環状多面体

幾何学において、トーラス多面体（ $トーラス$ たたかたかたいぺん）とは、位相種数（ $g$ ）が1以上である、トーラス（g穴付きトーラス）でもある多面体である。著名な例としては、チャーサール多面体とシラッシ多面体が挙げられる。

定義のバリエーション

トーラス多面体は、辺と頂点で交わる多角形の集合として定義され、多様体を形成する。つまり、各辺はちょうど2つの多角形によって共有され、各頂点において、その頂点で交わる辺と面は、交互の辺と面の単一のサイクル（頂点の連結）で互いに連結されている。トーラス多面体の場合、この多様体は有向面である。^{[1]一部の著者は、「トーラス多面体」という語句を、より具体的には（種数1）}トーラスと位相的に等価な多面体を指すように限定している。^[2]

この分野では、面が三次元ユークリッド空間内の平面多角形であり、交差も相互交差もない埋め込みトロイダル多面体と、特定の幾何学的実現を持たない位相面である抽象多面体を区別することが重要です。 ^[3]これら2つの極端な例の中間にあるのが、ユークリッド空間内で交差が許されている幾何学的多角形または星型多角形で形成される多面体です。

これらすべての場合において、多面体のトーラス性は、その向き付け可能性とオイラー標数が非正であることで検証できる。オイラー標数はV − E + F = 2 − 2 gと一般化される。ここでgは位相種数である。

チャザールとシラッシの多面体

考えられる最も単純な埋め込みトロイダル多面体の 2 つは、Császár 多面体と Szilassi 多面体です。

チャーサール多面体は、7頂点のトーラス状多面体で、21辺と14の三角形の面を持つ。^[4]チャーサール多面体と四面体は、2頂点を結ぶあらゆる線分が多面体の辺となる唯一の多面体として知られている。^[5]その双対であるシラッシ多面体は、7つの六角形の面がすべて隣接しており、^[6]これによって、（種数1の）トーラス上の地図に必要な色の最大数は7であるという定理の半分が成り立つ。 ^[7]

Császár 多面体は、埋め込まれたトロイダル多面体の中で最も頂点数が少なく、Szilassi 多面体は、埋め込まれたトロイダル多面体の中で最も面数が少なくなります。

コンウェイのドーナツ型三角面体

1997年、ジョン・H・コンウェイは18頂点、36面からなるドーナツ型デルタ面体を提唱した。隣接する面の一部は共平面である。コンウェイは、デルタ面体ドーナツは可能な限り面数の少ない面体であると提唱した。^[8]

スチュワートトロイド

特別なカテゴリのドーナツ型多面体は、交差のない正多角形の面のみで構成され、隣接する面が同一平面上にあってはならないという制約がある。これらはスチュワート・ドーナツ型多面体^[9]と呼ばれ、これを集中的に研究したボニー・スチュワートにちなんで名付けられた。^[10]これらは凸多面体の場合のジョンソン立体に類似しているが、ジョンソン立体とは異なり、スチュワート・ドーナツ型多面体は無限に存在する。^[11]これらには、すべての面が正三角形である多面体であるドーナツ型デルタ面体も含まれる。

スチュワート・トーロイドの限定されたクラスとして、スチュワートによって定義された準凸トーロイド多面体がある。これらは、その凸包のすべての辺を含むスチュワート・トーロイドである。このような多面体では、凸包の各面はトーロイドの表面上にあるか、すべての辺がトーロイドの表面上にある多角形である。^[12]

単一の多面体の増加によるスチュワートトロイド
属	1	1
画像
多面体	6つの六角柱	8つの八面体
頂点	48	24
エッジ	84	72
顔	36	48

準凸スチュワートトロイド
属	1		3	11	3	5	7	11
画像
多面体	4つの正方形キューポラ、 8つの四面体	6つの三角形のキューポラと 6つの四角錐	4つの三角形のキューポラと 6つの四角錐	24個の三角柱、 6個の四角錐、 8個の四面体	正方形キューポラ6個、三角形キューポラ 4個、立方体12個	三角形のキューポラ8個、立方体 12個	6つの正方形キューポラ、 12個の立方体	6つの正方形キューポラと8つの三角形キューポラ
凸包	切り取られた立方体	切頂八面体	切頂八面体	拡大された立方八面体	切頂立方八面体	切頂立方八面体	切頂立方八面体	切頂立方八面体
頂点	32	30	30	62	72	72	72	72
エッジ	64	60	72	168	144	168	168	168
顔	32	30	38	86	68	88	84	76

自己交差多面体

八面体	小さな立方八面体	大十二面体

交差する多角形の系によって形成される多面体は、その多角形とそれらの共有辺および頂点の系によって形成される抽象的な位相多様体に対応し、この抽象的な多様体から多面体の種数を決定できる。例としては、種数1の八半八面体、種数3の小立方立方八面体、種数4の大十二面体などが挙げられる。

クラウン多面体

五角形ステファノイド。このステファノイドは五角形の二面対称性を持ち、均一五角柱と同じ頂点を持ちます。

クラウン多面体またはステファノイドは、等角形（頂点が等しい）かつ等面体（面が等しい）である、高貴な環状多面体である。クラウン多面体は自己交差し、位相的に自己双対である。^[13]

参照

参考文献

^ Whiteley (1979); Stewart (1980)、15ページ。
^ Webber、William T. (1997)、「トロイドである単面体等価多面体」、Geometriae Dedicata、67 (1): 31–44、doi :10.1023/A:1004997029852、MR 1468859、S2CID 117884274。
^ Whiteley, Walter (1979)、「多面体の実現可能性」(PDF)、構造トポロジー(1): 46– 58, 73, MR 0621628。
^ Császár、A. (1949)、「対角線のない多面体」、Acta Sci.数学。セゲド、13 : 140–142。
^ Ziegler、Günter M. (2008)、「高属の多面体表面」、ボベンコ、AI;シュレーダー、P.サリバン, JM ; Ziegler、GM (編)、離散微分幾何学、Oberwolfach セミナー、vol. 38、Springer-Verlag、pp. 191–213、arXiv : math.MG/0412093、doi :10.1007/978-3-7643-8621-4_10、ISBN 978-3-7643-8620-7、S2CID 15911143。
^ Szilassi、Lajos (1986)、「通常のトロイド」、構造トポロジー、13 : 69–80、hdl :2099/1038。
^ Heawood, PJ ( 1890)、「地図着色定理」、Quarterly Journal of Mathematics、First Series、24 : 322–339
^ Conway, John、「正の属数の多面体」、geometry.research Usenetグループ; 1997年9月23日午前0時00分（トーラス状デルタ面体を発表）と、1997年9月25日午前0時00分（トーラス状デルタ面体の構築について説明）のメッセージを参照してください。§ スチュワート・トーラスとは異なり、この三角形は隣接する三角形が共平面上にありますが、それ以外はスチュワート（1980）の60ページで説明されている、より多くの面を持つトーラス状デルタ面体に似ています。
^ ウェッブ、ロバート（2000）「ステラ：多面体ナビゲーター」、シンメトリー：文化と科学、11（1-4）：231-268、MR 2001419。
^ スチュワート、BM（1980）、トロイド間の冒険：正則面を持つ方向付け可能な多面体の研究（第2版）、BMスチュワート、ISBN 978-0-686-11936-4。
^ スチュワート（1980）、15ページ。
^ スチュワート（1980）「準凸性と弱準凸性」76-79頁。
^ Grünbaum, Branko (1994)、「中空面を持つ多面体」、Polyhedra with Hollow Faces、Polytopes: Abstract, Convex and Computational、NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series、vol. 440、Kluwer Academic Publishers、pp. 43– 70、doi :10.1007/978-94-011-0924-6_3特に60ページを参照してください。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「トロイダル多面体」。MathWorld。
スチュワート・トロイド（正多角形面を持つトロイド立体）
スチュワートの多面体
環状多面体
スチュワートトロイド

[1] Whiteley (1979); Stewart (1980)、15ページ。

[2] Webber、William T. (1997)、「トロイドである単面体等価多面体」、Geometriae Dedicata、67 (1): 31–44、doi :10.1023/A:1004997029852、MR 1468859、S2CID 117884274。

[3] Whiteley, Walter (1979)、「多面体の実現可能性」(PDF)、構造トポロジー(1): 46– 58, 73, MR 0621628。

[4] Császár、A. (1949)、「対角線のない多面体」、Acta Sci.数学。セゲド、13 : 140–142。

[5] Ziegler、Günter M. (2008)、「高属の多面体表面」、ボベンコ、AI;シュレーダー、P.サリバン, JM ; Ziegler、GM (編)、離散微分幾何学、Oberwolfach セミナー、vol. 38、Springer-Verlag、pp. 191–213、arXiv : math.MG/0412093、doi :10.1007/978-3-7643-8621-4_10、ISBN 978-3-7643-8620-7、S2CID 15911143。

[6] Szilassi、Lajos (1986)、「通常のトロイド」、構造トポロジー、13 : 69–80、hdl :2099/1038。

[7] Heawood, PJ ( 1890)、「地図着色定理」、Quarterly Journal of Mathematics、First Series、24 : 322–339

[8] Conway, John、「正の属数の多面体」、geometry.research Usenetグループ; 1997年9月23日午前0時00分（トーラス状デルタ面体を発表）と、1997年9月25日午前0時00分（トーラス状デルタ面体の構築について説明）のメッセージを参照してください。§ スチュワート・トーラスとは異なり、この三角形は隣接する三角形が共平面上にありますが、それ以外はスチュワート（1980）の60ページで説明されている、より多くの面を持つトーラス状デルタ面体に似ています。

[9] ウェッブ、ロバート（2000）「ステラ：多面体ナビゲーター」、シンメトリー：文化と科学、11（1-4）：231-268、MR 2001419。

[10] スチュワート、BM（1980）、トロイド間の冒険：正則面を持つ方向付け可能な多面体の研究（第2版）、BMスチュワート、ISBN 978-0-686-11936-4。

[11] スチュワート（1980）、15ページ。

[12] スチュワート（1980）「準凸性と弱準凸性」76-79頁。

[13] Grünbaum, Branko (1994)、「中空面を持つ多面体」、Polyhedra with Hollow Faces、Polytopes: Abstract, Convex and Computational、NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series、vol. 440、Kluwer Academic Publishers、pp. 43– 70、doi :10.1007/978-94-011-0924-6_3特に60ページを参照してください。