合同性（一般相対性理論）

一般相対性理論において、合同性（より正確には、曲線の合同性）とは、時空のモデルとして物理的に解釈される4次元ローレンツ多様体における（どこにも消滅しない）ベクトル場の積分曲線の集合です。 この多様体は、しばしばアインシュタイン場の方程式の正確な解、または近似解として扱われます

合同の種類

どこにも消えない時間的、ヌル、または空間的ベクトル場によって生成される合同は、それぞれ 時間的、ヌル、または空間的と呼ばれます

共変微分がゼロとなる接ベクトル場を 許容する合同式は、測地線合同式と呼ばれます。 ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}=0}$

ベクトル場との関係

ベクトル場の積分曲線は、時空を満たす、交わらないパラメータ化された曲線の族である。合同性は、特定のパラメータ化を参照することなく、曲線自体から構成される。多くの異なるベクトル場から、同じ曲線の合同性が生じる可能性がある。なぜなら、 がどこにも消えないスカラー関数である場合、 と は同じ合同性が生じるからである。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle {\vec {Y}}=\,f\,{\vec {X}}}$

しかし、ローレンツ多様体においては計量テンソルが存在し、これは与えられた時間的または空間的ベクトル場、すなわち曲線の接ベクトル場にどこでも平行なベクトル場の中から、優先ベクトル場を選び出す。これらはそれぞれ時間的または空間的単位ベクトル場である。

物理的解釈

一般相対論では、4次元ローレンツ多様体における時間的合同性は、我々の時空における特定の理想的な観測者の世界線の族として解釈できます。特に、時間的測地線的合同性は、 自由落下するテスト粒子の族として解釈できます

ヌル合同も重要であり、特にヌル測地線合同は、自由に伝播する光線の族として解釈できます。

注意：光ファイバーケーブル内を移動する光パルスの世界線は、一般にヌル測地線とはならず、また、宇宙初期（放射線が優勢な時代）の光は自由に伝播していませんでした。しかし、地球から太陽を通過して金星に送られるレーダーパルスの世界線は、ヌル測地線弧としてモデル化されます。4次元以外の次元では、ヌル測地線と「光」の関係はもはや成り立ちません。「光」をラプラシアン波動方程式の解として定義すると、伝播関数は奇数時空次元においてヌル成分と時間的成分の両方を持ち、4次元を超える偶数時空次元では純粋なディラックのデルタ関数ではなくなります。

運動学的記述

シュワルツシルト真空やFRWダストのような時空におけるヌル測地線合同における試験粒子の相互運動を記述することは、一般相対論において非常に重要な問題です。これは、合同における積分曲線が互いにどのように収束（発散）またはねじれるかを完全に記述する 特定の運動学的量を定義することによって解決されます

これから述べる運動学的分解は、あらゆるローレンツ多様体に対して成立する純粋数学であることを強調しておくべきである。しかし、テスト粒子と潮汐加速度（時間的測地線合同の場合）、あるいは光線束（零測地線合同の場合）を用いた物理的解釈は、一般相対論においてのみ成立する（密接に関連する理論においても同様の解釈が成立する可能性がある）。

時間的合同性の運動学的分解

ある時間的単位ベクトル場Xによって生成される時間的合同性を考えてみましょう。これは一次線型偏微分作用素と考えることができます。すると、ベクトル場の成分はテンソル表記で と表されるスカラー関数になります。ここで f は任意の滑らかな関数です。加速度ベクトルは共変微分です。その成分はテンソル表記で次のように表すことができます。 ${\displaystyle {\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}}$ ${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}}$

次に、 を使用して、次の式を観察します。 ${\displaystyle {X_{b}}{X^{b}}=-1}$

${\displaystyle \left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0}$

は、左辺の括弧内の項が の横方向成分であることを意味します。この直交関係は、X がローレンツ多様体の時間的単位ベクトルである場合にのみ成立します。より一般的な設定では成立しません。次のように書きます。 ${\displaystyle {X^{a}}_{;b}}$

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

射影テンソルはテンソルをその横断部分に射影する。例えば、ベクトルの横断部分はに直交する部分である。このテンソルは、接ベクトルがXに直交する超曲面の計量テンソルとみなすことができる。したがって、次のことが示された。 ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{m;n}}$

次に、これを対称部分と反対称部分に分解します。

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}}$

ここで：

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

はそれぞれ 膨張テンソルと渦度テンソルとして知られています

これらのテンソルは に直交する空間超平面要素に存在するため、 3次元の2階テンソルと考えることができます。これはフェルミ微分の概念を用いてより厳密に表現できます。したがって、展開テンソルをトレースレス部分とトレース部分に分解できます。トレースを と書くと、次のようになります 。 ${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

渦度テンソルは反対称なので対角成分はゼロとなり、自動的にトレースレスとなる（3次元ベクトルに置き換えることも可能だが、ここではそうしない）。したがって、以下の式が得られる。

${\displaystyle X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

これが望ましい運動学的分解である。時間的測地線合同の場合、最後の項は同様に消滅する。

時間的測地線合同の膨張スカラー、せん断テンソル（）、渦度テンソルは次のような直感的な意味を持ちます。 ${\displaystyle \sigma _{ab}}$

1. 膨張スカラーは、最初は球形だった小さな試験粒子の雲の体積が、雲の中心にある粒子の固有時間に対して変化する割合を表す。
2. せん断テンソルは、初期の球面が楕円形に歪む傾向を表す。
3. 渦度テンソルは、初期の球の回転傾向を表します。渦度が消えるのは、合同の世界線が、時空の何らかの葉理における空間超曲面に対してどこでも直交する場合のみであり、その場合、適切な座標チャートでは、各超スライスは「一定時間」の面と見なすことができます。

これらの主張の正当性については、以下の引用とリンクを参照してください。

曲率と時間的合同性

リッチ恒等式（リーマンテンソルの定義としてよく使われる） により、次のように書くことができます。

${\displaystyle X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}}$

運動学的分解を左辺に代入することで、曲率テンソルと時間的合同性（測地線的か否かに関わらず）の運動学的挙動との関係を確立することができます。これらの関係は2つの方法で利用でき、どちらも非常に重要です。

1. 時空の曲率テンソルは、（原理的には）時間的合同性（測地線的か否かに関わらず）の運動学的挙動の詳細な観察から実験的に決定することができる。
2. 直接的な曲率結合を示す運動学的分解の部分 (膨張スカラー、せん断テンソル、渦度テンソル) の発展方程式を得ることができます。

ジョン・アーチボルド・ウィーラーの有名なスローガンにこうあります。

時空は物質にどのように動くかを伝え、物質は時空にどのように曲がるかを伝えます。

ここで、この主張の最初の部分を正確に定量化する方法を説明します。アインシュタインの場の式は、 2 番目の部分を定量化します。

特に、時間的単位ベクトル場に関して取られたリーマンテンソルのベル分解によれば、電気重力テンソル（または潮汐テンソル）は次のように定義されます。

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

リッチ恒等式は次のようになります。

${\displaystyle \left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{n}=E[{\vec {X}}]_{ab}}$

運動学的分解を代入すると、最終的に次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}}$

ここで、上点は固有時に関する微分を表し、時間的合同性に沿って数え上げていく（つまり、ベクトル場Xに関する共変微分をとる）。これは、単一の時間的合同性の観測から潮汐テンソルを決定する方法の記述とみなすことができる。

発展方程式

この節では、発展方程式（伝播方程式または伝播公式とも呼ばれる） を求める問題について考察します

加速度ベクトルを次のように書き、次のように設定すると便利です。 ${\displaystyle {\dot {X}}^{a}=W^{a}}$

${\displaystyle J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta }{3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

ここで、潮汐テンソルのリッチ恒等式から次の式が得られます。

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}]_{ab}}$

しかし：

${\displaystyle \left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}}$

したがって：

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+W_{a;b}}$

の定義を代入し、この方程式の対角部分、トレースレス対称部分、反対称部分をそれぞれ取ることで、膨張スカラー、せん断テンソル、渦度テンソルの目的の発展方程式が得られます ${\displaystyle J_{ab}}$

まず、加速度ベクトルがゼロになる、より簡単なケースを考えてみましょう。すると（射影テンソルは純粋に空間的な量のインデックスを下げるのに使えることに注意すると）、次の式が得られます。

${\displaystyle J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}+{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

または

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}}$

初等線型代数により、がそれぞれ3次元対称および反対称線型作用素である場合、は対称であり、は反対称であることが簡単に証明されます。したがって、添え字を下げると、上記の括弧内の対応する組み合わせはそれぞれ対称および反対称になります。したがって、トレースを取ると、Raychaudhuriの方程式（時間的測地線の場合） が得られます ${\displaystyle \Sigma ,\Omega }$ ${\displaystyle \Sigma ^{2}+\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma }$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}$

トレースレス対称部分を取ると次のようになります。

${\displaystyle {\dot {\sigma }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}}$

反対称部分を取ると次のようになります。

${\displaystyle {\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

ここで：

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

は決して負にならない二次不変量なので、 は明確に定義された実不変量です。潮汐テンソルのトレースは次のようにも書けます ${\displaystyle \sigma ,\omega }$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

これはRaychaudhuri スカラーと呼ばれることもありますが、言うまでもなく、真空解の場合は同様に消えます。

参照

• 合同性（多様体）
• 展開スカラー
• 展開テンソル
• せん断テンソル
• 渦度テンソル
• レイショードリ方程式

参考文献

• ポアソン, エリック (2004). 『相対論者のツールキット：ブラックホール力学の数学』 ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局.書誌コード: 2004rtmb.book.....P . ISBN 978-0-521-83091-1。測地線合同に関する優れた詳細な入門書については、第2章を参照してください。ポアソンによる零測地線合同に関する議論は特に貴重です
• キャロル、ショーン・M. (2004). 『時空と幾何学：一般相対性理論入門』サンフランシスコ：アディソン・ウェスレー. ISBN 978-0-8053-8732-2。測地線合同に関する基本的な議論については、付録Fを参照してください。（キャロルの表記法はやや非標準的です。）
• ステファニ, ハンス; クレイマー, ディートリッヒ; マッカラム, マルコム; ホーエンセラーズ, コーネリアス; ヘルト, エドゥアルド (2003). 『アインシュタインの場の方程式の厳密解』（第2版）ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-46136-8。時間的合同と零合同についての詳細な入門については、第6章を参照してください
• ウォルド、ロバート・M. (1984).一般相対性理論. シカゴ: シカゴ大学出版局. ISBN 978-0-226-87033-5。時間的測地線合同の運動学については、9.2節を 参照してください
• ホーキング、スティーブン、エリス、GFR (1973). 『時空の大規模構造』ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-09906-6。時間的合同とヌル合同の運動学については、セクション4.1 を参照してください
• ダスグプタ, アニルヴァン; ナンダン, ヘムワティ; カー, サヤン (2009). 「曲面変形可能媒体上の流れの運動学」.国際現代物理学における幾何学的手法ジャーナル. 6 (4): 645– 666. arXiv : 0804.4089 . Bibcode : 2009IJGMM..06..645D . doi : 10.1142/S0219887809003746 . S2CID  115154964 .特定の 2 次元曲面 (球面、双曲空間、トーラス) 上の測地線フローの運動学の詳細な紹介については、「」を参照してください。

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