横方向等方性

Geological concept

横方向等方性は、堆積岩において長波長域で観察されます。各層は面内ではほぼ同じ特性を持ちますが、厚さ方向には異なる特性を持ちます。各層の面が等方性面であり、垂直軸が対称軸となります。

横方向等方性（極性異方性とも呼ばれる）材料は、等方性面に対して垂直な軸を中心に対称な物理的特性を持つ材料です。この横方向面には無数の対称面が存在するため、この面内では材料特性は全方向で同一です。地球物理学では、縦方向等方性（VTI）はラジアル異方性とも呼ばれます。

このタイプの物質は六方対称性を示す（ただし、技術的には6階以上のテンソルではこの対称性は成立しなくなる）。そのため、（4階）弾性テンソルの独立定数の数は5に減少する（完全な異方性 固体の場合、合計21個の独立定数）。電気抵抗率、透磁率などの（2階）テンソルには、2個の独立定数がある。

横方向等方性材料の例

横方向に等方性の弾性材料。

横方向等方性材料の一例として、繊維の断面が円形である、いわゆる軸上一方向繊維複合板が挙げられます。一方向複合材では、長波長（低周波数）の励起においては、繊維方向に垂直な面が等方性面とみなされます。右の図では、繊維は等方性面に垂直な軸に沿って並んでいます。 ${\displaystyle x_{2}}$

有効特性の観点から、岩石の地質学的層はしばしば横方向等方性であると解釈されます。岩石学において、このような層の有効弾性特性を計算することは「バッカス・アップスケーリング」と呼ばれており、以下で説明します。

材料対称マトリックス

物質マトリックスが与えられた直交変換（ ）に対して対称性を持つとは、その変換を受けても変化しないことを意味する。このような変換に対する物質特性の不変性のためには、 ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}}$

したがって、物質の対称性の条件は（直交変換の定義を用いると）

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}}$

直交変換は、直交座標系では次式で表される行列で表すことができる。 ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

したがって、対称条件は行列形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

横方向等方性材料の場合、マトリックスは次の式で表される。 ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.}$

ここで、 -軸は対称軸である。物質マトリックスは、 -軸を中心とした任意の角度の回転に対して不変である。 ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{3}}$

物理学では

物理学における線形材料構成関係は、次のように表現できる。

${\displaystyle \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d} }$

ここで、は物理量を表す2つのベクトルであり、は2階の物質テンソルである。行列形式では、 ${\displaystyle \mathbf {d} ,\mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}}$

上記のテンプレートに当てはまる物理的な問題の例を下の表に示します。^[1]

問題	${\displaystyle \mathbf {f} }$	${\displaystyle \mathbf {d} }$	${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$
電気伝導	電流 ${\displaystyle \mathbf {J} }$	電界 ${\displaystyle \mathbf {E} }$	電気伝導性 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$
誘電体	電気変位 ${\displaystyle \mathbf {D} }$	電界 ${\displaystyle \mathbf {E} }$	電気誘電率 ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$
磁気	磁気誘導 ${\displaystyle \mathbf {B} }$	磁場 ${\displaystyle \mathbf {H} }$	透磁率 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
熱伝導	熱流束 ${\displaystyle \mathbf {q} }$	温度勾配 ${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}T}$	熱伝導率 ${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}$
拡散	粒子フラックス ${\displaystyle \mathbf {J} }$	濃度勾配 ${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}c}$	拡散率 ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$
多孔質媒体中の流れ	加重流体速度 ${\displaystyle \eta _{\mu }\mathbf {v} }$	圧力勾配 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}P}$	体液透過性 ${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}$
弾性	ストレス ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	歪み ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$	硬直性 ${\displaystyle \mathbf {C} }$

行列で を使用すると、が成り立ちます。を使用すると、 およびが成り立ちます。エネルギー制約により、通常は が必要となるため、 が成り立ちます。したがって、横方向等方性材料の材料特性は行列で記述されます。 ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$ ${\displaystyle K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0}$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle K_{11}=K_{22}}$ ${\displaystyle K_{12}=-K_{21}}$ ${\displaystyle K_{12},K_{21}\geq 0}$ ${\displaystyle K_{12}=K_{21}=0}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

線形弾性において

物質の対称性の条件

線形弾性においては、応力とひずみはフックの法則によって関係付けられる。すなわち、

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}$

または、Voigt記法を使用すると、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$

線形弾性材料における材料対称性の条件は^{[2]である。}

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$

どこ

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

弾性テンソル

行列の特定の値を用いると、^{[3]第4階弾性剛性テンソルは2指数}フォークト表記で次のよう に表せることが示される。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$

弾性剛性マトリックスには5つの独立した定数があり、これらは以下のようによく知られた工学的弾性係数と関連しています。これらの工学的弾性係数は実験的に決定されます。 ${\displaystyle C_{ij}}$

コンプライアンス行列（弾性剛性行列の逆行列）は

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}}$

ここで、工学表記では、 ${\displaystyle \Delta :=(C_{11}-C_{12})[(C_{11}+C_{12})C_{33}-2C_{13}C_{13}]}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}}$

これら2つのコンプライアンス行列を比較すると、縦方向のヤング率は次のように表される ことがわかります。

${\displaystyle E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})}$

同様に横方向のヤング率は

${\displaystyle E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})}$

面内せん断弾性率は

${\displaystyle G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}}$

極軸に沿った荷重のポアソン比は

${\displaystyle \nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})}$。

ここで、L は縦方向（極方向）を表し、T は横方向を表します。

地球物理学では

地球物理学では、地殻の岩石層は局所的に極性異方性（横方向等方性）を持つという仮定が一般的であり、これは地球物理学的に興味深い最も単純なケースである。バッカス・アップスケーリング^[4]は、長波長地震波に対する成層媒質の実効横方向等方性弾性定数を決定するためによく用いられる。

バッカス近似では次の仮定が行われます。

• すべての材料は線形弾性である
• 固有のエネルギー散逸源（例：摩擦）がない
• 無限波長限界で有効であるため、層の厚さが波長よりもはるかに小さい場合にのみ良好な結果が得られます。
• 層の弾性特性の分布の統計は定常であり、つまり、これらの特性には相関傾向はありません。

波長が短い場合、地震波の挙動は平面波の重ね合わせによって記述されます。横等方性媒質は、以下の3種類の弾性平面波を伝播します。

• 準P波（偏光方向が伝播方向とほぼ等しい）
• 準S波
• S 波 (準 S 波、対称軸、伝播方向に対して直交する偏光)。

このような媒体における波の伝播の問題に対する解は、フーリエ合成を使用してこれらの平面波から構築できます。

バッカスアップスケーリング（長波長近似）

均質で等方性の材料の層状モデルは、Backusによって提案された横方向等方性媒体に拡大することができる。^[4]

バッカスは、等価媒質理論を提示し、異質媒質を均質媒質に置き換えて、実際の媒質における波動伝播を予測することができるとしました。^[5]バッカスは、波長よりもはるかに細かいスケールでの層化が影響を及ぼし、多数の等方性層を、無限波長限界における静的荷重下での実際の媒質と全く同じように動作する均質な横方向等方性媒質に置き換えることができることを示しました。

各層が 5つの横方向等方性パラメータで記述され、マトリックスを指定する 場合 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})}$

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}}$

有効媒質の弾性係数は

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$すべてのレイヤーの体積加重平均を示します。

これには等方性層が含まれます。これは、、の場合に層が等方性であるためです。 ${\displaystyle b_{i}=a_{i}-2e_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}=c_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}=e_{i}}$

短波長および中波長近似

線状弾性横等方性媒質における波動伝播問題の解は、準P波、準S波、および準S波に直交する偏波を持つS波の解を重ね合わせることで構築できる。しかし、速度の角変化に関する方程式は代数的に複雑であり、平面波速度は伝播角の関数となる。^[6]弾性波の物質中を伝搬する 方向依存の波動速度は、クリストッフェル方程式を用いて求めることができ、次式で表される^[7]。 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}}$

ここで、 は対称軸と波動伝播方向の間の角度、は質量密度、 は弾性剛性行列の要素です。トムセンパラメータは、これらの式を簡略化し、理解しやすくするために使用されます。 ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta \end{aligned}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C_{ij}}$

トムセンパラメータ

トムセンパラメータ^{[8]は、横方向等方性材料を特徴付ける}弾性係数の無次元的な組み合わせであり、例えば地球物理学などで用いられる。弾性剛性行列の成分の観点から、これらのパラメータは以下のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}}$

ここで、添え字3は対称軸（ ）を表します。これらのパラメータは、関連するP波およびS波速度と組み合わせることで、弱い異方性を持つ成層媒体における波動伝播を特徴付けるために使用できます。経験的に、ほとんどの成層岩石におけるトムセンパラメータは1よりもはるかに小さくなります。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$

この名称は、1986 年の論文「弱い弾性異方性」でこれらのパラメータを提案したヒューストン大学の地球物理学教授、レオン・トムセンに由来しています。

波の速度の簡略化された表現

地球物理学では、弾性特性の異方性は通常弱く、その場合、上記の波の速度の正確な式をこれらの小さな量で線形化すると、次のように単純化されます。 ${\displaystyle \delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}}$

は対称軸（ ）の方向におけるP波速度とS波速度です（地球物理学では、これは通常鉛直方向ですが、必ずしもそうとは限りません）。 はさらに線形化される可能性がありますが、それによってさらに単純化されるわけではありません。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle \delta }$

波動速度の近似式は物理的に解釈できるほど単純であり、ほとんどの地球物理学的応用において十分な精度を備えています。これらの式は、異方性が弱くない場合にも有用です。

参照

• フックの法則
• 線形弾性
• 直交異方性材料
• 傾斜物質

参考文献

1. ミルトン、GW (2002). 『複合材料の理論』ケンブリッジ大学出版局.
2. Slawinski, MA (2010). 弾性連続体における波と光線(PDF) . World Scientific. 2009年2月10日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
3. 横等方性材料の剛性マトリックスの導出には、およびの値を使用できます。計算を容易にするために、特定の値が選択されています。 ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}$
4. Backus, GE (1962), 水平層状化によって生じる長波弾性異方性, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440
5. Ikelle, Luc T. および Amundsen, Lasse (2005)、「石油地震学入門」、SEG Investigations in Geophysics No. 12
6. Nye, JF (2000). 『結晶の物理的性質：テンソルと行列による表現』オックスフォード大学出版局.
7. G. Mavko、T. Mukerji、J. Dvorkin. 『岩石物理学ハンドブック』ケンブリッジ大学出版局 2003年（ペーパーバック）。ISBN 0-521-54344-4
8. Thomsen, Leon (1986). 「弱弾性異方性」.地球物理学. 51 (10): 1954– 1966. Bibcode :1986Geop...51.1954T. doi :10.1190/1.1442051.

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