トムの第二同位体補題

数学、特に微分位相幾何学において、トムの第二同位体補題はトムの第一同位体補題の族版である。すなわち、ホイットニーの成層空間間の写像の族はトム写像であるとき局所的に自明であると述べている。^{[1]第一同位体補題と同様に、この補題は}ルネ・トムによって導入された。

(Mather 2012, § 11) は証明の概要を示している。(Verona 1984) は簡略化された証明を示している。最初の同位体補題と同様に、この補題はベッカの条件 (C) を満たす成層化に対しても成立する。ベッカの条件 (C) はホイットニーの条件 (B) よりも弱い。^[2]

トムマッピング

を滑らかな多様体と部分多様体の間の滑らかな写像とし、両者とも定数階の微分を持つものとする。このとき、X内の各列がY内の点yに収束し、かつグラスマン多様体内の平面に収束する場合、次が成り立つとき、トムの条件が成立すると言われる^。[3] $f:M\to N$ $X,Y\subset M$ $f|_{X},f|_{Y}$ $(a_{f})$ $x_{i}$ $\operatorname {ker} (d(f|_{X})_{x_{i}})$ $\tau$ $\operatorname {ker} (d(f|_{Y})_{y})\subset \tau .$

をホイットニー層状閉集合とし、を滑らかな多様体Zへの写像とし、 Z上の写像となるものとする。すなわち、 Z上の写像となる。このとき、以下の条件が成立するとき、をトム写像と呼ぶ。 ^[3] $S\subset M,S'\subset N$ $p:S\to Z,q:S'\to Z$ $f:S\to S'$ $f(S)\subset S'$ $q\circ f|_{S}=p$ $f$

$f|_{S},q$ 適切です。
$q$ の各層に水没しています。 $S'$
Sの各層Xについて、は層Yにあり、水没しています。 $f(X)$ $S'$ $f:X\to Y$
トムの条件は、の各層ペアに対して成り立ちます。 $(a_{f})$ $S$

するとトムの第二同位体補題はトム写像がZ上で局所的に自明であることを表している。つまり、 Zの各点zにはU上の同相写像を持つ近傍Uが存在し、その近傍Uはとなる。^[3] $h_{1}:p^{-1}(z)\times U\to p^{-1}(U),h_{2}:q^{-1}(z)\times U\to q^{-1}(U)$ $f\circ h_{1}=h_{2}\circ (f|_{p^{-1}(z)}\times \operatorname {id} )$

参照

トム・マザー成層空間 – 位相空間の分解方法
トムの第一同位体補題 – 定理

参考文献

^ Mather 2012、命題11.2。
^ Bekka, K. (1991)の § 3 。「C-Régularité et trivialité topologique」。特異点理論とその応用。数学の講義ノート。 Vol. 1462. スプリンガー。ページ 42–62。土井:10.1007/BFb0086373。ISBN 978-3-540-53737-3。
^ abc Mather 2012、§11。

マザー、ジョン (2012). 「位相安定性に関するノート」アメリカ数学会報. 49 (4): 475– 506. doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01383-6 .
トム、R. (1969)。「アンサンブルと形態の層化」。アメリカ数学協会の会報。75 (2): 240–284。土井: 10.1090/S0002-9904-1969-12138-5。
ヴェローナ、アンドレイ (1984). 層別写像 — 構造と三角形化可能性. 数学講義ノート. 第1102巻. シュプリンガー. doi :10.1007/BFb0101672. ISBN 978-3-540-13898-3。

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[statement-1] Mather 2012、命題11.2。

[2] Bekka, K. (1991)の § 3 。「C-Régularité et trivialité topologique」。特異点理論とその応用。数学の講義ノート。 Vol. 1462. スプリンガー。ページ 42–62。土井:10.1007/BFb0086373。ISBN 978-3-540-53737-3。

[eleven-3] Mather 2012、§11。