トーマ関数

Function that is discontinuous at rationals and continuous at irrationals

区間(0,1)上の点プロット。中央の一番上の点はf (1/2) = 1/2を示しています。

トーマエ関数は実変数の実数値関数であり、次のように定義される: ^{[1] : 531} $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&{\text{if }}x={\tfrac {p}{q}}\quad (x{\text{ is rational), with }}p\in \mathbb {Z} {\text{ and }}q\in \mathbb {N} {\text{ coprime}}\\0&{\text{if }}x{\text{ is irrational.}}\end{cases}}}$$

これはカール・ヨハネス・トーマエにちなんで名づけられたが、ポップコーン関数、雨滴関数、可算クラウド関数、修正ディリクレ関数、ルーラ関数（整数ルーラ関数と混同しないように）^[2] 、リーマン関数、バビロンの上の星（ジョン・ホートン・コンウェイの名前）^[3]など、さまざまな名前がある。トーマエは、リーマンの積分の概念に関する初期の教科書の中で、無限に多くの不連続点を持つ積分可能関数の例としてこれを言及している。^[4]

すべての有理数はと で互いに素（互いに素とも呼ばれる）となる一意の表現を持つので、関数 は明確に定義されます。は において と互いに素となる唯一の数であることに留意してください。 ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle q=+1}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p=0.}$

これは、有理数では 1、それ以外では 0 となるディリクレ関数の修正版です。

プロパティ

• トーマエ関数は有界であり、すべての実数を単位区間にマッピングします。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,1].}$
• ${\displaystyle f}$は、すべての整数nとすべての実数xに対して周期的です。 ${\displaystyle 1:\;f(x+n)=f(x)}$

  周期性の証明

  私たちも持っているものすべて、したがって ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x+n\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(x+n)=f(x)=0,}$ すべてに対して、および が存在し、および となる。を考えてみよう。が および を割り切れる場合、 はおよび を割り切れる。逆に、が および を割り切れる場合、 はおよび を割り切れる。したがって、 および となる。 ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ,\;}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \;x=p/q,\;}$ ${\displaystyle \gcd(p,\;q)=1.}$ ${\displaystyle x+n=(p+nq)/q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p+nq}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p+nq}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (p+nq)-nq=p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \gcd(p+nq,q)=\gcd(p,q)=1}$ ${\displaystyle f(x+n)=1/q=f(x)}$

• ${\displaystyle f}$はすべての有理数で不連続なので、その不連続点は実数内に密集しています。

  有理数における不連続性の証明

  が任意の有理数で、 とが互いに素であるとします。 ${\displaystyle x_{0}=p/q}$ ${\displaystyle \;p\in \mathbb {Z} ,\;q\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ これにより ${\displaystyle f(x_{0})=1/q.}$ を任意の無理数とし、すべての ${\displaystyle \;\alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \;}$ ${\displaystyle x_{n}=x_{0}+{\frac {\alpha }{n}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ これらはすべて非合理的であり、 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle f(x_{n})=0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ これは、 ${\displaystyle |x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}},}$ ${\displaystyle |f(x_{0})-f(x_{n})|={\frac {1}{q}}.}$ とし、 とすると、に対応する については、および ${\displaystyle \;\varepsilon =1/q\;}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle n=1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil .}$ ${\displaystyle \;x_{n}}$ $${\displaystyle |f(x_{0})-f(x_{n})|=1/q\geq \varepsilon }$$ $${\displaystyle |x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}}={\frac {\alpha }{1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}<{\frac {\alpha }{\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}\leq \delta ,}$$ これはまさににおけるの不連続性の定義です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

• ${\displaystyle f}$はあらゆる無理数で連続なので、連続点は実数内に密集しています。

  無理数論における連続性の証明

  は周期で周期的であり、すべての無理数点をチェックすれば十分である。ここで、と仮定する。実数のアルキメデスの性質によれば、が存在し、が存在し、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle I=(0,1).\;}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,\;i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{0}\in I\setminus \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 1/r<\varepsilon ,}$ ${\displaystyle \;k_{i}\in \mathbb {N} ,}$ なぜなら私たちは ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$ ${\displaystyle 0<{\frac {k_{i}}{i}}<x_{0}<{\frac {k_{i}+1}{i}}.}$ のi番目の下限と上限までの最小距離は ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle d_{i}:=\min \left\{\left|x_{0}-{\frac {k_{i}}{i}}\right|,\;\left|x_{0}-{\frac {k_{i}+1}{i}}\right|\right\}.}$$ を有限個の最小値として定義し、すべての有限個に対して ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle d_{i}.}$ $${\displaystyle \delta :=\min _{1\leq i\leq r}\{d_{i}\},\;}$$ ${\displaystyle i=1,\dots ,r,}$ ${\displaystyle |x_{0}-k_{i}/i|\geq \delta }$ ${\displaystyle |x_{0}-(k_{i}+1)/i|\geq \delta .}$ つまり、これらの有理数はすべて ${\displaystyle k_{i}/i,\;(k_{i}+1)/i,\;}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ここで、互いに素である唯一の表現を とします。すると必然的に、したがって、 ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$ ${\displaystyle x=p/q}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle q>r,\;}$ $${\displaystyle f(x)=1/q<1/r<\varepsilon .}$$ 同様に、すべての無理数に対して、したがって、の任意の選択（十分に小さい）は、 ${\displaystyle x\in I,\;f(x)=0=f(x_{0}),\;}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \implies |f(x_{0})-f(x)|=f(x)<\varepsilon .}$$ したがって、連続している ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .}$

• ${\displaystyle f}$はどこでも微分可能ではありません。

  どこでも微分不可能であることの証明

  有理数の場合、これは非連続性から生じます。 無理数の場合: 無理数列に対して が無理点 に収束する場合、その列はと等しく、 となります。 ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle a_{n}\neq x_{0}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (f(a_{n}))_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {f(a_{n})-f(x_{0})}{a_{n}-x_{0}}}\right|=0}$ 一方、を満たす有理数列を考えます。ここで はの床面を表します。 なので、この列はスクイーズ定理を用いて に収束します。また、すべての に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle b_{n}=\lfloor nx_{0}\rfloor /n}$ ${\displaystyle \lfloor nx_{0}\rfloor }$ ${\displaystyle nx_{0}}$ ${\displaystyle nx_{0}-1<\lfloor nx_{0}\rfloor \leq nx_{0}}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle |b_{n}-x_{0}|=|\lfloor nx_{0}\rfloor /n-x_{0}|=|\lfloor nx_{0}\rfloor -nx_{0}|/n\leq 1/n}$ ${\displaystyle n}$ したがって、すべての に対して となる。したがって となり、 は任意の無理数 で微分可能ではない。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left|{\frac {f(b_{n})-f(x_{0})}{b_{n}-x_{0}}}\right|\geq {\frac {1/n-0}{1/n}}=1}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {f(b_{n})-f(x_{0})}{b_{n}-x_{0}}}\right|\geq 1\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

• ${\displaystyle f}$は各有理数において適切な極大値^{を持ち、適切な極大値の稠密な集合を持つ関数の例を示している。 [5]}
  が最大値となる適切な近傍の構築については、上記の連続性と不連続性の証明を参照してください。 ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f}$は任意の区間でリーマン積分可能であり、積分は任意の集合上で と評価されます。 ${\displaystyle 0}$
  ルベーグの積分可能性条件は、有界関数がリーマン積分可能であるための必要十分条件は、すべての不連続点の集合が測度ゼロを持つ場合であり、かつその場合に限る、と述べている。^[6]実数の可算な部分集合（例えば有理数）はすべて測度ゼロを持つため、上記の議論はトーマ関数が任意の区間においてリーマン積分可能であることを示している。関数の積分は任意の集合上で に等しい。なぜなら、関数はほぼすべての点で に等しいからである。 ${\displaystyle 0}$
• がの への制限のグラフである場合、のボックスカウント次元はである。^[7] ${\displaystyle G=\{\,(x,f(x)):x\in (0,1)\,\}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 4/3}$

関連する確率分布

トーマエ関数に関連する経験的確率分布は、DNAシーケンシングに見られる^[8]。ヒトゲノムは二倍体であり、染色体ごとに2本の鎖を持つ。シーケンシングを行うと、小さな断片（「リード」）が生成され、ゲノム上の各スポットには、整数個のリードが重なり合う。それらの比は有理数であり、通常はトーマエ関数に似た分布を示す。

分布から正の整数のペアをサンプリングし、それを用いて比を生成すると、有理数上の分布が得られます。整数が独立であれば、この分布は有理数上の畳み込みと見なすことができます。カットオフを持つべき乗分布には、閉形式の解が存在します。 （ここでは多重対数関数）の場合、 となります。集合 上の一様分布の場合、これはトーマエ関数と非常によく似ています。^[8] ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle f(n,m)}$ ${\displaystyle q=n/(n+m)}$ ${\displaystyle g(q)}$ ${\textstyle g(a/(a+b))=\sum _{t=1}^{\infty }f(ta)f(tb)}$ ${\displaystyle f(k)=k^{-\alpha }e^{-\beta k}/\mathrm {Li} _{\alpha }(e^{-\beta })}$ ${\displaystyle \mathrm {Li} _{\alpha }}$ ${\displaystyle g(a/(a+b))=(ab)^{-\alpha }\mathrm {Li} _{2\alpha }(e^{-(a+b)\beta })/\mathrm {Li} _{\alpha }^{2}(e^{-\beta })}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,L\}}$ ${\displaystyle g(a/(a+b))=(1/L^{2})\lfloor L/\max(a,b)\rfloor }$

ルーラー機能

整数の場合、2 の最大のべき乗の指数で割ると、0、1、0、2、0、1、0、3、0、1、0、2、0、1、0、... となります ( OEISのシーケンスA007814 )。1 を追加するか、0 を削除すると、1、2、1、3、1、2、1、4、1、2、1、3、1、2、1、... となります ( OEIS のシーケンスA001511 )。これらの値は 1/16目盛り付き定規の目盛りに似ているため、この名前が付けられています。これらの値は、トーマエ関数の 2 項有理数 (分母が 2 のべき乗である有理数)への制限に対応します。 ${\displaystyle n}$

関連機能

当然、次に来る疑問は、有理数上で連続し無理数上で不連続な関数が存在するかどうかである。これは不可能であることがわかる。任意の関数の不連続集合は、F _σ集合でなければならない。そのような関数が存在するなら、無理数は F _σ集合となる。すると無理数は閉集合の可算な 和集合となるが、無理数は区間を含まないので、無理数はいずれも区間を含まない。したがって、 のそれぞれはどこにも稠密ではなく、無理数は貧弱な集合となる。すると、無理数と有理数（可算集合なので明らかに貧弱である）の和集合である実数もまた貧弱な集合となる。これは、ベールの範疇の定理に矛盾する。実数は完全な計量空間を形成するので、ベール空間を形成し、この空間自体は貧弱ではあり得ないからである。 ${\textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$

_{トーマ関数の変形は、実数の任意の}Fσ部分集合が関数の不連続集合になり得ることを示すために用いることができる。が閉集合の可算和集合である場合、定義する。 ${\textstyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ $${\displaystyle f_{A}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is rational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\-{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is irrational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\0&{\text{if }}x\notin A\end{cases}}}$$

次に、トーマエ関数の場合と同様の議論により、不連続点の集合としてAが存在することが示されます。 ${\displaystyle f_{A}}$

参照

• ブルームバーグの定理
• カントール関数
• ディリクレ関数
• ユークリッドの果樹園– トーマの関数はユークリッドの果樹園の透視図として解釈できる。
• ヴォルテラ関数

参考文献

1. Beanland, Kevin; Roberts, James W.; Stevenson, Craig (2009). 「トーマエ関数の修正と微分可能性」.アメリカ数学月刊誌. 116 (6): 531– 535. doi :10.4169/193009709x470425. JSTOR  40391145.
2. ダナム、ウィリアム（2008年）『微積分ギャラリー：ニュートンからルベーグまでの傑作集』プリンストン：プリンストン大学出版局、149ページ、第10章。ISBN 978-0-691-13626-4...いわゆる定規関数。ヨハネス・カール・トーマの著作に登場するシンプルだが刺激的な例です。グラフは定規の垂直の目盛りを連想させるので、この名前が付けられました。
3. John Conway. 「トピック：関数の起源」. The Math Forum. 2018年6月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。
4. トーマエ、J. (1875)。Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (ドイツ語)。 Halle a/S: Verlag von Louis Nebert。 p. 14、§20。
5. Perfetti, Paolo (2006年秋). 「問題1129の解答」. 問題部. Pi Mu Epsilon Journal . 12 (5): 301– 319. JSTOR  24337958.ペルフェッティは、適切な局所最小値の稠密な集合を例として、トーマエ関数の否定を示しています。
6. Spivak, M. (1965).多様体上の微積分学. Perseus Books. 53ページ, 定理3-8. ISBN 978-0-8053-9021-6。
7. Chen, Haipeng; Fraser, Jonathan M.; Yu, Han (2022). 「ポップコーングラフの次元」. Proceedings of the American Mathematical Society . 150 (11): 4729– 4742. arXiv : 2007.08407 . doi :10.1090/proc/15729.
8. Trifonov, Vladimir; Pasqualucci, Laura; Dalla-Favera, Riccardo; Rabadan, Raul (2011). 「ハイスループット生物学的・臨床データにおける有理数上のフラクタル的分布」. Scientific Reports . 1 (191): 191. arXiv : 1010.4328 . Bibcode :2011NatSR...1E.191T. doi :10.1038/srep00191. PMC 3240948. PMID  22355706 . 

さらに読む

• アボット、スティーブン（2016年）『Understanding Analysis』 （ソフトカバー版、第2版復刻版）ニューヨーク：シュプリンガーISBN 978-1-4939-5026-3。
• バートル, ロバート・G.; シャーバート, ドナルド・R. (1999). 『実解析入門』（第3版）. Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4。（例5.1.6（h））

外部リンク

• 「ディリクレ関数」.数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
• ワイスタイン、エリック・W.「ディリクレ関数」。MathWorld。

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