タイプI超重力

Ten-dimensional supergravity

超対称性において、タイプ I 超重力は、単一の超電荷を持つ10次元の超重力理論である。これは、単一の超重力多重項と単一のヤン＝ミルズ多重項からなる。完全な非アーベル作用は、1983 年にジョージ・チャップリンとニコラス・マントンによって初めて導出された。^[1]古典的にはこの理論は任意のゲージ群を許容するが、異常性のキャンセルをもたらす矛盾のない量子理論は、ゲージ群が またはである場合にのみ存在する。これらの超重力は両方とも、弦理論、特にタイプ I 弦理論と 2 つのヘテロティック弦理論の低エネルギー極限として実現されている。 ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$ ${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$

歴史

超重力は、1980年代に自然の候補理論として盛んに研究された。この一環として、異なる次元で存在し得る様々な超重力を理解することが重要であり、可能性のある超重力は1978年にヴェルナー・ナームによって分類された。^[2]タイプIの超重力は1983年に初めて記述され、エリック・ベルクショフ、ミース・デ・ロー、ベルナール・デ・ウィット、ピーター・ファン・ニューウェンホイゼンがアーベル理論を記述し、^[3]その後ジョージ・チャップリンとニコラス・マントンがこれを完全な非アーベル理論に拡張した。^[1]マイケル・グリーンとジョン・シュワルツは1984年に重要な進展を遂げ、これらの理論のうちほんの一握りの理論だけが異常性フリーであることを示し、^[4]追加の研究で、とのみが一貫した量子理論につながることを示しました。^[5]最初のケースは、当時、タイプIのスーパーストリングの低エネルギー極限に対応することが知られていました。翌年ヘテロティック弦理論が発見され^[6]、これは両方のゲージ群を持つタイプI超重力によって記述される低エネルギー極限を持っていた。 ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$ ${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$

理論

タイプ I 超重力は、単一のマヨラナ–ワイル スピノル超荷電を持つ 10 次元超重力です。^{[nb 1]}その場の内容は、超重力超多重項と、なんらかの関連ゲージ群を持つヤン – ミルズ超多重項から構成されます。 ^{[7] : 271}ここで、 は計量、は2 形式カルブ – ラモンド場、はディラトン、はヤン – ミルズ ゲージ場です。^{[8] : 317–318}一方、はグラビティーノ、はディラティーノ、ゲージーノであり、これらはすべてマヨラナ – ワイル スピノルです。グラビティーノとゲージーノは同じカイラリティを持ち、ディラティーノは反対のカイラリティを持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle (g_{\mu \nu },\psi _{\mu },B,\lambda ,\phi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle (A_{\mu }^{a},\chi ^{a})}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ ${\displaystyle \psi _{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \chi ^{a}}$

代数

タイプI超対称性の超代数は[9]で与えられる^。

${\displaystyle \{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=(P\gamma ^{\mu }C)_{\alpha \beta }P_{\mu }+(P\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu \rho \sigma \delta }.}$

ここでは固定カイラリティ を持つスーパーチャージ であり、 は関連する射影演算子です。一方、は電荷共役演算子であり、はガンマ行列です。右辺はスーパーチャージ と同じカイラリティを持ち、スピノル指数の交換に関して対称でなければなりません。2 番目の項は、ポアンカレ双対性までのこれらの制約の下で許容される唯一のセントラルチャージです。これは、10 次元ではを法とする行列のみが対称行列であるためです。 ^{[10] : 37–48  [注 2]}セントラルチャージは、ヘテロティック弦理論の基本弦と双対である超重力の5 次元ブレーン解に対応します。^[11] ${\displaystyle Q_{\alpha }}$ ${\displaystyle PQ_{\alpha }=Q_{\alpha }}$ ${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}(1\pm \gamma _{*})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle P\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}C}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle 4}$

アクション

アインシュタインフレームにおけるタイプI超重力の作用は、 4フェルミオン項まで^{[12] : 325  [注3]}で与えられる。

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x\ e{\bigg [}R-2\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\tfrac {3}{4}}e^{-2\phi }H_{\mu \nu \rho }H^{\mu \nu \rho }-{\tfrac {\kappa ^{2}}{2g^{2}}}e^{-\phi }{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })}$

${\displaystyle \ \ \ -{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }\psi _{\rho }-{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\lambda -{\text{tr}}({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\chi )}$

${\displaystyle \ \ \ -{\sqrt {2}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\lambda \partial _{\nu }\phi +{\tfrac {1}{8}}e^{-\phi }{\text{tr}}({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu \nu \rho }\chi )H_{\mu \nu \rho }}$

${\displaystyle \ \ \ -{\tfrac {\kappa }{2g}}e^{-\phi /2}{\text{tr}}[{\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu \rho }(\psi _{\mu }+{\tfrac {\sqrt {2}}{12}}\gamma _{\mu }\lambda )F_{\nu \rho }]}$

${\displaystyle \ \ \ +{\tfrac {1}{8}}e^{-\phi }({\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }\psi _{\delta }+6{\bar {\psi }}^{\nu }\gamma ^{\rho }\psi ^{\sigma }-{\sqrt {2}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\lambda )H_{\nu \rho \sigma }{\bigg ]}.}$

ここで、は重力結合定数、はディラトン、そして^{[13] ：92–93} ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H_{\mu \nu \rho }=\partial _{[\mu }B_{\nu \rho ]}-{\tfrac {\kappa ^{2}}{g^{2}}}\omega _{{\text{YM}},\mu \nu \rho },}$

ヤン・ミルズ・チャーン・サイモンズ形の軌跡は ${\displaystyle \omega _{\text{YM}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{YM}}={\text{tr}}(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

ゲージ場に対応する非可換場の強度テンソルはで表されます。時空指数ガンマ行列は位置依存場 です。一方、は共変微分であり、と はスピン接続です。 ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab}}$ ${\displaystyle \gamma _{ab}=\gamma _{a}\gamma _{b}}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}$

超対称性変換

^{超対称性変換則は[12]}によって3つのフェルミオン項まで与えられる^：324

${\displaystyle \delta e^{a}{}_{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },}$

${\displaystyle \delta \psi _{\mu }=D_{\mu }\epsilon +{\tfrac {1}{32}}e^{-\phi }(\gamma _{\mu }{}^{\nu \rho \sigma }-9\delta _{\mu }^{\nu }\gamma ^{\rho \sigma })\epsilon H_{\nu \rho \sigma },}$

${\displaystyle \delta B_{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}e^{\phi }{\bar {\epsilon }}(\gamma _{\mu }\psi _{\nu }-\gamma _{\nu }\psi _{\mu }-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\gamma _{\mu \nu }\lambda )+{\tfrac {\kappa }{g}}e^{\phi /2}{\bar {\epsilon }}\gamma _{[\mu }{\text{tr}}(\chi A_{\nu ]}),}$

${\displaystyle \delta \phi =-{\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bar {\epsilon }}\lambda ,}$

${\displaystyle \delta \lambda =-{\tfrac {\kappa }{\sqrt {2}}}{\partial \!\!\!/}\phi +{\tfrac {1}{8{\sqrt {2}}}}e^{-\phi }\gamma ^{\mu \nu \rho }\epsilon H_{\mu \nu \rho },}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }^{a}={\tfrac {g}{2\kappa }}e^{\phi /2}{\bar {\epsilon }}\gamma _{\mu }\chi ^{a},}$

${\displaystyle \delta \chi ^{a}=-{\tfrac {\kappa }{4g}}e^{-\phi /2}\gamma ^{\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\epsilon .}$

超対称性パラメータは で表される。これらの変換規則は、キリングスピノル方程式の構築や超対称基底状態 の発見に役立つ。 ${\displaystyle \epsilon }$

異常キャンセル

古典レベルでは超重力は任意のゲージ群を持つが、すべてのゲージ群が量子レベルで矛盾しないわけではない。^{[13] : 98–101}グリーン・シュワルツ異常相殺機構は、六方図でゲージ異常、混合異常、重力異常がいつ消えるかを示すために使用される。^[4]特に、唯一の異常のないタイプ I 型超重力理論は、、、、およびのゲージ群を持つ理論である。後に、アーベル因子を持つ後者の 2 つは量子重力の矛盾する理論であることが判明した。^[14]残りの 2 つの理論は両方とも弦理論への紫外線完成を持ち、対応する弦理論も弦レベルで異常フリーであることが示される。 ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$ ${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$ ${\displaystyle E_{8}\times {\text{U}}(1)^{248}}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)^{496}}$

弦理論との関係

タイプI超重力は、タイプI弦理論と両ヘテロティック弦理論の低エネルギー有効場理論である。特に、タイプI弦理論とヘテロティック弦理論はゲージ群を持つタイプI超重力に帰着し、ヘテロティック弦理論はゲージ群を持つタイプI超重力に帰着する。^{[13] : 92–93}弦理論において超重力が受ける追加の補正があり、特にチャーン・サイモンズ項は、ツリーレベルで見つかるヤン・ミルズ・チャーン・サイモンズ三次元形式とローレンツ・チャーン・サイモンズ三次元形式の線形結合になる。^[15]この後者の三次元形式は、次式で与えられる高階微分補正である 。 ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$ ${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$ ${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{YM}}\rightarrow \omega _{\text{YM}}-\omega _{\text{L}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{L}}={\text{tr}}(\omega \wedge d\omega +{\tfrac {2}{3}}\omega \wedge \omega \wedge \omega )}$、

ここではスピン接続です。この項を含む場合、作用の超対称性を維持するためには、作用に2次までの高次微分補正を加える必要があります。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \kappa }$

タイプI弦理論では、ゲージ結合定数は10次元ヤン・ミルズ結合定数と で関連し、結合定数は弦の長さと で関連している。[ ^{8] : 318}一方、ヘテロティック弦理論では、重力結合定数は弦の長さと で関連している。^{[13] : 108} ${\displaystyle g_{YM}^{2}=g^{2}g_{s}}$ ${\displaystyle l_{s}={\sqrt {\alpha '}}}$ ${\displaystyle g^{2}=4\pi (2\pi l_{s})^{6}}$ ${\displaystyle 2\kappa =l_{s}g}$

アインシュタイン座標系における場は、弦の状態に対応する場と同じではない。その代わりに、ワイル変換とディラトン再定義^{[13]を通して、作用を様々な弦座標系に変換する必要がある。93}

${\displaystyle {\text{Heterotic}}:\ \ \ \ \ \ \ \ g_{\mu \nu }=e^{-\phi _{h}/2}g_{h,\mu \nu },\ \ \ \ \ \ \phi =\phi _{h}/2,}$

${\displaystyle {\text{Type I}}:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_{\mu \nu }=e^{-\phi _{I}/2}g_{I,\mu \nu },\ \ \ \ \ \ \ \phi =-\phi _{I}/2.}$

タイプ I 弦理論とヘテロティック弦理論の間のS 双対性は、それぞれの弦フレームの作用が正しい場の再定義と等価であるため、作用のレベルで見ることができます。^[16]同様に、ヘテロティック弦理論とM 理論の双対性を記述するHořava–Witten 理論も、 11 次元超重力を上でコンパクト化すると超重力が生じるため、超重力のレベルで見ることができます。^[16] ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$ ${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$ ${\displaystyle S^{1}/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$

注記

1. この超重力は、超電荷のカイラリティを示すために、または超重力と書かれることもあり、これら 2 つの理論はカイラリティ変換を除いて同等です。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(0,1)}$
2. 最初のケースは再定義と同等なので中心電荷は存在しません。 ${\displaystyle P_{\mu }\sim P_{\mu }+Z_{\mu }}$
3. ^[12]によれば、場は、 、として再スケールされ、すべてのフェルミオンは の係数で再スケールされている。 ${\displaystyle \phi ^{\text{GSW}}=e^{\phi }}$ ${\displaystyle H_{\mu \nu \rho }^{\text{GSW}}={\tfrac {g^{2}}{\kappa ^{2}}}H_{\mu \nu \rho }}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{\text{GSW}}={\tfrac {g^{2}}{\kappa ^{2}}}B_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa ^{-1}}$

参考文献

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