数学において、特異点位相（または包含点位相）とは、位相空間の特異点を含む集合が開集合となる位相である。正式には、Xを任意の空でない集合とし、p∈Xとする。集合

${\displaystyle T=\{S\subseteq X\mid p\in S\}\cup \{\emptyset \}}$

Xの部分集合は、 X上の特定の点位相です。個別に名前が付けられた様々なケースがあります。

• Xに 2 つの点がある場合、 X上の特定の点位相は、シェルピンスキー空間です。
• Xが有限（少なくとも 3 つの点を持つ）の場合、 X上の位相は有限特点位相と呼ばれます。
• X が可算無限である場合、 X上の位相は可算な特異点位相と呼ばれます。
• Xが非可算な場合、 X上の位相は非可算な特点位相と呼ばれます。

特殊点位相の一般化は閉拡張位相である。X \ { p } が離散位相を持つ場合、閉拡張位相は特殊点位相と同じになる。

このトポロジは、興味深い例と反例を提供するために使用されます。

プロパティ

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閉集合は内部が空である

空でない開集合が与えられると、すべての はAの極限点となる。したがって、以外の任意の開集合の閉集合はとなる。以外の閉集合はpを含まないので、以外の任意の閉集合の内部はとなる。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyset }$

つながり

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パスとローカル接続だがアーク接続ではない

任意のx ,  y ∈ Xに対して、関数 f : [0, 1] → Xは次のように与えられる。

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}x&t=0\\p&t\in (0,1)\\y&t=1\end{cases}}}$

はパスである。しかし、pは開点であるため、 [0,1]からの連続射影によるpの逆像は[0,1]の単一の開点となり、これは矛盾である。

分散点、セットの例

pはXの分散点である。つまり、X \ { p } は完全に分離されている。

ハイパーコネクテッドだがウルトラコネクテッドではない

空でない開集合はすべてp を含むため、Xは超連結である。しかし、Xにaとbが存在し、 p、a、b がそれぞれ異なる3点である場合、{ a }と { b } は互いに素な閉集合となり、 Xは超連結ではない。Xがシェルピンスキー空間である場合、そのようなaとb は存在せず、Xは実際には超連結である点に注意されたい。

コンパクトさ

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有限の場合のみコンパクト。可算の場合のみリンデレフ。

Xが有限であればコンパクトです。また、Xが無限であればコンパクトではありません。これは、すべての開集合の族が有限サブカバーのない開集合を形成するためです。 ${\displaystyle \{p,x\}\;(x\in X)}$

同様の理由で、Xが可算であればリンデレフ空間であり、Xが不可算であればリンデレフ空間ではありません。

コンパクトの閉包はコンパクトではない

集合 { p } はコンパクトである。しかし、その閉包（コンパクト集合の閉包）は空間X全体であり、Xが無限大の場合、これはコンパクトではない。同様の理由から、Xが非可算な場合、コンパクト集合の閉包がリンデレフ空間ではない例となる。

擬コンパクトだが弱可算コンパクトではない

まず、互いに素で空でない開集合は存在しない（すべての開集合はpを含むため）。したがって、実数直線へのすべての連続関数は定数でなければならず、したがって有界となるため、Xは擬コンパクト空間であることが証明される。pを含まない任意の集合には極限点がないため、X が無限大ならば弱可算コンパクトではない。

局所的にはコンパクトだが、局所的には相対的にコンパクトではない。

ならば、集合はxのコンパクト近傍となる。しかし、この近傍の閉包はX全体となるため、 X が無限大ならばx は閉コンパクト近傍を持たず、Xは局所的に相対コンパクトではない。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x,p\}}$

制限関連

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セットの累積ポイント

pが含まれていない場合、Y には累積点がありません ( YはX内で閉じており、部分空間トポロジーでは離散的であるため)。 ${\displaystyle Y\subseteq X}$

にpが含まれる場合、 （ の最小近傍）がYと交わるため、すべての点はYの集積点となる。Y にはω-集積点はない。pはXにおいて孤立しているため、どの集合の集積点にもならないことに注意する。 ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{x,p\}}$ ${\displaystyle x}$

蓄積ポイントはセットとしてではなくシーケンスとして

p を含む相異なる要素の列を取ります。基底集合は任意の y を集積点として持ちます。しかし、列自体には列としての集積点は存在しません。なぜなら、任意のyの近傍には相異なる y を無限に含むことはできないからです。 ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{y,p\}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

別居関連

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T ₀

XはT ₀です（{ x、  p } は各xに対して開いているため）が、高次の分離公理を満たしません（すべての空でない開集合にはpが含まれていなければならないため）。

定期的ではない

空でない開集合はすべてp を含むため、 pを含まない閉集合（例えばX \ { p }）は{ p } の近傍によって分離できず、したがってX は正則ではない。完全な正則性は正則性を意味するため、X は完全な正則性を持たない。

普通ではない

空でない開集合はすべてpを含むため、空でない閉集合は近傍によって互いに分離することができず、したがってX は正規ではありません。例外：シェルピンスキー位相は正規であり、非自明な分離集合を含まないため、完全に正規です。

その他の特性

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分離可能性

{ p } は稠密であるため、Xは可分空間である。しかし、Xが非可算ならば、X \ { p } は可分ではない。これは、可分空間の部分空間が可分ではない例である。

可算性（第一に可算だが第二ではない）

Xが不可算名詞である場合、 Xは第 1 可算名詞ですが、第 2 可算名詞ではありません。

アレクサンドロフ離散

この位相はアレクサンドロフ位相である。点の最小近傍は ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x,p\}.}$

比較可能（同じ集合上の同相位相で比較できないもの）

とします。ととします。つまり、t _qはX上の特異点位相であり、qは区別点です。すると、 ( X , t _p ) と ( X , t _q )は同一集合上の同相比較不可能位相となります。 ${\displaystyle p,q\in X}$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle t_{p}=\{S\subseteq X\mid p\in S\}}$ ${\displaystyle t_{q}=\{S\subseteq X\mid q\in S\}}$

空でない稠密な部分集合は存在しない

S をXの空でない部分集合とする。Sが p を含む場合、pはSにおいて孤立している（ p はXの孤立点であるため）。Sがpを含まない場合、S内の任意のxはSにおいて孤立している。

第一カテゴリーではない

pを含む任意の集合はXに稠密である。したがって、X はどこにも稠密でない部分集合の和集合ではない。

部分空間

特定の点の位相が与えられた集合のうち、特定の点を含まない部分空間はすべて離散位相を持ちます。

参照

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• アレクサンドロフ位相幾何学
• 除外点トポロジ
• 有限位相空間
• トポロジのリスト
• 一点コンパクト化
• 重複区間トポロジー

参考文献

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• スティーン、リン・アーサー；シーバッハ、J.アーサー・ジュニア（1995）[1978]、「位相幾何学における反例」（ 1978年版のドーバー再版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446

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