2点テンソル

2点テンソル、あるいは二重ベクトルは、テンソルのような量であり、それぞれの添字に関してユークリッドベクトルとして変換されます。連続体力学において、基準座標（「物質」座標）と現在座標（「配置」座標）間の変換に用いられます。^{[1]例としては、}変形勾配や第一ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルなどが挙げられます。

テンソルの多くの応用と同様に、アインシュタインの和記法が頻繁に用いられます。この記法を明確にするために、参照座標を示すために大文字の添え字が、現在の座標を示すために小文字の添え字が用いられることがよくあります。例えば、2点テンソルは、1つの添え字が大文字で、もう1つの添え字が小文字になります。例えば、A _jMです。

連続体力学

通常のテンソルは、ある座標系のベクトルを同じ座標系内の別のベクトルに変換するものと見ることができます。一方、2点テンソルは、ある座標系のベクトルを別の座標系に変換します。つまり、通常のテンソルは、

${\displaystyle \mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})}$、

ベクトルuをベクトルvに能動的に 変換する。

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u} }$

ここで、vとu は同じ空間で測定され、それらの座標表現は同じ基底（「e」で示される）を基準とします。

対照的に、2点テンソルGは次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})}$

そして、 E系のベクトルUをe系 のベクトルvに変換する。

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {GU} }$。

2点テンソルの変換則

プライム付きとプライムなしの2つの座標系があり、ベクトルの成分が次のように変換されるとする。

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}v_{q}}$。

テンソルについては、次のように仮定する。

${\displaystyle T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})}$。

系におけるテンソル。別の系では、同じテンソルが次のように表される。 ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})}$。

私たちはこう言える

${\displaystyle T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}}$。

それから

${\displaystyle T'=QTQ^{\mathsf {T}}}$

は、通常のテンソル変換です。しかし、これらのシステム間の2点テンソルは、

${\displaystyle F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$

これは次のように変換される。

${\displaystyle F'=QF}$。

簡単な例

2点テンソルの最もありふれた例は、変換テンソル、つまり上記の議論のQである。

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}u_{q}}$。

さて、全文を書きますと、

${\displaystyle u=u_{q}e_{q}}$

そしてまた

${\displaystyle v=v'_{p}e'_{p}}$。

この場合、Qは次の式で表される。

${\displaystyle Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$。

テンソル積の定義により、

${\displaystyle (e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}=(e_{q}.e_{q})e'_{p}=3e'_{p}}$

1

だからこう書くことができる

${\displaystyle u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})}$

したがって

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}}$

（１）を組み込むと、

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}}$。

参照

• 混合テンソル
• ベクトルの共変性と反変性

参考文献

1. ハンフリー、ジェイ・D. 心血管固体力学：細胞、組織、臓器. シュプリンガー・フェアラーク、2002年。

外部リンク

• 弾性の数学的基礎 ジェロルド・E・マースデン、トーマス・J・R・ヒューズ著
• iMechanica の 2 点テンソル

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