Tor関数

Construction in homological algebra

数学において、Tor 関手は環上の加群のテンソル積の導来関手である。Ext関手とともに、Tor はホモロジー代数の中心概念の一つであり、ホモロジー代数では代数的位相幾何学の考え方を用いて代数構造の不変量を構築する。群のホモロジー、リー代数、結合代数はすべて Tor を用いて定義できる。この名称は、最初の Tor 群 Tor ₁とアーベル群の捩れ部分群との関係に由来する。

アーベル群の特殊な場合において、Torは1935年にエドゥアルト・チェフによって導入され^[1] 、 1950年頃にサミュエル・アイレンベルクによって命名された^[2] 。これは位相幾何学におけるキュネス定理と普遍係数定理に初めて適用された。任意の環上の加群に対して、Extは1956年にアンリ・カルタンとアイレンベルクによって定義された^[3]。

意味

R を環とする。左R 加群のカテゴリを R -Mod 、右 R 加群のカテゴリを Mod- R と書く。（ Rが可換であれば、 2つのカテゴリは同一視できる。）固定された左R加群Bに対し、Mod- RのAに対してとする。これはMod- Rからアーベル群のカテゴリAbへの右完全関数であり、したがって左導来関数を持つ。Tor 群は整数iに対してで定義されるアーベル群である。定義により、これは以下のことを意味する。任意の射影分解を取り、 A を除去し、鎖複体を形成する。 ${\displaystyle T(A)=A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle L_{i}T}$ $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),}$$ $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$$ $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$$

各整数iに対して、群はこの複体のiの位置におけるホモロジーである。iが負の場合には 0 となる。さらに、は写像 の余核であり、写像 はと同型である。 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

あるいは、 Aを固定し、右完全関数の左導来関数をとることでTorを定義することもできる。つまり、テンソルAはBの射影分解を持ち、ホモロジーをとる。CartanとEilenbergは、これらの構成は射影分解の選択に依存せず、どちらの構成でも同じTor群が得られることを示した。^[4]さらに、固定環Rに対して、Torは各変数（ R加群からアーベル群まで）における関数となる。 ${\displaystyle G(B)=A\otimes _{R}B}$

可換環RとR加群AおよびBに対して、はR加群である（この場合、はR加群であることを用いる）。非可換環Rに対して、は一般にアーベル群でしかない。Rが環S上の代数（特にSが可換であることを意味する）である場合、は少なくともS加群である。 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$

プロパティ

Torグループの基本的な特性と計算のいくつかを以下に示します。^[5]

• トル^R
  ₀任意の右R加群Aと左R加群Bに対して、 ( A , B ) ≅ A ⊗ _R Bとなります。
• トル^R
  _i( A , B ) = 0 は、 i > 0のすべてにおいて、 AまたはBのいずれかがR加群として平坦（例えば自由）である場合に成立する。実際、AまたはBのいずれかの平坦な分解を用いて Tor を計算することができ、これは射影的（あるいは自由）な分解よりも一般性が高い。^[6]
• が有限生成アーベル群である場合、 であり、 はのねじれ部分群です。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)\cong A_{tor}\otimes _{\mathbb {Z} }B_{tor}}$ ${\displaystyle A_{tor}}$ ${\displaystyle A}$
• 前の文には反論もあります:
  • もしTor^R1
    _​( A , B ) = 0 がすべてのBに対して成り立つ場合、Aは平坦である（したがって Tor^R
    _i( A、B ) = 0（すべてのi > 0 の場合）
  • もしTor^R1
    _​( A , B ) = 0 がすべてのAに対して成り立つならば、Bは平坦である（したがって Tor^R
    _i( A、B ) = 0（すべてのi > 0 の場合）
• 導来関手の一般性質により、右R加群の任意の短完全列0 → K → L → M → 0 は、任意の左R加群Bに対して^[7]の形の長完全列を誘導する。同様の完全列は、第2変数に関して Tor についても成立する。 $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$$
• 対称性：可換環Rに対して、自然同型Torが存在する。^R
  _i( A , B ) ≅ トル^R
  _i（B、A）。^[8]（R可換性の場合、 Rの左加群と右加群を区別する必要はない。）
• Rが可換環であり、Rのu が零因子でない場合、任意のR加群B （ただしu捩れ部分群）に対して、 が成り立ちます。これが Tor という名前が付けられた理由です。Rを整数環とすると、この計算は任意の有限生成アーベル群Aに対しても計算できます。 $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$
• 前の例を一般化すると、コシュル複体を用いて、可換環の任意の正則列による商を含むTor群を計算できる。^[9]例えば、Rが体k上の多項式環k [ x ₁ , ..., x _n ]である場合、はTor _{1における}n個の生成子上のk上の外積代数である。 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$すべてのi ≥ 2に対して。理由:自由アーベル群のすべての部分群は自由アーベルであるため、すべてのアーベル群 Aには長さ 1 の自由解像度があります。
• 前の例を一般化すると、i ≥ 2 の任意の場合、 は主イデアル領域(PID)です。その理由は、PID 上のすべての加群Aは長さ 1 の自由導出を持つからです。これは、PID 上の自由加群のすべての部分加群が自由であるためです。 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$ ${\displaystyle R}$
• 任意の環Rに対して、 Tor は各変数において直和（無限大の可能性もある）とフィルターされた余極限を保存する。^[10]例えば、最初の変数では、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$$
• 平坦基底変換：可換平坦R代数T、R加群AとB、整数iに対して、^[11] Torは局所化と可換である。つまり、R内の乗法的に閉じた集合Sに対して、 $${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).}$$ $${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$$
• 可換環Rと可換R -代数AおよびBに対して、 Tor^R
  _*( A , B ) はR上の次数可換代数の構造を持つ。さらに、Tor代数の奇数次元は平方零を持ち、正の偶数次元にはべき乗除算が存在する。 ^[12]

重要な特殊なケース

• 群ホモロジーは次のように定義されます。ここで、 Gは群、Mは整数上のGの表現、 はGの群環です。 ${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
• 体k上の代数 AとA双加群Mに対して、ホックシルトホモロジーは次のように定義される。 $${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).}$$
• リー代数ホモロジー はによって定義されます。ここでは可換環R上のリー代数、Mは-加群、は普遍包絡代数です。 ${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$
• 体kへの準同型を持つ可換環Rに対して、はk上の次数可換ホップ代数である。^[13]（Rが留数体kを持つノイザン局所環である場合、 への双対ホップ代数はExt ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$^*
  _R( k , k ) ) は、代数として、次数付きベクトル空間 π _* ( R )上の自由次数可換冪べき代数である。 ^[14] k が特性零を持つとき、π _* ( R )はアンドレ・キランホモロジーD _* ( k / R , k )と同一視できる。^[15] ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$

参照

• 平坦射影
• セールの交差公式
• 導出テンソル積
• アイレンバーグ・ムーアスペクトル列

注記

1. チェフ、エドゥアルド(1935)。 「無限の複雑なグループ」(PDF)。数学の基礎。25 : 33–44 .土井: 10.4064/fm-25-1-33-44。JFM  61.0609.02。
2. ヴァイベル（1999年）。
3. カルタン、アンリ;サミュエル・アイレンバーグ (1999) [1956]。ホモロジー代数。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-04991-2. MR  0575792。
4. Weibel（1994）、セクション2.4および定理2.7.2。
5. Weibel（1994）、第2章および第3章。
6. Weibel (1994)、補題3.2.8。
7. Weibel (1994)、定義 2.1.1。
8. Weibel (1994)、セクション 3.1 のコメント。
9. Weibel（1994）、セクション4.5。
10. Weibel（1994）、系2.6.17。
11. Weibel（1994）、系3.2.10。
12. Avramov & Halperin (1986)、セクション2.16; Stacks Project、タグ09PQ。
13. アブラモフとハルペリン (1986)、セクション 4.7。
14. Gulliksen & Levin (1969)、定理 2.3.5; Sjödin (1980)、定理 1。
15. Quillen（1970）、セクション7。

参考文献

• アヴラモフ、ルチェザール、ハルペリン、スティーブン（1986年）「鏡を通して：有理ホモトピー理論と局所代数の辞書」、J.-E.ルース（編）『代数、代数的位相幾何学、そしてそれらの相互作用』（ストックホルム、1983年）、数学講義ノート、第1183巻、シュプリンガー・ネイチャー、pp.  1-27、doi :10.1007/BFb0075446、ISBN 978-3-540-16453-1、MR  0846435
• カルタン、アンリ;アイレンバーグ、サミュエル(1999) [1956],ホモロジー代数, プリンストン:プリンストン大学出版局, ISBN 0-691-04991-2、MR  0077480
• Eduard Čech (1935)、「Les groupes de Betti d'un complexe infini」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、25 : 33–44、doi : 10.4064/fm-25-1-33-44、JFM  61.0609.02
• Gulliksen, Tor; Levin, Gerson (1969),局所環のホモロジー, Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Queen's University, MR  0262227
• クイレン、ダニエル(1970)、「可換環の（コ）ホモロジーについて」、カテゴリー代数の応用、Proc. Symp. Pure Mat.、第17巻、アメリカ数学会、pp.  65– 87、MR  0257068
• Sjödin, Gunnar (1980)、「ホップ代数と導出」、Journal of Algebra、64 : 218–229、doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X、MR  0575792
• ワイベル、チャールズ・A. (1994).ホモロジー代数入門. ケンブリッジ高等数学研究. 第38巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-55987-4MR  1269324. OCLC 36131259  .
• ヴァイベル、チャールズ（1999）「ホモロジー代数の歴史」『位相幾何学の歴史』（PDF）、アムステルダム：北ホラント、pp.  797– 836、MR  1721123

外部リンク

• スタックス・プロジェクトの著者、スタックス・プロジェクト

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