三角分布

Probability distribution

三角形
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle b:~a<b\,}$ ${\displaystyle c:~a\leq c\leq b\,}$
サポート	${\displaystyle a\leq x\leq b\!}$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{for }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{for }}b<x.\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{for }}b\leq x.\end{cases}}}$
平均値	${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}$
中央値	${\displaystyle {\begin{cases}a+{\sqrt {\frac {(b-a)(c-a)}{2}}}&{\text{for }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\sqrt {\frac {(b-a)(b-c)}{2}}}&{\text{for }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}}$
最頻値	${\displaystyle c\,}$
分散	${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\frac {3}{5}}}$
エントロピー	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$
MGF	${\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
CF	${\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$

確率論と統計学において、三角分布は 、 下限がa、上限がb、モードがc （ a  <  bかつa ≤ c  ≤  b ）の連続確率分布です。

特殊なケース

境界における最頻値

c  =  aまたはc  =  bの場合、分布は単純化されます。例えば、a  = 0、b  = 1、c  = 1 の場合、PDFとCDF は次のようになります

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2x,\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{aligned}}}$$のために。 ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}}$$

2つの標準一様変数の絶対差の分布

a  = 0、b  = 1、c = 0の分布は、X  = | X ₁  −  X ₂ | の分布です。ここで、 X ₁、X _2は標準均一分布に従う 2 つの独立したランダム変数です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2-2x{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2}{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}}$$

対称三角分布

対称的なケースは、c = ( a + b ) / 2 のときに発生します。この場合、分布関数の別の形は次のようになります

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {(b-c)-|c-x|}{(b-c)^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{b-a}}\left(1-{\frac {\left|a+b-2x\right|}{b-a}}\right)\end{aligned}}}$$

2つの標準一様変数の平均の分布

a  = 0、b  = 1、c = 0.5のこの分布 （モード（つまり、ピーク）は間隔のちょうど中央にあります）は、2 つの標準一様変数の平均の分布、つまり、X  = ( X ₁  +  X ₂ ) / 2 の分布に対応します。ここで、 X ₁、X _{2は、[0, 1] の標準}一様分布を持つ 2 つの独立したランダム変数です。^[1]これは、2 つの変数のベイツ分布の場合です。

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}4x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\4(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}}$$

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}2x^{2}&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x^{2}-(2x-1)^{2}&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}}$$

ランダム変量の生成

区間(0, 1)の一様分布から抽出されたランダム変量Uが与えられた場合、変量^[2]は

$${\displaystyle X={\begin{cases}a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}&{\text{ for }}0<U<F(c)\\&\\b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}}&{\text{ for }}F(c)\leq U<1\end{cases}}}$$

ここで、 は、パラメータおよびを持つ三角分布に従います。これは累積分布関数から得ることができます。 ${\displaystyle F(c)=(c-a)/(b-a)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$

配布物の使用

三角分布は、標本データが限られている母集団の主観的な記述として、特に変数間の関係は既知であるもののデータが不足している場合（おそらく収集コストが高いため）、典型的には三角分布として用いられます。三角分布は、最小値と最大値に関する知識と、最頻値に関する「ひらめきによる推測」^[3]に基づいています。これらの理由から、三角分布は「知識不足」分布と呼ばれています。

ビジネスシミュレーション

そのため、三角分布はビジネス上の意思決定、特にシミュレーションにおいてよく用いられます。一般的に、結果の分布についてあまり分かっていない場合（例えば、最小値と最大値しか分かっていない場合）、一様分布を用いることが可能です。しかし、最も起こりやすい結果も分かっている場合は、その結果を三角分布でシミュレートすることができます。例えば、コーポレートファイナンスの項を参照してください。

プロジェクトマネジメント

三角分布は、 PERT分布とともに、最小値と最大値で定義された間隔内で発生するイベントをモデル化するために、プロジェクトマネジメント（ PERT、ひいてはクリティカルパス法（CPM）への入力として）でも広く使用されています

オーディオディザリング

対称三角分布はオーディオディザリングでよく使用され、TPDF（三角確率密度関数）と呼ばれます

参照

• 台形分布
• トーマス・シンプソン
• 三点推定
• 5つの数の要約
• 7つの数の要約
• 三角関数
• 中心極限定理— 三角分布は、2つの一様確率変数を加算した結果としてよく発生します。言い換えれば、三角分布は、中心極限定理の加算プロセスの最初の反復（つまり）の結果であることが多い（常にではない）。この意味で、三角分布は時折自然に発生する可能性があります。このプロセスをさらに確率変数を加算し続けると（つまり）、分布は次第にベル型になります ${\textstyle n=2}$ ${\textstyle n\geq 3}$
• アーウィン ホール分布— アーウィン ホール分布を使用すると、簡単に三角分布を生成できます。
• ベイツ分布— アーウィン・ホール分布に似ていますが、値が0～1の範囲に再スケールされます。三角分布の計算に役立ち、その後、再スケールとシフトを行うことで、0～1の範囲外にある他の三角分布を作成できます。

参考文献

1. Kotz, Samuel; Dorp, Johan Rene Van (2004-12-08). ベータを超えて：有界台を持つ他の連続分布族とその応用. World Scientific. ISBN 978-981-4481-24-3。
2. 「アーカイブコピー」（PDF） www.asianscientist.com 。 2014年4月7日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2022年1月12日閲覧{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
3. 「アーカイブコピー」（PDF） 。 2006年9月23日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2006年9月23日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「三角分布」。MathWorld
• 三角分布、decisionsciences.org
• 三角分布、brighton-webs.co.uk
• 三角分布の分散の証明、math.stackexchange.com

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