トムスペース

Topological space associated to a vector bundle

数学において、代数位相幾何学および微分位相幾何学のトム空間、 トム複体、またはポンチャギン–トム構成（ルネ・トムとレフ・ポンチャギンにちなんで命名）は、任意のパラコンパクト空間上のベクトル束に関連付けられた位相空間です。

トム空間の構築

この空間を構築する一つの方法は次のとおりです。

${\displaystyle p\colon E\to B}$

をパラコンパクト空間B上のn 階実 ベクトル束とすると、 Bの 各点bに対して、ファイバーはn次元実ベクトル空間となる。各ファイバーの1 点コンパクト化をとり、それらを接着して全体の空間を得ることにより、n球面束を形成することができる。 ^{[さらなる説明が必要]}最後に、全体の空間から、 をBで割った商としてトム空間を得る。つまり、すべての新しい点を 1 点 と同一視し、その点を の基点とすることにより得られる。Bがコンパクトであれば、 はEの 1 点コンパクト化である。 ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\to B}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$ ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle T(E)}$

たとえば、Eが自明なバンドル である場合、 は となり、分離した基点を持つBについて書くと、 はとのスマッシュ積、つまりのn番目の約分サスペンションとなります。 ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$ ${\displaystyle B\times S^{n}}$ ${\displaystyle B_{+}}$ ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle B_{+}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle B_{+}}$

あるいは、^{[引用が必要]} B はパラコンパクトであるため、E にユークリッド計量を与え、Eの単位円板バンドルをEの単位球面バンドルで割った商として定義することができます。 ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle (n-1)}$

トム同型性

この構成の重要性は、ファイバー束のコホモロジーという主題に属する次の結果から始まります。（向き付け可能性から生じる複雑さを避けるため、係数を用いて結果を述べました。ベクトル束の向き付け#トム空間も参照してください。） ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

階数nの実ベクトル束をベクトルとする。このとき、トム同型と呼ばれる同型が存在する。 ${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),}$

0以上のすべてのkに対して、右辺は縮小コホモロジーです。

この定理は、ルネ・トムが1952 年に発表した有名な論文の中で定式化され、証明されました。

この定理は、局所的自明化上の懸架同型性のグローバル一般化として解釈できる。なぜなら、ランクkのB上の自明バンドルのトム空間は、分離点が追加されたBのk番目の懸架と同型だからである(トム空間の構築を参照)。これは、トム空間を参照しない定理の定式化でより簡単に見ることができる。 ${\displaystyle B_{+}}$

トム同型—を環とし、を階数nの有向実ベクトル束とする。すると、クラスが存在する。 ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle u\in H^{n}(E,E\setminus B;\Lambda ),}$

ここで、BはEに零断面として埋め込まれ、任意のファイバーFに対してuの制限が満たされる。

${\displaystyle u|_{(F,F\setminus 0)}\in H^{n}(F,F\setminus 0;\Lambda )}$

はFの向きによって誘導されるクラスである。さらに、

${\displaystyle {\begin{cases}H^{k}(E;\Lambda )\to H^{k+n}(E,E\setminus B;\Lambda )\\x\longmapsto x\smile u\end{cases}}}$

同型です。

簡潔に言えば、定理の最後の部分は、u が右 -加群として自由生成することを述べています。uの類は通常、Eのトム類と呼ばれます。引き戻しは環同型なので、は次の式で与えられます。 ${\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )}$ ${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$ ${\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}$

特に、トム同型はの単位元をuに写す。注意：この式が意味を成すように、u はの元として扱われる（環 は省略する）。 ${\displaystyle H^{*}(B)}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}$^[1]

Thom 同型性に関する標準的な参考文献は、Bott と Tu による本です。

トムの作品の意義

1952 年の論文で、トムはトム類、スティーフェル・ホイットニー類、およびスティーンロッド演算がすべて関連していることを示した。 彼はこれらのアイデアを使って、1954 年の論文Quelques propriétés globales des variétés differentiablesで、コボルディズム群が特定のトム空間MG ( n ) のホモトピー群として計算できることを証明した。 この証明は滑らかな多様体の横断性特性に依存し、密接に関連している—トムの横断性定理を参照。 この構成を逆にすることで、ジョン・ミルナーとセルゲイ・ノビコフ(特に他多数) は、高次元多様体の存在と一意性に関する疑問に答えることができ、これは現在では手術理論として知られている。 さらに、空間MG(n)は互いに適合してスペクトルMG (現在ではトムスペクトルとして知られている)を形成し、コボルディズム群は実際安定している。したがって、トムの構成は微分位相幾何学と安定ホモトピー理論も統合し、特に球面の安定ホモトピー群に関する知識に不可欠です。

スティーンロッド演算が利用可能な場合、それと定理の同型性を利用してスティフェル・ホイットニー類を構築できる。スティーンロッド演算（mod 2）は自然変換であることを思い出してほしい。

${\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}$

はすべての非負整数mに対して定義されます。 の場合には、 はカップスクエアと一致します。ベクトル束のi番目のスティフェル・ホイットニー類は次のように定義できます。 ${\displaystyle i=m}$ ${\displaystyle Sq^{i}}$ ${\displaystyle w_{i}(p)}$ ${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}$

微分可能多様体への影響

上記の束を滑らかな多様体の接束とすると、その結論はウー公式と呼ばれ、次のような強い帰結が得られる。スティーンロッド演算はホモトピー同値性の下で不変であるので、多様体のスティフェル・ホイットニー類も同様に不変であるという結論が導かれる。これは他の特性類には一般化できない驚くべき結果である。セルゲイ・ノビコフによる、有理ポンチャギン類の位相不変性を確立する、同様に有名だが困難な結果が存在する。

トムスペクトル

真のコボルディズム

境界主義については2つの考え方がある。1つは、境界を持つ -多様体が存在する場合に、 2つの-多様体が共形であると考える方法である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M,M'}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \partial W=M\coprod M'}$

この種の情報をエンコードする別の手法は、埋め込みを取り、通常のバンドルを考慮する ことである。 ${\displaystyle M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}}$

${\displaystyle \nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M}$

埋め込み多様体と正規束の同型類は、実際にはコボルディズム類と同じ情報を符号化する。これは、コボルディズムを用いて、以下に定義されるトム空間への写像のホモトピー類を与えるものへの埋め込みを求めることで示される^[2]。 ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]}$ ${\displaystyle MO(n)}$

${\displaystyle \pi _{n}MO\cong \Omega _{n}^{O}}$

もう少し作業が必要です。^[3]

トムスペクトルの定義

定義によれば、トムスペクトル^[4]はトム空間の列である。

${\displaystyle MO(n)=T(\gamma ^{n})}$

ここで、階数nの普遍ベクトル束について書いた。この列はスペクトルを形成する。^[5]トムの定理によれば、は無向コボルディズム環である。^[6]この定理の証明は、トムの横断性定理に大きく依存している。^{[7]横断性が欠如しているため、トムのスペクトルから、例えば位相}多様体のコボルディズム環を計算するための代替手法が必要となる。 ${\displaystyle \gamma ^{n}\to BO(n)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(MO)}$

参照

• コボルディズム
• コホモロジー演算
• スティーンロッド問題
• 服部・ストン定理

注記

1. 同型性の証明。Bを零切断（すなわち零ベクトルにおける切断）または無限切断（すなわち無限ベクトルにおける切断）として埋め込むことができます（位相的には違いは重要ではありません）。2 通りの埋め込み方法を用いると、次の三つ組が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$

   ${\displaystyle (\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)}$。

   明らかに、変形はBに引き戻されます。この三つ組の長完全列をとると、次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\setminus B}$

   ${\displaystyle H^{n}(Sph(E),B)\simeq H^{n}(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B),}$

   後者は以下と同型である。

   ${\displaystyle H^{n}(E,E\setminus B)}$

   切除により。
2. 「トムの定理」（PDF） 。 2021年1月17日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。
3. 「Transversality」（PDF） 。 2021年1月17日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。
4. Greenlees、JPC (2006-09-15)の pp. 8-9 を参照。 「可換代数学者のためのスペクトル」。arXiv : math/0609452。
5. Francis, J. 「Math 465, lecture 2: cobordism」（PDF）。O. Gwilliamによる注釈。ノースウェスタン大学。
6. ストング 1968、18ページ
7. Francis, J. 「Math 465, lecture 4: transversality」（PDF）。I. Bobovkaによるノート。ノースウェスタン大学。

参考文献

• サリバン、デニス(2004). 「ルネ・トムの幾何学的ホモロジーおよびボルディズムに関する研究」アメリカ数学会報41 ( 3): 341– 350. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01026-2 .
• ボット、ラウル、トゥ、ローリング (1982).代数的位相幾何学における微分形式. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-90613-4。微分位相幾何学の古典的な参考書で、ポアンカレ双対性、球面束のオイラー類、トム類、トム同型性などへのリンクを扱っています。
• ミルナー、ジョン.特性クラス.トム類とトム同型性に関するもう一つの標準的な参考文献です。特に18項を参照してください。
• メイ、J.ピーター(1999). 『代数的位相幾何学簡潔講座』シカゴ大学出版局. pp.  183– 198. ISBN 0-226-51182-0。この教科書では、自明なベクトル束の Thom クラスの詳細な構成を示し、また任意のベクトル束の場合の定理も定式化します。
• ストング、ロバート・E. (1968).コボルディズム理論に関するノート.プリンストン大学出版局.
• トム、ルネ（1954年）。 「グローバルな独自性と差別化の可能性」。数学ヘルヴェティチの解説。28 : 17–86 .土井:10.1007/BF02566923。S2CID  120243638。
• Ando, Matthew; Blumberg, Andrew J.; Gepner, David J.; Hopkins, Michael J .; Rezk, Charles (2014). 「リングスペクトルとトムスペクトルの単位」. Journal of Topology . 7 (4): 1077– 1117. arXiv : 0810.4535 . doi :10.1112/jtopol/jtu009. MR  0286898. S2CID  119613530.

外部リンク

• http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
• 「トム空間」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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