対策の厳しさ

Concept in measure theory

数学において、タイトネスは測度論における概念です。直感的に言えば、与えられた測度の集合は「無限に逃げる」ことはないということです。

定義

をハウスドルフ空間とし、を位相 を含む上のσ-代数とする。（したがって、のすべての開部分集合は可測集合であり、上のボレル σ-代数と少なくとも同程度に細かい。） を上で定義された（符号付きまたは複素数の）測度の集合とする。任意の に対して、のコンパクト部分集合が存在し、すべての測度 に対して、 が成り立つとき、その集合はタイト（または一様タイトとも呼ばれる）と呼ばれる。 ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu \in M}$

${\displaystyle |\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .}$

ここでは の全変動測度である。多くの場合、問題となる測度は確率測度であるため、最後の部分は次のように書くことができる。 ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .\,}$

タイトコレクションが単一の測度 で構成されている場合、(作成者に応じて) はタイト測度であると言われることも、内部標準測度であると言われることもあります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

が 値の確率変数であり、その上の確率分布が厳密な測度である場合、 は分離可能確率変数またはラドン確率変数であると言われます。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

集合のタイトネスのもう一つの同等の基準は、シーケンシャル弱コンパクト性である。確率測度の族がシーケンシャル弱コンパクトであるとは、族の任意の列に対して、ある確率測度に弱収束する測度の部分列が存在することを意味する。測度の族がタイトであることは、それがシーケンシャル弱コンパクトであることと同値である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}$ ${\displaystyle \mu }$

例

コンパクトなスペース

が距離化可能コンパクト空間である場合、 上の（場合によっては複素）測度のあらゆる集合はタイトである。これは、距離化不可能コンパクト空間では必ずしもそうではない。を の位数位相とともに取ると、 上に内部正則でない測度が存在する。したがって、 単体 はタイトではない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{\mu \}}$

ポーランドのスペース

がポーランド空間であるとき、 上のすべての有限測度はタイトである。これはウラムの定理である。さらに、プロホロフの定理によれば、 上の確率測度の集合がタイトであるための必要十分条件は、それが弱収束の位相においてプレコンパクトであることである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

点質点の集合

通常のボレル位相を持つ実直線 を考える。における点 における単位質量であるディラック測度を で表す。 のコンパクト部分集合はまさに閉有界部分集合である ため、この集合はタイトではない。また、そのような集合は有界であるため、十分に大きい に対して -測度はゼロとなる。一方、この集合はタイトである。このコンパクト区間は任意のに対して のように機能する。一般に、 におけるディラックデルタ測度の集合がタイトであるためには、その台集合が有界となる必要がある。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ガウス測度の集合

通常のボレル位相とσ-代数を持つ-次元ユークリッド空間を考える。ガウス測度の集合を考え 、その測度は期待値（平均）と共分散行列を持つ。このとき、集合がタイトであることと、集合とが両方とも有界であることは、その場合に限る。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}\mid i\in I\},}$$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\mid i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n\times n}}$

緊密さと収束

タイトネスは、特に測度空間が無限次元である場合に、確率測度の列の弱収束を証明するために必要な基準となることが多い。

• 有限次元分布
• プロホロフの定理
• レヴィ・プロホロフ計量
• 尺度の弱い収束
• 古典的なウィーナー空間におけるタイトネス
• スコロホード空間の狭さ

タイトネスと確率的順序付け

実数値確率変数の族がタイトであるための必要十分条件は、すべての に対して となるほぼ確実に有限な確率変数が存在する場合である 。ここで は、すべての非減少関数 に対して となる場合、によって定義される確率的順序を表す。 ^[1] ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |X_{i}|\leq _{\mathrm {st} }X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \leq _{\mathrm {st} }}$ ${\displaystyle A\leq _{\mathrm {st} }B}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [\phi (A)]\leq \mathbb {E} [\phi (B)]}$ ${\displaystyle \phi }$

指数関数的なタイトネス

タイトネスの強化は指数的タイトネスの概念であり、大偏差理論に応用されている。ハウスドルフ位相空間上の確率測度 の族が指数的にタイトであるとは、任意の に対してのコンパクト部分集合が存在し、 ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .}$

参考文献

1. Leskelä, L.; Vihola, M. (2013). 「一様積分可能性とタイトネスの確率的順序による特徴づけ」.統計と確率論文集. 83 (1): 382– 389. arXiv : 1106.0607 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.023.

• ビリングスリー、パトリック（1995年）『確率と測度』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社ISBN 0-471-00710-2。
• ビリングスリー、パトリック（1999）『確率測度の収束』ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社ISBN 0-471-19745-9。
• ルドゥ, ミシェル;タラグラン, ミシェル(1991).バナッハ空間における確率. ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9。 MR  1102015（第2章参照）

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