交通方程式

Equations describing traffic rate

確率論の一分野である待ち行列理論において、トラフィック方程式はトラフィックの平均到着率を記述する方程式であり、個々のノードにおける到着率を決定することを可能にする。ミトラニは「ネットワークが安定している場合、トラフィック方程式は有効であり、解くことができる」と述べている^{[1] ：125}

ジャクソンネットワーク

ジャクソンネットワークでは、ネットワーク内の各ノードiにおける平均到着率は、外部到着（つまり、ネットワーク外部からノードiに直接到着する到着）と、ネットワーク上の他の各ノードからの内部到着の合計で与えられる。ノードiにおける外部到着率が で、ルーティング行列^[2]がPの場合、トラフィック方程式は^[3]となる（  i  = 1, 2, ...,  mの場合） 。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

${\displaystyle \lambda _{i}=\gamma _{i}+\sum _{j=1}^{m}p_{ji}\lambda _{j}.}$

これを行列形式で書くと、

${\displaystyle \lambda (I-P)=\gamma \,,}$

この方程式には未知数の解が一意に存在するため、外部到着率と行列Pが分かれば、各ノードにおける平均到着率を決定できる。行列I  −  Pは確実に非特異行列である。そうでなければ、長期的にはネットワークは空になってしまうからである。^[1] ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

ゴードン・ニューウェルネットワーク

ゴードン・ニューウェルネットワークでは外部到着はないので、交通方程式は（  i  = 1, 2, ...,  m） の形をとる。

${\displaystyle \lambda _{i}=\sum _{j=1}^{m}p_{ji}\lambda _{j}.}$

注記

1. Mitrani, I. (1997). 「キューイングネットワーク」.確率モデル. pp.  122– 155. doi :10.1017/CBO9781139173087.005. ISBN 9781139173087。
2. Jackson ネットワークの記事で説明されているように、ジョブは固定ルーティング マトリックスに従ってノード間を移動します。
3. ハリソン, ピーター G. ; パテル, ナレシュ M. (1992).通信ネットワークとコンピュータアーキテクチャのパフォーマンスモデリング. アディソン・ウェズリー. ISBN 0-201-54419-9。^{[ページが必要]}

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