トレース距離

Metric in quantum mechanics

量子力学、特に量子情報と量子開放系の研究において、トレース距離は密度行列空間上の計量であり、2つの状態間の識別可能性の尺度を与える。これは、古典的な確率分布に対するコルモゴロフ距離の量子的な一般化である。

意味

トレース距離は、行列の差のトレースノルムの半分として定義されます。ここで、 は のトレースノルム、 はとなる唯一の半正定値行列です（これは半正定値 に対して常に定義されます）。これは、その固有値の代数平方根を取ることで得られる行列と考えることができます。トレース距離については、より具体的には、 がエルミートである形式の式があります。この量は の特異値の合計に等しく、 はエルミートであるため、その固有値の絶対値の合計に等しくなります。より明確に言えば、はの-番目の固有値、はその階数です。 $${\displaystyle T(\rho ,\sigma ):={\frac {1}{2}}\|\rho -\sigma \|_{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{\dagger }(\rho -\sigma )}}\right],}$$ ${\displaystyle \|A\|_{1}\equiv \operatorname {Tr} [{\sqrt {A^{\dagger }A}}]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{2}=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |C|\equiv {\sqrt {C^{\dagger }C}}={\sqrt {C^{2}}}}$ ${\displaystyle C=\rho -\sigma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{r}|\lambda _{i}|,}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho -\sigma }$ ${\displaystyle r}$

係数 2 により、正規化された密度行列間のトレース距離が の範囲内の値を取ることが保証されます。 ${\displaystyle [0,1]}$

総変動距離との関連

トレース距離は、確率分布間の全変動距離の直接的な量子一般化として機能します。2つの確率分布とが与えられた場合、それらの全変動距離は次のように定義されます。この概念を量子状態に拡張する場合、量子状態では異なる測定によって異なる分布が生成される可能性があります。自然な方法は、固定された測定の選択に対して2つの状態によって生成された測定結果間の（古典的な）全変動距離を考慮し、すべての可能な測定に対して最大化することです。この手順により、量子状態間のトレース距離が正確に得られます。より明確に言えば、これはすべての可能なPOVMに関して最大​​化が実行される量です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\|P-Q\|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{k}|P_{k}-Q_{k}|.}$$ $${\displaystyle \max _{\Pi }{\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\sigma )|,}$$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i}}$

この最大値が状態間のトレース距離に等しい理由を理解するには、直交台を持つ半正定値行列の一意の分解が存在することに留意してください。これらの演算子を用いると、簡潔に と記述できます。さらに、そして となります。したがって となります。これは、が POVM 、で測定された結果として得られる古典的な確率分布を表し、最大値はすべての POVM に対して実行されることを示しています。 ${\displaystyle \rho -\sigma =P-Q}$ ${\displaystyle P,Q\geq 0}$ ${\displaystyle |\rho -\sigma |=P+Q}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Pi _{i}P),\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q)\geq 0}$ ${\displaystyle |\operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q))|\leq \operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)+\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q)}$ $${\displaystyle \sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|=\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P-Q))|\leq \sum _{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P+Q))=\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |.}$$ $${\displaystyle \max _{\Pi }\delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })\leq T(\rho ,\sigma ),}$$ ${\displaystyle P_{\Pi ,\rho }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle (P_{\Pi ,\rho })_{i}\equiv \operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )}$ ${\displaystyle \Pi \equiv \{\Pi _{i}\}_{i}}$

不等式が何らかのPOVMによって飽和していると結論付けるには、 の固有ベクトルに対応する要素を持つ射影測定を考慮するだけでよい。この選択により、の固有値は となる。 ${\displaystyle \rho -\sigma }$ $${\displaystyle \delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\lambda _{i}|=T(\rho ,\sigma ),}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \rho -\sigma }$

物理的な解釈

シャッテンノルムのヘルダー双対性を用いると、トレース距離は変分形式で次のように表すことができる^[1]

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\sup _{-\mathbb {I} \leq U\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [U(\rho -\sigma )]=\sup _{0\leq P\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [P(\rho -\sigma )].}$

古典的な対応物に関しては、トレース距離は 2 つの量子状態を区別する最大確率に関連付けることができます。

例えば、アリスが状態またはのどちらかの確率でシステムを準備し、それをボブに送るとします。ボブは、2値測定を用いて2つの状態を判別する必要があります。ボブは、測定結果 とPOVM要素 を割り当て、状態またはをそれぞれ識別します。ボブが入力状態を正しく識別する期待確率は、次のように与えられます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P_{1}=1-P_{0}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle p_{\text{guess}}={\frac {1}{2}}p(0|\rho )+{\frac {1}{2}}p(1|\sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{0}\rho )+{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{1}\sigma )={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right).}$

したがって、最適な測定を適用すると、ボブは最大確率を持つ。

${\displaystyle p_{\text{guess}}^{\text{max}}=\sup _{P_{0}}{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right)={\frac {1}{2}}(1+T(\rho ,\sigma ))}$

アリスがどの状態でシステムを準備したかを正しく識別すること。^[2]

プロパティ

トレース距離には次のような性質がある^[1]

• これは密度行列の空間上の計量であり、非負、対称であり、三角不等式を満たし、 ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=0\Leftrightarrow \rho =\sigma }$
• ${\displaystyle 0\leq T(\rho ,\sigma )\leq 1}$そして、直交するサポートを持つ場合のみ ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=1}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$
• これはユニタリ変換でも保存されます。 ${\displaystyle T(U\rho U^{\dagger },U\sigma U^{\dagger })=T(\rho ,\sigma )}$
• これはトレース保存CP写像の下で収縮的である。つまり、がCPTP写像であるとき、 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle T(\Phi (\rho ),\Phi (\sigma ))\leq T(\rho ,\sigma )}$
• それぞれの入力に対して凸である。例えば ${\displaystyle T(\sum _{i}p_{i}\rho _{i},\sigma )\leq \sum _{i}p_{i}T(\rho _{i},\sigma )}$
• 純粋状態においては、それは状態の内積で一意に表現できる。^[3] ${\displaystyle T(|\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |)={\sqrt {1-|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}}}}$

量子ビットの場合、トレース距離はブロッホ表現におけるユークリッド距離の半分に等しくなります。

他の距離測定との関係

忠実さ

2つの量子状態の忠実度は、不等式によってトレース距離と関係している。 ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )}$ ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )}$

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq T(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

上限不等式は、と が純粋状態のときに等式になる。[ここで使用される忠実度の定義は、ニールセンとチュアンで使用される定義の2乗であることに注意してください。] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

総変動距離

トレース距離は総変動距離の一般化であり、2 つの可換密度行列の場合、対応する 2 つの確率分布の総変動距離と同じ値になります。

参考文献

1. ニールセン, マイケル・A. ;チュアン, アイザック・L. (2010). 「9. 量子情報のための距離尺度」.量子計算と量子情報（第2版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-00217-3. OCLC  844974180。
2. SM Barnett、「量子情報」、オックスフォード大学出版局、2009年、第4章
3. ワイルド、マーク (2017).量子情報理論. arXiv : 1106.1445 . doi :10.1017/9781316809976. ISBN 9781107176164. S2CID  2515538。

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