トレースされたモノイドカテゴリ

カテゴリー理論において、トレースされたモノイドカテゴリーは、フィードバックの合理的な概念を与える追加の構造を持つカテゴリーです。

トレース対称モノイド圏は対称モノイド圏Cと関数族の組み合わせで ある。

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}:\mathbf {C} (X\otimes U,Y\otimes U)\to \mathbf {C} (X,Y)}$

トレースと呼ばれ、次の条件を満たします。

• 自然性：あらゆるおよび、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U}$ ${\displaystyle g:X'\to X}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X',Y}^{U}(f\circ (g\otimes \mathrm {id} _{U}))=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)\circ g}$

Xの自然さ

• 自然性：あらゆるおよび、 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U}$ ${\displaystyle g:Y\to Y'}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y'}^{U}((g\otimes \mathrm {id} _{U})\circ f)=g\circ \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)}$

Yの自然さ

• における二自然性：あらゆるおよび ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U'}$ ${\displaystyle g:U'\to U}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}((\mathrm {id} _{Y}\otimes g)\circ f)=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U'}(f\circ (\mathrm {id} _{X}\otimes g))}$

Uにおける二自然性

• 消滅I: 任意の に対して（ は右単位である）、 ${\displaystyle f:X\otimes I\to Y\otimes I}$ ${\displaystyle \rho _{X}\colon X\otimes I\cong X}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{I}(f)=\rho _{Y}\circ f\circ \rho _{X}^{-1}}$

消失I

• 消失II：すべての ${\displaystyle f:X\otimes U\otimes V\to Y\otimes U\otimes V}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(\mathrm {Tr} _{X\otimes U,Y\otimes U}^{V}(f))=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U\otimes V}(f)}$

消失II

• 重ね合わせ：すべてのおよびに対して、 ${\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U}$ ${\displaystyle g:W\to Z}$

${\displaystyle g\otimes \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)=\mathrm {Tr} _{W\otimes X,Z\otimes Y}^{U}(g\otimes f)}$

重ね合わせ

• ヤンク：

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,X}^{X}(\gamma _{X,X})=\mathrm {id} _{X}}$

（ここで、モノイドカテゴリの対称性）。 ${\displaystyle \gamma }$

引っ張る

プロパティ

• すべてのコンパクト閉カテゴリは痕跡を許容します。
• トレースされたモノイドカテゴリCが与えられた場合、Int 構成はCの自由（ある双カテゴリの意味で）コンパクト閉包 Int( C )を生成します。

参考文献

• ジョヤル, アンドレ;ストリート, ロス; ベリティ, ドミニク (1996). 「追跡されたモノイド的カテゴリー」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 119 (3​​): 447– 468. Bibcode : 1996MPCPS.119..447J . doi : 10.1017/S0305004100074338 . S2CID  50511333 .

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