単調関数に関するベルンシュタインの定理

数学の一分野である実解析において、ベルンシュタインの定理は、半直線 $[0, \infty)上の$ 完全に単調な実数値関数はすべて指数関数の混合であると述べている。重要な特殊なケースの一つとして、この混合は加重平均、あるいは期待値となる。

関数 $f$ の全単調性（完全単調性とも呼ばれる）とは、 $f が$ $[0, \infty)$ で連続であり、 $(0, \infty)$ で無限微分可能であり、すべての非負整数 $n$ およびすべての $t$ $> 0$ に対してを満たすことを意味します。別の慣例により、上記の定義には逆の不等式が用いられます。 $(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)\geq 0$

$「加重平均」の記述は次のように特徴付けることができます。 [0,\infty)$ 上に累積分布関数 $g$ を持つ非負の有限ボレル測度が存在し、その積分はリーマン・スティルチェス積分となります。 $f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dg(x),$

より抽象的な言葉で言えば、この定理は $[0, \infty)$ 上の正のボレル測度のラプラス変換を特徴付ける。この形では、ベルンシュタイン・ヴィダー定理、あるいはハウスドルフ・ベルンシュタイン・ヴィダー定理として知られる。フェリックス・ハウスドルフは以前に、完全に単調な列を特徴付けていた。これらはハウスドルフモーメント問題に現れる列である。

バーンスタイン関数

導関数が完全に単調である非負関数はベルンシュタイン関数と呼ばれる。すべてのベルンシュタイン関数はレヴィ・ヒンチン表現を持つ：ここで、とは正の実数半直線上の測度であり、 $f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),$ $a,b\geq 0$ $\mu$ $\int _{0}^{\infty }\left(1\wedge x\right)\mu (dx)<\infty .$

参照

絶対的かつ完全に単調な関数とシーケンス

参考文献

SN バーンスタイン(1928)。「シュール・レ・フォンション・アブソリュメント・モノトーン」。アクタ・マセマティカ。52 : 1–66 .土井: 10.1007/BF02592679。
D. Widder (1941). 『ラプラス変換』プリンストン大学出版局.
ルネ・シリング、レンミン・ソング、ゾラン・ヴォンドラーチェク（2010年）。バーンスタイン関数。デ・グルイテル。