U統計量

Class of statistics in estimation theory

統計理論において、U統計量とは、与えられた関数を一定サイズのすべての組に適用した際の平均として定義される統計量の一種です。「U」は「不偏」を意味します。^[要出典] 初等統計学において、U統計量は最小分散の不偏推定値を生成する際に自然に生じます。

U統計理論は、様々な確率分布のクラスにおいて、推定可能パラメータ（あるいは統計関数）の各不偏推定値から最小分散不偏推定値を導出することを可能にする。^{[1] [2]}推定可能パラメータとは、母集団の累積確率分布の測定可能な関数である。例えば、あらゆる確率分布において、母集団の中央値は推定可能パラメータである。U統計理論は、一般的な確率分布のクラスに適用される。

歴史

特定のパラメトリック族のために元々導出された多くの統計量は、一般分布のU統計量として認識されている。ノンパラメトリック統計においては、U統計量の理論は、統計的手順（推定量や検定など）や、そのような量の漸近正規性や分散（有限標本における）に関する推定量を確立するために用いられる。^{[3]この理論は、より一般的な統計量だけでなく、}ランダムグラフなどの確率過程の研究にも用いられている。^{[4] [5] [6]}

ある問題に独立かつ同一分布に従う確率変数が含まれており、特定のパラメータの推定が必要であると仮定します。少数の観測値のみに基づいて単純な不偏推定値を構築できると仮定します。これは、与えられた数の観測値に基づく基本推定値を定義します。例えば、1つの観測値自体は平均値の不偏推定値であり、2つの観測値を用いて分散の不偏推定値を導出できます。この推定値に基づくU統計量は、サブサンプルに適用された基本推定値の平均値（観測値全体から、与えられたサイズのすべての組み合わせ選択における平均値）として定義されます。

プラナブ・K・セン（1992）は、U統計量を導入し、その関連理論を概説したワシリー・ホーフディング（1948）の論文をレビューし、統計理論におけるU統計量の重要性を概説している。センは^[7]「ホーフディング（1948）の影響は現時点で圧倒的であり、今後も継続する可能性が高い」と述べている。U統計量の理論は、^[8]独立かつ同一分布に従う確率変数やスカラー確率変数の場合に限定されないことに注意する必要がある。 ^[9]

意味

U 統計量という用語は、Hoeffding (1948) によって次のように定義されています。

を実数または複素数とし、を次元変数の-値関数とする。それぞれのU統計量は、異なる要素を持つ-組のインデックスの集合における値の平均として定義される。正式には、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\colon (K^{d})^{r}\to K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\geq r}$ ${\displaystyle f_{n}\colon (K^{d})^{n}\to K}$ ${\displaystyle f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$ ${\displaystyle I_{r,n}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{1,2,\dotsc ,n\}}$

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{\prod _{i=0}^{r-1}(n-i)}}\sum _{(i_{1},\dotsc ,i_{r})\in I_{r,n}}f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$。

特に、が対称である場合、上記は次のように簡略化される。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{\binom {n}{r}}}\sum _{(i_{1},\dotsc ,i_{r})\in J_{r,n}}f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$、

ここで、 は増加するタプルのサブセットを表します。 ${\displaystyle J_{r,n}}$ ${\displaystyle I_{r,n}}$

各U統計量は必然的に対称関数となります。 ${\displaystyle f_{n}}$

U 統計量は、統計作業、特に Hoeffding の独立した同一分布のランダム変数のコンテキストでは非常に自然です。また、より一般的には、有限母集団からの単純ランダム サンプリングなど、定義特性が「平均の継承」と呼ばれる交換可能なシーケンスの場合にも自然です。

フィッシャーのk統計量と Tukey の多項式統計量は、同次多項式U 統計量の例です(Fisher、1929 年、Tukey、1950 年)。

大きさNの母集団から抽出された 大きさnの 単純ランダム標本φについて、U統計量は標本値ƒ _n ( xφ )の平均が 母集団値ƒ _N ( x )と正確に等しい という性質を持つ。^{[説明が必要]}

例

例: U 統計量がサンプル平均である場合。 ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle f_{n}(x)={\bar {x}}_{n}=(x_{1}+\cdots +x_{n})/n}$

の場合、U 統計量はに対して定義された平均ペアワイズ偏差 です。 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|}$ ${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=2/(n(n-1))\sum _{i>j}|x_{i}-x_{j}|}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

の場合、U 統計量はの除数 を持つサンプル分散であり、 に対して定義されます。 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})^{2}/2}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\sum (x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{2}/(n-1)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

3 番目の統計量、つまり に対して定義される標本の歪度は、U 統計量です。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{3,n}(x)=\sum (x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{3}n/((n-1)(n-2))}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

次の例は重要な点を浮き彫りにしています。が3つの値の中央値である場合、 は値の中央値ではありません。ただし、これは3つの値の中央値の期待値の最小分散不偏推定値であり、母集団の中央値ではありません。同様の推定値は、確率分布族のパラメータが確率重み付きモーメント、つまりLモーメントによって推定される場合に中心的な役割を果たします。 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$

参照

• V統計量

注記

1. コックス＆ヒンクリー（1974年）、200ページ、258ページ
2. Hoeffding (1948)、式(4.3)と(4.4)の間
3. セン（1992）
4. Koroljuk , VS; Borovskich, Yu. V. (1994). Theory of U -statistics . Mathematics and its Applications. Vol. 273 (PV Malyshev and DV Malyshev translate by by PV Malyshev and DV Malyshev from the 1989 Russian original edition. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. x+552. ISBN 978-4-8484-48485-1 0-7923-2608-3. MR  1472486。
5. ユビ州ボロフスキークのページ 381–382。 V. (1996)。バナッハ空間におけるU統計量. ユトレヒト: VSP. pp. xii+420. ISBN 90-6764-200-2. MR  1419498。
6. Kwapień , Stanisƚaw; Woyczyński, Wojbor A. (1992).ランダム級数と確率積分：単精度と倍精度．確率とその応用．ボストン，マサチューセッツ州：Birkhäuser Boston, Inc. pp. xvi+360. ISBN 0-8176-3572-6. MR  1167198。
7. セン（1992）307ページ
8. セン（1992）、p306
9. Borovskikh の最後の章では、ベクトル空間(分離可能なバナッハ空間)で値を取る交換可能なランダム要素の U 統計について説明しています。

参考文献

• ボロフスキー、Yu.V.（1996）。バナッハ空間におけるU統計量. ユトレヒト: VSP. pp. xii+420. ISBN 90-6764-200-2. MR  1419498。
• コックス, DR, ヒンクリー, DV (1974)理論統計学. チャップマン＆ホール. ISBN 0-412-12420-3
• フィッシャー、RA（1929）「標本分布のモーメントと積モーメント」 ロンドン数学会報、2、30：199-238。
• Hoeffding, W. (1948) 漸近的に正規分布を持つ統計のクラスAnnals of Statistics , 19:293–325. (一部再録: Kotz, S., Johnson, NL (1992) Breakthroughs in Statistics , Vol I, pp 308–334. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94037-5）
• Koroljuk, VS; Borovskich, Yu. V. (1994). U統計理論. 数学とその応用. 第273巻（1989年ロシア語原版からのPV MalyshevとDV Malyshevによる翻訳）. ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers Group. pp. x+552. ISBN 0-7923-2608-3. MR  1472486。
• Lee, AJ (1990) U-統計：理論と実践マルセル・デッカー、ニューヨーク、pp320 ISBN 0-8247-8253-4
• Sen, PK (1992) Hoeffding (1948) 漸近正規分布を伴う統計学入門. Kotz, S., Johnson, NL著『統計学のブレークスルー』第1巻, pp 299–307. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94037-5。
• サーフリング, ロバート・J. (1980). 『数理統計学の近似定理』 ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-02403-1。
• Tukey, JW (1950). 「簡略化されたサンプリング法」アメリカ統計学会誌. 45 (252): 501– 519. doi :10.1080/01621459.1950.10501142.
• ハルモス, P. (1946). 「不偏推定理論」.数理統計年報. 1 (17): 34– 43. doi : 10.1214/aoms/1177731020 .

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