テブナンの定理

図 1.抵抗、電圧源、電流源のみを含むブラック ボックスは、等価抵抗と直列に接続された等価電圧源で構成されるテブナン等価回路に置き換えることができます。

もともと直流抵抗回路についてのみ述べられていたテブナンの定理は、「電圧源、電流源、抵抗のみを含む任意の線形電気ネットワークは、端子A-Bにおいて、直列接続された電圧源V _thと抵抗R _thの同等の組み合わせに置き換えることができる」と述べています。

• 等価電圧V _thは、端子AとBが開回路になっているネットワークの端子Aと Bで得られる電圧です。
• 等価抵抗R _thは、回路内のすべての理想的な電圧源を短絡に置き換え、すべての理想的な電流源を開回路に置き換えた場合（つまり、電源がゼロの電圧と電流を供給するように設定されている）に、端子 A と端子 B 間の回路が持つ抵抗です。
• 端子AとBが互いに接続（短絡）されている場合、AとBから流れる電流はテブナン等価回路に従います。つまり、R _{th は}、 AとBを接続した際の短絡電流でV _thを割ることによって計算することもできます。 ${\textstyle {\frac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}}$

回路理論の用語で言えば、この定理により、任意の1 ポートネットワークを単一の電圧源と単一のインピーダンス に縮小することができます。

この定理は、リアクタンス（誘導性および容量性）および抵抗性インピーダンスからなる周波数領域交流回路にも適用されます。つまり、抵抗がインピーダンスに一般化されている点を除けば、この定理は直流回路と全く同じように交流回路にも適用されます。

この定理は、1853年にドイツの科学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツによって、また1883年にはフランスの国立通信機関Postes et Télégraphesの電気技師レオン・シャルル・テヴナン（1857-1926）によって独立に導出されました。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

テブナンの定理とその双対であるノートンの定理は、回路解析を簡素化し、回路の初期条件と定常応答を調べるために広く使用されています。^{[ 8 ] [ 9 ]}テブナンの定理は、任意の回路の電源とインピーダンスをテブナンの等価物に変換するために使用できます。この定理を使用すると、キルヒホッフの回路法則を使用するよりも便利な場合があります。^{[ 7 ] [ 10 ]}

定理の証明

テブナンの定理には様々な証明が与えられてきました。おそらく最も単純なのは、テブナンの原論文における証明でしょう。^{[ 3 ]この証明は簡潔で理解しやすいだけでなく、 [ 4 ]}テブナンの証明は正確かつ汎用的であるという点でコンセンサスが得られています。証明は以下のとおりです。

インピーダンス、（定）電圧源、（定）電流源を含む能動回路網を考えてみましょう。回路網の構成は任意です。回路網へのアクセスは一対の端子によって行われます。図2の左側の枠に示すように、 端子間で測定された電圧をV _{θとします。}

図2. テブナンの定理の証明に使用した図。

箱の中の電圧源を短絡回路に、電流源を開放回路に置き換えたと仮定します。こうすると端子間に電圧は発生しなくなり、端子間のインピーダンスを測定できます。このインピーダンスをZ _θとします。

ここで、図2aに示すように、インピーダンスZ _eを持つ線形回路網を箱の端子に接続したと仮定します。Z _eを流れる電流Iを求めます。Z _eを接続した 後、端子電圧はV _θにならないため、答えは明らかではありません。

代わりに、図2bに示すように、インピーダンスZ _eと直列に、起電力EがV _θに等しいがV _θと逆向きの電源を接続すると仮定します。EはV _θと釣り合うため、Z _eには電流が流れません。

次に、別の起電力源E ₁をZ _eと直列に挿入します。E 1_はEと同じ大きさですが、向きが逆です（図2c参照）。電流I ₁は次のように決定できます。これは、E ₁が単独で動作し、他のすべての起電力源（アクティブネットワーク内および外部ネットワーク内）がゼロに設定されている場合に生じる電流です。したがって、この電流は

$${\displaystyle I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

なぜなら、Z _{e は}ボックスの外部のインピーダンスであり、Z _{θ は}ボックスのソースがゼロのときにボックス内を見たときのインピーダンスだからです。

最後に、 EとE _{1 は}電流値を変えずに一緒に除去できることに注意しましょう。これらを除去すると、図2aに戻ります。したがって、I ₁は求めている 電流I 、つまり

$${\displaystyle I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

これで証明は完了です。図2dはテブナン等価回路を示しています。

ヘルムホルツの証明

前述のように、テブナンの定理はドイツの科学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツによって1853年に初めて発見され、発表されました^{[ 1 ]}。これはテブナンの誕生の4年前です。上述のテブナンによる1883年の証明は、現代の電気工学の手法に精神面でより近いため、彼の名前がこの定理とより一般的に結び付けられる理由かもしれません^{[ 11 ]} 。ヘルムホルツによるこの問題の初期の定式化は、より物理学に近い一般的なアプローチを反映しています。

ヘルムホルツは1853年の論文で、「物理的に広大な導体」、特に動物組織の起電特性について考察しました。彼は、生理学者エミール・デュ・ボワ＝レーモンによる以前の研究で「刺激を受ける筋肉のあらゆる小さな部分も電流を発生できる」ことが示されていることに着目しました。当時の実験は、動物組織のサンプルに2点の検流計を取り付け、外部回路を流れる電流を測定するというものでした。この研究の目的は組織の内部特性を理解することであったため、ヘルムホルツはそれらの内部特性と外部で測定された電流を関連付ける方法を見つけたいと考えました。

ヘルムホルツの出発点は、 1848年にグスタフ・キルヒホフが発表した研究結果であった。^{[ 12 ]}ヘルムホルツと同様に、キルヒホフも三次元の導電系に着目した。キルヒホフは二つの部分からなる系を考察し、それぞれをA部とB部と名付けた。A部（上図2の「能動ネットワーク」の役割を果たす）は、端と端が接続された導体の集合体で構成され、各導体は起電力と抵抗によって特徴付けられる。B部は、2本の電線を介してAの両端に接続されていると仮定した。そしてキルヒホフは、「Bのどの点においても流れを変えることなく、Aの代わりに、Aの電圧差の合計に等しい起電力と、Aの要素の抵抗の合計に等しい抵抗を持つ導体を用いることができる」ことを示した。^{[ 13 ]}

ヘルムホルツは 1853 年の論文でキルヒホッフの結果を認めたが、それが「水力発電バッテリーのように」A に閉じた電流曲線が存在せず、むしろそのような曲線がすべて B を通過する場合にのみ有効であると指摘した。そこで彼は、キルヒホッフの結果を、システム A 内の電流と電圧源の任意の 3 次元分布の場合に一般化しようと試みた。

ヘルムホルツは、重ね合わせの原理について、これまで発表されたものよりも一般的な定式化を提示し、次のように表現した。^{[ 14 ]}

導体系が様々な箇所に起電力を持つ場合、電流が流れる系内の各点における電圧は、それぞれの起電力が他の起電力とは独立して生成する電圧の代数和に等しい。同様に、電流強度の3つの直交軸に平行な成分は、それぞれの起電力に属する対応する成分の和に等しい。

ヘルムホルツはこの定理とオームの法則を用いて、「物理的」システム A の内部電圧と電流、および表面の 2 点で A に接続されていると想定される「線形」システム B を流れる電流の関係について、次の 3 つの定理を証明しました。

1. 内部に起電力が任意に分布している導体 A ごとに、その表面に特定の起電力分布を指定でき、これにより、適用されるすべての導体 B に A の内部力と同じ電流が生成されます。
2. 外部回路が接続されている場合の導体 A 内部の電圧と電流成分は、接続された回路がない場合に導体 A に発生する電圧と電流成分、および表面の電圧と電流成分の合計に等しくなります。
3. 導体 A の表面上で起電力を分散させるさまざまな方法は、その内部力と同じ派生電流を与えるはずですが、表面上のすべての点で同じ定数値を持つ差によってのみ異なります。

ヘルムホルツはこれらから最終的な結果を導き出した^{[ 15 ]}。

表面の特定の 2 点に一定の起電力を持つ物理的な導体を任意の線状導体に接続する場合、その代わりに、特定の起電力と特定の抵抗を持つ線状導体を常に代用することができます。これにより、適用されるすべての線状導体で、物理的な電流とまったく同じ電流が励起されます。... 代用する線状導体の抵抗は、線状導体の 2 つの入口から電流が物体に流れたときの抵抗に等しくなります。

そして彼は、一般的な「物理システム」に対して導き出された彼の結果は、キルヒホッフが考えたような「線形」（幾何学的な意味で）回路にも当てはまると指摘した。

あらゆる物理的な導体に当てはまることは、分岐した線形電流システムという特殊なケースにも当てはまります。このようなシステムの特定の2点が他の任意の線形導体に接続されている場合でも、そのシステムは、それらと比較して、ある抵抗を持つ線形導体のように振る舞います。その抵抗の大きさは、分岐線路に関するよく知られた規則に従って求められます。また、ある起電力を持つ線形導体のように振る舞います。起電力は、追加された回路が接続される前の導出点間の電圧差によって与えられます。

この定理の定式化は、30年後に発表されたテブナンの定理と本質的に同じです。

テブナン等価物の計算

線形電気回路のテブナン等価回路は、抵抗R _{thと直列に接続された電圧}V _thの電圧源です。

テブナン等価電圧V _thは、元の回路の出力端子における開放電圧です。テブナン等価電圧を計算する際には、一方の端子をV _out、もう一方の端子を接地点と することで、分圧器の原理がしばしば役立ちます。

テブナン等価抵抗R _Thは、回路を「逆算」して点Aと点B間で測定される抵抗です。この抵抗は、すべての電圧源と電流源をそれぞれの内部抵抗に置き換えた上で測定されます。つまり、理想的な電圧源は短絡回路に、理想的な電流源は開回路に置き換えます。その後、直列回路と並列回路の公式を用いて、端子間の抵抗を計算できます。この方法は、独立した電源を持つ回路にのみ有効です。回路内に従属電源がある場合は、 AとBの間にテスト電源を接続し、テスト電源の両端の電圧または電流を計算するなど、別の方法を使用する必要があります。

記憶法として、電圧源と電流源のテブナン置換は、電圧源と電流源の値（つまり電圧または電流）をゼロに設定することで覚えることができます。電圧源の値がゼロの場合、端子間の電位差はゼロボルトになります。これは、2本の端子が接触している理想的な短絡回路と似ています。したがって、電圧源は短絡回路に置き換えられます。同様に、電流源の値がゼロの場合と開回路はどちらも電流がゼロになります。

例

図3.

1. オリジナル回路
2. 等価電圧
3. 等価抵抗
4. 等価回路

この例では、等価電圧を計算します。(上記の計算はAとBの間が開回路の状態で行われるため、 R _{1 は}考慮されていないことに注意してください。したがって、この部分には電流が流れず、つまりR ₁に電流が流れず、したがってこの部分に沿った電圧降下はありません。) $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} \end{aligned}}}$$

等価抵抗の計算（R _x || R _yは2つの並列抵抗器の合計抵抗）: $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}}$$

Norton相当への変換

図4. ノートン・テブナン変換

ノートン等価回路はテブナン等価回路と次のように関係している。 $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {th} }&=R_{\mathrm {no} }\!\\V_{\mathrm {th} }&=I_{\mathrm {no} }R_{\mathrm {no} }\!\\I_{\mathrm {no} }&={\frac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}\!\end{aligned}}}$$

実用的な制限

• 多くの回路は特定の値の範囲でのみ線形であるため、テブナン等価回路はこの線形範囲内でのみ有効です。
• テブナン等価回路は、回路に接続された負荷の観点からのみ、元の回路と等価な I-V 特性を持ちます。
• テブナン等価回路の消費電力は、必ずしも実際のシステムの消費電力と同じではありません。ただし、2つの出力端子間の外付け抵抗によって消費される電力は、内部回路の実装方法に関わらず同じです。

三相回路では

1933年、ATスターは、電気技術者協会誌の記事「アクティブネットワークのための新しい定理」でテブナンの定理の一般化を発表しました。^{[ 16 ]}それによると、任意の3端子アクティブ線形ネットワークは、 Y型またはデルタ型に接続された、対応するインピーダンスを持つ3つの電圧源に置き換えることができます。

参照

• 余剰要素定理
• 最大電力伝達定理
• ミルマンの定理
• ソース変換

参考文献

1. フォン・ヘルムホルツ、ヘルマン(1853)。「Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leiter mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche」 [動物の電気に関する実験に適用される導体中の電流の分布に関するいくつかの法則]。Annalen der Physik und Chemie (ドイツ語)。89 (6): 211–233。Bibcode : 1853AnP...165..211H。土井：10.1002/andp.18531650603。
2. テブナン、レオン・シャルル(1883)。「Extension de la loi d'Ohm aux circuis électromotours complexes」 [複雑な起電回路へのオームの法則の拡張]。Annales Télégraphiques。 3 ^eシリーズ (フランス語)。10：222～ 224
3. テブナン、レオン・シャルル(1883)。「Sur un nouveau théorème d'électricité dynamique」 [動的電気の新しい定理について]。Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (フランス語)。97 : 159–161 .
4. Johnson, Don H. (2003). 「等価回路概念の起源：電圧源等価回路」（PDF） . Proceedings of the IEEE . 91 (4): 636– 640. Bibcode : 2003IEEEP..91..636J . doi : 10.1109/JPROC.2003.811716 . hdl : 1911/19968 .
5. ジョンソン、ドン H. (2003). 「等価回路概念の起源：電流源等価回路」(PDF) . Proceedings of the IEEE . 91 (5): 817– 821. Bibcode : 2003IEEEP..91..817J . doi : 10.1109/JPROC.2003.811795 .
6. Brittain, James E. (1990年3月). 「テブナンの定理」. IEEE Spectrum . 27 (3): 42. doi : 10.1109/6.48845 . S2CID 2279777 . 
7. Dorf, Richard C. ; Svoboda, James A. (2010). 「第5章 回路定理」.電気回路入門（第8版）. ホーボーケン, ニュージャージー州, 米国: John Wiley & Sons . pp.  162– 207. ISBN 978-0-470-52157-1。
8. ブレンナー、エゴン；ジャヴィッド、マンスール（1959年）「第12章 ネットワーク関数」『電気回路解析』マグロウヒル社、 268～ 269頁 。
9. Elgerd, Olle Ingemar [ドイツ語] (2007). 「第10章 エネルギーシステムの過渡現象 - サージ現象と対称故障解析」.電気エネルギーシステム理論入門. Tata McGraw-Hill . pp.  402– 429. ISBN 978-0-07019230-0。
10. ドワイト、ハーバート・ブリストル(1949). 「第2章 電気回路と磁気回路」. アーチャー・E. ノールトン (編). 『電気技術者のための標準ハンドブック』（第8版）.マグロウヒル. p. 26.
11. マロベルティ, フランコ; デイヴィス, アンソニー C. (2016). 『回路とシステムの小史』 デルフト: リバー・パブリッシャーズ. p. 37. ISBN 978-87-93379-71-8。
12. キルヒホッフ、グスタフ(1848)。「Ueber die Anwendbarkeit der Formeln für die Intensitäten der galvanischen Ströme in einem Systeme Linear Leiter auf Systeme, die zum Theil aus nicht Linearen Leiter bestehen」 [線形導体のシステムにおけるガルバニ電流の強度の公式の、部分的に非線形導体で構成されるシステムへの適用可能性について指揮者]。Annalen der Physik und Chemie (ドイツ語)。75 (10): 189–205。Bibcode : 1848AnP...151..189K。土井：10.1002/andp.18481511003。
13. キルヒホフ（1848）、195ページ。
14. ヘルムホルツ（1853）、212-213頁。
15. ヘルムホルツ（1853）、222ページ。
16. Starr, AT (1933). 「能動回路網のための新しい定理」 .電気学会誌. 73 (441): 303– 308. doi : 10.1049/jiee-1.1933.0129 .

さらに読む

• ウェンナー、フランク (1926). 「線状導体系における電流分布を支配する原理」.物理学会紀要. 39 (1). ワシントンD.C.:標準局: 124–144 .書誌コード: 1926PPS....39..124W . doi : 10.1088/0959-5309/39/1/311 . hdl : 2027/mdp.39015086551663 . 科学論文S531.
• 1 次フィルタ: テブナン等価ソースによるショートカット- 4 ページで、複雑な回路のテブナンの定理を 1 次ローパス フィルタに簡略化したものおよび関連する分圧器、時定数、ゲインを示します。

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズのテブナンの定理に関連するメディア

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