ねじりテンソル

Object in differential geometry

ユークリッド空間 における単位円の展開。ユークリッド計量を保存する平坦接続の4つの異なる選択肢があり、 で定義される。ここで、はそれぞれ定数スカラーである。結果として得られる曲線はすべて、弧長、曲率、およびそれぞれのねじれ（フレネ・セレの意味で）を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\tau \,e_{i}\times e_{j}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =0.01,0.1,0.5,1.0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$

微分幾何学において、ねじれテンソルは任意のアフィン接続に関連付けられたテンソルです。ねじれテンソルは2つの入力ベクトルの双線型写像であり、辺が である無限小平行四辺形に沿って接空間を展開（または「転がし」）たとき、接空間内の変位を表す出力ベクトルを生成します。ねじれテンソルは入力に関して歪対称です。これは、平行四辺形を逆方向に展開すると、ねじが2方向にねじれたときに逆方向に動くのと同様に、逆の変位が生じるためです。 ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T(X,Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$

捩れは、測地線の幾何学の研究で特に有用である。媒介変数付き測地線の系が与えられれば、それらの測地線を持ちながら捩れが異なるアフィン接続のクラスを特定することができる。捩れを吸収する唯一の接続が存在し、レヴィ・チヴィタ接続を他の、おそらく非計量的な状況（フィンスラー幾何学など）に一般化する。捩れを伴う接続と捩れを伴わない対応する接続​​との差は、コントーションテンソルと呼ばれるテンソルである。捩れの吸収は、 G-構造とカルタンの同値法の研究でも基本的な役割を果たしている 。捩れは、関連する射影接続を介して、媒介変数なしの測地線の族の研究にも有用である。相対性理論では、このようなアイデアはアインシュタイン・カルタン理論の形で実装されている。

意味

Mを接束（共変微分ともいう）∇ 上にアフィン接続を持つ多様体とする。∇の捩れテンソル（カルタン（捩れ）テンソルとも呼ばれる）は、ベクトル場XとY上で^[1]によって定義されるベクトル値2次元形式である。

${\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

ここで、[ X , Y ]は2つのベクトル場の リー括弧です。ライプニッツの定理により、任意の滑らかな関数fに対して、 T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y ) が成り立ちます。したがって、 Tは、一次微分作用素である接続によって定義されているにもかかわらず、テンソルです 。つまり、T は接ベクトルに対して2次元形式を与えますが、共変微分はベクトル場に対してのみ定義されます。

ねじれテンソルの成分

接束の切断の局所基底（e ₁ , ..., e _n）に関するねじれテンソルの成分は、X = e _i、Y = e _jと設定し、交換子係数γ ^k _ij e _k  := [ e _i , e _j ]を導入することによって導出できる。ねじれテンソルの成分は^[2] ${\displaystyle T^{c}{}_{ab}}$

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

接続を定義する接続係数はここにあります。基底がホロノミックであれば、リー括弧は消えます。つまり、 です。特に（下記参照）、測地線方程式は接続の対称部分を決定しますが、ねじれテンソルは反対称部分を決定します。 ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$ ${\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}$ ${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}$

ねじり形式

ねじれの別の特徴付けであるねじれ形式は、多様体Mの標構束F Mに適用される。この 主束は接続形式ω、つまりgl ( n ) 値の 1 形式を持つ。これは、垂直ベクトルをgl ( n )の右作用の生成元に写し、 F Mの接束への GL( n ) の右作用とgl ( n )上の随伴表現を同変的に絡み合わせる。標構束はまた、R ⁿに値を持つ標準的な 1 形式θ を持ち、これは標構u ∈ F _x M（線型関数u  : R ⁿ → T _x Mとみなされる）において次のように定義される。 ^[3]

${\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))}$

ここでπ  :F M → Mは主束への射影写像であり、π∗ はその押し出しである。したがって、捩れ形式は^[4]

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .}$

同様に、 Θ = Dθであり、ここでDは接続によって決定される外部共変微分です。

ねじれ形式は、 R ⁿに値を持つ（水平）テンソル形式であり、 g ∈ GL( n )の右作用の下では同変変換されることを意味する。

${\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta }$

ここで、R ⁿに対する標準作用によって右側に作用します。 ${\displaystyle g^{-1}}$

フレーム内のねじり形状

捩れ形式は、接束( e ₁ , ..., e _n )の特定のフレームで書かれた、基本多様体M上の接続形式によって表現することができる。接続形式は、これらの基本セクションの外共変微分を表現する。^[5]

${\displaystyle D\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{j}{\omega ^{j}}_{i}.}$

接線束のソルダー形式（このフレームを基準として）は e i の双対基底 θ i ∈ T ∗ M であり、θ i ₍ e j ) ⁼ δ ⁱ j（クロネッカーのデルタ）となる。^すると、捩れ₂形式は^次_のような成分を持つ。

${\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\omega ^{k}}_{j}\wedge \theta ^{j}={T^{k}}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.}$

一番右の表現では、

${\displaystyle {T^{k}}_{ij}=\theta ^{k}\left(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-\left[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\right]\right)}$

は、前述定義のねじりテンソルのフレーム成分である。

Θ ^{i が}テンソル変換することは、異なるフレーム

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\mathbf {e} _{j}{g^{j}}_{i}}$

ある逆行列値関数（g ^j _i）に対して、

${\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}={\left(g^{-1}\right)^{i}}_{j}\Theta ^{j}.}$

言い換えると、Θは（1、2）型のテンソルです（反変インデックスを1つと共変インデックスを2つ持ちます）。

あるいは、はんだ形式は、フレームに依存しない形で、 M上のT M値1形式θとして特徴付けられ、これは双対同型End(T M ) ≈ T M ⊗ T ^∗ Mの下での接束の恒等自己準同型に対応する。このとき、ねじれ2形式は切断である。

${\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}\left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right)}$

与えられた

${\displaystyle \Theta =D\theta ,}$

ここで、Dは外共変微分です。（ 詳細については接続形式を参照してください。）

不可逆分解

ねじれテンソルは、トレースを含まない部分とトレース項を含む部分の2つの既約部分に分解できる。指数表記を用いると、 Tのトレースは次のように表される 。

${\displaystyle a_{i}=T^{k}{}_{ik},}$

そして痕跡のない部分は

${\displaystyle B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j},}$

ここでδ ⁱ _jはクロネッカーのデルタです。

本質的に、人は

${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right).}$

Tのトレースtr Tは、以下のように定義される T ^∗ Mの元である。各ベクトルX ∈ T Mに対して、T はHom(T M , T M )の元T ( X )を次のように 定義する。

${\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).}$

このとき、(tr T )( X ) はこの準同型の跡として定義される。つまり、

${\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X)).}$

Tのトレースフリー部分は

${\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T),}$

ここで、ι は内積を表します。

曲率とビアンキ恒等式

∇の曲率テンソルは、ベクトル場X、Y、Z上 で定義される写像T M × T M → End(T M )である。

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

ある点におけるベクトルの場合、この定義は、ベクトルがその点から離れたベクトル場までどのように拡張されるかには依存しません (したがって、ねじれと同様に、テンソルを定義します)。

ビアンキ恒等式は曲率とねじれを次のように関連付ける。^[6] X、Y、Z上の巡回和をと表記する。例えば、 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.}$

すると、次の恒等式が成り立つ。

1. ビアンキの最初のアイデンティティ：

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T\left(T(X,Y),Z\right)+\left(\nabla _{X}T\right)\left(Y,Z\right)\right)}$

2. ビアンキの第二のアイデンティティ：

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(\left(\nabla _{X}R\right)\left(Y,Z\right)+R\left(T\left(X,Y\right),Z\right)\right)=0}$

曲率形式とビアンキ恒等式

曲率形式はgl ( n )値2形式である

${\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$

ここで、Dは外共変微分を表す。曲率形式と捩れ形式に関して、対応するビアンキ恒等式は^{[7]である。}

1. ${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$
2. ${\displaystyle D\Omega =0.}$

_{さらに、曲率テンソルとねじれテンソルは、曲率形式とねじれ形式から次のようにして復元できる。F x} Mの点uにおいて、^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X,Y)Z&=u\left(2\Omega \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right)\left(u^{-1}(Z)\right),\\T(X,Y)&=u\left(2\Theta \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right),\end{aligned}}}$

ここでも、u  : R ⁿ → T _x Mはファイバー内のフレームを指定する関数であり、曲率とねじれ形式が水平であるため、π ⁻¹を介したベクトルの揚力の選択は無関係です（これらは曖昧な垂直ベクトル上では消えます）。

特徴づけと解釈

ねじれは、平面が表面または高次元アフィン多様体に沿って転がるときに滑ったりねじれたりする量を特徴付ける方法です。^[9]

例えば、球面上に描かれた小さな円に沿って平面を転がすことを考えてみましょう。平面が滑ったりねじれたりしない場合、円に沿って完全に転がされたときに、平面は平面上で円を描きます。球の曲率による効果として、平面は回転します (転がしている間はねじれていないにもかかわらず) 。しかし、描かれる曲線は依然として円であり、したがって、特に同じ点で始まり、同じ点で終わる閉じた曲線になります。一方、平面を球面に沿って転がすが、その過程で滑ったりねじれたりすることを許容した場合、円が平面上で描く軌跡は、閉じている必要さえない、はるかに一般的な曲線になる可能性があります。ねじれは、曲線に沿って平面を転がすときに発生するこの追加の滑りとねじれを定量化する方法です。

したがって、ねじりテンソルは、空間内にベクトルvとwで辺が与えられる小さな平行四辺形回路を取り、その接空間を平行四辺形の 4 つの辺に沿って転がし、進むにつれて接点に印を付けていくことで、直感的に理解できます。回路が完成すると、印の付いた曲線は、 と表記されるベクトルだけ平行四辺形平面から変位します。したがって、ねじりテンソルはテンソル、つまり出力ベクトル を生成する2 つの入力ベクトルvとwの (双線形) 関数です。これは引数vとwに関して歪対称であり、回路を逆方向に通過すると元の変位が元に戻るという事実を反映しています。これは、ネジを反対方向に回すとネジが反対方向に変位するのとほぼ同じです。したがって、ねじれテンソルは、フレネ・セレの公式に現れる曲線のねじれとは関連しているものの、異なる性質を持っています。接続のねじれは、展開された曲線がその平面からずれていることを測るのに対し、曲線のねじれもまた、接触面からのずれです。曲面幾何学において、 測地線ねじれは、曲面が曲面上の曲線の周りでどのようにねじれるかを記述します。関連する概念である曲率は、動いているフレームが曲線に沿って滑ったりねじれたりすることなくどのように転がるかを測ります。 ${\displaystyle T(v,w)}$ ${\displaystyle T(v,w)}$

例

（平坦な）ユークリッド空間 を考えてみましょう。この空間に、標準ユークリッド座標系上で（ユークリッド）外積によって定義される、平坦だが非零のねじれ角を持つ接続を置きます。 ここで、原点から軸に沿ったベクトルの平行移動を考えます。したがって、平行ベクトル場は を満たし、微分方程式 が 成り立ちます。したがって、 となり、解は となります。 ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ $${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=e_{i}\times e_{j}.}$$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle X(x)=a(x)e_{2}+b(x)e_{3}}$ ${\displaystyle X(0)=e_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0={\dot {X}}&=\nabla _{e_{1}}X={\dot {a}}e_{2}+{\dot {b}}e_{3}+ae_{1}\times e_{2}+be_{1}\times e_{3}\\&=({\dot {a}}-b)e_{2}+({\dot {b}}+a)e_{3}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\dot {a}}=b,{\dot {b}}=-a}$ ${\displaystyle X=\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}}$

ここで、ベクトルの先端は、軸に沿って運ばれるにつれて、らせんを描きます。 したがって、ねじれがある場合、平行移動によってフレームが運動の方向を中心にねじれる傾向があることがわかります。これは、古典的な曲線の微分幾何学でねじれが果たす役割と類似しています。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{1}}$ $${\displaystyle x\,e_{1}+\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}.}$$

発達

ねじれの解釈の一つに、曲線の展開がある。^[10]点 に基づく、区分 的に滑らかな閉ループが与えられているとする。ここで、はゼロにホモトピックであると仮定する。この曲線は、次のようにしての接空間に展開することができる。が に沿った平行コフレームであり、が によって誘導される上の座標であるとする。 の展開とは、その座標が微分方程式を満たす曲線のことである。ねじれがゼロの場合、展開された曲線も閉ループである（したがって）。一方、ねじれがゼロでない場合、展開された曲線は閉じていない可能性があり、 となる。したがって、ねじれがある場合のループの展開は、らせん転位と同様に、転位する可能性がある。^[11] ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta ^{i}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \theta ^{i}(p)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$ $${\displaystyle dx^{i}=\gamma ^{*}\theta ^{i}.}$$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {\gamma }}(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)\not ={\tilde {\gamma }}(1)}$

以上の考察は、点 を起点とし、辺 を持つ小さな平行四辺形を考えることで、より定量的に表すことができます。このとき、平行四辺形の接線二ベクトルは となります。この平行四辺形を という接続を用いて展開すると、一般には閉じたものではなくなり、ループを一周する際の変位はベクトル （ はねじれテンソル）による並進運動となり、の高次項までとなります。この変位は結晶学のバーガースベクトルと直接類似しています。^{[12] [13]} ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$ ${\displaystyle v\wedge w\in \Lambda ^{2}T_{p}M}$ ${\displaystyle \Theta (v,w)}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle v,w}$

より一般的には、曲線 に沿って移動フレームを移動させることもできます。フレームが 間で受ける線形変換は、接続の曲率によって決まります。フレームの線形変換と、開始点を からへ移動させることで、接続のホロノミーが構成されます。 ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle t=0,t=1}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

フィラメントのねじれ

材料科学、特に弾性理論では、ねじれの考え方も重要な役割を果たします。ある問題では、蔓の成長をモデル化し、蔓がどのようにして物体の周りをねじれるのかという問題に焦点を当てています。^[14]蔓自体は、互いにねじれた一対の弾性フィラメントとしてモデル化されます。エネルギーを最小化する状態では、蔓は自然にらせん状に成長します。しかし、蔓は、その範囲（または長さ）を最大化するために引き伸ばされることもあります。この場合、蔓のねじれは一対のフィラメントのねじれ（またはフィラメントを連結するリボンの表面のねじれと同等）に関連しており、蔓の長さを最大化する（測地線状の）構成とエネルギーを最小化する構成の差を反映しています。

ねじれと渦度

流体力学では、ねじれは当然渦線と関連しています。

曲率2形式、ねじれ2形式を持つ3次元の接続が与えられていると仮定する。を歪対称レヴィ・チヴィタテンソルとし、とすると、ビアンキ恒等式 (?) が成り立つ。ビアンキ恒等式は、および を意味する。これらは、モーメント密度 を持つ平衡連続媒体が満たす方程式である。^[15] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega _{a}^{b}}$ ${\displaystyle \Theta ^{a}=D\theta ^{a}}$ ${\displaystyle \eta _{abc}}$ $${\displaystyle t_{a}={\tfrac {1}{2}}\eta _{abc}\wedge \Omega ^{bc},}$$ $${\displaystyle s_{ab}=-\eta _{abc}\wedge \Theta ^{c}.}$$ $${\displaystyle D\Omega _{b}^{a}=0,\quad D\Theta ^{a}=\Omega _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}.}$$ ${\displaystyle Dt_{a}=0}$ $${\displaystyle Ds_{ab}=\theta _{a}\wedge t_{b}-\theta _{b}\wedge t_{a}.}$$ ${\displaystyle s_{ab}}$

測地線とねじれの吸収

γ ( t ) がM上の曲線であるとする。このとき、γはアフィン媒介変数化された測地線であり、次の式が成り立つ。

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$

γの定義域において、すべての時刻tについて成り立ちます。（ここで、点はtに関する微分を表し 、 γ にそれに沿った接線ベクトルを関連付けます。）各測地線は、時刻t = 0、における初期接線ベクトルによって一意に決まります。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$

接続のねじれの応用例の一つに、接続の測地線スプレーがあります。これは、ほぼすべてのアフィン媒介変数付き測地線の族に相当します。ねじれとは、接続を測地線スプレーの観点から分類する際の曖昧さです。

• 同じアフィンパラメータ化された測地線（つまり同じ測地線スプレー）を持つ2つの接続∇と∇′は、ねじれによってのみ異なります。^[16]

より正確には、XとYがp∈Mにおける接ベクトルのペアであるとすると、

${\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}$

2つの接続の差を、XとYをpから任意の方向に拡張して計算する。ライプニッツの積分則によれば、Δは実際にはXとY ′がどのように拡張されているかに依存しない（したがって、 M上のテンソルを定義する）ことがわかる。S とAをΔの対称部分と交代部分とすると、

${\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}$

${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}$

それから

• ${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}$ねじりテンソルの差です。
• ∇と∇′は、 S ( X , Y )=0の場合にのみ、同じアフィンパラメータ化された測地線族を定義します。

言い換えれば、2つの接続の差の対称部分は、それらが同じパラメータ化された測地線を持つかどうかを決定し、差の歪部分は2つの接続の相対的なねじれによって決定されます。もう一つの結論は、

• 任意のアフィン接続 ∇ が与えられた場合、同じアフィン媒介変数付き測地線族を持つ、ねじれのない接続 ∇′ が唯一存在する。この2つの接続の差は、実際にはテンソル、すなわちねじれテンソルである。

これは、リーマン幾何学の基本定理を一般のアフィン（非計量的である可能性もある）接続に一般化したものである。媒介変数付き測地線の族に従属する、ねじれのない唯一の接続を取り出すことは 、ねじれの吸収として知られており、カルタンの同値法の段階の一つである。

参照

• ねじれテンソル
• カートライトフィールド
• 曲率テンソル
• レヴィ＝チヴィタ接続
• ねじり係数
• 曲線のねじれ

注記

1. 小林・野水 (1963)、第 3 章、定理 5.1
2. 小林・野水 (1963)、第 3 章、命題 7.6
3. 小林・野水 (1963)、第三章第二節
4. 小林・野水 (1963)、第 III 章、定理 2.4
5. 小林・野水 (1963)、第 3 章、第 7 節
6. 小林＆野水、1963年、第1巻、命題III.5.2。
7. 小林・野水、1963年、第1巻、III.2。
8. 小林・野水、1963年、第1巻、III.5。
9. Hehl, FW, & Obukhov, YN (2007). Elie Cartanの幾何学と場の理論における捩れに関するエッセイ. arXivプレプリント arXiv:0711.1535.
10. 小林・野水 (1963)、第 3 章、第 4 節
11. Bilby, BA; Bullough, R.; Smith, E. (1955). 「転位の連続分布：非リーマン幾何学の手法の新たな応用」 . Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences . 231 (1185): 263– 273. Bibcode :1955RSPSA.231..263B. doi :10.1098/rspa.1955.0171.
12. 「ねじれ」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
13. Ozakin, A., & Yavari, A. (2014). ワイツェンベック多様体における閉曲線のアフィン展開と転位力学のバーガースベクトル.固体の数学と力学, 19(3), 299-307.
14. ゴリエリーら 2006年。
15. Trautman (1980) Elie Cartan の論文に関するコメント: Sur une generalization de la notion de courbure de Riemann et les espaces a torsion。バーグマン、PG、およびデ・サバタ、V. 宇宙論と重力: スピン、ねじれ、回転、および超重力 (Vol. 58)。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。
16. Spivak (1999)第2巻、第6章補遺1を参照。また、Bishop and Goldberg (1980)第5.10節も参照。

参考文献

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外部リンク

• Bill Thurston (2011) 滑りのない転がりによるねじりの解釈、URL (バージョン: 2011-01-27)。

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