真の異常

天体力学において、真近点角とは、ケプラーの軌道に沿って移動する天体の位置を定義する角度パラメータです。これは、楕円の主焦点（天体が周回する点）から見た、近点方向と天体の現在位置との間の角度です。

真近点角は通常、ギリシャ文字の $ν$ または $θ$ 、あるいはラテン文字の $f$ で表され、通常は 0 ～ 360° (0 ～ 2π rad) の範囲に制限されます。

真近点 $f は$ 、軌道に沿った位置を定義するために使用できる3 つの角度パラメータ (近点) の 1 つであり、他の 2 つは離心率近点と平均近点です。

数式

状態ベクトルから

楕円軌道の場合、真の異常角 $νは$ 軌道状態ベクトルから次のように計算できます。

\nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}

( r ⋅ v < 0の場合、

ν を

2

π

−

ν

に置き換えます)

どこ：

vは軌道を周回する物体の軌道速度ベクトルであり、
eは離心率ベクトルであり、
rは軌道を周回する天体の軌道位置ベクトル（図の線分FP ）です。

円軌道

円軌道の場合、近点が一意に定まらないため、真の近点角は定義されません。代わりに、緯度 uの引数が使用されます。

u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}

（r _z < 0の場合はuを

2π

− uに置き換える）

どこ：

nは昇交点を指すベクトルです (つまり、nのz成分はゼロです)。
r _zは軌道位置ベクトルrのz成分である。

傾斜角ゼロの円軌道

傾斜角がゼロの円軌道の場合、一意に決定された交点線が存在しないため、緯度引数も定義されません。代わりに真の経度を使用します。

l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}

（v _x > 0の場合は

l

を

2π −

l

に置き換える）

どこ：

r _xは軌道位置ベクトルrのx成分である。
v _xは軌道速度ベクトルvのx成分です。

奇異な現象から

真異常 $ν$ と離心率異常の関係は次の通りである。 $E$

\cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}

または正弦^[1]と正接を使って：

{\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}

または同等:

\tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}

それで

\nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)

^{あるいは、R. BrouckeとP. Cefola [2]}は、この方程式の別の形式を導出しました。この形式では、引数がに近い場合、2つの接線が無限大になるため、数値的な問題が回避されます。さらに、とは常に同じ象限にあるため、符号の問題は発生しません。 $\pm \pi$ ${\frac {E}{2}}$ ${\frac {\nu }{2}}$

\tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}

どこ

\beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}

それで

\nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)

平均異常から

真の異常値は平均異常値からフーリエ展開によって直接計算できる。^[3] $M$

\nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}

ベッセル関数とパラメータを持ちます。 $J_{n}$ $\beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}$

以上の項（で示される）をすべて省略すると、 ^[3]^[4]^[5]と書くことができる。 $e^{4}$ $\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)$

\nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).

正確さの理由から、この近似は通常、離心率が小さい軌道に限定されることに注意してください。 $e$

この式は中心方程式として知られており、展開に関するより詳しい説明が与えられます。 $\nu -M$

真の異常からの半径

半径（引力の焦点と周回天体との間の距離）は、次の式によって真の異常度と関係している。

r(t)=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu (t)}\,\!

ここで、aは軌道の長半径です。

天体力学において、射影近点角はケプラーの軌道に沿って移動する物体の位置を定義する角度パラメータです。射影近点角は、近点方向と射影空間における物体の現在位置との間の角度です。

射影異常は通常で表され、通常は 0 ～ 360 度 (0 ～ 2 ラジアン) の範囲に制限されます。 $\theta$ $\pi$

射影異常は、軌道に沿った位置を定義する4 つの角度パラメータ (異常) の 1 つであり、他の 3 つは、離心率異常、真異常、平均異常です。 $\theta$

射影幾何学では、円、楕円、放物線、双曲線は同じ種類の二次曲線として扱われます。

射影パラメータと射影異常

軌道の種類は、2つのプロジェクトパラメータによって次のように分類されます。 $\alpha$ $\beta$

円軌道 $\beta =0$
楕円軌道 $\alpha \beta <1$
放物線軌道 $\alpha \beta =1$
双曲線軌道 $\alpha \beta >1$
直線軌道 $\alpha =\beta$
仮想軌道 $\alpha <\beta$

どこ

$\alpha ={\frac {(1+e)(q-p)+{\sqrt {(1+e)^{2}(q+p)^{2}+4e^{2}}}}{2}}$

$\beta ={\frac {2e}{(1+e)(q+p)+{\sqrt {(1+e)^{2}(q+p)^{2}+4e^{2}}}}}$

$q=(1-e)a$

$p={\frac {1}{Q}}={\frac {1}{(1+e)a}}$

ここで、は長半径、は離心率、は近日点距離、は遠日点距離です。 $\alpha$ $e$ $q$ $Q$

惑星の位置と太陽中心からの距離は、射影異常の関数として計算できます。 $x$ $y$ $r$ $\theta$

$x={\frac {-\beta +\alpha \cos \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}$

$y={\frac {{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\sin \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}$

$r={\frac {\alpha -\beta \cos \theta }{1+\alpha \beta \cos \theta }}$

ケプラーの方程式

射影異常は離心率異常から次のように計算できる。 $\theta$ $u$

場合： $\alpha \beta <1$

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\alpha \beta }{1-\alpha \beta }}}\tan {\frac {u}{2}}$

$u-e\sin u=M=\left({\frac {1-\alpha ^{2}\beta ^{2}}{\alpha (1+\beta ^{2})}}\right)^{3/2}k(t-T_{0})$

場合： $\alpha \beta =1$

${\frac {s^{3}}{3}}+{\frac {\alpha ^{2}-1}{\alpha ^{2}+1}}s={\frac {2k(t-T_{0})}{\sqrt {\alpha (\alpha ^{2}+1)^{3}}}}$

$s=\tan {\frac {\theta }{2}}$

場合： $\alpha \beta >1$

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {\alpha \beta +1}{\alpha \beta -1}}}\tanh {\frac {u}{2}}$

$e\sinh u-u=M=\left({\frac {\alpha ^{2}\beta ^{2}-1}{\alpha (1+\beta ^{2})}}\right)^{3/2}k(t-T_{0})$

上記の式はケプラーの式と呼ばれます。

一般化された異常

任意の定数に対して、一般化異常は次のように関係する。 $\lambda$ $\Theta$

$\tan {\frac {\Theta }{2}}=\lambda \tan {\frac {u}{2}}$

偏心異常、真性異常、射影異常は、それぞれ、、、の場合です。 $\lambda =1$ $\lambda ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$ $\lambda ={\sqrt {\frac {1+\alpha \beta }{1-\alpha \beta }}}$

佐藤一郎、「ケプラー運動の新たな異常」天文雑誌第116巻、pp. 2038-3039、(1997)

参照

参考文献

^ デイビッド・A・ヴァラド著『天体力学の基礎と応用』
^ Broucke, R.; Cefola, P. (1973). 「二体問題における真異常と偏心異常の関係に関する注記」.天体力学. 7 (3): 388– 389. Bibcode :1973CeMec...7..388B. doi :10.1007/BF01227859. ISSN 0008-8714. S2CID 122878026.
^ ab Battin, RH (1999). 天体力学の数学と手法入門. AIAA教育シリーズ. アメリカ航空宇宙学会. p. 212 (式(5.32)). ISBN 978-1-60086-026-3. 2022年8月2日閲覧。
^ Smart, WM (1977). 球面天文学教科書(PDF) . p. 120 (式 (87)). Bibcode :1977tsa..book.....S.
^ Roy, AE (2005). Orbital Motion (4 ed.). ブリストル, イギリス; フィラデルフィア, ペンシルバニア州: Institute of Physics (IoP). p. 78 (式 (4.65)). Bibcode :2005ormo.book.....R. ISBN 0750310154. 2021年5月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年8月29日閲覧。

さらに読む

Murray, CD & Dermott, SF, 1999, Solar System Dynamics , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4
Plummer, HC, 1960, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy , Dover Publications, New York. OCLC 1311887 (1918年ケンブリッジ大学出版局版の再版)

外部リンク

連邦航空局 - 軌道の説明

[1] デイビッド・A・ヴァラド著『天体力学の基礎と応用』

[2] Broucke, R.; Cefola, P. (1973). 「二体問題における真異常と偏心異常の関係に関する注記」.天体力学. 7 (3): 388– 389. Bibcode :1973CeMec...7..388B. doi :10.1007/BF01227859. ISSN 0008-8714. S2CID 122878026.

[Battin_1999_p._212-3] Battin, RH (1999). 天体力学の数学と手法入門. AIAA教育シリーズ. アメリカ航空宇宙学会. p. 212 (式(5.32)). ISBN 978-1-60086-026-3. 2022年8月2日閲覧。

[Smart_p.-4] Smart, WM (1977). 球面天文学教科書(PDF) . p. 120 (式 (87)). Bibcode :1977tsa..book.....S.

[5] Roy, AE (2005). Orbital Motion (4 ed.). ブリストル, イギリス; フィラデルフィア, ペンシルバニア州: Institute of Physics (IoP). p. 78 (式 (4.65)). Bibcode :2005ormo.book.....R. ISBN 0750310154. 2021年5月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年8月29日閲覧。