トムソン問題

球面上の点の配置

トムソン問題の目的は、クーロンの法則によって与えられる力で互いに反発する単位球の表面に束縛されたN個の電子の最小静電ポテンシャルエネルギー配置を決定することです。物理学者JJトムソンは、中性電荷を持つ原子内に負電荷を持つ電子が存在するという知識に基づき、後にプラムプディングモデルと呼ばれる原子モデルを提唱した後、 1904年にこの問題を提起しました^{[1] 。}

関連する問題には、最小エネルギー構成の幾何学の研究と、最小エネルギーの 大きなN挙動の研究が含まれます。

数学的な記述

等しい電荷（電子の素電荷）を持つ電子対の間に生じる静電相互作用エネルギーは、クーロンの法則によって与えられる。 ${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={e_{i}e_{j} \over 4\pi \epsilon _{0}r_{ij}},}$

ここで、 は電気定数であり、はベクトルとによって定義される球面上の点に位置する各電子対間の距離です。 ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$

および（クーロン定数）の簡略化された単位は、一般性を損なうことなく使用される。そして、 ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle k_{e}=1/4\pi \epsilon _{0}=1}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

各N電子配置の全静電ポテンシャルエネルギーは、すべての対相互作用エネルギーの合計として表される。

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

N 個の異なる点のすべての可能な構成のグローバル最小化は、通常、数値最小化アルゴリズムによって求められます。 ${\displaystyle U(N)}$

トムソンの問題は、数学者スティーブ・スメールが提唱した18の未解決数学問題のうち7番目である「2次元球面上の点の分布」に関連しています。^[2] 主な違いは、スメールの問題では最小化する関数が静電ポテンシャルではなく、次式で与えられる対数ポテンシャルである点です。2つ目の違いは、スメールの問題は、点の数Nが無限大になったときのポテンシャル全体の漸近挙動に関するものであり、 Nの具体的な値に関するものではない点です。 ${\displaystyle 1 \over r_{ij}}$ ${\displaystyle -\log r_{ij}.}$

例

2つの電子に対するトムソン問題の解は、両方の電子が原点の反対側に可能な限り離れているとき、つまり ${\displaystyle r_{ij}=2r=2}$

${\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}$

既知の正確な解

N = 5 個までの 電子に対する数学的トムソン問題の概略的な幾何学的解。

数学的に正確な最小エネルギー構成は、ほんの一握りのケースでのみ厳密に特定されています。

• N = 1の場合 、解は自明です。単一電子は単位球面上の任意の点に存在できます。電子の電荷は他の電荷源によって電場を受けないため、この配置の全エネルギーはゼロと定義されます。

• N = 2の場合 、最適な構成は対蹠点にある電子で構成されます。

• N = 3の場合、電子は任意の大円の 周りの正三角形の頂点に存在します。^[3]大円は球面の周りの赤道を定義すると考えられていることが多く、平面に垂直な2点は、多くのN電子解の静電構成に関する議論を助けるために極と見なされることがよくあります。

• N = 4の場合、電子は正四面体 の頂点に存在します。

• N = 5の場合、電子は三角錐 の頂点に存在します。^[4]

• N = 6の場合、電子は正八面体 の頂点に存在します。^[5]この配置は、4つの電子が赤道を中心とした正方形の角に存在し、残りの2つの電子が極に存在するとも説明できます。

• N = 12の場合、電子は正二十面体 の頂点に存在します。^[6]

トムソン問題の解は、電子数がN  = 4、6、12の場合、すべての面が合同な正三角形であるプラトン立体となる。N = 8および20の場合の数値解は、残りの2つのプラトン立体（それぞれ立方体と正十二面体） の正凸多面体配置とは異なる。 ^[7]

一般化

任意のポテンシャルと相互作用する粒子の基底状態を求めることもできる。数学的に正確には、fを実数値減少関数とし、エネルギー関数を定義する。

$${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|).}$$

伝統的には、リース核とも呼ばれるリース核が考慮される。可積分リース核については、1972年のランドコフの研究を参照のこと。^[8]可積分でないリース核については、ポピーシードベーグル定理が成立する。2004年のハーディンとサフの研究を参照のこと。^[9]注目すべき例としては、以下のものがある。^[10] ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

• α  = ∞、Tammes問題（パッキング）
• α  = 1、トムソン問題。
• α  = 0、距離の積を最大化するため、後にホワイトの問題として知られるようになる。
• α  = −1 : 最大平均距離の問題。

高次元球面上のN点配置も考えられます。球面設計を参照してください。

ソリューションアルゴリズム

この問題にはいくつかのアルゴリズムが適用されてきた。2000年代以降はエネルギー関数に適用される局所最適化手法に焦点が当てられてきたが、ランダムウォークも登場している。^[10]

• 制約付きグローバル最適化（Altschuler et al. 1994）
• 最急降下（クラクストンとベンソン 1966、エルバーとホックニー 1991）、
• ランダムウォーク（Weinrach et al. 1990）、
• 遺伝的アルゴリズム（Morris et al. 1996）

目的は各N電子ケースの全体的な静電ポテンシャルエネルギーを最小化することですが、いくつかのアルゴリズムの開始ケースが重要です。

連続球殻電荷

トムソン問題のエネルギーの極限は、連続殻電荷に続いてN(N − 1)/2（N個の電子のランダム分布に伴うエネルギー）が続く場合、 で与えられます。原点に1つの電荷を持つトムソン問題のN電子解のエネルギーは、 で容易に得られます。ここで、はトムソン問題の解です。 ${\displaystyle N^{2}/2}$ ${\displaystyle U(N)+N}$ ${\displaystyle U(N)}$

表面全体に分布する電荷の連続球殻のエネルギーは次のように与えられる。

${\displaystyle U_{\text{shell}}(N)={\frac {N^{2}}{2}}}$

一般に、このエネルギーはトムソン問題のあらゆる解のエネルギーよりも大きい。注：ここでNは、球殻全体に分布する無限に分割可能な電荷Qを表す連続変数として用いられている。例えば、球殻は、単一電子の電荷Qが球殻全体にわたって均一に分布していることを表す。 ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle -e}$

ランダムに分布した点電荷

球面上に完全にランダムに分布する電子系の全体エネルギーの期待値は次のように与えられる。

${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)={\frac {N(N-1)}{2}}}$

そして、一般に、あらゆるトムソン問題の解のエネルギーよりも大きくなります。

ここで、Nは系内の電子の数を数える離散変数です。また、. ${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)<U_{\text{shell}}(N)}$

電荷中心分布

トムソン問題のN番目の解ごとに、球面の原点に電子を含む構成が存在する。その電子のエネルギーは、N番目の解のエネルギーにNを加算した値となる。つまり、^[11] ${\displaystyle (N+1)}$

${\displaystyle U_{0}(N+1)=U_{\text{Thom}}(N)+N.}$

したがって、が正確にわかっている場合、 は正確にわかっています。 ${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N)}$ ${\displaystyle U_{0}(N+1)}$

一般に、は よりも大きいが、やよりも各 番目のトムソン解に著しく近い。したがって、電荷中心分布は、他の2つの電荷配置から始まるアルゴリズムよりも、各トムソン問題の解に到達するために越えるべき「エネルギーギャップ」が小さいことを表す。 ${\displaystyle U_{0}(N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N+1)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{shell}}(N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{rand}}(N+1)}$

他の科学的問題との関係

トムソン問題は、均一な正の背景電荷が存在しないJJトムソンのプラムプディングモデルの自然な帰結である。 ^[12]

「原子について発見された事実はどれも些細なものではなく、物理科学の進歩を促進せずにはいられません。なぜなら、自然哲学の大部分は原子の構造とメカニズムの結果だからです。」

—サー・J・J・トムソン^[13]

実験的証拠によりトムソンのプラムプディングモデルは完全な原子モデルとしては放棄されたが、トムソン問題の数値エネルギー解に観察される不規則性は、元素周期表全体にわたる天然原子の電子殻充填に対応することがわかった。^[14]

トムソン問題は、多電子バブルやポールトラップに閉じ込められた液体金属液滴の表面秩序など、他の物理モデルの研究にも役割を果たしています。

一般化されたトムソン問題は、例えば、球状ウイルスの殻を構成するタンパク質サブユニットの配置を決定する際に生じる。この応用における「粒子」とは、殻上に配置されたタンパク質サブユニットのクラスターである。その他の実現例としては、薬剤、栄養素、生細胞などの有効成分をカプセル化するために提案されているコロイドソーム内のコロイド粒子の規則的な配置、炭素原子のフラーレンパターン、 VSEPR理論などが挙げられる。長距離対数相互作用の例として、中心に大きな単極子を持つ超伝導金属殻内で低温で形成されるアブリコソフ渦が挙げられる。

知られている最小のエネルギー構成

以下の表^[要出典] において、 は配置内の点（電荷）の数、はエネルギー、対称性のタイプはシェーンフライ記法（3次元における点群を参照）で表され、は電荷の位置です。ほとんどの対称性のタイプでは、位置のベクトル和（したがって電気双極子モーメント）がゼロである必要があります。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U_{\textrm {Thom}}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

点群の凸包によって形成される多面体も考慮するのが慣例である。したがって、は与えられた数の辺が交わる頂点の数、は辺の総数、は三角形の面の数、は四角形の面の数、そしては最も近い電荷対に関連付けられたベクトルによって囲まれる最小の角度である。辺の長さは一般に等しくない。したがって、 N  = 2、3、4、6、12の場合、および測地線多面体を除き、凸包は最後の列に挙げた図形とのみ位相的に等価である。 ^[15] ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle f_{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$

北	${\displaystyle U_{\textrm {Thom}}}$	対称	${\displaystyle \left|\sum \mathbf {r} _{i}\right|}$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5}}$	${\displaystyle v_{6}}$	${\displaystyle v_{7}}$	${\displaystyle v_{8}}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle f_{3}}$	${\displaystyle f_{4}}$	${\displaystyle \theta _{1}}$	等価多面体
2	0.500000000	${\displaystyle D_{\infty h}}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180,000°	ディゴン
3	1.732050808	${\displaystyle D_{3h}}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120,000°	三角形
4	3.674234614	${\displaystyle T_{d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	四面体
5	6.474691495	${\displaystyle D_{3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90,000°	三角錐
6	9.985281374	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90,000°	八面体
7	14.452977414	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72,000°	五角形二錐
8	19.675287861	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	正方形の反プリズム
9	25.759986531	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	三角柱
10	32.716949460	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	回転伸長型四角錐
11	40.596450510	${\displaystyle C_{2v}}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	端が縮んだ二十面体
12	49.165253058	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	二十面体 （測地球面{3,5+} 1,0）
13	58.853230612	${\displaystyle C_{2v}}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	回転伸長六角形二錐体
15	80.670244114	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°	四面体縮小十二面体
17	106.050404829	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	二重回転長五角形二錐体
18	120.084467447	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	${\displaystyle C_{2v}}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	${\displaystyle T_{d}}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	${\displaystyle O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	スナブキューブ
25	243.812760299	${\displaystyle C_{s}}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	${\displaystyle C_{2}}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	${\displaystyle C_{3v}}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	五面体十二面体 （測地球面{3,5+} 1,1）
33	440.204057448	${\displaystyle C_{s}}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	${\displaystyle C_{2}}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	${\displaystyle T_{d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	${\displaystyle C_{s}}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	${\displaystyle O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	${\displaystyle C_{3}}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	${\displaystyle C_{3}}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	${\displaystyle C_{2}}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	${\displaystyle C_{2}}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	${\displaystyle C_{2}}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	${\displaystyle C_{1}}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	${\displaystyle C_{2}}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	${\displaystyle C_{2}}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	${\displaystyle C_{2}}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°	測地球{3,5+} 2,1
73	2320.633883745	${\displaystyle C_{2}}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	${\displaystyle C_{2}}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	${\displaystyle C_{2}}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	${\displaystyle C_{s}}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	${\displaystyle C_{2}}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	${\displaystyle C_{2}}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	${\displaystyle C_{2}}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	${\displaystyle C_{2}}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	${\displaystyle C_{2}}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	${\displaystyle C_{2}}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	${\displaystyle C_{2}}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	${\displaystyle C_{2}}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	${\displaystyle C_{2}}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	${\displaystyle C_{2}}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	${\displaystyle C_{2}}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	${\displaystyle C_{2}}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	${\displaystyle C_{2}}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	${\displaystyle C_{2}}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°
101	4540.590051694	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	${\displaystyle C_{2}}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°
106	5015.984595705	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	${\displaystyle C_{2}}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°
108	5212.813507831	${\displaystyle C_{2}}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°
109	5312.735079920	${\displaystyle C_{2}}$	0.000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°
112	5618.044882327	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°
114	5826.521572163	${\displaystyle C_{2}}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°
115	5932.181285777	${\displaystyle C_{3}}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	${\displaystyle C_{2}}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°
117	6146.342446579	${\displaystyle C_{2}}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	${\displaystyle C_{2}}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	${\displaystyle C_{2}}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	${\displaystyle C_{s}}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°
121	6586.121949584	${\displaystyle C_{3}}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°	測地球{3,5+} 2,2
123	6811.827228174	${\displaystyle C_{2v}}$	0.001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	${\displaystyle C_{2}}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	${\displaystyle D_{4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	${\displaystyle C_{2}}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	${\displaystyle C_{2}}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°
130	7632.167378912	${\displaystyle C_{2}}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°
131	7753.205166941	${\displaystyle C_{2}}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°	測地球{3,5+} 3,1
133	7998.179212898	${\displaystyle C_{3}}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	${\displaystyle C_{2}}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	${\displaystyle C_{2}}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°
139	8756.227056057	${\displaystyle C_{2}}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°
140	8885.980609041	${\displaystyle C_{1}}$	0.000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	${\displaystyle C_{2}}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	${\displaystyle C_{2}}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°
145	9548.928837232	${\displaystyle C_{s}}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°
146	9684.381825575	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	${\displaystyle C_{2}}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°
148	9958.406004270	${\displaystyle C_{2}}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°
149	10096.859907397	${\displaystyle C_{1}}$	0.000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	${\displaystyle C_{2}}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	${\displaystyle C_{2}}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°
155	10947.574692279	${\displaystyle C_{2}}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	${\displaystyle C_{2}}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°
157	11238.903041156	${\displaystyle C_{2}}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°
158	11385.990186197	${\displaystyle C_{2}}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°
159	11534.023960956	${\displaystyle C_{2}}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	${\displaystyle C_{2}}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°
163	12136.013053220	${\displaystyle C_{2}}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°
164	12288.930105320	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°
165	12442.804451373	${\displaystyle C_{2}}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	${\displaystyle C_{2}}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°
169	13068.006451127	${\displaystyle C_{s}}$	0.000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°
172	13547.018108787	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15.292°
173	13708.635243034	${\displaystyle C_{s}}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°
175	14034.781306929	${\displaystyle C_{2}}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	${\displaystyle C_{1}}$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°
178	14531.309552587	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°
179	14698.754594220	${\displaystyle C_{1}}$	0.000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968°
180	14867.099927525	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°
181	15036.467239769	${\displaystyle C_{2}}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	${\displaystyle C_{1}}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°
185	15723.720074072	${\displaystyle C_{2}}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°
186	15897.897437048	${\displaystyle C_{1}}$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	${\displaystyle C_{2}}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	${\displaystyle C_{3}}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	${\displaystyle C_{1}}$	0.001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°	測地球{3,5+} 3,2
193	17144.564740880	${\displaystyle C_{2}}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	${\displaystyle C_{1}}$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	${\displaystyle C_{2}}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	${\displaystyle C_{2}}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	${\displaystyle C_{1}}$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	${\displaystyle C_{1}}$	0.001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	${\displaystyle C_{s}}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°
204	19199.540775603	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°	測地球{3,5+} 4,1
214	21169.910410375	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	測地球{3,5+} 3,3
282	37147.294418462	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°	測地球{3,5+} 4,2
292	39877.008012909	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°
312	45629.313804002	${\displaystyle C_{2}}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°
358	60341.830924588	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°	測地球{3,5+} 4,3
382	68839.426839215	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	${\displaystyle C_{1}}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°
400	75582.448512213	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10.068°
402	76351.192432673	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	${\displaystyle T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	${\displaystyle T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

ある予想によれば、電子のトムソン問題の解配置の凸包によって形成される多面体を とし、の四辺形の面の数を とすると、 には辺がある。^{[16] [説明が必要]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(m)=\delta _{0,m-2}+3(m-2)-q}$

参照

• 分子構造
• タムス問題- 球面上の点を、それらの間の最小距離が最大になるように配置する問題

参考文献

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注記

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