トーリック多様体

Algebraic variety containing an algebraic torus

代数幾何学において、トーリック多様体またはトーラス埋め込みは、群作用が多様体全体に及ぶ代数トーラスを含む代数多様体の一種です。トーリック多様体は、代数幾何学において重要な豊富な例のクラスを形成し、しばしば定理の試験の場を提供します。トーリック多様体の幾何学は、それに関連付けられたファンの組合せ論によって完全に決定され、多くの場合、計算がはるかに扱いやすくなります。特定の特殊ですが非常に一般的なトーリック多様体のクラスでは、この情報は凸多面体にもエンコードされ、それによって主題と凸幾何学との強力なつながりが作成されます。トーリック多様体のよく知られた例としては、アフィン空間、射影空間、射影空間の積、射影空間上のバンドルなどがあります。

意味

正確な定義は、トーリック多様体とは、開稠密部分集合として代数トーラスを含む代数多様体であり、トーラスの自身への 作用は多様体全体に及ぶというものである。

著者によっては、それが正常であることを要求する場合もあります。

トーリック多様体からトーリック多様体へ

トーリック多様体を研究する元々の動機は、トーラス埋め込みを研究するためでした。代数トーラス が与えられたとき、指標群は格子を形成します。この格子の部分集合である点の集合 が与えられたとき、各点は への写像を決定し、したがって集合は への写像を決定します。このような写像の像のザリスキ閉包を取ることで、アフィン多様体が得られます。^[1]格子点の集合が指標格子を生成する場合、この多様体はトーラス埋め込みです。同様に、上記の写像の射影閉包を取り、それを射影空間のアフィンパッチへの写像と見なすことで、パラメトリクス付き射影トーリック多様体を作成できます。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \hom(T,\mathbb {C} ^{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {C} ^{*}\right)^{|{\mathcal {A}}|}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

射影トーリック多様体が与えられたとき、その幾何学を1パラメータ部分群によって調べることができることに注意する。指標格子の双対である格子内の点によって決定される各1パラメータ部分群は、射影トーリック多様体の内部にある穴あき曲線である。多様体はコンパクトであるため、この穴あき曲線は唯一の極限点を持つ。したがって、1パラメータ部分群格子を穴あき曲線の極限点で分割することにより、多面体有理錐の集合である格子扇形が得られる。最高次元の円錐は、これらの穴あき曲線の極限であるトーラス不動点と正確に一致する。

ファンのトーリック多様体

アフィントーリック多様体と多面体円錐

が有限階数自由アーベル群（例えば格子）であるとし、 がその双対であるとする。 における強凸有理多面体錐は、の実ベクトル空間の凸錐であり、頂点は原点にあり、 の有限個のベクトルによって生成され、原点を通る直線を含まない。これらを略して「錐」と呼ぶ。ベクトルの集合によって生成される場合、 と表記される。1次元錐は光線と呼ばれる。錐 の場合、そのアフィントーリック多様体は、への双対錐に含まれる の点によって生成されるモノイド代数のスペクトルである。^{[更なる説明が必要]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}}$ ${\displaystyle {\text{cone}}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\left\{\sum _{i=1}^{k}a_{i}v_{i}\colon a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right\}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle U_{\sigma }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$

トーリック幾何学の基本定理

（多面体）扇形は、交点と面を挟んで閉じた（多面体）錐の集合である。扇形の基底空間は、その錐の和であり、 と表記される。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle |\Sigma |}$

強凸有理錐の扇のトーリック多様体は、その錐のアフィントーリック多様体を の面であるときはいつでもの開部分多様体と同一視することで互いに接着することによって与えられる。扇から構成されるトーリック多様体は必然的に正規となる。逆に、すべてのトーリック多様体には、強凸有理錐の扇が関連付けられる。この対応はトーリック幾何学の基本定理と呼ばれ、正規トーリック多様体と強凸有理錐の扇の間に一対一の対応を与える。^[2] ${\displaystyle U_{\sigma }}$ ${\displaystyle U_{\tau }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$

トーリック多様体に関連付けられたファンは、その多様体に関するいくつかの重要なデータを凝縮します。例えば、カルティエ因子はファンの射線に関連付けられます。さらに、トーリック多様体は、そのファン内のすべての錐が自由アーベル群の基底の部分集合によって生成できる場合、滑らか、つまり非特異 であり、そのファンが完備、つまりその基底空間がベクトル空間全体である場合、完備です。 ${\displaystyle N}$

トーリック多様体の射

とがそれぞれ格子と の扇形であるとする。が からへの線型写像で、 の任意の錐の像がの錐に含まれる場合、 は対応するトーリック多様体間の射を誘導する。この写像が真であることと、の写像の下での の逆像がであることは同値である。 ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle |\Sigma _{2}|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |\Sigma _{1}|}$

射影トーリック多様体、多面体から生じるもの

トーリック多様体は、ある複素射影空間に埋め込むことができる場合、射影多様体である。

を多面体とする。の任意の頂点について、の頂点における法円錐は、を含む面の外法線によって生成される円錐である。の法扇は、 の各頂点における法円錐を最大円錐とする扇である。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

射影トーリック多様体は有理多面体の正規扇から生じるものであることはよく知られている。^[3]

例えば、複素射影平面は 三角形、つまり-単体から生まれます。これは、次の式を満たす3つの複素座標で表すことができます。 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}=1,\,\!}$

ここで、合計は射影マップの実際の再スケーリング部分を考慮して選択されており、座標はさらに次のアクションによって識別される必要があります。 ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\approx e^{i\phi }(z_{1},z_{2},z_{3}).\,\!}$

トーリック幾何学のアプローチは次のように書く。

${\displaystyle (x,y,z)=(|z_{1}|^{2},|z_{2}|^{2},|z_{3}|^{2}).\,\!}$

座標は非負であり、三角形をパラメータ化する。 ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle x+y+z=1;\,\!}$

つまり、

${\displaystyle \quad z=1-x-y.\,\!}$

三角形は複素射影平面のトーリック基底である。ジェネリックファイバーは の位相によってパラメータ化された2次元トーラスである。 の位相は対称性によって実数と正数を選択できる。 ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle U(1)}$

しかし、 2 トーラスは、の位相が重要でなくなるため、それぞれ三角形の境界、つまりまたはまたはで 3 つの異なる円に退化します。 ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$

トーラス内の円の正確な向きは、通常、線の間隔 (この場合は三角形の辺) の傾きによって表されます。

この構成は、写像がシンプレクティック多様体 への の作用に対するモーメント写像に関連しているため、シンプレクティック幾何学に関連していることに注意してください。 ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {CP} ^{2}&\to \mathbb {R} _{\geq 0}\\(z_{1},z_{2},z_{3})&\mapsto |z_{1}|+|z_{2}|+|z_{3}|\end{cases}}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

滑らかな完全トーリック多様体の分類

トーリック幾何学の基本定理によれば、複素次元でカルティエ因子を持つ滑らかな完全トーリック多様体の分類は、直線を持つ次元の滑らかな完全扇形の分類と等価である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

小さなピカール数の分類

次元 の扇形が直線を持つ場合のピカール数は である。これは実際にはに関連付けられたトーリック多様体のピカール群の階数である点に注意されたい。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m-n}$ ${\displaystyle \Sigma }$

• 次元とピカール数を持つ唯一のトーリック多様体は、複素射影空間である。この扇形は、 を基底とする と によって生成される射影線を持つ。この扇形の円錐は、 に対して 、、 である。これはユニモジュラ-単体に対する通常の扇形であり、したがって射影的である（これは自明な表現であるが）。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle f=-\sum _{i=1}^{n}e_{i}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\text{cone}}(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle {\text{cone}}(e_{1},\ldots ,e_{i-1},f,e_{i+1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle n}$
• P.クラインシュミットはピカール数のあらゆる滑らかなコンパクトトーリック多様体を射影的であると分類した。^[4] ${\displaystyle 2}$
• Victor V. Batyrevはピカール数のあらゆる滑らかなコンパクトトーリック多様体を分類したが、それらはすべて射影的である。^[5]この結果はS. ChoiとH. Parkによって異なる手法で証明された。^[6] ${\displaystyle 3}$

ピカール数より大きい場合の分類は不明です。 ${\displaystyle 3}$

小さな次元の分類

滑らかなトーリック面は簡単に特徴付けられ、すべて射影的であり、各頂点で 2 つの入射エッジが の基底を形成する 2 つのベクトルで張られるような多角形の通常のファンから生じます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

特異点の解決

すべてのトーリック多様体は、別のトーリック多様体によって与えられた特異点の解決を持ち、これは、関連するファンの最大円錐を滑らかなトーリック多様体の円錐に細分化することによって構築できます。

鏡対称性との関係

トーリック多様体の考え方は、ファンの特定のデータを多面体のデータとして解釈するとミラー多様体の組み合わせ構成につながるため、ミラー対称性に役立ちます。

外部リンク

• DA Coxのホームページ。トーリック多様体に関する講義がいくつか掲載されています。

参照

• ゴルダンの補題
• トーリック理想
• トーリックスタック（大まかに言うと、 GIT商を取るステップを商スタックに置き換えることによって得られる）
• トロイダル埋め込み

一般的な参考文献

短いアンケート

• コックス、デイビッド(2003)、「トーリック多様体とは何か？」(PDF)、代数幾何学と幾何学的モデリングの話題、Contemporary Mathematics、第334巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp.  203– 223、ISBN 0-8218-3420-7、MR  2039974
• ミラー、エズラ（2008）「トーリック多様体とは何か？」（PDF）アメリカ数学会報、55（5）：586-587、MR  2404030

記事

• ダニロフ、VI (1978)、「Геометрия торических многообразий」(PDF)、Uspekhi Matematicheskikh Nauk、33 (2): 85– 134、MR  0495499
  • ダニロフ, VI (1978)「トーリック多様体の幾何学」、ロシア数学概論、33 (2): 97– 154、Bibcode :1978RuMaS..33...97D、doi :10.1070/RM1978v033n02ABEH002305に翻訳

本

• Kempf, G.; Knudsen, Finn Faye; Mumford, David ; Saint-Donat, B. (1973), Toroidal Embeddings I , Lecture Notes in Mathematics, vol. 339, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070318 , ISBN 978-3-540-06432-9、MR  0335518
• 小田忠雄 (1988)、凸体と代数幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の成果 (3)]、vol. 15、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-17600-8、MR  0922894
• フルトン、ウィリアム（1993）、トーリック多様体入門、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-00049-7
• コックス、デイビッド・A.；リトル、ジョン・B.；シェンク、ハル（2011）「トーリック多様体」、大学院数学研究科、124、ISBN 978-1-4704-7820-9
• Buchstaber, Victor M.; Panov, Taras E. (2015), Toric topology , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 204, Providence, RI: American Mathematical Society, doi :10.1090/surv/204, ISBN 978-1-4704-2214-1

参考文献

1. Cox, David A.; Little, John B.; Schenck, Hal (2011)、「トーリック多様体」、Graduate Studies in Mathematics、124、ISBN 978-1-4704-7820-9
2. デイビス、マイケル・W.; ヤヌシュキエヴィチ、タデウシュ (1991)、「凸多面体、コクセターオービフォールド、トーラス作用」、デューク数学ジャーナル、62 (2): 417– 451、doi :10.1215/S0012-7094-91-06217-4、ISSN  0012-7094
3. フルトン、ウィリアム（1993）、トーリック多様体入門、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-00049-7
4. Peter Kleinschmidt (1988)、「生成器が少ないトーリック多様体の分類」、Aequationes Mathematicae、35 ( 2–3 ): 254– 266、doi :10.1007/BF01830946、ISSN  0001-9054
5. Batyrev, Victor V. (1991), 「滑らかな射影トーリック多様体の分類について」,東北数学ジャーナル, 第2シリーズ, 43 (4): 569– 585, doi : 10.2748/tmj/1178227429 , ISSN  0040-8735
6. チェ・スヨン、パク・ハンチョル（2016年3月1日）「ウェッジ演算とトーラス対称性」、東北数学ジャーナル、68（1）、arXiv：1305.0136、doi：10.2748/tmj/1458248864

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