋯ {\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }} これは繰り返すことができます（さらにコンマを追加する必要はありません）。
A α 1 α 2 ⋯ α p , α p + 1 ⋯ α q = ∂ ∂ x α q ⋯ ∂ ∂ x α p + 2 ∂ ∂ x α p + 1 A α 1 α 2 ⋯ α p . {\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.} これらの成分は、 微分される式がスカラーでない限り、共変変換され ない。この微分は 積の法則 と座標の微分
によって特徴付けられる。
x α , γ = δ γ α , {\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },} ここで δ はクロネッカーのデルタ です 。
共変微分は、 接続 が定義されている場合にのみ定義されます。任意のテンソル体において、 共変微分を表すために、下付き添字（共変添字）の前に セミコロン （ ; ）を付けます。セミコロンの代わりに、あまり一般的ではないものの、 スラッシュ （ / ） [15] や、3次元曲面空間では1本の縦棒（ | ）が使われます。 [16]
スカラー関数の共変微分、反変ベクトル、共変ベクトルは次のとおりです。
f ; β = f , β {\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta }} A α ; β = A α , β + Γ α γ β A γ {\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }} A α ; β = A α , β − Γ γ α β A γ , {\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,} ここで Γαγβ は 接続係数である 。
任意のテンソルの場合: [17]
T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s ; γ = T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s , γ + Γ α 1 δ γ T δ α 2 ⋯ α r β 1 ⋯ β s + ⋯ + Γ α r δ γ T α 1 ⋯ α r − 1 δ β 1 ⋯ β s − Γ δ β 1 γ T α 1 ⋯ α r δ β 2 ⋯ β s − ⋯ − Γ δ β s γ T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s − 1 δ . {\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}} 任意のテンソルの共変微分を表す別の表記法として、添え字付きのナブラ記号∇βがある 。 ベクトル 場 Aα の場合 ： [18]
∇ β A α = A α ; β . {\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.} ベクトル v γ に沿った任意のテンソル場の方向微分 の共変定式は、 共変微分との縮約として表現できます。例:
v γ A α ; γ . {\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.} このテンソル場の導関数の成分は共変的に変換され、したがって、部分式（偏導関数と接続係数）が個別に共変的に変換されないにもかかわらず、別のテンソル場を形成します。
この導関数は積の法則によって特徴付けられます。
( A α β ⋯ B γ δ ⋯ ) ; ϵ = A α β ⋯ ; ϵ B γ δ ⋯ + A α β ⋯ B γ δ ⋯ ; ϵ . {\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.}
接続タイプ 微分可能多様体 の 接束 上の Koszul 接続は 、 アフィン接続 と呼ばれます 。
計量テンソルの共変微分がゼロになるとき、 接続は 計量接続である。
g μ ν ; ξ = 0 . {\displaystyle g_{\mu \nu ;\xi }=0\,.} アフィン 接続で あり、かつ計量接続でもある接続は リーマン接続 と呼ばれます。ねじれのないリーマン接続（すなわち、 ねじれテンソルが 零： T α βγ = 0 ）は レヴィ・チヴィタ接続 です。
座標基底におけるレヴィ-チヴィタ接続の Γ α βγ は 、 第 2 種の クリストッフェル記号と呼ばれます。
成分A α 1 ⋅⋅⋅ α s を持つ全反対称型 (0, s ) テンソル場の外微分 （ 微分形式 とも呼ばれる）は、基底変換に関して共変な微分である。これは計量テンソルや接続に依存せず、微分可能多様体の構造のみを必要とする。座標基底では、テンソル成分の偏微分の反対称化として表される： [3] : 232–233
( d A ) γ α 1 ⋯ α s = ∂ ∂ x [ γ A α 1 ⋯ α s ] = A [ α 1 ⋯ α s , γ ] . {\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.} この微分は、反変添字を持つテンソル体、あるいは全反対称でないテンソル体上では定義されない。これは次数積則によって特徴付けられる。
リー微分は、基底変換に関して共変なもう一つの微分である。外微分と同様に、計量テンソルや接続に依存しない。反変ベクトル場 Xρ （の流れ）に沿った （ r , s ） 型テンソル場 Tのリー微分は 、 座標基底を用いて次のように 表される [19]。
( L X T ) α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s = X γ T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s , γ − X α 1 , γ T γ α 2 ⋯ α r β 1 ⋯ β s − ⋯ − X α r , γ T α 1 ⋯ α r − 1 γ β 1 ⋯ β s + X γ , β 1 T α 1 ⋯ α r γ β 2 ⋯ β s + ⋯ + X γ , β s T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s − 1 γ . {\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}} この微分は積の法則と反変ベクトル場のそれ自身に沿ったリー微分がゼロであるという事実によって特徴付けられる。
( L X X ) α = X γ X α , γ − X α , γ X γ = 0 . {\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.}
注目すべきテンソル クロネッカーのデルタは、 乗算されて縮小された 単位行列のようになります。
δ β α A β = A α δ ν μ B μ = B ν . {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}} 成分 δ α β は任意の基底で同じであり、 (1, 1) 型の不変テンソル、すなわち 基本多様体 の 恒等写像 上の 接バンドル の恒等写像を形成するので、そのトレースは不変である。 [20] その トレース は空間の次元であり、例えば4次元 時空 では、
δ ρ ρ = δ 0 0 + δ 1 1 + δ 2 2 + δ 3 3 = 4. {\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.} クロネッカーデルタは、一般化クロネッカーデルタの族の一つです。2次pの一般化クロネッカーデルタは、 クロネッカー デルタ を用いて次のように定義できます（一般的な定義では、右辺に p ! の乗数が追加されます）。
δ β 1 ⋯ β p α 1 ⋯ α p = δ β 1 [ α 1 ⋯ δ β p α p ] , {\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},} p インデックスの反対称化子として機能します 。
δ β 1 ⋯ β p α 1 ⋯ α p A β 1 ⋯ β p = A [ α 1 ⋯ α p ] . {\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.} アフィン接続にはねじりテンソル T α βγ があります。
T α β γ = Γ α β γ − Γ α γ β − γ α β γ , {\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },} ここで 、γ α βγ は局所基底のリー括弧の成分によって与えられ、座標基底の場合には消えます。
レヴィ・チヴィタ接続の場合、このテンソルはゼロと定義され、座標基底に対して次の式が与えられる。
Γ α β γ = Γ α γ β . {\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.} このテンソルが次のように定義されるとする。
R ρ σ μ ν = Γ ρ ν σ , μ − Γ ρ μ σ , ν + Γ ρ μ λ Γ λ ν σ − Γ ρ ν λ Γ λ μ σ , {\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,} すると、それは 共変微分とそれ自身の 交換子となる： [21] [22]
A ν ; ρ σ − A ν ; σ ρ = A β R β ν ρ σ , {\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,} 接続にはねじれがないため、ねじれテンソルは消滅します。
これを一般化すると、次のように任意のテンソルの 2 つの共変微分の交換子を取得できます。
T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s ; γ δ − T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s ; δ γ = − R α 1 ρ γ δ T ρ α 2 ⋯ α r β 1 ⋯ β s − ⋯ − R α r ρ γ δ T α 1 ⋯ α r − 1 ρ β 1 ⋯ β s + R σ β 1 γ δ T α 1 ⋯ α r σ β 2 ⋯ β s + ⋯ + R σ β s γ δ T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s − 1 σ {\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}} これらはしばしばリッチ恒等式 と呼ばれる 。 [23]
計量テンソル gαβ は 指数を下げるために使用され、任意の空間的 曲線 の長さを与える。
length = ∫ y 1 y 2 g α β d x α d γ d x β d γ d γ , {\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,} ここで γ は経路の任意の 滑らかな 単調 パラメータ化 である。また、 任意の時間的 曲線
の持続時間も与える。
duration = ∫ t 1 t 2 − 1 c 2 g α β d x α d γ d x β d γ d γ , {\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,} ここで γ は軌道の滑らかな単調パラメータ化である。 線要素 も参照のこと。
計量テンソルの 逆行列 g αβ は、添え字を上げるために使用されるもう1つの重要なテンソルです。
g α β g β γ = δ γ α . {\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}
参照
注記
参考文献 ^ Synge JL; Schild A. (1949). Tensor Calculus . 初版 Dover Publications 1978. pp. 6– 108. ^ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力 』 WH Freeman & Co. pp. 85– 86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0 。 ^ ab R. ペンローズ (2007). 『現実への道』 ヴィンテージブックス. ISBN 978-0-679-77631-4 。 ^ リッチ、グレゴリオ ; レヴィ＝チヴィタ、トゥッリオ （1900年3月）。 "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs application" [絶対微分法の方法とその応用] Mathematische Annalen (フランス語)。 54 ( 1-2 )。スプリンガー: 125 – 201。 土井 :10.1007/BF01454201。 S2CID 120009332 。 2019 年 10 月 19 日 に取得 。 ^ Schhouten、Jan A. (1924)。 R. クーラント (編)。 Der Ricci-Kalkül – Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrDimensionen Differentialgeometrie (Ricci Calculus – 多次元微分幾何学の最新の手法と問題の紹介)。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (ドイツ語)。 Vol. 10. ベルリン: Springer Verlag。 ^ ヤンケ、ハンス・ニールス (2003). 『解析の歴史 』 プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. p. 244. ISBN 0-8218-2623-9 . OCLC 51607350。 ^ 「Shiing Shen Chern氏へのインタビュー」 （PDF） . AMSの通知 . 45 （7）： 860–5 . 1998年8月. ^ C. モーラー (1952) 『相対性理論 』 234ページ バリエーションの例:「ギリシャ語のインデックスは1から3、ラテン語のインデックスは1から4」 ^ T. Frankel (2012)、 『物理学の幾何学』 （第3版）、ケンブリッジ大学出版局、p. 67、 ISBN 978-1107-602601 ^ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力 』 WH Freeman & Co. p. 91. ISBN 0-7167-0344-0 。 ^ T. Frankel (2012)、 『物理学の幾何学』 （第3版）、ケンブリッジ大学出版局、p. 67、 ISBN 978-1107-602601 ^ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力 』 WH Freeman & Co. pp. 61, 202– 203, 232. ISBN 0-7167-0344-0 。 ^ G. Woan (2010). 『ケンブリッジ物理学公式ハンドブック 』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-57507-2 。 ^ 共変微分 – Mathworld、Wolfram ^ T. Frankel (2012)、 『物理学の幾何学』 （第3版）、ケンブリッジ大学出版局、p. 298、 ISBN 978-1107-602601 ^ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力 』 WH Freeman & Co. pp. 510, §21.5. ISBN 0-7167-0344-0 。 ^ T. Frankel (2012)、 『物理学の幾何学』 （第3版）、ケンブリッジ大学出版局、p. 299、 ISBN 978-1107-602601 ^ D. マクマホン (2006). 『相対性理論の 謎を解き明かす』 マグロウヒル. p. 67. ISBN 0-07-145545-0 。 ^ ビショップ, RL; ゴールドバーグ, SI (1968)『 多様体上のテンソル解析』 p. 130 ^ ビショップ, RL; ゴールドバーグ, SI (1968)『 多様体上のテンソル解析』 p. 85 ^ Synge JL; Schild A. (1949). Tensor Calculus . 初版 Dover Publications 1978. pp. 83, p. 107. ^ PAMディラック. 一般相対性理論 . pp. 20– 21. ^ ラブロック、デイヴィッド、ハンノ・ルンド (1989). テンソル、微分形式、変分原理 . p. 84.
出典
さらに読む
外部リンク キーズ・ダレモンド。ピーターズ、カスパー (1991–2010)。 「テンソル微積分入門」 (PDF) 。 2018 年 5 月 17 日 に取得 。
微分可能コンピューティング
一般的な ハードウェア ソフトウェアライブラリ ポータル
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8147a102c1e44f90d4fc7d00507d039ec893e687)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1ed3a3d65899f83cceb9f6cc97981f79e26ee8)
![{\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef2be00b1aa41e860f5f8702aca3b7d5367c2ac)
![{\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed48763fa258288b5223bfca013c8077b73c1cc)
![{\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0ed84d31ca18fe3439603344b790da0d240dd4)
![{\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36bebf226cf448c16e018ba4c4be7d3c23e8c1d0)
![{\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4836ea3af90f4cfd3a577ba3aee7758824dc096)
![{\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6e27819f5c787c31c829d21cefff2a45f1e3ee)
![{\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c77f98f8ba96ab296be8245ee3b8655edb17f9e)
![{\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71004231b37834cf42c9a1f6327be680986e7502)
![{\displaystyle \delta_{\beta_{1}\cdots\beta_{p}}^{\alpha_{1}\cdots\alpha_{p}}=\delta_{\beta_{1}}^{[\alpha_{1}}\cdots\delta_{\beta_{p}}^{\alpha_{p}]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836fd04ca45b520cd9af075de8d7dbd7f0752750)
![{\displaystyle \delta_{\beta_{1}\cdots\beta_{p}}^{\alpha_{1}\cdots\alpha_{p}}\,A^{\beta_{1}\cdots\beta_{p}}=A^{[\alpha_{1}\cdots\alpha_{p}]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3b68e70b8aa0aa35e6023ddfacf8f8b0d51c44)
