Symmetric holomorphic function
複素平面上のモジュラーラムダ関数。 数学 において 、 モジュラーラムダ 関数 λ(τ) [注 1] は、複素 上半平面 上 の高度に対称な 正則関数である。これは 合同群 Γ(2)の分数線型作用に対して不変であり 、対応する商の関数体を生成する。すなわち、 モジュラー曲線 X (2) のハウプト加群である。任意の点 τ 上で、その値は 、楕円曲線 による射影直線の分岐二重被覆の分岐点の 交差比 として記述でき 、この写像は商を [−1] 反転によって変換したものとして定義される。 C / ⟨ 1 , τ ⟩ {\displaystyle \mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle }
q 展開 (ここで は は 名詞 ) は次のように与えられます。 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}
λ ( τ ) = 16 q − 128 q 2 + 704 q 3 − 3072 q 4 + 11488 q 5 − 38400 q 6 + … {\displaystyle \lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots } （ OEIS の配列 A115977 ） ラムダ関数を対称群S3 の X (2)上の 標準作用の下で対称化し 、適切に正規化することで、完全モジュラー群の下で不変な上半平面上の関数が得られ 、それは実際にはクラインのモジュラー j不変量で ある。 SL 2 ( Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}
x→ λ(ix)のプロット
モジュラープロパティ この関数は [1] によって生成された群の下で不変である。 λ ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )}
τ ↦ τ + 2 ; τ ↦ τ 1 − 2 τ . {\displaystyle \tau \mapsto \tau +2\ ;\ \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}\ .} モジュラー群の生成元は [2]のように作用する。
τ ↦ τ + 1 : λ ↦ λ λ − 1 ; {\displaystyle \tau \mapsto \tau +1\ :\ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}}\,;} τ ↦ − 1 τ : λ ↦ 1 − λ . {\displaystyle \tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\ :\ \lambda \mapsto 1-\lambda \ .} その結果、モジュラー群の への作用は 非調和群 の作用と同じであり、 複比 の6つの値を与える : [3] λ ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )}
{ λ , 1 1 − λ , λ − 1 λ , 1 λ , λ λ − 1 , 1 − λ } . {\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .}
他の機能との関係 これは 楕円係数の 2乗であり [4] 、つまり、である。 デデキントのエータ関数 と シータ関数 を用いると 、 [4] λ ( τ ) = k 2 ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )=k^{2}(\tau )} η ( τ ) {\displaystyle \eta (\tau )}
λ ( τ ) = ( 2 η ( τ 2 ) η 2 ( 2 τ ) η 3 ( τ ) ) 8 = 16 ( η ( τ / 2 ) η ( 2 τ ) ) 8 + 16 = θ 2 4 ( τ ) θ 3 4 ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}} そして、
1 ( λ ( τ ) ) 1 / 4 − ( λ ( τ ) ) 1 / 4 = 1 2 ( η ( τ 4 ) η ( τ ) ) 4 = 2 θ 4 2 ( τ 2 ) θ 2 2 ( τ 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}} ここで [5]
θ 2 ( τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 / 2 ) 2 {\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}} θ 3 ( τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 {\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}}} θ 4 ( τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n e π i τ n 2 {\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}} ワイエルシュトラスの楕円 関数 の半周期に関して 、 を持つ 基本周期のペア を とします 。 [ ω 1 , ω 2 ] {\displaystyle [\omega _{1},\omega _{2}]} τ = ω 2 ω 1 {\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}
e 1 = ℘ ( ω 1 2 ) , e 2 = ℘ ( ω 2 2 ) , e 3 = ℘ ( ω 1 + ω 2 2 ) {\displaystyle e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)} 我々は [4]
λ = e 3 − e 2 e 1 − e 2 . {\displaystyle \lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.} ３つの半周期の値は異なるため、 0または1の値を取らないことがわかります 。[4] λ {\displaystyle \lambda }
j不変量 との関係 は [6] [7]
j ( τ ) = 256 ( 1 − λ ( 1 − λ ) ) 3 ( λ ( 1 − λ ) ) 2 = 256 ( 1 − λ + λ 2 ) 3 λ 2 ( 1 − λ ) 2 . {\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .} これは ルジャンドル形式 の楕円曲線の j不変量である y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) {\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}
与えられた 場合、 m ∈ C ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
τ = i K { 1 − m } K { m } {\displaystyle \tau =i{\frac {K\{1-m\}}{K\{m\}}}} ここでは パラメータ を持つ 第一種完全楕円積分 である 。そして K {\displaystyle K} m = k 2 {\displaystyle m=k^{2}}
λ ( τ ) = m . {\displaystyle \lambda (\tau )=m.}
モジュラー方程式 次モジュラ 方程式 （ただし は素数）は、 と における 代数 方程式 である。 と のとき 、 次モジュラ方程式は それぞれ、 [8]となる。 p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} λ ( p τ ) {\displaystyle \lambda (p\tau )} λ ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )} λ ( p τ ) = u 8 {\displaystyle \lambda (p\tau )=u^{8}} λ ( τ ) = v 8 {\displaystyle \lambda (\tau )=v^{8}} p = 2 , 3 , 5 , 7 {\displaystyle p=2,3,5,7}
( 1 + u 4 ) 2 v 8 − 4 u 4 = 0 , {\displaystyle (1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,} u 4 − v 4 + 2 u v ( 1 − u 2 v 2 ) = 0 , {\displaystyle u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2})=0,} u 6 − v 6 + 5 u 2 v 2 ( u 2 − v 2 ) + 4 u v ( 1 − u 4 v 4 ) = 0 , {\displaystyle u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,} ( 1 − u 8 ) ( 1 − v 8 ) − ( 1 − u v ) 8 = 0. {\displaystyle (1-u^{8})(1-v^{8})-(1-uv)^{8}=0.} 量 （および）は 、上半平面上の 正則関数 として考えることができます 。 v {\displaystyle v} u {\displaystyle u} Im τ > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}
v = ∏ k = 1 ∞ tanh ( k − 1 / 2 ) π i τ = 2 e π i τ / 8 ∑ k ∈ Z e ( 2 k 2 + k ) π i τ ∑ k ∈ Z e k 2 π i τ = 2 e π i τ / 8 1 + e π i τ 1 + e π i τ + e 2 π i τ 1 + e 2 π i τ + e 3 π i τ 1 + e 3 π i τ + ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}} なので、モジュラー方程式は 任意の素数 に対して の 代数値 を与えるのに使用できる 。 [注 2] の代数値は [9] [注 3] でも与えられる。 λ ( i ) = 1 / 2 {\displaystyle \lambda (i)=1/2} λ ( p i ) {\displaystyle \lambda (pi)} p {\displaystyle p} λ ( n i ) {\displaystyle \lambda (ni)}
λ ( n i ) = ∏ k = 1 n / 2 sl 8 ( 2 k − 1 ) ϖ 2 n ( n even ) {\displaystyle \lambda (ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{even}})} λ ( n i ) = 1 2 n ∏ k = 1 n − 1 ( 1 − sl 2 k ϖ n ) 2 ( n odd ) {\displaystyle \lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{odd}})} ここで は レムニスケート正弦 、は レムニスケート定数 です 。 sl {\displaystyle \operatorname {sl} } ϖ {\displaystyle \varpi }
ラムダ星
ラムダスターの定義と計算 関数 [10] （ただし ）は楕円係数の値を与え 、これに対して 第一種完全楕円積分 とその補楕円積分 は次の式で関係付けられる。 λ ∗ ( x ) {\displaystyle \lambda ^{*}(x)} x ∈ R + {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}} k {\displaystyle k} K ( k ) {\displaystyle K(k)} K ( 1 − k 2 ) {\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})}
K [ 1 − λ ∗ ( x ) 2 ] K [ λ ∗ ( x ) ] = x {\displaystyle {\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}} の値は 次のように計算できます。 λ ∗ ( x ) {\displaystyle \lambda ^{*}(x)}
λ ∗ ( x ) = θ 2 2 ( i x ) θ 3 2 ( i x ) {\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}} λ ∗ ( x ) = [ ∑ a = − ∞ ∞ exp [ − ( a + 1 / 2 ) 2 π x ] ] 2 [ ∑ a = − ∞ ∞ exp ( − a 2 π x ) ] − 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}} λ ∗ ( x ) = [ ∑ a = − ∞ ∞ sech [ ( a + 1 / 2 ) π x ] ] [ ∑ a = − ∞ ∞ sech ( a π x ) ] − 1 {\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}} 関数 と 関数は次のように相互に関連しています。 λ ∗ {\displaystyle \lambda ^{*}} λ {\displaystyle \lambda }
λ ∗ ( x ) = λ ( i x ) {\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}}
ラムダスターの特性 正の 有理数 のすべての値 は正の 代数的数 である。 λ ∗ {\displaystyle \lambda ^{*}}
λ ∗ ( x ) ∈ Q ¯ + ∀ x ∈ Q + . {\displaystyle \lambda ^{*}(x)\in {\overline {\mathbb {Q} }}_{+}\quad \forall x\in \mathbb {Q} ^{+}.} K ( λ ∗ ( x ) ) {\displaystyle K(\lambda ^{*}(x))} （ 第二種完全楕円積分 ）は、 任意の に対する ガンマ関数を 用いて閉じた形で表すことができ 、これはセルバーグとチョウラが1949年に証明した。 [11] [12] E ( λ ∗ ( x ) ) {\displaystyle E(\lambda ^{*}(x))} x ∈ Q + {\displaystyle x\in \mathbb {Q} ^{+}}
次の式はすべての に対して有効です 。 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n = ∑ a = 1 n dn [ 2 a n K [ λ ∗ ( 1 n ) ] ; λ ∗ ( 1 n ) ] {\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]} ここで、 は係数 を持つ ヤコビ楕円関数 delta amplitudinis です 。 dn {\displaystyle \operatorname {dn} } k {\displaystyle k}
一つの値を知ることで 、この式を使って関連する 値を計算することができます。 [9] λ ∗ {\displaystyle \lambda ^{*}} λ ∗ {\displaystyle \lambda ^{*}}
λ ∗ ( n 2 x ) = λ ∗ ( x ) n ∏ a = 1 n sn { 2 a − 1 n K [ λ ∗ ( x ) ] ; λ ∗ ( x ) } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}} ここで 、 は係数 のヤコビ楕円関数 sinus amplitudinis です 。 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } sn {\displaystyle \operatorname {sn} } k {\displaystyle k}
その他の関係:
λ ∗ ( x ) 2 + λ ∗ ( 1 / x ) 2 = 1 {\displaystyle \lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1} [ λ ∗ ( x ) + 1 ] [ λ ∗ ( 4 / x ) + 1 ] = 2 {\displaystyle [\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2} λ ∗ ( 4 x ) = 1 − 1 − λ ∗ ( x ) 2 1 + 1 − λ ∗ ( x ) 2 = tan { 1 2 arcsin [ λ ∗ ( x ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}} λ ∗ ( x ) − λ ∗ ( 9 x ) = 2 [ λ ∗ ( x ) λ ∗ ( 9 x ) ] 1 / 4 − 2 [ λ ∗ ( x ) λ ∗ ( 9 x ) ] 3 / 4 {\displaystyle \lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}} a 6 − f 6 = 2 a f + 2 a 5 f 5 ( a = [ 2 λ ∗ ( x ) 1 − λ ∗ ( x ) 2 ] 1 / 12 ) ( f = [ 2 λ ∗ ( 25 x ) 1 − λ ∗ ( 25 x ) 2 ] 1 / 12 ) a 8 + b 8 − 7 a 4 b 4 = 2 2 a b + 2 2 a 7 b 7 ( a = [ 2 λ ∗ ( x ) 1 − λ ∗ ( x ) 2 ] 1 / 12 ) ( b = [ 2 λ ∗ ( 49 x ) 1 − λ ∗ ( 49 x ) 2 ] 1 / 12 ) a 12 − c 12 = 2 2 ( a c + a 3 c 3 ) ( 1 + 3 a 2 c 2 + a 4 c 4 ) ( 2 + 3 a 2 c 2 + 2 a 4 c 4 ) ( a = [ 2 λ ∗ ( x ) 1 − λ ∗ ( x ) 2 ] 1 / 12 ) ( c = [ 2 λ ∗ ( 121 x ) 1 − λ ∗ ( 121 x ) 2 ] 1 / 12 ) ( a 2 − d 2 ) ( a 4 + d 4 − 7 a 2 d 2 ) [ ( a 2 − d 2 ) 4 − a 2 d 2 ( a 2 + d 2 ) 2 ] = 8 a d + 8 a 13 d 13 ( a = [ 2 λ ∗ ( x ) 1 − λ ∗ ( x ) 2 ] 1 / 12 ) ( d = [ 2 λ ∗ ( 169 x ) 1 − λ ∗ ( 169 x ) 2 ] 1 / 12 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}}
ラマヌジャンのクラス不変量 ラマヌジャンの クラス不変量 と 定義される [13] G n {\displaystyle G_{n}} g n {\displaystyle g_{n}}
G n = 2 − 1 / 4 e π n / 24 ∏ k = 0 ∞ ( 1 + e − ( 2 k + 1 ) π n ) , {\displaystyle G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),} g n = 2 − 1 / 4 e π n / 24 ∏ k = 0 ∞ ( 1 − e − ( 2 k + 1 ) π n ) , {\displaystyle g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),} ここで である 。このような に対して 、クラス不変量は代数的数である。例えば n ∈ Q + {\displaystyle n\in \mathbb {Q} ^{+}} n {\displaystyle n}
g 58 = 5 + 29 2 , g 190 = ( 5 + 2 ) ( 10 + 3 ) . {\displaystyle g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {10}}+3)}}.} クラス不変量との同一性には [14]が含まれる。
G n = G 1 / n , g n = 1 g 4 / n , g 4 n = 2 1 / 4 g n G n . {\displaystyle G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}.} クラス不変量は ウェーバーモジュラー関数 およびと非常に密接に関連しています 。ラムダスターとクラス不変量との関係は以下のとおりです。 f {\displaystyle {\mathfrak {f}}} f 1 {\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}}
G n = sin { 2 arcsin [ λ ∗ ( n ) ] } − 1 / 12 = 1 / [ 2 λ ∗ ( n ) 12 1 − λ ∗ ( n ) 2 24 ] {\displaystyle G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]} g n = tan { 2 arctan [ λ ∗ ( n ) ] } − 1 / 12 = [ 1 − λ ∗ ( n ) 2 ] / [ 2 λ ∗ ( n ) ] 12 {\displaystyle g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}} λ ∗ ( n ) = tan { 1 2 arctan [ g n − 12 ] } = g n 24 + 1 − g n 12 {\displaystyle \lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}}
その他の出演
小ピカール定理 ラムダ関数は 、 小ピカール定理の最初の証明に用いられている。この定理は、 複素平面 上の整数関数は 複数 の値を省略できないというものである。この定理は1879年にピカールによって証明された。 [15] 可能であれば、 f が整数で0と1の値を取らないと仮定する。λは正則なので、0,1,∞から離れた方向に局所正則逆関数ωが定義される。関数 z → ω( f ( z ))を考える。 モノドロミー定理 により、これは正則であり、複素平面 Cを上半平面に写像する。このことから、 C から単位円板への正則関数を容易に構成できる。 単位円板は、 リウヴィルの定理 により定数でなければならない。 [16]
密造酒 関数は、 群 の正規化された ハウプトモジュール とその q 展開 です( OEIS の シーケンス A007248 )。ここで、 は、 モンスター頂点代数 に作用する モンスター群 の共役クラス 4C の任意の元の次数付き特性です 。 τ ↦ 16 / λ ( 2 τ ) − 8 {\displaystyle \tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8} Γ 0 ( 4 ) {\displaystyle \Gamma _{0}(4)} q − 1 + 20 q − 62 q 3 + … {\displaystyle q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots } q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}
^ チャンドラセカラン (1985) p.115 ^ チャンドラセカラン (1985) p.109 ^ チャンドラセカラン (1985) p.110 ^ abcd チャンドラセカラン (1985) p.108 ^ チャンドラセカラン (1985) p.63 ^ チャンドラセカラン (1985) p.117 ^ ランキン（1977）226–228ページ ^ ボルウェイン、ジョナサン・M.; ボルウェイン、ピーター・B. (1987). 円周率とAGM：解析的数論と計算複雑性の研究 （初版）. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7 。 103～109ページ、134ページ ^ ab ヤコビ、カール グスタフ ヤコブ (1829)。 Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (ラテン語)。 42ページ ^ ボルウェイン、ジョナサン・M.; ボルウェイン、ピーター・B. (1987). 円周率とAGM：解析的数論と計算複雑性の研究 （初版）. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7 。 152ページ ^ Chowla, S.; Selberg, A. (1949). 「エプスタインのゼータ関数について (I)」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041 . S2CID 45071481. ^ Chowla, S.; Selberg, A.「エプスタインのゼータ関数について」 EuDML . pp. 86– 110. ^ Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (1997年6月6日). 「ラマヌジャンの類不変量、クロネッカーの極限公式、そしてモジュラー方程式」. アメリカ数学会誌 . 349 (6): 2125–2173 . ^ エイマール、ピエール;ラフォン、ジャンピエール (1999)。 Autour du nombre Pi (フランス語)。ヘルマン。 ISBN 2705614435 。 240ページ ^ チャンドラセカラン (1985) p.121 ^ チャンドラセカラン (1985) p.118
参考文献
注記 ^は モジュラー関数 ではありません （Wikipediaの定義による）。しかし、すべてのモジュラー関数は における 有理関数 です。一部の著者は「モジュラー関数」の非同等な定義を使用しています。 λ ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )} λ ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )} ^ 任意の素数 冪に対して 、次数 のモジュラー方程式を反復することができます。この手順は 、任意の に対する の代数値を求めるために使用できます。 p {\displaystyle p} λ ( n i ) {\displaystyle \lambda (ni)} n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} ^ はすべての sl a ϖ {\displaystyle \operatorname {sl} a\varpi } a ∈ Q . {\displaystyle a\in \mathbb {Q} .}
他の Borwein, JM、Borwein, PB『PiとAGM：解析的数論と計算複雑性に関する研究』ニューヨーク：Wiley、139～298頁、1987年。 Selberg, A. および Chowla, S. 「エプスタインのゼータ関数について」 J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.
外部リンク 
![{\displaystyle [\omega _{1},\omega _{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dad129c74171365114e79fdd991264dda783b22)
![{\displaystyle {\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb268d3cffe21cb75f2a37b5f277f3e65609070)
![{\displaystyle \lambda^{*}(x)=\left[\sum_{a=-\infty}^{\infty}\exp[-(a+1/2)^{2}\pi{\sqrt{x}}]\right]^{2}\left[\sum_{a=-\infty}^{\infty}\exp(-a^{2}\pi{\sqrt{x}})\right]^{-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8070bd15a4b2a9b9bd621ffb37eece379cb864)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d176424e648ac0676545cec2e165cf27d61f78)
![{\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe98aa85642729039559cf8044f68b293548acf6)
![{\displaystyle \lambda^{*}(n^{2}x)=\lambda^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda^{*}(x)];\lambda^{*}(x)\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddcba0773112f9e1a5d79fd395de8e76759416ca)
![{\displaystyle [\lambda^{*}(x)+1][\lambda^{*}(4/x)+1]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e015a4b8dbb80bb4bece1c0c5224457cda46f58)
![{\displaystyle \lambda^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda^{*}(x)]\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c58fcee836e9d6727e9c5a2dd9fe5ccf8ed827b)
![{\displaystyle \lambda^{*}(x)-\lambda^{*}(9x)=2[\lambda^{*}(x)\lambda^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda^{*}(x)\lambda^{*}(9x)]^{3/4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8a0866508ba81524c948c3c4f6cf7ab4f23c0d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fca17619134acaa8774d9c38c77bb968fa4f8e)
![{\displaystyle \lambda^{*}(5)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\sqrt {5}}-2\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d109ea5a25fa849e96bddb637123a84e509d5c1)
![{\displaystyle \lambda^{*}(9)={\frac{1}{2}}({\sqrt{3}}-1)({\sqrt{2}}-{\sqrt[{4}]{3}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebf346c7efa5f6dae3efb593b460bd8a04a772f)
![{\displaystyle \lambda^{*}(13)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1830dc54964c5bebb8598576d9ab94f9851e1b0)
![{\displaystyle \lambda^{*}(17)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(5+{\sqrt {17}}-{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}}\right)^{3}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14f6bf954b2999ea4dbfdec774ed2697b968b9e)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(21)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(8-3{\sqrt {7}})(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8c3633a286b9981d0cb28a3cc49fc54af80062)
![{\displaystyle \lambda^{*}(25)={\frac{1}{\sqrt{2}}}({\sqrt{5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed0216f6b6e30fdf1529638ec7558524e79d44e)
![{\displaystyle \lambda^{*}(33)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(10-3{\sqrt {11}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfcf5481bf1cb8e486a4935615601091d9b9cdb1)
![{\displaystyle \lambda^{*}(37)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[({\sqrt {37}}-6)^{3}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640df27ea8a870e716f297b76a21d9b795d76cdc)
![{\displaystyle \lambda^{*}(45)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(4-{\sqrt {15}})^{2}({\sqrt {5}}-2)^{3}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631aa52a3a0aaa5eb5e260324c1084ab5d409804)
![{\displaystyle \lambda^{*}(49)={\frac{1}{4}}(8+3{\sqrt{7}})(5-{\sqrt{7}}-{\sqrt[{4}]{28}})\left({\sqrt{14}}-{\sqrt{2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt{5-{\sqrt{7}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd39249b416e79e4160fa39036a66c1f2a30ee2)
![{\displaystyle \lambda^{*}(57)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(170-39{\sqrt {19}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c23349b201df8937ff1c95a09c556bd8bc08a8)
![{\displaystyle \lambda^{*}(73)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(45+5{\sqrt {73}}-3{\sqrt {50{\sqrt {73}}+426}}\right)^{3}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54850d7362503f231ed78b7f7ddc92533baa80cc)
![{\displaystyle \lambda^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6e0828bc852b827d1391f96efb4b2efe0efc15)
![{\displaystyle \lambda^{*}(30)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c432d9206866a95a79e11bfc37b08fa93041ef)
![{\displaystyle \lambda^{*}(34)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{9}}({\sqrt {17}}-4)^{2}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9581fb703634733f9ca070b257be10446ab2d7d)
![{\displaystyle \lambda^{*}(42)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0382bbfe1c7590f0100be68cfdc0d686894d4a79)
![{\displaystyle \lambda^{*}(46)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{64}}\left(3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {6{\sqrt {2}}+7}}\right)^{6}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c652889c96056f6eef15edf4aa2e737ab1e6b71)
![{\displaystyle \lambda^{*}(70)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2afd679384b8e6f2ceaa0b2303f223a917612b)
![{\displaystyle \lambda^{*}(78)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[(5{\sqrt {13}}-18)^{2}({\sqrt {26}}-5)^{2}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b6c374bc51b50021db5217e2e0da617668ec63)
![{\displaystyle \lambda^{*}(82)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{4761}}(8{\sqrt {41}}-51)^{2}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4464dafebadfb801b332f1ca263fad1cd99b8d51)
![{\displaystyle \lambda^{*}(11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)\left({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1\right)^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca80863388682d7501db6f6286e58c07277bdbfc)
![{\displaystyle \lambda^{*}(19)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3{\sqrt {19}}+13)\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})\right]^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7891588ba88cde8cacbff0bf0404b34c15d5ad51)
![{\displaystyle \lambda^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}+{\frac {2}{3}}\right]^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f944902af860d4aa5a17d27a340a2b6e6b8e20)
![{\displaystyle \lambda^{*}(27)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}-1)^{3}\left[{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt[{3}]{2}}+1)-{\sqrt[{3}]{2}}+1\right]^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc5894ac5d186fec33494d1fa0572a76481b049)
![{\displaystyle \lambda ^{*}(39)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{16}}\left(6-{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6{\sqrt {13}}-21}}\right)\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3be4c863c2ca7895edf17f90d90317bf031620)
![{\displaystyle \lambda^{*}(55)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{512}}\left(3{\sqrt {5}}-3-{\sqrt {6{\sqrt {5}}-2}}\right)^{3}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7ec975bb3a14550a0357db9fd9feaff0c60cb8)
![{\displaystyle \lambda^{*}(16)=({\sqrt{2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10044e9406aa1541fe5dd161a1102b9e57bffe47)
![{\displaystyle \lambda^{*}(20)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbc3b25b07f3d6569ae38343914fb6d0c572ea8)
![{\displaystyle \lambda^{*}(24)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9fd703b0df93b368adfa44ea533c5bddd77c76)
![{\displaystyle \lambda^{*}(32)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\right]\right\}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02552edfb14fc2696adcf0b16bab03b3d00003ee)
![{\displaystyle \lambda ^{*}\left({\frac {1}{4}}\right)=2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f001f57a74a3d1dd03adbc5cc3af66942e1feddb)
![{\displaystyle \lambda^{*}\left({\frac{3}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt{3}}-{\sqrt{2}})({\sqrt{2}}+1){\sqrt{({\sqrt{3}}-1)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f503a75e4bef9923cd2e1060e24b5621b40734a)
![{\displaystyle \lambda^{*}\left({\frac {4}{5}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi}{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403ad60c05e226ddbaea4dd16302a60f5785d735)
![{\displaystyle G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d7ba82805bad5b61422ef8ab1e6d8ff0653f93)
![{\displaystyle g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2bf73ba7824016a4c00cb2ba22aecdd1e16dbf)
![{\displaystyle \lambda^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac2a4151df22951f005c839445387ea73698793)
