タイル指数

タイル指数は、主に経済格差^[1]やその他の経済現象を測定するために使用される統計ですが、人種差別の測定にも使用されています。 ^[2]^[3]タイル指数T _{T は、}情報理論における冗長性と同じで、データの最大エントロピーから観測されたエントロピーを引いたものです。これは、一般化エントロピー指数の特殊なケースです。冗長性、多様性の欠如、孤立、分離、不平等、非ランダム性、および圧縮性の尺度として考えることができます。これは、エラスムス・ロッテルダム大学のオランダ人計量経済学者アンリ・タイル(1924–2000)によって提唱されました。^[3]

アンリ・テイル自身（1967年）は、「（テイル）指数は、事前確率としての人口シェアを事後確率としての所得シェアに変換する間接メッセージの期待情報量として解釈できる」と述べています。^[4] アマルティア・センは、「しかし、テイル指数は恣意的な式であり、所得シェアの逆数を所得で加重平均した対数の平均は、直感的に意味のある指標ではないという事実は変わりません」と指摘しています。^[4]

式

それぞれが特性xを持つN個の「エージェント」の集団において、状況はリストx _i ( i = 1,..., N ) で表すことができます。ここで、 x _iはエージェントiの特性です。例えば、特性が収入である場合、x _iはエージェントiの収入です。

Theil T指数は次のように定義される^[5]

T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\mu }}\ln \left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)

そしてTheil L指数は次のように定義される^[5]

T_{L}=T_{\alpha =0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln \left({\frac {\mu }{x_{i}}}\right)

平均所得はどこですか？ $\mu$

\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}

Theil-L は、最大エントロピー (完全な平等が達成される) を基準として測定された、一人当たりの所得分配のディスエントロピーです。

（別の解釈では、Theil-Lは、全所得にわたる比率（平均所得）/（所得i）の幾何平均の自然対数です。関連するAtkinson(1)は、所得分布にわたる（所得i）/（平均所得）の幾何平均から1を引いたものです。）

大きい所得と小さい所得の間の移転は、大きい所得の比率の変化よりも小さい所得の比率の変化が大きいため、この指標によって移転原理が満たされます。

同様に、状況が離散分布関数f _k ( k = 0,..., W ) で特徴付けられる場合（ f _kは所得kを持つ人口の割合、W = Nμは総所得）、 Theil 指数は次のようになります。 $\sum _{k=0}^{W}f_{k}=1$

T_{T}=\sum _{k=0}^{W}\,f_{k}\,{\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)

ここで平均所得は次のようになります。 $\mu$

\mu =\sum _{k=0}^{W}kf_{k}

この場合、収入kは整数であり、k=1 は可能な収入の最小の増分 (例: セント) を表すことに注意してください。

状況が連続分布関数f ( k ) (0 から無限大までサポート) によって特徴付けられる場合( f ( k ) dkは所得kからk + dkを持つ人口の割合) 、Theil 指数は次のようになります。

T_{T}=\int _{0}^{\infty }f(k){\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)dk

ここで平均は次のようになります。

\mu =\int _{0}^{\infty }kf(k)\,dk

いくつかの一般的な連続確率分布のタイル指数を以下の表に示します。

所得分配関数	PDF( x ) ( x ≥ 0)	タイル係数（NATS）
ディラックのデルタ関数	$\delta (x-x_{0}),\,x_{0}>0$	0
均一分布	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$	$\ln \left({\frac {2a}{(a+b){\sqrt {e}}}}\right)+{\frac {b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ln(b/a)$
指数分布	$\lambda e^{-x\lambda },\,\,x>0$	$1-$ $\gamma$
対数正規分布	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{(-(\ln(x)-\mu )^{2})/\sigma ^{2}}$	${\frac {\sigma ^{2}}{2}}$
パレート分布	${\begin{cases}{\frac {\alpha k^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq k\\0&x<k\end{cases}}$	$\ln(1\!-\!1/\alpha )+{\frac {1}{\alpha -1}}$ （α>1）
カイ二乗分布	${\frac {2^{-k/2}e^{-x/2}x^{k/2-1}}{\Gamma (k/2)}}$	$\ln(2/k)+$ $\psi ^{(0)}$ $(1\!+\!k/2)$
ガンマ分布^[6]	${\frac {e^{-x/\theta }x^{k-1}\theta ^{-k}}{\Gamma (k)}}$	$\psi ^{(0)}$ $(1+k)-\ln(k)$
ワイブル分布	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}$	${\frac {1}{k}}$ $\psi ^{(0)}$ $(1+1/k)-\ln \left(\Gamma (1+1/k)\right)$

全員の所得が同じ場合、T _{T は}0となります。もし1人がすべての所得を保有している場合、 T _{T は}となり、最大の不平等となります。T T をで割ること_で、式を0から1の範囲に正規化できますが、独立性公理に反し、不平等の尺度として適格ではありません。 $\ln N$ $\ln N$ $T[x\cup x]\neq T[x]$

タイル指数は、すべての人が同じ所得を持つ平等な状態から人口がどれだけエントロピー的に「離れているか」を測る指標です。数値結果は負のエントロピーで表され、数値が大きいほど秩序が強く、完全な平等からは遠いことを示します。この指数をエントロピーではなく負のエントロピーとして定式化することで、平等ではなく不平等の尺度として用いることができます。

アトキンソン指数との関係

Theil指数は、0から1（0%から100%）の範囲を持つAtkinson指数に変換できます。0は完全な平等を示し、1（100%）は最大の不平等を示します。（変換については、一般化エントロピー指数を参照してください。）

エントロピーからの導出

タイル指数はシャノンの情報エントロピーの尺度から導かれる。ここでエントロピーとは、与えられた情報集合におけるランダム性の尺度である。情報理論、物理学、そしてタイル指数において、エントロピーの一般的な形は次のように表される。 $S$

S=k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log _{a}\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)\right)=-k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log _{a}\left({p_{i}}\right)\right)

どこ

$i$ セット内の個々の項目です (集団内の個々のメンバーや、コンピュータファイル内の個々のバイトなど)。
$p_{i}$ セットからランダムに抽出したサンプルから見つける確率です。 $i$
$k$ は定数である。^{[注 1]}
$\log _{a}\left({x}\right)$ はを底とする対数である。^{[注 2]} $a$

人口における所得の分布を見ると、これは特定の個人の所得と人口全体の総所得の比率に等しい。したがって、観測される人口のエントロピーは次のようになる。 $p_{i}$ $S_{\text{Theil}}$

S_{\text{Theil}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{N{\bar {x}}}}\ln \left({\frac {N{\bar {x}}}{x_{i}}}\right)\right)

どこ

$x_{i}$ 特定の個人の収入です。
$\left(N{\bar {x}}\right)$ 人口全体の総所得であり、

$N$ 集団内の個体数です。
${\bar {x}}$ （「x バー」）は人口の平均所得です。

$\ln \left(x\right)$ は:の自然対数です。 $x$ $\left(\log _{e}\left(x\right)\right)$

タイル指数は、観測されたエントロピー（所得がどの程度ランダムに分配されているかを表す）が、最大エントロピー（[^{注 3]}人口内の個人間で所得が最大限に分配されていることを表す。これは、コインをランダムに無限回投げた場合の[最も起こり得る]結果、すなわち表と裏が均等に分配されることに類似している。）からどれだけ離れているかを測定する。したがって、タイル指数は、理論上の最大エントロピー（すべての個人の所得が均等である場合に到達する）から観測されたエントロピーを差し引いた差である。 $T_{T}$ $S_{\text{Theil}}$ $S_{\text{max}}=\ln \left({N}\right)$

T_{T}=S_{\text{max}}-S_{\text{Theil}}=\ln \left({N}\right)-S_{\text{Theil}}

が個体数／種の単位である場合、シャノン指数は生物多様性の指標であり、シャノン指数と呼ばれます。タイル指数をx＝個体数／種数として用いる場合、それは種集団間の個体数の不平等、つまり「富の隔離」ではなく「生物学的隔離」の指標となります。 $x$ $S_{\text{Theil}}$

タイル指数は、情報理論において冗長性と呼ばれるものを測定するものです。 ^[5]これは、情報伝達に利用されなかった余剰の「情報空間」であり、価格シグナルの有効性を低下させます。^{[原著研究？ ]}タイル指数は、一部の個人における所得（またはその他の富の尺度）の冗長性を示す指標です。一部の個人における冗長性は、他の個人における希少性を意味します。高いタイル指数は、総所得が個人間で均等に分配されていないことを示しています。これは、圧縮されていないテキストファイルでは、利用可能な一意のバイト文字に割り当てられたバイト位置の数が均等ではないのと同じです。

表記	情報理論	タイル指数 T _T
$N$	一意の文字数	個体数
$i$	特定の文字	特定の個人
$x_{i}$	i番目の文字の数	i番目の個人の収入
$N{\bar {x}}$	文書内の文字数合計	人口全体の所得
$T_{T}$	未使用の情報スペース	価格メカニズムにおける未使用の潜在能力^{[独自の研究? ]}
	データ圧縮	累進課税^{[独自研究? ]}

分解性

世界銀行によれば、

最もよく知られているエントロピー指標は、タイルのT（）とタイルのL（）であり、どちらも不平等を地域内（都市部、農村部など）の不平等による部分と地域間の差異（都市部と農村部の所得格差など）による部分に分解することを可能にする。通常、ある国の不平等の少なくとも4分の3はグループ内不平等によるものであり、残りの4分の1はグループ間の差異によるものである。^[7] $T_{T}$ $T_{L}$

人口をサブグループに分け、 $m$

$s_{i}$ はグループの所得シェアです。 $i$
$N$ は総人口であり、はグループの人口である。 $N_{i}$ $i$
$T_{i}$ はそのサブグループのタイル指数であり、
${\overline {x}}_{i}$ はグループの平均所得であり、 $i$
$\mu$ 人口の平均所得であり、

すると、TheilのT指数は

T_{T}=\sum _{i=1}^{m}s_{i}T_{i}+\sum _{i=1}^{m}s_{i}\ln {\frac {{\overline {x}}_{i}}{\mu }}

のために

s_{i}={\frac {N_{i}}{N}}{\frac {{\overline {x}}_{i}}{\mu }}

たとえば、米国内の不平等は、各州内の不平等の平均を州の収入で加重したものに、州間の不平等を加えたものです。

注：この画像は、米国の各地域におけるタイル指数ではなく、各地域が米国のタイル指数に及ぼす寄与度を示しています。タイル指数は常にプラスですが、個々の寄与度はプラスまたはマイナスになる可能性があります。

地域間要素に起因する割合を特定するタイル指数の分解は、不平等の空間的側面の相対的な重要性を示唆するため、地域間不平等の実証分析に役立つツールとなる。^[8]

タイルのT対テイルのL

TheilのT係数とTheilのL係数はどちらも分解可能です。両者の違いは、それぞれが結果分布のどの部分に用いられるかによって異なります。一般化エントロピー（GE）ファミリーにおける不平等指数は、GE指数を定義するパラメータに応じて、貧困層または富裕層間の所得分配の差に対してより敏感です。GEのパラメータ値が小さいほど、分布の底辺における差に対してより敏感になります。^[9]

GE(0) = TheilのLであり、分布の下端における差異に対してより敏感である。これは平均対数偏差尺度とも呼ばれる。

GE(1) = TheilのTであり、分布の上限の差に対してより敏感である。

分解可能性は、より一般的なジニ係数には見られない、タイル指数の特性です。ジニ係数はローレンツ曲線に基づいているため、多くの人にとってより直感的です。しかし、タイル指数のように簡単に分解できるわけではありません。

アプリケーション

多数の経済的応用に加えて、タイル指数は灌漑システムのパフォーマンス^[10]やソフトウェアメトリクスの分布を評価するために適用されてきました。^[11]

参照

注記

^ この式が物理学で使用される場合、通常はボルツマン定数を表します。情報理論や統計学では、通常は1に等しくなります（タイル指数など）。 $k$ $k$
^ 情報理論では、情報が2進数で与えられる場合、2進対数（eに等しい）が用いられます。物理学やタイル指数の計算では、自然対数（ eに等しい）が用いられます。 $a$ $a$
^ すべての個人の所得が平均所得に等しい場合、 $\sum _{i=1}^{N}\left(\left({\frac {x_{i}}{\bar {x}}}=1\right){\frac {1}{N}}\ln \left({\left({\frac {\bar {x}}{x_{i}}}=1\right)N}\right)\right)$ $=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\ln \left({N}\right)\right)$ $=\ln \left({N}\right)$

参考文献

^ テキサス大学によるTheil指数の紹介
^ 「人種隔離措置」www.urban.orgアーバン研究所2018年2月5日閲覧。
^ ab Parker, Lauren (2015年7月20日). 「人種・民族分離：ニュースとPolicyMapで」. PolicyMap . 2018年2月5日閲覧。
^ ab Conceicao, Pedro; Ferreira, Pedro M. (2000). 「若者のためのTheil Indexガイド：直感的な解釈の提案と分析的応用の探求」 SSRN電子ジャーナル. doi :10.2139/ssrn.228703. ISSN 1556-5068. S2CID 19009769.
^ abc http://www.poorcity.richcity.org (冗長性、エントロピー、不平等の尺度)
^ マクドナルド、ジェームズ・B; ジェンセン、バーテル・C. (1979年12月). 「ガンマ分布関数に基づく所得格差の代替指標のいくつかの特性の分析」アメリカ統計学会誌. 74 (368): 856– 860. doi :10.1080/01621459.1979.10481042.
^ 「6. 不平等の尺度」貧困マニュアル（PDF）世界銀行、2005年8月8日、95ページ。 2018年2月4日閲覧。
^ Novotny, J. (2007). 「地域格差の測定について：所得格差の空間的側面は重要か？」(PDF) . Annals of Regional Science . 41 (3): 563– 580. doi :10.1007/s00168-007-0113-y. S2CID 51753883.
^ 「不平等の尺度」www.urban.orgアーバン研究所2018年2月5日閲覧。
^ ラジャン・K・サンパス「灌漑パフォーマンス評価のための公平性尺度」ウォーター・インターナショナル、13(1)、1988年。
^ A. Serebrenik, M. van den Brand. ソフトウェアメトリクス値の集約のためのTheilインデックス. 第26回IEEE国際ソフトウェアメンテナンス会議. IEEEコンピュータソサエティ.

外部リンク

ソフトウェア：
- 無料のオンライン計算機は、ジニ係数を計算し、ローレンツ曲線をプロットし、あらゆるデータセットの集中度の他の多くの尺度を計算します。
- 無料計算機:アトキンソン不等式、ジニ不等式、フーバー不等式を計算するオンラインおよびダウンロード可能なスクリプト ( PythonおよびLua )
- R データ分析ソフトウェアのユーザーは、Gini、Atkinson、Theil などのさまざまな不平等指標の計算を可能にする「ineq」パッケージをインストールできます。
- MATLAB不等式パッケージ（Wayback Machineに2008年10月4日にアーカイブ）には、ジニ係数、アトキンソン係数、タイル係数の計算とローレンツ曲線のプロットのためのコードが含まれています。多くの例題が用意されています。

[7] この式が物理学で使用される場合、通常はボルツマン定数を表します。情報理論や統計学では、通常は1に等しくなります（タイル指数など）。 $k$ $k$

[8] 情報理論では、情報が2進数で与えられる場合、2進対数（eに等しい）が用いられます。物理学やタイル指数の計算では、自然対数（ eに等しい）が用いられます。 $a$ $a$

[9] すべての個人の所得が平均所得に等しい場合、 $\sum _{i=1}^{N}\left(\left({\frac {x_{i}}{\bar {x}}}=1\right){\frac {1}{N}}\ln \left({\left({\frac {\bar {x}}{x_{i}}}=1\right)N}\right)\right)$ $=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\ln \left({N}\right)\right)$ $=\ln \left({N}\right)$

[1] テキサス大学によるTheil指数の紹介

[2] 「人種隔離措置」www.urban.orgアーバン研究所2018年2月5日閲覧。

[policymap-3] Parker, Lauren (2015年7月20日). 「人種・民族分離：ニュースとPolicyMapで」. PolicyMap . 2018年2月5日閲覧。

[:0-4] Conceicao, Pedro; Ferreira, Pedro M. (2000). 「若者のためのTheil Indexガイド：直感的な解釈の提案と分析的応用の探求」 SSRN電子ジャーナル. doi :10.2139/ssrn.228703. ISSN 1556-5068. S2CID 19009769.

[Formulas-5] ttp://www.poorcity.richcity.org (冗長性、エントロピー、不平等の尺度)

[McDonald1974-6] マクドナルド、ジェームズ・B; ジェンセン、バーテル・C. (1979年12月). 「ガンマ分布関数に基づく所得格差の代替指標のいくつかの特性の分析」アメリカ統計学会誌. 74 (368): 856– 860. doi :10.1080/01621459.1979.10481042.

[10] 「6. 不平等の尺度」貧困マニュアル（PDF）世界銀行、2005年8月8日、95ページ。 2018年2月4日閲覧。

[Spatial_decomposition-11] Novotny, J. (2007). 「地域格差の測定について：所得格差の空間的側面は重要か？」(PDF) . Annals of Regional Science . 41 (3): 563– 580. doi :10.1007/s00168-007-0113-y. S2CID 51753883.

[12] 「不平等の尺度」www.urban.orgアーバン研究所2018年2月5日閲覧。

[13] ラジャン・K・サンパス「灌漑パフォーマンス評価のための公平性尺度」ウォーター・インターナショナル、13(1)、1988年。

[14] A. Serebrenik, M. van den Brand. ソフトウェアメトリクス値の集約のためのTheilインデックス. 第26回IEEE国際ソフトウェアメンテナンス会議. IEEEコンピュータソサエティ.