トレースクラス

Compact operator for which a finite trace can be defined

数学、特に関数解析において、トレースクラス演算子（トレースクラスこうしき）とは、トレースを定義できる線型演算子であり、そのトレースは、トレースを計算する際に用いる基底の選択に依存しない有限数となる。このトレースクラス演算子のトレースは、線型代数学で研究される行列のトレースを一般化する。すべてのトレースクラス演算子はコンパクト演算子である。

量子力学では、量子状態は密度行列によって記述され、密度行列は特定のトレースクラスの演算子である。^[1]

トレースクラス演算子は本質的には核演算子と同じですが、多くの著者は「トレースクラス演算子」という用語をヒルベルト空間上の核演算子の特殊なケースに使用し、「核演算子」という用語をより一般的な位相ベクトル空間（バナッハ空間など）で使用します。

意味

を可分ヒルベルト空間、直交基底、および上の正有界線型作用素とする。のトレースは で表され、次のように定義される^{[2] [3]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,}$

直交基底の選択に依存しない。（必ずしも正値ではない）有界線型作用素はトレース類と 呼ばれる。 ${\displaystyle T:H\rightarrow H}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty ,}$

ここで は半正定値エルミート平方根を表す。^[4] ${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$

トレースクラス演算子Tのトレースノルムは、次のように定義されます。トレースノルムはすべてのトレースクラス演算子の空間上のノルムであり、トレースノルムにより、はバナッハ空間になることが示されます。 $${\displaystyle \|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).}$$ ${\displaystyle B_{1}(H)}$ ${\displaystyle B_{1}(H)}$

が有限次元のとき、すべての（正の）演算子はトレースクラスである。なぜなら、この定義は行列 のトレースの定義と一致するからである。が複素数の場合、 は常に自己随伴（すなわち）であるが、逆は必ずしも真ではない。^[5] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=A^{*}=|A|}$

同等の定式化

有界線形演算子が与えられた場合、次の各ステートメントはトレースクラスに属することと同等です。 ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T}$

• ${\textstyle \operatorname {Tr} (|T|)=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$はHの任意の直交基底 に対して有限である。^[2] ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$
• Tは原子核演算子である。^{[6] [7]}

  2つの直交数列とがあり、正の実数とがあり、 ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}<\infty }$

  ${\displaystyle x\mapsto T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i},\quad \forall x\in H,}$

  ここで、 Tの特異値（または、それと同等の、の固有値）であり、各値はその重複度と同じ回数繰り返されます。^[8] ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle |T|}$

• Tは、​ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty .}$

  Tがトレースクラスである場合^[9]

  ${\displaystyle \|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ and }}C:H\to H{\text{ is a compact operator }}\right\}.}$

• Tは積分演算子である。^[10]
• Tは2つのヒルベルト・シュミット演算子の合成に等しい。^[11]
• ${\textstyle {\sqrt {|T|}}}$はヒルベルト・シュミット演算子である。^[11]

例

スペクトル定理

ヒルベルト空間上の有界自己随伴作用素をとします。すると、トレース類は、固有値を持つ純点スペクトルを持つとき、かつその場合に限ります^[12] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left\{\lambda _{i}(T)\right\}_{i=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(T^{2})<\infty .}$

マーサーの定理

マーサーの定理は、トレースクラス作用素のもう一つの例である。つまり、が 上の連続対称正定値核であるとし、次のように定義される。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

関連するヒルベルト・シュミット積分演算子 はトレースクラス、すなわち、 ${\displaystyle T_{K}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

有限ランク演算子

すべての有限ランク作用素はトレースクラス作用素である。さらに、すべての有限ランク作用素の空間は（トレースノルムが与えられたとき）の稠密部分空間である。 ^[9] ${\displaystyle B_{1}(H)}$

任意の演算子を 次のように定義すると、階数1の連続線型演算子となり、トレースクラスとなる。さらに、H上（およびH内）の任意の有界線型演算子Aに対して、^[9] ${\displaystyle x,y\in H,}$ ${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$ ${\displaystyle (x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .}$

プロパティ

1. が非負の自己随伴演算子である場合、 がトレースクラスとなるのは、 の場合に限ります。したがって、自己随伴演算子がトレースクラスとなるのは、その正の部分と負の部分が両方ともトレースクラスとなる場合に限ります。(自己随伴演算子の正の部分と負の部分は、連続関数計算によって得られます。) ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} A<\infty .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A^{-}}$
2. トレースはトレース類作用素の空間上の線型汎関数である。すなわち、双線型写像はトレース類上の内積である。対応するノルムはヒルベルト・シュミットノルムと呼ばれる。トレース類作用素のヒルベルト・シュミットノルムへの完備化はヒルベルト・シュミット作用素と呼ばれる。 $${\displaystyle \operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).}$$ $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$$
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C} }$は、トレースクラス演算子が^[11]を満たすような正の線形関数である。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,}$ ${\displaystyle T=0.}$
4. がトレースクラスであれば、またもトレースクラスであり、 ^[11] ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle \|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.}$
5. が有界で、がトレースクラスである場合、およびもトレースクラスである（すなわち、 H上のトレースクラス作用素の空間は、H上の有界線型作用素の代数における両側イデアルである）、^{[11] [13]}さらに、同じ仮定の下で、^[11]および最後の主張は、 AとTがヒルベルト・シュミットである というより弱い仮定の下でも成り立つ。 ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle AT}$ ${\displaystyle TA}$ $${\displaystyle \|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)}$$ ${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.}$
6. とがHの2つの直交基底であり、Tがトレース類である場合、 ^[9] ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle \left(f_{k}\right)_{k}}$ ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$
7. Aがトレースクラスである場合、のフレドホルム行列式を定義できます。ここで、 は のスペクトルです。 のトレースクラス条件は、無限積が有限であることを保証します。実際、が逆である場合に限り、 であることも意味します。 ${\displaystyle I+A}$ $${\displaystyle \det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],}$$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.}$$ ${\displaystyle \det(I+A)\neq 0}$ ${\displaystyle (I+A)}$
8. がトレース類である場合、任意の直交基底に対して正の項の和は有限である。^[11] ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \left(e_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$
9. あるヒルベルト・シュミット作用素に対してが成り立ち、任意の法線ベクトルに対してが成り立つ。^[11] ${\displaystyle A=B^{*}C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e\in H,}$ ${\textstyle |\langle Ae,e\rangle |={\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}$

リツキーの定理

を可分ヒルベルト空間のトレースクラス作用素と​​し、を の固有値とする。が代数的重複度を考慮して列挙されていると仮定する（つまり、 の代数的重複度が ならば、 はリストにおいて回繰り返される）。リツキーの定理（ヴィクトル・ボリソヴィチ・リツキーにちなんで名付けられた）は、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N\leq \infty }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \lambda _{n}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots }$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)}$$

右辺の級数は、コンパクト作用素の固有値と特異値との間のワイル不等式により絶対収束することに注意されたい^[14] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)}$$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}$ ${\displaystyle A.}$

一般的な演算子のクラス間の関係

ある種の有界作用素は古典的なシーケンス空間の非可換類似体とみなすことができ、トレースクラス作用素はシーケンス空間の非可換類似体とみなすことができる。 ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$

実際、スペクトル定理を適用すれば、可分ヒルベルト空間上のすべての正規トレースクラス作用素は、ある特定の方法で、ヒルベルト基底のペアを選択した上で、列として実現できることを示すことができます。同様に、有界作用素はコンパクト作用素の非可換版であり、コンパクト作用素は（0に収束する列）、ヒルベルト・シュミット作用素は（有限個の非零項のみを持つ列）に対応し、有限階数作用素は（有限個の非零項のみを持つ列）に対応します。これらの作用素のクラス間の関係は、ある程度、可換な作用素間の関係に似ています。 ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle c_{00}}$

ヒルベルト空間上のすべてのコンパクト作用素は、次の標準形をとることを思い出してください。直交基底と非負数列が存在し、その列は となります。上記のヒューリスティックなコメントをより正確にすると、 がトレースクラスである場合 は級数が収束すること、がヒルベルト・シュミットである場合はが収束すること、 が有限階数である場合は、その列が有限個の非零項のみを持つことが条件となります。これにより、これらの作用素のクラスを関連付けることができます。が無限次元の場合、以下の包含関係が成り立ち、すべて適切です。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (u_{i})_{i}}$ ${\displaystyle (v_{i})_{i}}$ ${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\to 0}$ $${\displaystyle Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.}$$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert--Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.}$$

トレースクラスの演算子にはトレースノルムが与えられます。ヒルベルト・シュミットの内積に対応するノルムは、 また、通常の演算子ノルムは、シーケンスに関する古典的な不等式により、適切な ${\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$ $${\displaystyle \|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.}$$ ${\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$ $${\displaystyle \|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}}$$ ${\displaystyle T.}$

有限ランク演算子は、それぞれのノルムにおいてトレースクラスとヒルベルト・シュミットの両方で稠密であることも明らかです。

コンパクト演算子の双対としてのトレースクラス

の双対空間はである。同様に、 で表されるコンパクト作用素の双対は で表されるトレースクラス作用素である。ここで概説する議論は、対応するシーケンス空間の議論を彷彿とさせる。で定義される作用素を と同一視しよう。ここでは階数1の作用素であり、 で与えられる。 ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle K(H)^{*},}$ ${\displaystyle B_{1}.}$ ${\displaystyle f\in K(H)^{*},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T_{f}}$ $${\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),}$$ ${\displaystyle S_{x,y}}$ $${\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.}$$

この識別は、有限階数の演算子が においてノルム稠密であるため成立する。が正の演算子である場合、任意の直交基底に対して次が成り立つ 。 は恒等演算子である。 ${\displaystyle K(H).}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle u_{i},}$ $${\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,}$$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.}$$

しかし、これはがトレースクラスであることを意味します。極分解を利用することで、これを一般の場合に拡張することができ、 が正である必要はありません。 ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{f}}$

有限階数の演算子を用いた極限論は、次の式が等長的に同型であることを示す。 ${\displaystyle \|T_{f}\|_{1}=\|f\|.}$ ${\displaystyle K(H)^{*}}$ ${\displaystyle B_{1}.}$

有界作用素の双対として

の双対はであることを思い出してください。この文脈では、トレースクラス演算子の双対は有界演算子です。より正確には、集合はの両側イデアルです。したがって、任意の演算子が与えられたとき、 によって上の連続線型汎関数を定義できます。この有界線型演算子と の双対空間の元との間の対応は、等長同型です。したがって、はの双対空間です。これを使用して、上の弱*位相を定義することができます。 ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle T\in B(H),}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).}$ ${\displaystyle \varphi _{T}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle B_{1}.}$ ${\displaystyle B(H).}$

参照

• バナッハ空間間の核作用素

参考文献

1. Mittelstaedt 2009、pp. 389–390。
2. Conway 2000、p.86を参照。
3. リード＆サイモン 1980年、206ページ。
4. リード＆サイモン 1980年、196ページ。
5. リード＆サイモン 1980年、195ページ。
6. Trèves 2006、494ページ。
7. コンウェイ 2000、89ページ。
8. リード＆サイモン 1980年、203～204頁、209頁。
9. Conway 1990、268ページ。
10. Treves 2006、502–508 ページ。
11. Conway 1990、267ページ。
12. サイモン 2010、21ページ。
13. リード＆サイモン 1980年、218ページ。
14. Simon, B. (2005)トレース イデアルとその応用、第 2 版、アメリカ数学会。

参考文献

• コンウェイ、ジョン・B. (2000). 『作用素論講座』プロビデンス（ロードアイランド州）：アメリカ数学協会ISBN 978-0-8218-2065-0。
• コンウェイ、ジョン・B. (1990). 『関数解析コース』ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908。
• ディクスマイヤー、J. (1969)。Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien。ゴーティエ・ヴィラール。
• ミッテルシュテット、ピーター (2009). 「混合状態」.量子物理学概論. ベルリン、ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg. pp.  389– 390. doi :10.1007/978-3-540-70626-7_120. ISBN 978-3-540-70622-9。
• リード, M. ;サイモン, B. (1980). 『現代数理物理学の方法：第1巻：関数解析』 アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-585050-6。
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 3. ニューヨーク: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• サイモン、バリー（2010年）『セゲーの定理とその派生：直交多項式のL²摂動のスペクトル理論』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-14704-8。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Trace_class&oldid=1282616089"