トーマス歳差

物理学において、トーマス歳差（トーマス・プレセッション）は、ルウェリン・トーマスにちなんで名付けられた相対論的な補正であり、素粒子のスピンまたは巨視的なジャイロスコープの回転に適用される。これは、曲線軌道を描く粒子のスピンの角速度と、軌道運動の角速度を関連付ける。

与えられた慣性系において、2番目の系がそれに対してローレンツブーストされ、3番目の系が2番目の系に対してブーストされるが、最初のブーストとは共線的でない場合、1番目と3番目の系間のローレンツ変換にはブーストと回転の組み合わせが含まれ、これは「ウィグナー回転」または「トーマス回転」と呼ばれます。加速運動の場合、加速系はあらゆる瞬間に慣性系を持ちます。実験室系で測定されたわずかな時間間隔を空けて2回のブーストを行うと、2回目のブーストの後にウィグナー回転が発生します。時間間隔がゼロに近づく極限では、加速系はあらゆる瞬間に回転するため、加速系は角速度で回転します。

歳差運動は、相対性理論における速度空間が双曲的であるという事実の結果として幾何学的に理解することができ、したがってベクトル（ジャイロスコープの角速度）を円（線速度）の周りを平行移動させるとベクトルは異なる方向を指すことになる。あるいは代数的に理解すれば、ローレンツ変換の非可換性の結果として理解できる。トーマス歳差運動は、電子と原子核の間の相対論的な時間の遅れを考慮した量子力学におけるスピン軌道相互作用に補正を与える。

トーマス歳差運動は、特殊相対性理論の平坦時空における運動学的効果である。一般相対性理論の曲がった時空においては、トーマス歳差運動は幾何学的効果と組み合わさってド・ジッター歳差運動を生み出す。トーマス歳差運動（軌道を辿り、初期速度に戻った後の正味回転）は純粋に運動学的効果であるが、曲線運動においてのみ発生するため、電磁場、重力場、機械力など、曲線運動を引き起こす外力とは独立して観測することはできない。そのため、トーマス歳差運動は通常、力学的効果を伴う。^[1]

系が外部トルク（例えば外部スカラー場）を受けない場合、そのスピンダイナミクスはトーマス歳差運動のみによって決定される。ローレンツ変換を用いて見られるように、3つ以上の慣性系が非共線運動している状況では、（トーマス歳差運動に加算される微小回転の連続とは対照的に）単一の離散的なトーマス回転が存在する。

歴史

相対論におけるトーマス歳差は、1914年にすでにルドヴィク・シルバーシュタインによって知られていました^。[2]しかし、トーマスが相対論的歳差について知っていた唯一の知識は、エディントンの本で最初に出版された月の相対論的歳差に関するド・ジッターの論文から来ていました。^[3]

1925年、トーマスは原子の微細構造における二重項分離の相対論的歳差運動周波数を再計算しました。これにより、これまで欠けていた因子1/2を発見し、これはトーマスの半分として知られるようになりました。

電子スピンの相対論的歳差運動の発見は、相対論的効果の重要性の理解につながりました。この効果は「トーマス歳差運動」と名付けられました。

導入

意味

ミンコフスキー時空を運動する物理系を考えてみましょう。ある瞬間において、系が静止しているような慣性系が存在すると仮定します。この仮定は、相対性理論の第三公準と呼ばれることもあります。^{[4]これは、ある瞬間において、系の座標と状態は、}何らかのローレンツ変換によって実験系にローレンツ変換できることを意味します。

系が（瞬間的な）静止系において、質量中心に対してトルクを生じない外力を受けているとする。「トルクなし」という条件は、トーマス歳差現象を分離するために必要である。単純化のための仮定として、外力は有限時間後に系を初期速度に戻すと仮定する。初期速度と最終速度がゼロとなるローレンツ系 $Oを固定する。$

パウリ＝ルバンスキースピンベクトル $S μ$ は、系の静止系において $(0, S i)$ と定義され、 $S$ $i は$ 質量中心の周りの角運動量三元ベクトルである。初期位置から最終位置への運動において、 $S$ $μは$ $O$ に記録されているように、初期値から最終値まで回転する。この連続的な変化がトーマス歳差運動である。^[5]

声明

粒子の運動を考えてみましょう。観測者が粒子の相対運動を測定できる実験系 $Σ$ を導入します。各瞬間において、粒子は静止している慣性系を持ちます。この実験系に対する粒子の瞬間速度は $v (t)$ で、大きさ $| v | = v$ は光速 $c$ によって制限されます。つまり、 $0 \leq v < c$ となります。ここで、時刻 $t$ は実験系で測定された座標時間であり、粒子の固有時間ではありません。

大きさの上限を除けば、粒子の速度は任意であり、必ずしも一定ではない。対応する加速度ベクトルは $a = d v (t)/ dt$ である。ウィグナー回転の結果として、粒子の座標系は次式で与えられる角速度で歳差運動する。^[6]^[7]^[8]^[9]

トーマス歳差

${\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v}$

ここで×は外積であり、

\gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {|\mathbf {v} (t)|^{2}}{c^{2}}}}}}

は瞬間ローレンツ因子であり、粒子の瞬間速度の関数です。他の角速度と同様に、 $ω T$ は擬似ベクトルです。その大きさは粒子の座標系が歳差運動する角速度（ラジアン/秒）であり、方向は回転軸に沿う方向です。通常通り、外積の右手の法則が適用されます（右手の法則を参照）。

歳差運動は、加速運動と、粒子の瞬間速度および加速度の非共線性に依存します。粒子が等速度（ $v$ が一定で $a = 0$ ）で移動するか、直線で加速する場合（この場合 $v$ と $a$ は平行または反平行で外積がゼロ）には、歳差運動は発生しません。フレームが歳差運動するには、粒子は曲線（円弧、螺旋、らせん、円軌道、楕円軌道など）で移動する必要があります。歳差運動の角速度は、速度ベクトルと加速度ベクトルが運動全体で垂直である場合（円軌道）に最大になり、それらの大きさが大きい場合（ $v$ の大きさがほぼ $c$ ）は大きくなります。

非相対論的極限では、 $v \to 0$ なので $γ \to 1$ となり、角速度は近似的に

{\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}\approx {\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {a} \times \mathbf {v}

1/2という係数は、実験結果と一致する上で決定的な係数であることが判明しました。これは非公式に「トーマスの半分」として知られています。

数学的な説明

ローレンツ変換

相対運動の記述にはローレンツ変換が用いられますが、行列形式を用いると便利です。記号行列式は変換を要約しており、操作が容易です。また、必要に応じて完全な行列を明示的に記述することもできます。また、 $cの余分な要素が方程式を煩雑にするのを防ぐため、$ $β (t) = v (t)/ c$ の定義を用いると便利です。この場合、大きさ $| β | = β$ $は0 \leq β < 1$ となります。

実験フレームの時空座標は4×1列ベクトルにまとめられ、ブーストは4×4 対称行列として表現される。

X={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,,\quad B({\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{x}&-\gamma \beta _{y}&-\gamma \beta _{z}\\-\gamma \beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}

そして回す

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}

$はβ$ のローレンツ因子です。他のフレームでは、対応する座標も列ベクトルに配置されます。ブーストの逆行列は反対方向のブーストに対応し、 $B (β) -1 = B ( - β)$ で与えられます。

$実験室系で測定された実験記録時刻t$ の瞬間において、実験系 $Σ$ から粒子系Σ $'$ への時空座標の変換は

X'=B({\boldsymbol {\beta }})X

1

そして、その後の実験室記録時刻 $t + Δ t$ において、粒子の新しいフレーム $Σ''を定義することができ、これは$ $Σ$ に対して速度 $β + Δ β$ で移動する。対応するブーストは

X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X

2

ベクトル $β$ と $Δβ は$ 2つの別々のベクトルである。後者は小さな増分であり、 $β$ ^{に平行な成分（‖）と垂直な成分（⊥）に分割することができる[注1]。}

\Delta {\boldsymbol {\beta }}=\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }

( 1 )と( 2 $)を組み合わせると、 Σ'$ と $Σ''$ 間のローレンツ変換が得られる。

X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})X'\,,

3

この合成には、これら2つの実験時間間の運動に関する必要な情報がすべて含まれています。B $(β + Δ β) 、 B ( - β)$ 、 $B (β + Δ β)$ は相対速度の小さな増分を伴うため微小変換ですが、 $B ( - β)$ はそうではありません。

2 つのブーストの合成は、相対速度に垂直な軸の周りのウィグナー回転と組み合わされた 1 つのブーストに相当します。

\Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )

4

回転は、軸-角度表現の4×4 回転行列 $R$ で与えられ、座標系は右手系とされます。この行列は、3D ベクトルを軸を中心に反時計回りに回転（アクティブ変換）、または同等に座標フレームを同じ軸を中心に時計回りに回転（パッシブ変換）します。軸-角度ベクトル $Δ$ $θ$ は回転をパラメータ化し、その大きさ $Δ$ $θ$ $はΣ''$ が回転した角度であり、方向は回転軸に平行です。この場合、軸は外積( $-$ $β$ $)\times($ $β$ $+ Δ$ $β$ $) = -$ $β$ $\timesΔ$ $β$ に平行です。角度が負の場合、回転の方向は逆になります。逆行列は $R$ $(Δ$ $θ$ $)$ $-1$ $=$ $R$ $(-Δ$ $θ$ $)$ で与えられます。

ブーストに対応するのは、ブーストベクトル $Δ b$ （の小さな変化）であり、これはブーストの相対速度の大きさと方向（ $c$ で割ったもの）を表します。ここでのブースト $B (Δ b)$ と回転 $R (Δ θ)は、$ $Δ b$ と回転 $Δ θ$ が小さいため、微小変換です。

回転はトーマス歳差運動を引き起こすが、微妙な点がある。粒子の座標系を実験室座標系に対して共動する慣性座標系として解釈し、非相対論的極限に同意するためには、時刻 $t$ と $t + Δ t$ における粒子の瞬間座標系間の変換は、回転を伴わないブーストによって関連付けられると予想される。( 3 )と( 4 )を組み合わせて整理すると、

B(\Delta \mathbf {b} )X'=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=X'''\,,

5

$ここで、 Σ''$ との融合を防ぐために、別の瞬間フレーム $Σ'''$ が座標 $X "'$ で導入されます。参照フレームをまとめると、ラボフレーム $Σ$ では、観測者が粒子の運動を測定し、粒子が静止している 3 つの瞬間慣性フレームは、 $Σ'$ (時刻 $t$ )、 $Σ''$ (時刻 $t$ $+ Δ$ $t$ )、および $Σ'''$ (時刻 $t$ $+ Δ$ $t$ ) です。フレーム $Σ''$ と $Σ'''$ は同じ場所と時間にあり、回転のみが異なります。対照的に、 $Σ'$ と $Σ''' は、$ ブーストおよびラボ時間間隔 $Δ$ $t$ 異なります。

（５）と（２）を介して座標 $X'''を$ 実験座標 $Xに関連付ける。$

X'''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X\,,

6

フレーム $Σ'''$ は負の方向に回転します。

回転は実験室時間の2つの瞬間の間で起こる。Δ t → 0 のとき $、粒子の$ 座標系は毎瞬間回転し、粒子の連続運動は毎瞬間の角速度を伴う連続回転となる。 $-Δ θ$ $をΔ t$ で割り、極限 $Δ t \to 0$ をとると、角速度は定義により

{\boldsymbol {\omega }}_{T}=-\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {\theta }}}{\Delta t}}

7

$Δ θ が$ 正確に何であるかを見つけることが残っています。

式の抽出

合成は行列積を明示的に計算することで得られる。β $+ Δ$ $βのブースト行列には、$ このベクトルの大きさとローレンツ因子が必要となる。Δ $βは小さいため、「$ $2$ 次」の項 $|$ $Δ$ $β$ $|$ $2$ 、 $(Δ$ $β$ $x$ $)$ $2$ 、 $(Δ$ $β$ $y$ $)$ $2$ 、 $Δ$ $β$ $x$ $Δ$ $β$ $y$ およびそれ以上の項は無視できる。この事実を利用すると、ベクトルの大きさの2乗は

|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}=|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+2{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}

$β + Δ β$ のローレンツ因子をべき級数展開すると、Δ β $の 1$ 次の式が得られる。

{\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}&=1+{\frac {1}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \\&=\left(1+{\frac {|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \right)+\left(1+{\frac {3}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+\cdots \right){\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\\&\approx \gamma +\gamma ^{3}{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\end{aligned}}

$上記のようにβ$ のローレンツ因子 $γ$ を使用します。

xy平面におけるブーストの合成

$一般性を損なうことなく計算を簡略化するため、 β$ の方向は完全に $x$ 方向、 $Δβ は$ $xy$ 平面内とします。つまり、平行成分は $x$ 方向、垂直成分は $y$ 方向となります。ウィグナー回転の軸は $z$ 方向です。直交座標基底 $e x 、 e y 、 e z$ （それぞれの方向における互いに直交する単位ベクトルの集合）において、

{\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }=\Delta \beta _{x}\mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{y}\,,\quad {\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}=\beta \Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{z}

この簡略化された設定により、最小限の行列要素でブースト行列を明示的に与えることができます。もちろん、一般に $β$ と $Δβ は$ 任意の平面上に存在することができ、後に示す最終結果は変わりません。

明示的には、時刻 $t$ においてブーストは負の $x$ 方向である。

B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}

そして時刻 $t + Δ t$ におけるブーストは

B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

ここで、 $γは$ $β$ のローレンツ因子であり、 $β$ $+Δβ$ $で$ はない 。合成変換は行列積である。

\Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}1&-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&1&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&-\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

ブーストジェネレータの紹介

K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}

回転ジェネレータ

J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}

ドット積とともに· 座標に依存しない表現を容易にする

\Lambda =I-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)({\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }})\cdot \mathbf {J} -\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })\cdot \mathbf {K}

これは $β$ と $Δβ が$ 任意の平面上にある場合に成立する。これはブーストと回転を組み合わせた形の微小ローレンツ変換である^[注2]

\Lambda =I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} -\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K}

どこ

\Delta {\boldsymbol {\theta }}=\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {v} \times \Delta \mathbf {v}

\Delta \mathbf {b} =\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })

$Δθ を$ $Δt$ で割り、（ 7 ）の極限をとると、瞬間角速度が得られる $。$

{\boldsymbol {\omega }}_{T}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v}

ここで $、a$ は実験系で観測された粒子の加速度です。導出において力は指定も使用もされていないため、歳差運動は運動学的な効果であり、運動の幾何学的側面から生じます。しかし、力は加速を引き起こすため、粒子が力を受けている場合、トーマス歳差運動が観測されます。

フェルミ-ウォーカー輸送方程式からの導出

トーマス歳差運動は、フェルミ・ウォーカー輸送方程式を用いても導くことができる。^[10]^[11]^[12] これは、スピンを持ち、xy平面内を一定速度vで反時計回りに円運動する粒子に対して最も簡単に導かれる。スピンはxy平面内で歳差運動する成分を持つと仮定する。後述するように、スピン4ベクトル成分は微分方程式に従う。 $S^{0}$ ${\frac {d^{2}}{d\,{\tau }^{2}}}\,\,S^{0}\,=\,-{\gamma }^{2}\,{\omega }^{2\,(proper)}\,S^{0}$

$\tau$ は粒子の加速系における固有時で、は粒子によって観測される角速度です。これは、粒子によって観測される角速度を伴う正弦波運動を表します。は、xy平面におけるスピン方向が速度方向と揃ったときに最も正の値となり、方向が反対に揃ったときに最も負の値となります。揃うまでの周期は公転周期よりも短いため、スピン歳差運動は逆行です。歳差運動の逆行角速度は下付き文字はトーマス歳差運動を表します。実験室時間は固有時の定数倍であるため、実験室系で測定されたこれらの角速度にも同じ関係が当てはまります。これらの比率は変化しません。 ${\omega }^{(proper)}$ $\gamma \,\omega ^{(proper)}$ $S^{0}$ ${\omega }_{T}^{(proper)}\,=\,(\gamma \,-\,1)\,{\omega }^{(proper)}$ $T$ $t$ $\gamma$ $\tau$

これは先ほど得た式と同じである。 $\mathbf {a} \,\times \,\mathbf {v} \,=\,-\,{\omega }^{(lab)}\,v^{2}\,\mathbf {\hat {z}} \,\Rightarrow \,{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {{\gamma }^{2}}{\gamma +1}}\,\mathbf {a} \,\times \,\mathbf {v} \,=\,-(\gamma -1)\,\omega ^{lab}\,\mathbf {\hat {z}}$

$\mathbf {\hat {z}}$ +z方向の単位ベクトルです。

の式の証明 $S^{0}$

一般性を失うことなく、時間の単位は軌道角速度、時間の原点を最初の動きが +x 方向になるように選択し、距離の単位を光速になるように選択することができます。 ${\omega }^{(proper)}\,=\,1$ $c=1$

計量を用いる。4次元速度は^[13]^[14] 4次元加速度は^[15] 4次元加速度の時間微分は $g_{00}=-1$ $u\,=\,(\gamma ,\,\gamma \,v\,\cos(\tau ),\,\gamma \,v\sin(\tau ),\,0)$ $a\,=\,(0,\,-\gamma \,v\,\sin(\tau ),\,\gamma \,v\cos(\tau ),\,0)$ ${\frac {d}{d\,\tau }}\,a\,=\,(0,\,-\gamma \,v\,\cos(\tau ),\,-\gamma \,v\sin(\tau ),\,0)\,=\,-u\,+\,(\gamma ,0,0,0)$

4スピンSのフェルミ・ウォーカー輸送方程式は^[16] である。をに置き換えると、予想通り、およびであるため、となる。この円運動に対するフェルミ・ウォーカー輸送方程式は、この方程式の時間微分をとり、およびを代入すると、となる。 ${\frac {d}{d\,\tau }}\,S\,=\,u\;a\cdot S\,-\,a\,\;u\cdot S\,=\,u\;a\cdot S$ $u\cdot S=0$ $S$ $u$ ${\frac {d}{d\tau }}\,u=a$ $u\cdot a=0$ $u\cdot u=-1$ $S^{0}$ ${\frac {d}{d\,\tau }}\,S^{0}\,=\,\gamma \,a\cdot S$ ${\frac {d}{d\,\tau }}\,a$ ${\frac {d}{d\,\tau }}\,S$ ${\frac {d^{2}}{d\,{\tau }^{2}}}\,S^{0}\,=\,-{\gamma }^{2}\,S^{0}$

$S_{x}$ そして $S_{y}$ から $S^{0}$

単位ベクトルとは、と 4 次元加速度の時間依存線形結合です。ここでです。次にとは、の線形結合です。を代入します。古典的には、はで与えられます。ここでは静止系における xy 平面のスピン成分の大きさです。これはとなります。とのスピン 4 次元ベクトルは、予想どおり、のときに最も正になります。整数 n の場合です。するととなります。これらの時点では、4 次元速度のと成分は、スピン方向と速度方向が揃っているときに最も正になります。 $e_{x}=(0,1,0,0)$ $e_{y}=(0,0,1,0)$ $u-\gamma \,e_{0}$ $a$ $e_{0}=(1,0,0,0)$ ${\begin{aligned}S\cdot (u-\gamma \,e_{0})&=\gamma \,S^{0}\\S\cdot a&=\,\gamma ^{-1}\,{\frac {d\,S^{0}}{d\,\tau }}\end{aligned}}$ $e_{x}$ $e_{y}$ ${\begin{aligned}e_{x}\,&=\,\gamma ^{-1}\,v^{-1}\,(u-\gamma \,e_{0})\,\cos(\tau )\,-\gamma ^{-1}\,v^{-1}\,a\,\sin(\tau )\\e_{y}\,&=\,\gamma ^{-1}\,v^{-1}\,(u-\gamma \,e_{0})\,\sin(\tau )\,+\gamma ^{-1}\,v^{-1}\,a\,\cos(\tau )\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}S_{x}\,=\,S\,\cdot \,e_{x}\,&=\,v^{-1}\,S^{0}\,\cos(\tau )\,-\gamma ^{-2}\,v^{-1}\,{\frac {d\,S^{0}}{d\,\tau }}\,\sin(\tau )\\S_{y}\,=\,S\,\cdot \,e_{y}\,&=\,v^{-1}\,S^{0}\,\sin(\tau )\,+\gamma ^{-2}\,v^{-1}\,{\frac {d\,S^{0}}{d\,\tau }}\,\cos(\tau )\end{aligned}}$ $S^{0}$ $S^{0}\,=\,|\mathbf {S} _{\perp }|\,\gamma \,v\,\cos(\gamma \,\tau +\phi )$ $|\mathbf {S} _{\perp }|$ ${\begin{aligned}S_{x}\,&=\,|\mathbf {S} _{\perp }|\,(\sin(\tau )\sin(\gamma \,\tau +\phi )+\gamma \,\cos(\tau )\,\cos(\gamma \,\tau +\phi ))\\S_{y}\,&=\,|S_{\perp }|\,(-\cos(\tau )\,\sin(\gamma \,\tau +\phi )\,+\gamma \,\sin(\tau )\,\cos(\gamma \,\tau +\phi ))\end{aligned}}$ $\tau =0$ $\phi =0$ $S\,=\,|\mathbf {S} _{\perp }|\,(\gamma \,v,\,\gamma ,\,0,\,0)$ $S^{0}$ $\gamma \,\tau _{n}+\phi =2\,n\,\pi$ ${\begin{aligned}S_{x}\,&=\,|\mathbf {S} _{\perp }|\,\gamma \,\cos(\tau _{n})\\S_{y}\,&=\,|S_{\perp }|\,\gamma \,\sin(\tau _{n})\end{aligned}}$ $u_{x}$ $u_{y}$ ${\begin{aligned}u_{x}\,&=\,\gamma \,v\,\cos(\tau _{n})\\u_{y}\,&=\,\gamma \,v\,\sin(\tau _{n})\end{aligned}}$ $S^{0}$

これらの方程式は、およびとすれば、Misner、Thorne、Wheeler ^[17]の演習6.9に示されているスピン4ベクトルの解と一致します。また、およびとすれば、ここでの粒子は最初は+x方向ではなく+y方向に動いているためです。 $S^{0},\,S_{x},\,S_{y}$ $|\mathbf {S_{\perp }} |=\hbar /{\sqrt {2}}$ $\phi =\pi /2$ $\cos(\tau )\rightarrow -\sin(\tau )$ $\sin(\tau )\rightarrow \cos(\tau )\;$

複素四元数を用いた導出

複素四元数を用いると、トーマス歳差の導出は容易になります。ここで使用した方程式の詳細と参考文献については、「四元数ローレンツ変換」の記事を参照してください。

円軌道における歳差運動

粒子は最初は静止していると仮定します。+y方向への微小な加速と、それに続く+x方向への加速を考えてみましょう。第一に、最初の小さな垂直加速は、結果として生じる速度の大きさを変えず、その方向のみを変えます。これは、小さな回転の後に、わずかに方向が異なる同じ大きさの加速が続くことで表すことができます。 $B_{y}$ $B_{x}$

2つのブーストの積はとなります。これはに変換されます。ここで、最後の上線とアスタリスクを組み合わせたものはを実行することを意味します。これらは、記事「双四元数」で定義されている2つの共役です。ブーストが期待どおりに変換されることが確認できます。ブーストが最初に適用されます。 ${\begin{aligned}\mathbf {Q} \,=\,\mathbf {B} _{x}\,\mathbf {B} _{y}\,&=\,(\cosh(\alpha /2)+i\,\sinh(\alpha /2)\,\mathbf {I} )\;(\cosh(\delta \alpha /2)+i\,\sinh(\delta \alpha /2)\,\mathbf {J} )\\&=\cosh(\alpha /2)\,\cosh(\delta \alpha /2)+i\,\sinh(\alpha /2)\,\cosh(\delta \alpha /2)\,\mathbf {I} \,+i\,\cosh(\alpha /2)\,\sinh(\delta \alpha /2)\,\mathbf {J} \,-\,\sinh(\alpha /2)\,\sinh(\delta \alpha /2)\,\mathbf {K} \end{aligned}}$ $\mathbf {X} \,=t\,+\,i\,x\,\mathbf {I} \,+\,i\,y\,\mathbf {J} \,+\,i\,z\,\mathbf {K}$ $\mathbf {X} '\,=\,\mathbf {Q} \,\mathbf {X} \,{\overline {\mathbf {Q} ^{*}}}$ $\mathbf {Q}$ $i\rightarrow -i,\;\mathbf {I} \rightarrow -\mathbf {I} ,\;\;\mathbf {J} \rightarrow -\mathbf {J} ,\;\mathbf {K} \rightarrow -\mathbf {K}$ $\mathbf {X}$ $\mathbf {B} _{y}$

これは回転とブーストの組み合わせとして表すこともできます。を空間回転角、を+x軸に対するブースト方向の角度とします。が正の場合、回転は反時計回りであることが確認できます。 $\delta \theta _{rot}$ $\delta \theta _{boost}$ $\delta \theta _{rot}$

これらをで 1 次まで解くと、と等しくなります。で 1 次まで解くと、それぞれとの係数の方程式のペアが得られます。2 番目の方程式と 1 番目の方程式の比は、です。マイナス記号は、歳差運動が逆行していることを示します。 $\delta \alpha$ $\mathbf {Q} \,=\,(\cosh(\alpha /2)+i\,\sinh(\alpha /2)\,(\mathbf {I} \,+\delta \theta _{boost}\,\mathbf {J} ))\;(1+{\frac {\delta \theta _{rot}}{2}}\,\mathbf {K} )$ $\delta \alpha$ $\mathbf {K}$ $\mathbf {J}$ ${\begin{aligned}\cosh(\alpha /2)\,{\frac {\delta \theta _{rot}}{2}}\,&=\,-\sinh(\alpha /2)\,\delta \alpha /2\\\sinh(\alpha /2)\,(\delta \theta _{boost}-{\frac {\delta \theta _{rot}}{2}})\,&=\,\cosh(\alpha /2)\,\delta \alpha /2\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\frac {2\,\delta \theta _{boost}-\delta \theta _{rot}}{\delta \theta _{rot}}}\,&=\,-\coth ^{2}(\alpha /2)\\\Rightarrow \;{\frac {\theta _{rot}}{\theta _{boost}}}&=\,-(\gamma -1)\end{aligned}}$

アプリケーション

電子軌道において

量子力学において、トーマス歳差運動は、水素原子の電子と原子核の間の相対論的な時間の遅れを考慮したスピン軌道相互作用の補正です。

基本的に、ローレンツブーストは互いに交換しないため、特殊相対論では回転する物体は加速すると歳差運動すると述べています。

磁場内の粒子のスピンを計算するには、ラーモア歳差運動も考慮する必要があります。

フーコーの振り子

フーコー振り子の振子面の回転は、ユークリッド空間の2次元球面における振り子の平行移動の結果として扱うことができる。ミンコフスキー時空における速度の双曲空間は、虚半径と虚時間的座標を持つ3次元（擬似）球面を表す。相対論的速度空間における回転粒子の平行移動はトーマス歳差運動をもたらし、これはフーコー振り子の振子面の回転に類似している。^[18]どちらの場合も回転角は曲率の面積積分によって決定され、ガウス・ボネの定理に一致する。

トーマス歳差は、フーコー振り子の歳差運動の補正値を与えます。オランダのナイメーヘン市にあるフーコー振り子の場合、補正値は以下のとおりです。

\omega \approx 9.5\cdot 10^{-7}\,\mathrm {arcseconds} /\mathrm {day} .

これは、フレームドラッグから生じる一般相対論的補正、レンズ・サーリング歳差運動による歳差運動よりも 2 桁以上小さいことに注意してください。

参照

備考

^ 明示的には、 $β$ の方向に対するベクトル射影と拒絶を使用すると、
$\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }={\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta {\boldsymbol {\beta }}-{\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}$
ただし、平行・垂直コンポーネントを単純に使用する方が簡単です。
^ 回転行列とブースト行列（それぞれ無限小）は次のように与えられる。
$R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \,,\quad B(\Delta \mathbf {b} )=I-\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} \,,$
微小レベルでは、それらは互いに交換可能である
$\Lambda =B(\Delta \mathbf {b} )R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )$
$(Δ θ \cdot J)(Δ b \cdot K)$ と $(Δ b \cdot K)(Δ θ \cdot J)$ の積は無視できるほど小さいためである。一般に、フルブーストと回転は交換しない。

注記

^ マリキン 2006
^ シルバースタイン 1914年、169ページ
^ エディントン 1924
^ ゴールドスタイン 1980
^ ベン・メナヘム 1986
^ ジャクソン 1975, 543–546ページ
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^ サード 1970、280ページ
^ Sexl & Urbantke 2001, p. 42
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^ Tsamparlis, Michael (2019).特殊相対性理論第2版. 物理学学部講義ノート. ニューヨーク・ドルドレヒト・ハイデルベルク・ロンドン: Springer. p. 192. ISBN 978-3-030-27346-0。
^ ミスナー、ソーン、ホイーラー『重力』p 1117
^ ミスナー、ソーン、ホイーラー『重力』175-176ページ
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参考文献

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外部リンク

トーマス歳差に関するMathpagesの記事
トーマス歳差運動の別の詳細な導出（ロバート・リトルジョン著）
トーマス歳差運動の簡潔な導出

[10] 明示的には、 $β$ の方向に対するベクトル射影と拒絶を使用すると、
$\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }={\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta {\boldsymbol {\beta }}-{\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}$
ただし、平行・垂直コンポーネントを単純に使用する方が簡単です。

[11] 回転行列とブースト行列（それぞれ無限小）は次のように与えられる。
$R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \,,\quad B(\Delta \mathbf {b} )=I-\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} \,,$
微小レベルでは、それらは互いに交換可能である
$\Lambda =B(\Delta \mathbf {b} )R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )$
$(Δ θ \cdot J)(Δ b \cdot K)$ と $(Δ b \cdot K)(Δ θ \cdot J)$ の積は無視できるほど小さいためである。一般に、フルブーストと回転は交換しない。

[1] マリキン 2006

[2] シルバースタイン 1914年、169ページ

[3] エディントン 1924

[4] ゴールドスタイン 1980

[5] ベン・メナヘム 1986

[6] ジャクソン 1975, 543–546ページ

[7] ゴールドスタイン 1980, 288ページ

[8] サード 1970、280ページ

[9] Sexl & Urbantke 2001, p. 42

[12] Gourgoulhon, Eric (2013).一般座標系における特殊相対論. 物理学大学院テキスト. ニューヨーク・ドルドレヒト・ハイデルベルク・ロンドン: Springer. p. 91. ISBN 978-3-642-37275-9。

[13] ミスナー、ソーン、ホイーラー『重力』175-176ページ

[14] ソーン、キップ・S; ブランドフォード、ロジャー・D (2017).現代古典物理学. プリンストン: プリンストン大学出版局. p. 1184. ISBN 9780691159027。

[15] ベナクイスタ, マシュー・J.; ロマーノ, ジョセフ・D. (2017).古典力学. 物理学学部講義ノート. ニューヨーク・ドルドレヒト・ハイデルベルク・ロンドン: シュプリンガー. p. 387. ISBN 978-3-319-68779-7。

[16] クリストドゥリデス、コスタス (2015). 『特殊相対性理論』物理学学部講義ノート. ニューヨーク・ドルドレヒト・ハイデルベルク・ロンドン: シュプリンガー. p. 258. ISBN 978-3-319-25272-8。

[17] Tsamparlis, Michael (2019).特殊相対性理論第2版. 物理学学部講義ノート. ニューヨーク・ドルドレヒト・ハイデルベルク・ロンドン: Springer. p. 192. ISBN 978-3-030-27346-0。

[18] ミスナー、ソーン、ホイーラー『重力』p 1117

[19] ミスナー、ソーン、ホイーラー『重力』175-176ページ

[20] クリヴォルチェンコ 2009