線形写像の転置

Induced map between the dual spaces of the two vector spaces

線型代数学において、同じ体上に定義された2つのベクトル空間間の線型写像の転置は、 2つのベクトル空間の双対空間間の誘導写像である。線型写像の転置写像、あるいは代数的随伴写像は、元の線型写像を研究するためにしばしば用いられる。この概念は随伴関数によって一般化される。

意味

ベクトル空間 ⁠ ⁠ の代数的双対空間を⁠ ⁠とする。 およびを同じ体⁠ ⁠上のベクトル空間とする。 が線型写像である場合、その代数的随伴写像または双対写像である^[1]は⁠ ⁠によって定義される写像である。結果として得られる汎関数は⁠ ⁠による の引き戻しと呼ばれる。 ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\#\!}u:Y^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle f\mapsto f\circ u}$ ${\displaystyle {}^{\#\!}u(f):=f\circ u}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$

位相ベクトル空間(TVS)の連続双対空間は⁠ ⁠と表記される。と がTVS であるとき、線型写像が弱連続となるのは⁠ ⁠のときのみであり、その場合、 ⁠ ⁠ から⁠ ⁠への制限を ⁠ ⁠ と表記する。この写像は⁠ ⁠の転置^[2]または代数的随伴写像と呼ばれる。 ⁠ ⁠の転置は次の恒等式で特徴付けられる: ^[3]ここで⁠ ⁠によって定義される自然な対合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\#\!}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{\#\!}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \left\langle {}^{\text{t}}\!u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{ for all }}f\in Y^{\prime }{\text{ and }}x\in X,}$$ ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle {1}}$

プロパティ

この割り当てにより、からへの線型作用素の空間と から への線型作用素の空間との間の単射線型写像が生成される。この場合、線型写像の空間は写像の合成に関する代数であり、この割り当ては代数の逆準同型となり、 ⁠ ⁠となる。圏論の言語では、ベクトル空間の双対と線型写像の転置を取ることは、ベクトル空間の圏からそれ自身への反変関手となる。二重双対への自然な注入を用いることに類似していると言える。 ${\displaystyle u\mapsto {}^{\text{t}}\!u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle {1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\!\left({}^{\text{t}}\!u\right)}$ ${\displaystyle u}$

• とが線型写像であるならば^[4] ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle v:Y\to Z}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!(v\circ u)={}^{\text{t}}\!u\circ {}^{\text{t}}\!v}$
• が（射影的な）ベクトル空間同型であれば、転置も同型です。 ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$
• とがノルム空間である場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{ for each }}x\in X}$$そして、線型演算子が有界であれば、演算子ノルムはのノルムに等しい。つまり^{[5] [6]}であり、さらに、 ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \|u\|=\left\|{}^{\text{t}}\!u\right\|,}$$ $${\displaystyle \|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.}$$

ポラール

ここで、 が位相ベクトル空間と の間の弱連続線型作用素で、それぞれ連続双対空間と⁠ ⁠を持つと仮定する。 が定義する標準双対系を表すものとし、 ⁠ ⁠のとき、と は直交しているという。任意の部分集合および⁠ ⁠に対して、 における（またはにおけるの）（絶対）極座標を で 表すものとする。 ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\prime }\subseteq X^{\prime }}$ $${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}\qquad {\text{ and }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

• とが原点を含む凸弱閉集合ならば、 ⁠ ⁠が成り立つ。^[7] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$ ${\displaystyle u(A)\subseteq B}$
• もしそして[ 4 ^] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$

$${\displaystyle [u(A)]^{\circ }=\left({}^{\text{t}}\!u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)}$$そして $${\displaystyle u(A)\subseteq B\quad {\text{ implies }}\quad {}^{\text{t}}\!u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }.}$$

• とが局所凸ならば[ ^5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{\text{t}}\!u=\left(\operatorname {Im} u\right)^{\circ }.}$$

殲滅者

とが位相ベクトル空間であり、が弱連続線型作用素（したがって⁠ ⁠）であるとする。部分集合と⁠ ⁠が与えられたとき、それらの消滅子を（標準双対系に関して）^{[6]で定義する。} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \left({}^{\text{t}}\!u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle N\subseteq X^{\prime }}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}}$

• の核は⁠ ⁠の像に直交する⁠ ⁠の部分空間である: ^[7] ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \ker {}^{\text{t}}\!u=(\operatorname {Im} u)^{\bot }}$$

• 線型写像が単射となるのは、その像が の弱稠密部分集合である場合（つまり、⁠ ⁠によって誘導される弱位相が与えられたとき、 の像がにおいて稠密である場合）に限ります。^[7] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{\text{t}}\!u}$
• 転置は、との両方が弱*位相（それぞれ両方が強双対位相、両方がコンパクト凸集合上の一様収束の位相、両方がコンパクト部分集合上の一様収束の位相）に恵まれているときに連続である。 ^[8] ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$
• （フレシェ空間の全射）：とがフレシェ空間であるとき、連続線型作用素が全射となる必要十分条件は、（1）転置が単射であり、（2）の転置の像が⁠ ⁠の弱閉（すなわち弱*閉）部分集合である場合である。^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

商空間の双対

をハウスドルフ局所凸空間の閉ベクトル部分空間とし、正準商写像を で表す。 には 商写像⁠ ⁠によって誘導される商位相が備わっていると仮定する。すると、商写像の転置は ⁠ ⁠ 上の値を持ち、 ⁠ ⁠上への TVS 同型となる。 がバナッハ空間であれば、も等長変換となる。^[6] この転置を用いると、商空間上のすべての連続線型関数は⁠ ⁠の消滅子内の連続線型関数と正準的に同一視される。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \pi :X\to X/M\quad {\text{ where }}\quad \pi (x):=x+M.}$$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }}$ $${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }\subseteq X^{\prime }}$$ ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M}$

ベクトル部分空間の双対

ハウスドルフ局所凸空間⁠ ⁠の閉ベクトル部分空間とする。が から への連続線型拡大である場合、この割り当てによりベクトル空間同型が誘導され 、 がバナッハ空間である場合は等長変換となる。 ^[6] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m^{\prime }\in M^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle m^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m^{\prime }\mapsto x^{\prime }+M^{\bot }}$ $${\displaystyle M^{\prime }\to X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right),}$$ ${\displaystyle X}$

包含写像を で表す。包含写像の転置は であり、 その核は消滅写像であり、ハーン・バナッハの定理により射影となる。この写像はベクトル空間の同型写像を誘導する。 $${\displaystyle \operatorname {In} :M\to X\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {In} (m):=m\quad {\text{ for all }}m\in M.}$$ $${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }}$$ ${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}}$ $${\displaystyle X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right)\to M^{\prime }.}$$

行列としての表現

線型写像が と の2つの基底に関する行列で表される場合、はとの双対基底に関する転置行列で表されるため、この名前が付けられます。あるいは、 が列ベクトルに右に作用することで表されるように、 は行ベクトルに左に作用する同じ行列で表されます。これらの観点は⁠ ⁠上の標準内積によって関連しており、これは列ベクトルの空間と行ベクトルの双対空間を同一視します。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}$ ${\displaystyle A^{\text{T}}}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

エルミート随伴関数との関係

転置を特徴付ける恒等式、すなわち⁠ ⁠は、 ${\displaystyle {1}}$エルミート随伴写像の定義と形式的には類似していますが、転置とエルミート随伴写像は同じではありません。転置は写像であり、任意のベクトル空間と⁠ ⁠間の線型写像に対して定義され、追加の構造は必要ありません。エルミート随伴写像は、ヒルベルト空間上の内積で定義されるため、ヒルベルト空間間の線型写像に対してのみ定義されます。したがって、エルミート随伴写像は転置よりも多くの数学的構造を必要とします。 ${\displaystyle Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\to X}$

しかし、転置は、ベクトル空間がユークリッド内積やその他の実内積などの非退化双線型形式を備えている文脈でよく使用されます。この場合、非退化双線型形式は、ベクトル空間とその双対間の写像を暗黙的に表すためによく使用され、転置写像を写像⁠ ⁠として表現します。複素ヒルベルト空間の場合、内積は双線型ではなく二分線型であり、これらの変換によって転置は随伴写像に変換されます。 ${\displaystyle Y\to X}$

より正確には、とがヒルベルト空間であり、が線型写像であるとき、 の転置とのエルミート随伴写像（それぞれと で表記する）は関連している。 を、ヒルベルト空間と の標準的な反線型等長写像をそれらの双対上へ表記する。すると、は次の写像の合成となる：^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}$ ${\displaystyle u^{*}}$ ${\displaystyle I:X\to X^{*}}$ ${\displaystyle J:Y\to Y^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{{\text{t}}\!}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset {I^{-1}}{\longrightarrow }}X}$

関数解析への応用

とが位相ベクトル空間であり、 が線型写像であるとすると、の特性の多くは⁠ ⁠に反映されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}$

• とが原点を含む弱閉凸集合である場合、 ⁠ ⁠が成り立つ。^[4] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u(B^{\circ })\subseteq A^{\circ }}$ ${\displaystyle u(A)\subseteq B}$
• の零空間は、 ⁠ ⁠の値域に直交するの部分空間である。^[4] ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle u(X)}$ ${\displaystyle u}$
• ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!u}$が単射となるのは、その値域が弱閉となる場合のみである。 ^[4] ${\displaystyle u(X)}$ ${\displaystyle u}$

参照

• 随伴関数 – 多くの共通構成を抽象化した2つの関数の関係
• 合成演算子 – 数学における線形演算子
• エルミート随伴演算子 – 無限次元における演算子の共役転置
• リース表現定理 – ヒルベルト空間の双対に関する定理
• 双対空間 § 線型写像の転置
• 転置 § 線形写像の転置

参考文献

1. シェーファー＆ウォルフ 1999、128ページ
2. トレヴス 2006, p. 240
3. ハルモス（1974年、§44）
4. シェーファー & ヴォルフ 1999、pp. 129–130
5. Treves 2006、pp. 240–252
6. ルーディン 1991、pp. 92–115
7. シェーファー＆ウォルフ 1999、128～130ページ
8. トレヴス 2006, pp. 199–200
9. トレヴス 2006, 382–383ページ
10. トレヴス 2006, 488ページ

参考文献

• ポール、ハルモス(1974)、有限次元ベクトル空間、スプリンガー、ISBN 0-387-90093-4
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

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