Tukeyラムダ分布

Symmetric probability distribution

Tukeyラムダ分布
確率密度関数
表記	テューキー( λ )
パラメータ	λ ∈ ℝ —形状パラメータ
サポート	x ∈ [ − ⁠ 1 /λ⁠、 ⁠ 1 /λ⁠ ] λ  > 0   の場合    、 λ  ≤ 0         の場合    、 x ∈ ℝ。
PDF	${\displaystyle \left(\ Q(\ p\ ;\lambda \ ),\ {\frac {1}{\ q(\ p\ ;\lambda \ )\ }}\ \right)\quad ~{\mathsf {for\ any}}~\quad p\;:\;0\leq \ p\ \leq \ 1}$
CDF	${\displaystyle {\Bigl (}\ Q(p;\lambda ),\ p\ {\Bigr )}~~{\mathsf {for\ any}}~~p\;:\;0\leq \ p\ \leq \ 1~}$   （一般的な場合）（特殊な場合の正確な解）   ${\displaystyle {\frac {1}{\ e^{-x}+1\ }}\quad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda \ =\ 0\quad }$
平均	${\displaystyle 0\quad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda >-1\ }$
中央値	0
モード	0
分散	${\displaystyle {\frac {2}{\ \lambda ^{2}\ }}\left(\ {\frac {1}{\ 1+2\ \lambda \ }}-{\frac {\ \Gamma \,\!(\lambda +1)^{2}\ }{\ \Gamma \,\!(\ 2\ \lambda +2\ )\ }}\right)\quad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda >-{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ }$   ${\displaystyle {\frac {\ \pi ^{2}\ }{3}}\qquad \qquad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda \ =\ 0}$
歪度	${\displaystyle 0\qquad \qquad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda >-{\tfrac {\ 1\ }{3}}\ }$
過剰尖度	${\displaystyle ~{\frac {\ (2\ \lambda +1)^{2}\cdot g_{2}^{2}\cdot {\big (}\ 3\ g_{2}^{2}-4\ g_{1}\ g_{3}+g_{4}\ {\big )}\ }{\ (\ 8\ \lambda +2\ )\cdot g_{4}\cdot {\big (}\ g_{1}^{2}-g_{2}\ {\big )}^{2}}}\ -\ 3\quad {\mathsf {if}}~~\lambda >0\ ,}$   ${\displaystyle {\frac {\ 6\ }{5}}\qquad \qquad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda \ =\ 0\ ;}$   ${\displaystyle {\mathsf {where}}\quad g_{k}\ \equiv \ \Gamma \,\!(\ k\,\lambda +1\ )\quad {\mathsf {and}}\quad \lambda \ >-{\tfrac {\ 1\ }{4}}~.}$
エントロピ	${\displaystyle h(\lambda )=\int _{0}^{1}\ln {\bigl (}\ q(p;\lambda )\ {\bigr )}\ \operatorname {d} p~}$[1]
CF	${\displaystyle \phi (t;\lambda )=\int _{0}^{1}\exp {\bigl (}\ i\ t\ Q(p;\lambda )\ {\bigr )}\ \operatorname {d} p~}$[2]

ジョン・テューキーによって形式化されたテューキー・ラムダ分布は、その分位関数によって定義される連続対称確率分布です。これは通常、適切な分布を特定するために用いられ（以下のコメントを参照）、統計モデルに直接使用されることはありません。

Tukeyラムダ分布は、単一の形状パラメータλを持ち、他の確率分布と同様に、位置パラメータμと尺度パラメータσを用いて変換することができます。確率分布の一般的な形は標準分布で表すことができるため、以下の式は関数の標準形に対して与えられます。

分位関数

テューキーのラムダ分布の標準形の場合、分位関数（累積分布関数の逆関数）と分位密度関数は 、 ${\displaystyle ~Q(p)~,}$ ${\displaystyle ~q={\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}\ ,}$

${\displaystyle \ Q\left(\ p\ ;\lambda \ \right)~=~{\begin{cases}{\tfrac {1}{\ \lambda \ }}\left[\ p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\ \right]\ ,&\ {\mbox{ if }}\ \lambda \neq 0~,\\{}\\\ln \left({\frac {p}{\ 1-p\ }}\right)~,&\ {\mbox{ if }}\ \lambda =0~.\end{cases}}}$

${\displaystyle q\left(\ p\ ;\lambda \ \right)~=~{\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}~=~p^{\lambda -1}+\left(\ 1-p\ \right)^{\lambda -1}~.}$

形状パラメータλのほとんどの値については、確率密度関数(PDF) と累積分布関数(CDF) を数値的に計算する必要があります。Tukey ラムダ分布は、形状パラメータのいくつかの例外的な値に対してのみ、CDF および/または PDF に関して単純な閉形式を持ちます。例えば、λ ∈ { 2, 1, ⁠ 1 /2⁠ , 0 }（一様分​​布 [ ケースλ = 1 およびλ = 2 ]およびロジスティック分布[ ケースλ = 0 ] を参照）。

しかし、 λの任意の値に対して、CDFとPDFは、任意の数の累積確率pに対して表にまとめることができ、分位関数Qを使用して各累積確率pに対する値xを計算し、確率密度は次のように与えられる。1/q⁠、分位密度関数の逆数。統計分布の一般的な場合と同様に、Tukeyラムダ分布は、用意された表の値を参照することで簡単に使用できます。

瞬間

Tukeyのラムダ分布はゼロを中心に対称であるため、この分布の期待値は、もし存在するならばゼロとなる。分散はλ > − ⁠で存在する。  1 /2⁠ 、 λ = 0の場合を除き、式

${\displaystyle \operatorname {Var} [\ X\ ]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}\ {\frac {1}{\ 1+2\lambda \ }}~-~{\frac {\ \Gamma (\lambda +1)^{2}\ }{\ \Gamma (2\lambda +2)\ }}\ {\bigg )}~.}$

より一般的には、λ > ⁠のときn次モーメントは有限である。 −1 /n⁠そして、 （λ = 0の場合を除いて）ベータ関数Β（x、y）で表される 。

${\displaystyle \mu _{n}\equiv \operatorname {E} [\ X^{n}\ ]={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{k}\ {n \choose k}\ \mathrm {B} (\ \lambda \ k+1\ ,\ (n-k)\ \lambda +1\ )~.}$

密度関数の対称性により、奇数次のモーメントはすべて、存在する場合はゼロになります。

Lモーメント

中心モーメントとは異なり、Lモーメントは閉じた形で表すことができます。 番目のLモーメントについては、[ ^3]で与えられます。 ${\displaystyle \lambda >-1\ ,}$ ${\displaystyle \ r}$ ${\displaystyle \ \ell _{r}\ ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{r}&={\frac {\ 1+(-1)^{r}\ }{\lambda }}\ \sum _{k=0}^{r-1}\ (-1)^{r-1-k}\ {\binom {r-1}{k}}\ {\binom {r+k-1}{k}}\ \left({\frac {1}{\ k+1+\lambda \ }}\right)\\{}\\&={\bigl (}1+(-1)^{r}{\bigr )}{\frac {\ \Gamma (1+\lambda )\ \Gamma (r-1-\lambda )\ }{\ \Gamma (1-\lambda )\ \Gamma (r+1+\lambda )\ }}~.\end{aligned}}}$

最初の6つのLモーメントは次のように表すことができます。^[3]

${\displaystyle \ell _{1}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {2}{\ 2+\lambda \ }}\ \right]\ ,}$

${\displaystyle \ell _{3}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{4}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[-{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {12}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {30}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {20}{\ 4+\lambda \ }}\ \right]\ ,}$

${\displaystyle \ell _{5}=~~0\ ,}$

${\displaystyle \ell _{6}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {30}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {210}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {560}{\ 4+\lambda \ }}-{\frac {630}{\ 5+\lambda \ }}+{\frac {252}{\ 6+\lambda \ }}\ \right]~.}$

コメント

Tukeyラムダ分布の確率密度プロット

Tukeyのラムダ分布は、実際にはいくつかの一般的な分布を近似できる分布族です。例えば、

λ ≈ −1	近似コーシー C ( 0, π )
λ = 0	まさにロジスティック
λ ≈ 0.14	ほぼ正規分布 N（0, 2.142 ±）
λ = ⁠ 1 /2⁠	厳密に凹面（-形） ${\displaystyle \cap }$
λ = 1	完全に均一な U ( −1, +1 )
λ = 2	完全に均一な U ( − ⁠  1 /2⁠ 、 + ⁠ 1 /2⁠ )

この分布の最も一般的な用途は、データセットのTukeyラムダPPCCプロットを生成することです。PPCCプロットに示されているように、最も相関の高いλの値に基づいて、データに適したモデルが提案されます。例えば、 λの値が0.14またはその付近で曲線がデータに最もよく適合する場合、経験的に、そのデータは正規分布で適切にモデル化できる可能性があります。λの値が0.14未満の場合、裾の重い分布であることが示唆されます。

λ = 0 (ロジスティック)のマイルポストは非常に厚い裾野を示し、極限はλ = −1で、コーシー分布とスチューデントのt分布の小サンプル版に近似します。つまり、 λの最適適合値が0.14の薄い裾野から厚い裾野−1に向かって変化するにつれて、裾野が次第に厚くなるベル型の PDF が示唆されます。同様に、λの最適曲線適合値が0.14より大きい場合は、例外的に薄い裾野を持つ分布を示唆します(正規分布自体がそもそも薄い裾野であるという観点に基づきます。指数分布は、厚い裾野と薄い裾野の中間の例としてよく選ばれます)。   

λの値が0に近づく場合とそれ以下の場合を除いて、ここで説明するすべての PDF 関数は有限サポートを持ち、   ⁠−1  /| λ |⁠   と   ⁠+1  /| λ |⁠  。

Tukeyラムダ分布は対称分布であるため、TukeyラムダPPCCプロットを用いてデータをモデル化するための適切な分布を決定することは、対称分布の場合にのみ適用されます。データのヒストグラムは、データが対称分布で適切にモデル化できるかどうかの証拠となるはずです。^[4]

参考文献

1. Vasicek, Oldrich (1976). 「標本エントロピーに基づく正規性検定」.英国王立統計学会誌. シリーズB. 38 (1): 54– 59. doi :10.1111/j.2517-6161.1976.tb01566.x.
2. Shaw, WT; McCabe, J. (2009)「特性関数を与えられたモンテカルロサンプリング：運動量空間における分位点力学」arXiv : 0903.1592 [q-fin.CP]
3. Karvanen, Juha; Nuutinen, Arto (2008). 「一般化ラムダ分布のLモーメントによる特徴づけ」.計算統計とデータ分析. 52 (4): 1971– 1983. arXiv : math/0701405 . doi :10.1016/j.csda.2007.06.021. S2CID  939977.
4. Joiner, Brian L.; Rosenblatt, Joan R. (1971). 「Tukeyの対称ラムダ分布におけるサンプル値域のいくつかの特性」アメリカ統計学会誌. 66 (334): 394– 399. doi :10.2307/2283943. JSTOR  2283943.

外部リンク

• 「テューキー・ラムダ分布」。分布のギャラリー。工学統計ハンドブック。米国NIST情報技術研究所。1.3.6.6.15。EDA 366F。

 この記事には、米国国立標準技術研究所のパブリックドメイン資料が組み込まれています。

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