一様5次元多面体

正則かつ均一な5 次元多面体のグラフ。

5単体

整流5単体

切断された5単体

カンテレーション5単体

ランシネーテッド5シンプレックス

立体的に配列した5-単体

5-オルソプレックス

切断型5-オルソプレックス

整流5-オルトプレックス

カンテラ5-オルソプレックス

ランシン化5-オルソプレックス

5キューブのカンテラ

ランシネーテッド5キューブ

ステリケート5キューブ

5キューブ

切り詰められた5立方体

整流5キューブ

5デミキューブ

切り詰められた5デミキューブ

カンテラテッド5デミキューブ

ランシネート5デミキューブ

幾何学において、一様5次元多面体（いちよう5じんたいぶつぶつ）は、5次元の一様多面体である。定義により、一様5次元多面体は頂点推移的であり、一様4次元多面体の 面から構成される。

凸一様5次元多面体の完全な集合は未だ決定されていないが、少数の対称群からウィトフ構成によって多くの多面体を作ることができる。これらの構成操作は、コクセター図の環の順列で表される。

発見の歴史

  • 正多面体：（凸面）
  • 凸半正多面体: (コクセターの均一カテゴリ以前の様々な定義)
  • 凸均一多面体:
    • 1940-1988 : この研究は、H.S.M. Coxeterの著書『Regular and Semi-Regular Polytopes I, II, and III』で体系的に拡張されました。
    • 1966年：ノーマン・W・ジョンソンがコクセターの指導の下、トロント大学で「均一多面体とハニカムの理論」という博士論文を完成。
  • 非凸一様多面体:
    • 1966年：ジョンソンは博士論文の中で5次元空間における2つの非凸均一反プリズムについて記述した。[2]
    • 2000-2024年：ジョナサン・バウアーズらは、他の非凸一様5次元多面体の探索を行っている[3]。現在までに、無限族（凸・非凸）外の一様5次元多面体は1348個知られているが、一様4次元多面体のプリズムは除外されている。このリストが完全であることは証明されていない[4] [5] 。

正5次元多面体

正5次元多面体は、シュレーフリ記号{p,q,r,s}で表され、各面の周りには{p,q,r}個の4次元多面体面が存在します。このような正5次元多面体は正確に3つ存在し、すべて凸面です。

5 次元以上には非凸正多面体は存在しません。

凸一様5次元多面体

数学における未解決問題
凸均一5次元多面体の完全な集合は何ですか？[6]
数学におけるさらなる未解決問題

凸一様5次元多面体は104個知られており、さらにデュオプリズムプリズムの無限族、および多角形多面体デュオプリズムが数多く存在する。グランドアンチプリズムプリズムを除くすべてのプリズムは、コクセター群によって生成される反射対称性であるウィトフ構成に基づいている。[要出典]

4次元における均一5次元多面体の対称性

5-単体はA 5族の正則形式です。5-キューブと5-オルソプレックスはB 5族の正則形式です。D 5族の分岐グラフには、 5-オルソプレックスと、5-キューブが交代した 5-デミキューブが含まれます。

5次元の反射的一様多面体は、コクセター図のノードの順列を囲む環で表されるウィトフ構成によって、1つ以上の反射的点群に構築できます。ミラー超平面は、色付きのノードで見られるように、偶数枝で区切られたグループ化できます。[a,b,b,a]形式の対称群は、[[a,b,b,a]]という拡張対称性を持ち、[3,3,3,3]と同様に、対称順序が2倍になります。対称環を持つこれらの群の一様多面体には、この拡張対称性が含まれます。

ある一様多面体において、ある色のすべての鏡が非環式（不活性）である場合、その非活性鏡をすべて除去することで、その多面体はより低い対称性を持つ構成となります。ある色のすべてのノードが環式（活性）である場合、交代操作によって、カイラル対称性を持つ新しい5次元多面体（「空の」円で囲まれたノードとして表示されます）が生成されますが、その形状は一般に一様解を生成するように調整できません。

コクセター図は、ファミリー間の対応関係と、図内の高次対称性を表します。各行の同じ色のノードは、同一のミラーを表します。黒いノードは、この対応関係ではアクティブではありません。
基本家族[7]
グループ
シンボル		注文コクセター
グラフ		括弧
表記		交換子
部分群		コクセター
数
（h）		反射
m =5/2 h [8]
A5​720[3,3,3,3][3,3,3,3] +615
D5​1920[3,3,3 1,1 ][3,3,3 1,1 ] +820
B5​3840[4,3,3,3]10520
均一プリズム

非プリズム状一様4次元多面体に基づく、有限なカテゴリカル一様プリズム状多面体族は5 つ存在する。一様二重プリズム{p}×{q}×{}に基づく、無限の5次元多面体族が1つ存在する。

コクセター
グループ		注文コクセター
図		コクセター
記法		交換子
部分群		反射
A 4 A 1120[3,3,3,2] = [3,3,3]×[ ][3,3,3] +101
D 4 A 1384[3 1,1,1 ,2] = [3 1,1,1 ]×[ ][3 1,1,1 ] +121
B 4 A 1768[4,3,3,2] = [4,3,3]×[ ]4121
F 4 A 12304[3,4,3,2] = [3,4,3]×[ ][3 + ,4,3 + ]12121
H 4 A 128800[5,3,3,2] = [3,4,3]×[ ][5,3,3] +601
デュオプリズムプリズム（偶数の場合は2pと2qを使用）
I 2 ( p )I 2 ( q )A 18ポイント[p,2,q,2] = [p]×[q]×[ ][p + ,2,q + ]p q 1
I 2 (2 p )I 2 ( q )A 116ポイント[2p,2,q,2] = [2p]×[q]×[ ]pp q 1
I 2 (2 p )I 2 (2 q )A 132ポイント[2p,2,2q,2] = [2p]×[2q]×[ ]p p q q 1
均一なデュオプリズム

一様多面体と正多角形の直積に基づく多面体のカテゴリカル一様 デュオプリスマティック族は3 つあります: { q , r }×{ p }。

コクセター
グループ		注文コクセター
図		コクセター
記法		交換子
部分群		反射
プリズマティックグループ（偶数の場合は2pを使用）
A 3 I 2 ( p )48ページ[3,3,2, p ] = [3,3]×[ p ][(3,3) + ,2, p + ]6p
A 3 I 2 ( 2p )96ページ[3,3,2,2 p ] = [3,3]×[2 p ]6p p
B 3 I 2 ( p )96ページ[4,3,2, p ] = [4,3]×[ p ]36p
B 3 I 2 ( 2p )192ページ[4,3,2,2 p ] = [4,3]×[2 p ]36p p
H 3 I 2 ( p )240ページ[5,3,2, p ] = [5,3]×[ p ][(5,3) + ,2, p + ]15p
H 3 I 2 ( 2p )480ページ[5,3,2,2 p ] = [5,3]×[2 p ]15p p

凸一様5次元多面体の列挙

  • シンプレックスファミリー: A 5 [3 4 ]
    • 19個の均一な5次元多面体
  • ハイパーキューブ/オーソプレックスファミリー: B 5 [4,3 3 ]
    • 31個の均一5次元多面体
  • 半超立方体D 5 /E 5族: [3 2,1,1 ]
    • 23個の均一な5次元多面体（8個は固有）
  • ポリコーラルプリズム：
    • プリズマティックファミリーに基づく56個の均一5次元多面体（45個固有）構成：[3,3,3]×[ ]、[4,3,3]×[ ]、[5,3,3]×[ ]、[3 1,1,1 ]×[ ]。
    • 1 つの非ウィソフ面- 大反プリズム プリズムは、多面体プリズムで接続された2 つの大反プリズムから構成される、唯一知られている非ウィソフ面の凸均一 5 次元多面体です。

合計は19+31+8+45+1=104

さらに、次のものがあります:

  • デュオプリズムプリズム族に基づく無限の数の均一な5次元多面体構成: [ p ]×[ q ]×[ ]。
  • デュオプリスマティック族に基づく無限の数の均一な5次元多面体構成: [3,3]×[ p ]、[4,3]×[ p ]、[5,3]×[ p ]。

A5家族

1 つ以上の環を持つCoxeter 図のすべての順列に基づく形式は 19 個あります。(16+4-1 の場合)

これらは、通常の 5 単体 (ヘキサテロン) に対する Wythoff の構築操作からNorman Johnsonによって命名されました。

A 5族は、順序 720 (6 の階乗) の対称性を持ちます。対称的に環状になったコクセター図を持つ 19 個の図のうち 7 個は、順序 1440 の二重対称性を持ちます。

5 次元単体対称性を持つ均一な 5 次元多面体の座標は、法線ベクトル (1,1,1,1,1,1) を持つ超平面にある 6 次元空間の単純な整数の順列として生成できます。

#基点ジョンソン命名システム、
バウアーズ名、（頭字語）
コクセター図		k面要素数頂点
図形		場所別のファセット数: [3,3,3,3]
43210
[3,3,3]
(6)
[3,3,2]
(15)
[3,2,3]
(20)
[2,3,3]
(15)
[3,3,3]
(6)		代替
1(0,0,0,0,0,1) または (0,1,1,1,1,1)5単体
ヘキサテロン（hix）
61520156
{3,3,3}
{3,3,3}		----
2(0,0,0,0,1,1) または (0,0,1,1,1,1)整流5単体
整流ヘキサテロン（rix）
1245806015
t{3,3}×{}
r{3,3,3}		---
{3,3,3}
3(0,0,0,0,1,2) または (0,1,2,2,2,2)切断された5単体
切断ヘキサテロン（tix）
1245807530
テトラ.ピル
t{3,3,3}		---
{3,3,3}
4(0,0,0,1,1,2) または (0,1,1,2,2,2)5単体の
小さな菱形六方体（sarx）
2713529024060
プリズムウェッジ
rr{3,3,3}		--
{ }×{3,3}
r{3,3,3}
5(0,0,0,1,2,2) または (0,0,1,2,2,2)ビットトランケーテッド5単体ビット
トランケーテッドヘキサテロン（ビティックス）
126014015060
2t{3,3,3}		---
t{3,3,3}
6(0,0,0,1,2,3) または (0,1,2,3,3,3)5単体の斜切形
大菱形六角形（garx）
27135290300120
tr{3,3,3}		--
{ }×{3,3}
t{3,3,3}
7(0,0,1,1,1,2) または (0,1,1,1,2,2)ランシネーテッド5単体
小型柱状ヘキサテロン（スピックス）
4725542027060
t 0,3 {3,3,3}		-
{3}×{3}
{ }×r{3,3}
r{3,3,3}
8(0,0,1,1,2,3) または (0,1,2,2,3,3)ランシトランケート5単体角柱
トランケートヘキサテロン（パティックス）
47315720630180
t 0,1,3 {3,3,3}		-
{6}×{3}
{ }×r{3,3}
rr{3,3,3}
9(0,0,1,2,2,3) または (0,1,1,2,3,3)ルンシカンテラ型5単体
角柱角錐ヘキサテロン（pirx）
47255570540180
t 0,1,3 {3,3,3}		-
{3}×{3}
{ }×t{3,3}
2t{3,3,3}
10(0,0,1,2,3,4) または (0,1,2,3,4,4)ルンシカンティ切頂5単体
大柱状ヘキサテロン（ギッピクス）
47315810900360
Irr. 5セル
t 0,1,2,3 {3,3,3}		-
{3}×{6}
{ }×t{3,3}
tr{3,3,3}
11(0,1,1,1,2,3) または (0,1,2,2,2,3)ステリトランケーテッド5シンプレックス
セルリプリズムヘキサテロン（カピックス）
62330570420120
t{3,3,3}
{ }×t{3,3}
{3}×{6}
{ }×{3,3}
t 0,3 {3,3,3}
12(0,1,1,2,3,4) または (0,1,2,3,3,4)立体的に切断された5-単体の
セルリグレーターホバテッドヘキサテロン（コグラックス）
6248011401080360
tr{3,3,3}
{ }×tr{3,3}
{3}×{6}
{ }×rr{3,3}
t 0,1,3 {3,3,3}
13(0,0,0,1,1,1)二重5単体
ドデカテロン（点）
12601209020
{3}×{3}
r{3,3,3}		---
r{3,3,3}
14(0,0,1,1,2,2)双眼5単体
小型二菱形十二面体（シブリッド）
3218042036090
rr{3,3,3}		-
{3}×{3}		-
rr{3,3,3}
15(0,0,1,2,3,3)双円錐台5単体型
大二面体十二面体（ギブリド）
32180420450180
tr{3,3,3}		-
{3}×{3}		-
tr{3,3,3}
16(0,1,1,1,1,2)立体的に5つの単細胞を持つ
小細胞ドデカテロン（scad）
6218021012030
Irr. 16セル
{3,3,3}
{ }×{3,3}
{3}×{3}
{ }×{3,3}
{3,3,3}
17(0,1,1,2,2,3)立体格子状の5単体
小細胞菱形十二面体（カード）
62420900720180
rr{3,3,3}
{ }×rr{3,3}
{3}×{3}
{ }×rr{3,3}
rr{3,3,3}
18(0,1,2,2,3,4)ステリルンシトランケート5単体
セルリプリズマトトランケートドデカテロン（キャプティド）
6245011101080360
t 0,1,3 {3,3,3}
{ }×t{3,3}
{6}×{6}
{ }×t{3,3}
t 0,1,3 {3,3,3}
19(0,1,2,3,4,5)全端5単体
大胞十二細胞（ゴカド）
6254015601800720
不協和音 {3,3,3}
t 0,1,2,3 {3,3,3}
{ }×tr{3,3}
{6}×{6}
{ }×tr{3,3}
t 0,1,2,3 {3,3,3}
非均一オムニスナブ 5-シンプレックス
スナブ ドデカテロン (スノッド)
スナブ ヘキサテロン (スニックス)
422234040802520360高さ0,1,2,3 {3,3,3}高さ0,1,2,3 {3,3,2}高さ0,1,2,3 {3,2,3}高さ0,1,2,3 {3,3,2}高さ0,1,2,3 {3,3,3}（360）

不協和音 {3,3,3}

B5家族

B5族は3840次（5!× 25 ）の対称性を持つ。

この族には、コクセター図の1つ以上のノードをマークすることによって生成された2 5 −1=31個のウィソフ一様多面体が含まれる。また、半分の対称性を持つ交代として生成された8個の一様多面体も追加され、これらはD 5族の完全な複製を形成する。... =.....（繰り返しだけを生成するためリストに載っていない交替もいくつかある。... =.... そして... =.... これらは、対称性が半分に破れた、番号 20 から 34 までの均一な 5 次元多面体の完全な複製になります。

簡単にするために、2 つのサブグループに分けられ、各サブグループには 12 個のフォームがあり、両方に等しく属する 7 つの「中間」フォームがあります。

5次元多面体の5次元立方体族は、以下の表に挙げた基点の凸包によって与えられ、座標と符号のあらゆる順列が採用されています。各基点は、それぞれ異なる一様5次元多面体を生成します。すべての座標は、辺の長さが2の一様5次元多面体に対応します。

#基点名前
コクセター図		要素数頂点
図形		場所別のファセット数: [4,3,3,3]
43210
[4,3,3]
(10)
[4,3,2]
(40)
[4,2,3]
(80)
[2,3,3]
(80)
[3,3,3]
(32)		代替
20(0,0,0,0,1)√25-オルソプレックス
トリアコンタジテロン（tac）
3280804010
{3,3,4}		----
{3,3,3}
21(0,0,0,1,1)√2整流5-オルソプレックス
整流トリアコンタジテロン（ラット）
4224040024040
{ }×{3,4}
{3,3,4}		---
r{3,3,3}
22(0,0,0,1,2)√2切断型5-オルソプレックス
切断型トリアコンタジテロン（tot）
4224040028080
（オクタ.ピル）
{3,3,4}		---
t{3,3,3}
23(0,0,1,1,1)√2二重5立方体
ペンテラクチトリアコンタジテロン（ニット）
（二重5正孔複合体）
4228064048080
{4}×{3}
r{3,3,4}		---
r{3,3,3}
24(0,0,1,1,2)√25-オルソプレックスの
小さな菱形三角錐（sart）の斜交構造
8264015201200240
プリズムウェッジ
r{3,3,4}
{ }×{3,4}		--
rr{3,3,3}
25(0,0,1,2,2)√2ビットトランケート5-オルソプレックス
ビットトランケートトリアコンタジテロン（ビットティット）
42280720720240
t{3,3,4}		---
2t{3,3,3}
26(0,0,1,2,3)√25-orthoplex の斜切形
大菱形三角錐（ガート）
8264015201440480
t{3,3,4}
{ }×{3,4}		--
t 0,1,3 {3,3,3}
27(0,1,1,1,1)√2整流5立方体
整流ペンテラクト（輪）
4220040032080
{3,3}×{ }
r{4,3,3}		---
{3,3,3}
28(0,1,1,1,2)√2ランシネートされた5直角複合体の
小さな柱状トリアコンタジテロン（稚貝）
162120021601440320
r{4,3,3}
{ }×r{3,4}
{3}×{4}
t 0,3 {3,3,3}
29(0,1,1,2,2)√2双眼5立方体
小型双菱形ペンテラクティトリアコンタジテロン（シブラント）
（双眼5正角体）
12284021601920480
rr{3,3,4}		-
{4}×{3}		-
rr{3,3,3}
30(0,1,1,2,3)√2ランシトランケート5-オルソプレックス
プリズマトトランケートトリアコンタジテロン（パティット）
162144036803360960
rr{3,3,4}
{ }×r{3,4}
{6}×{4}		-
t 0,1,3 {3,3,3}
31(0,1,2,2,2)√2ビットトランケーテッド 5 キューブ ビット
トランケーテッド ペンテラクト (ビットティン)
42280720800320
2t{4,3,3}		---
t{3,3,3}
32(0,1,2,2,3)√2ルンシカンテラ化5-オルソプレックス
柱状角柱三角錐（ピルト）
162120029602880960
2t{4,3,3}
{ }×t{3,4}
{3}×{4}		-
t 0,1,3 {3,3,3}
33(0,1,2,3,3)√2双面截頭5立方体
大双面截頭三角錐（ギブラント）
（双面截頭5正角錐）
12284021602400960
tr{3,3,4}		-
{4}×{3}		-
rr{3,3,3}
34(0,1,2,3,4)√2ルンシカンティトランケーテッド5オルソプレックス
グレートプリズマテッドトリアコンタディテロン（ギピット）
1621440416048001920
tr{3,3,4}
{ }×t{3,4}
{6}×{4}		-
t 0,1,2,3 {3,3,3}
35（1、1、1、1、1）5キューブ
ペンタラクト（ペント）
1040808032
{3,3,3}
{4,3,3}		----
36(1,1,1,1,1)
+ (0,0,0,0,1)√2		ステリケートされた5立方体の
小胞ペンテラクチトリアコンタジテロン（スカント）
（ステリケートされた5オルソプレックス）
2428001040640160
テトラヒドロカンナビノール
{4,3,3}
{4,3}×{ }
{4}×{3}
{ }×{3,3}
{3,3,3}
37(1,1,1,1,1)
+ (0,0,0,1,1)√2		ランシネーテッド5キューブ
小型プリズマティックペンテラクト（スパン）
202124021601440320
t 0,3 {4,3,3}		-
{4}×{3}
{ }×r{3,3}
r{3,3,3}
38(1,1,1,1,1)
+ (0,0,0,1,2)√2		ステリトランケート5-オルソプレックス
セルリプリズムトリアコンタジテロン（カピン）
242152028802240640
t 0,3 {4,3,3}
{4,3}×{ }
{6}×{4}
{ }×t{3,3}
t{3,3,3}
39(1,1,1,1,1)
+ (0,0,1,1,1)√2		5つの立方体の
小さな菱形五面体（SIRN）
12268015201280320
プリズムウェッジ
rr{4,3,3}		--
{ }×{3,3}
r{3,3,3}
40(1,1,1,1,1)
+ (0,0,1,1,2)√2		立体環状5立方細胞
リロンバテッドペンテラクチトリアコンタジテロン（カルニット）
（立体環状5オルソプレックス）
242208047203840960
rr{4,3,3}
rr{4,3}×{}
{4}×{3}
{ }×rr{3,3}
rr{3,3,3}
41(1,1,1,1,1)
+ (0,0,1,2,2)√2		ルンチカンテラテッド 5 キューブ
プリズマトールホムベーテッド ペンテラクト (プリン)
202124029602880960
t 0,2,3 {4,3,3}		-
{4}×{3}
{ }×t{3,3}
2t{3,3,3}
42(1,1,1,1,1)
+ (0,0,1,2,3)√2		立体的切断5-オルソプレックス
セルリグレーターホムベーテッドトリアコンタジテロン（コガート）
2422320592057601920
t 0,2,3 {4,3,3}
rr{4,3}×{}
{6}×{4}
{ }×tr{3,3}
tr{3,3,3}
43(1,1,1,1,1)
+ (0,1,1,1,1)√2		切頂5立方体
切頂五面体（黄褐色）
42200400400160
テトラ.ピル
t{4,3,3}		---
{3,3,3}
44(1,1,1,1,1)
+ (0,1,1,1,2)√2		ステリトランケーテッド5キューブ
セルリプリズムトリアコンタジテロン（キャプテン）
242160029602240640
t{4,3,3}
t{4,3}×{}
{8}×{3}
{ }×{3,3}
t 0,3 {3,3,3}
45(1,1,1,1,1)
+ (0,1,1,2,2)√2		ランシ切頂5立方体
角柱切頂五面体（パティン）
202156037603360960
t 0,1,3 {4,3,3}		-
{8}×{3}
{ }×r{3,3}
rr{3,3,3}
46(1,1,1,1,1)
+ (0,1,1,2,3)√2		ステリルンシトランケート5キューブ
セルリプリズマトトランケートペンテラクチトリアコンタジテロン（キャプティント）
（ステリルンシトランケート5オルソプレックス）
2422160576057601920
t 0,1,3 {4,3,3}
t{4,3}×{}
{8}×{6}
{ }×t{3,3}
t 0,1,3 {3,3,3}
47(1,1,1,1,1)
+ (0,1,2,2,2)√2		5立方体
大菱形五面体（ガーン）
12268015201600640
tr{4,3,3}		--
{ }×{3,3}
t{3,3,3}
48(1,1,1,1,1)
+ (0,1,2,2,3)√2		立体的切断型5立方体
セルリグレーター角状ペンテラクト（コグリン）
2422400600057601920
tr{4,3,3}
tr{4,3}×{}
{8}×{3}
{ }×rr{3,3}
t 0,1,3 {3,3,3}
49(1,1,1,1,1)
+ (0,1,2,3,3)√2		ルンチカンティ切頂5立方体
大角柱五面体（ギッピン）
2021560424048001920
t 0,1,2,3 {4,3,3}		-
{8}×{3}
{ }×t{3,3}
tr{3,3,3}
50(1,1,1,1,1)
+ (0,1,2,3,4)√2		全切断型5立方体
大細胞ペンテラクティトリアコンタジテロン（ガクネット）
（全切断型5正複合体）
2422640816096003840
不協和音 {3,3,3}
tr{4,3}×{}
tr{4,3}×{}
{8}×{6}
{ }×tr{3,3}
t 0,1,2,3 {3,3,3}
515-デミキューブ
ヘミペンテラクト (ヒン)
＝		261201608016
r{3,3,3}
h{4,3,3}		----（16）

{3,3,3}
52カンティック5キューブ
切頂ヘミペンテラクト（薄型）
＝		42280640560160
h 2 {4,3,3}		---（16）

r{3,3,3}		（16）

t{3,3,3}
53ランシック5キューブ
小型菱形半五面体（シルヒン）
＝		42360880720160
h 3 {4,3,3}		---（16）

r{3,3,3}		（16）

rr{3,3,3}
54立体的な5立方体の
小型角柱状半五翅目（シフィン）
＝		8248072040080
h{4,3,3}
h{4,3}×{}		--（16）

{3,3,3}		（16）

t 0,3 {3,3,3}
55ルンシカンティック 5 キューブ
グレート ロンバテッド ヘミペンテラクト (ギルヒン)
＝		4236010401200480
h 2,3 {4,3,3}		---（16）

2t{3,3,3}		（16）

tr{3,3,3}
56立体的な5立方体
プリズマトトランケーテッドヘミペンテラクト（ピチン）
＝		8272018401680480
h 2 {4,3,3}
h 2 {4,3}×{}		--（16）

rr{3,3,3}		（16）

t 0,1,3 {3,3,3}
57ステリルンシック 5 キューブ
プリズマトールホムバテッド ヘミペンテラクト (ピルヒン)
＝		8256012801120320
h 3 {4,3,3}
h{4,3}×{}		--（16）

t{3,3,3}		（16）

t 0,1,3 {3,3,3}
58ステリルンシカンティック 5 キューブ グレート
プリズマテッド ヘミペンテラクト (ギフィン)
＝		8272020802400960
h 2,3 {4,3,3}
h 2 {4,3}×{}		--（16）

tr{3,3,3}		（16）

t 0,1,2,3 {3,3,3}
非均一交互ルンシカンティトランケート5-オルソプレックス
スナブ プリズマトトリアコンタジテロン (スニップピット)
スナブ ヘミペンテラクト (スナヒン)
＝		11226240108806720960
sr{3,3,4}		sr{2,3,4}sr{3,2,4}-高さ0,1,2,3 {3,3,3}（960）

不協和音 {3,3,3}
非均一エッジスナブ5オルソプレック
スピリトスナブペンテラクト（ピスナン）
1202792015360105601920sr 3 {3,3,4}sr 3 {2,3,4}sr 3 {3,2,4}
s{3,3}×{}		高さ0,1,2,3 {3,3,3}（960）

不等号 {3,3}×{ }
非均一スナブ 5キューブ
スナブ ペンテラクト (snan)
2162122402160013440960高さ0,1,2,3 {3,3,4}高さ0,1,2,3 {2,3,4}高さ0,1,2,3 {3,2,4}高さ0,1,2,3 {3,3,2}高さ0,1,2,3 {3,3,3}（1920年）

不協和音 {3,3,3}

D5家族

D 5族は1920次 (5! x 2 4 ) の対称性を持ちます。

このファミリーには、 1 つ以上のリングを持つD 5コクセター図の3×8-1順列から、23 個のウィソフ一様多面体があります。そのうち 15 個 (2×8-1) は B 5ファミリーから繰り返され、8 個はこのファミリーに固有ですが、その 8 個でも B 5ファミリーの代替が重複しています。

15回の繰り返しでは、長さ1の枝を終端するノードは両方ともリング状になっているため、要素は同一であり、対称性は2倍である。関係は... =.... そして... =...、上記の一様5次元多面体20から34の完全な複製を作成する。8つの新しい形態では、このようなノードの1つは環を持ち、もう1つは環を持たない。関係は... =...上記の均一な 5 次元多面体 51 から 58 を複製します。

#コクセター図
シュレーフリ記号 シンボルジョンソン
とバウワーズの名前		要素数頂点
図形		場所によるファセット: [3 1,2,1 ]
43210
[3,3,3]
(16)
[3 1,1,1 ]
(10)
[3,3]×[ ]
(40)
[ ]×[3]×[ ]
(80)
[3,3,3]
(16)		代替
[51]＝
h{4,3,3,3}, 5-デミキューブ
ヘミペンテラクト (hin)		261201608016
r{3,3,3}
{3,3,3}
h{4,3,3}		---
[52]＝
h 2 {4,3,3,3}、5面体、
切頂半五面体（薄い）		42280640560160
t{3,3,3}
h 2 {4,3,3}		--
r{3,3,3}
[53]＝
h 3 {4,3,3,3}、ルンシック5キューブ、
小さな菱形半五面体（シルヒン）		42360880720160
rr{3,3,3}
h 3 {4,3,3}		--
r{3,3,3}
[54]＝
h 4 {4,3,3,3}、立体5立方体
小型柱状半五翅目（シフィン）		8248072040080
t 0,3 {3,3,3}
h{4,3,3}
h{4,3}×{}		-
{3,3,3}
[55]＝
h 2,3 {4,3,3,3}、ルンシカント5立方体
大菱形半五面体（ギルヒン）		4236010401200480
2t{3,3,3}
h 2,3 {4,3,3}		--
tr{3,3,3}
[56]＝
h 2,4 {4,3,3,3}、立体5立方体
プリズマトトランケーテッドヘミペンテラクト（ピチン）		8272018401680480
t 0,1,3 {3,3,3}
h 2 {4,3,3}
h 2 {4,3}×{}		-
rr{3,3,3}
[57]＝
h 3,4 {4,3,3,3}、ステリルンシック5立方体
プリズマトルホムバテッドヘミペンテラクト（ピルヒン）		8256012801120320
t 0,1,3 {3,3,3}
h 3 {4,3,3}
h{4,3}×{}		-
t{3,3,3}
[58]＝
h 2,3,4 {4,3,3,3}、ステリルンシカンティック5キューブ
大プリズマテッドヘミペンテラクト（ギフィン）		8272020802400960
t 0,1,2,3 {3,3,3}
h 2,3 {4,3,3}
h 2 {4,3}×{}		-
tr{3,3,3}
非均一＝
ht 0,1,2,3 {3,3,3,4}、交互にランシカンティトランケート5-オルソプレックス スナブ
ヘミペンテラクト（スナヒン）		11226240108806720960高さ0,1,2,3 {3,3,3}
sr{3,3,4}		sr{2,3,4}sr{3,2,4}高さ0,1,2,3 {3,3,3}（960）

不協和音 {3,3,3}

均一な柱状形状

非プリズマティックな一様4次元多面体に基づく、有限なカテゴリカルな一様 プリズマティック多面体族は5つあります。簡略化のため、ほとんどの交代は示されていません。

あ4× あ1

このプリズマティックファミリーには9 つの形式があります。

A 1 x A 4ファミリーは、順序 240 (2*5!) の対称性を持ちます。

#コクセター図
とシュレーフリ
記号
名前		要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
59= {3,3,3}×{ }
5セルプリズム（ペンプ）		720302510
60= r{3,3,3}×{ }
5セルプリズム（rappip）		1250907020
61= t{3,3,3}×{ }
切頂5セルプリズム（tippip）		125010010040
62= rr{3,3,3}×{ }
5セルプリズム（srippip）		2212025021060
63= t 0,3 {3,3,3}×{ }
ランシネーテッド5セルプリズム（スピディップ）		3213020014040
64= 2t{3,3,3}×{ }
ビットトランケーテッド5セルプリズム（デキャップ）		126014015060
65= tr{3,3,3}×{ }
片切形5セルプリズム（グリッピップ）		22120280300120
66= t 0,1,3 {3,3,3}×{ }
ランシ切頂5セルプリズム（プリップピップ）		32180390360120
67= t 0,1,2,3 {3,3,3}×{ }
5セルプリズム（ギッピディップ）		32210540600240

B4× あ1

このプリズマティックファミリーには16の形式があります。（3つは[3,4,3]×[ ]ファミリーと共有されます）

A 1 × B 4ファミリーは、順序 768 (2 5 4!) の対称性を持ちます。

最後の 3 つのスナブは、等しい長さのエッジで実現できますが、4 面の一部が均一な 4 次元多面体ではないため、結局は非均一になります。

#コクセター図
とシュレーフリ
記号
名前		要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
[16]= {4,3,3}×{ }
多面体プリズム（ペント） （ 5面体
と同じ）		1040808032
68= r{4,3,3}×{ }
平行四辺形プリズム（rittip）		2613627222464
69= t{4,3,3}×{ }
切頂多面体プリズム（タティップ）		26136304320128
70= rr{4,3,3}×{ }
斜め格子プリズム（スリッチップ）		58360784672192
71= t 0,3 {4,3,3}×{ }
ランシネーテッド・テッセラティック・プリズム（シドピチップ）		82368608448128
72= 2t{4,3,3}×{ }
ビットトランケーテッド・テッセラティック・プリズム（tahp）		26168432480192
73= tr{4,3,3}×{ }
切頂多面体プリズム（グリットチップ）		58360880960384
74= t 0,1,3 {4,3,3}×{ }
ランシ切頂多面体プリズム（prohp）		8252812161152384
75= t 0,1,2,3 {4,3,3}×{ }
全切形テッセラティックプリズム（ギドピチップ）		8262416961920768
76= {3,3,4}×{ }
16セルプリズム（ヘキシップ）		1864885616
77= r{3,3,4}×{ }
整流16セルプリズム（icope） （ 24セルプリズム
と同じ）		2614428821648
78= t{3,3,4}×{ }
切頂16セルプリズム（thexip）		2614431228896
79= rr{3,3,4}×{ }
16セルプリズム（リコープ） （ 24セルプリズム
と同じ）		50336768672192
80= tr{3,3,4}×{ }
切頂16セルプリズム（ティコープ） （切頂24セルプリズム
と同じ）		50336864960384
81= t 0,1,3 {3,3,4}×{ }
ランシ切頂16セルプリズム（プリティップ）		8252812161152384
82= sr{3,3,4}×{ }
スナブ24セルプリズム（サディップ）		1467681392960192
非均一
修正されたテッセラティック・オルタープリズム（リタ）		5028846428864
非均一
切断された16細胞交叉筋（thexa）		2616838433696
非均一
二分円錐台形テッセラティック・オルタープリズム（タハ）		50288624576192

F4× あ1

このプリズマティックファミリーには10 のフォームがあります。

A 1 x F 4族は、2304 (2*1152) の対称性を持ちます。3つの多面体 85、86、89 (緑の背景) は、二重対称性 [[3,4,3],2] を持ち、その順位は 4608 です。最後の多面体である 24 セル プリズム (青の背景) は、[3 + ,4,3,2] の対称性を持ち、その順位は 1152 です。

#コクセター図
とシュレーフリ
記号
名前		要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
[77]= {3,4,3}×{ }
24セルプリズム（イコープ）		2614428821648
[79]= r{3,4,3}×{ }
24セル直角錐（リコープ）		50336768672192
[80]= t{3,4,3}×{ }
切頂24セルプリズム（ティコープ）		50336864960384
83= rr{3,4,3}×{ }
24セルの斜交角柱（シコペ）		146100823042016576
84= t 0,3 {3,4,3}×{ }
ランシネーテッド24セルプリズム（スピカップ）		242115219201296288
85= 2t{3,4,3}×{ }
ビットトランケーテッド24セルプリズム（contip）		5043212481440576
86= tr{3,4,3}×{ }
切頂24セルプリズム（グリコープ）		1461008259228801152
87= t 0,1,3 {3,4,3}×{ }
ランシ切頂24セルプリズム（プリコープ）		2421584364834561152
88= t 0,1,2,3 {3,4,3}×{ }
24セルのオムニトランケーテッドプリズム（ギッピックカップ）		2421872508857602304
[82]= s{3,4,3}×{ }
スナブ24セルプリズム（サディップ）		1467681392960192

H4× あ1

このプリズマティックファミリーには15 の形式があります。

A 1 x H 4ファミリーは、 28800 (2*14400) の順序の対称性を持ちます。

#コクセター図
とシュレーフリ
記号
名前		要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
89= {5,3,3}×{ }
120セルプリズム（ヒップ）		122960264030001200
90= r{5,3,3}×{ }
120セル直角錐（ラヒップ）		7224560984084002400
91= t{5,3,3}×{ }
切頂120セルプリズム（thipe）		722456011040120004800
92= rr{5,3,3}×{ }
120セルの斜めプリズム（srahip）		19221296029040252007200
93= t 0,3 {5,3,3}×{ }
ランシネーテッド120セルプリズム（sidpixhip）		26421272022080168004800
94= 2t{5,3,3}×{ }
ビットトランケーテッド120セルプリズム（xhip）		722576015840180007200
95= tr{5,3,3}×{ }
120セルの切頂角柱（グラフ）		192212960326403600014400
96= t 0,1,3 {5,3,3}×{ }
ランシ切頂120セルプリズム（プリクシップ）		264218720448804320014400
97= t 0,1,2,3 {5,3,3}×{ }
120セルオムニトランケーテッドプリズム（gidpixhip）		264222320628807200028800
98= {3,3,5}×{ }
600セルプリズム（例）		602240031201560240
99= r{3,3,5}×{ }
整流600セルプリズム（ロキシップ）		72250401080079201440
100= t{3,3,5}×{ }
切頂600セルプリズム（texip）		722504011520100802880
101= rr{3,3,5}×{ }
600セルの斜めプリズム（srixip）		14421152028080252007200
102= tr{3,3,5}×{ }
600セルの切頂角柱（グリクシップ）		144211520316803600014400
103= t 0,1,3 {3,3,5}×{ }
ランシ切頂600セルプリズム（プラヒップ）		264218720448804320014400

デュオプリズムプリズム

均一なデュオプリズムプリズム { p }×{ q }×{ } は、すべての整数p、q >2に対して無限クラスを形成します。 {4}×{4}×{ } は、5 次元立方体の低対称形式になります。

{ p }×{ q }×{ } の拡張f ベクトルは、( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*(2, 1 ) = (2 pq ,5 pq ,4 pq +2 p +2 q ,3 pq +3 p +3 q , p + q +2, 1 ) として計算されます。

コクセター図名前要素数
4面細胞顔エッジ頂点
{ p }×{ q }×{} [9]p + q +23 pq +3 p +3 q4 pq +2 p +2 q5ポイント2ポイント
{ p } 2 ×{ }2( p +1)3 p ( p +1)4 p ( p +1)5ページ2ページ2ページ2ページ
{3} 2 ×{ }836484518
{4} 2 ×{ } = 5立方体1040808032

グランドアンチプリズムプリズム

大反プリズムプリズムは、唯一知られている凸非ウィソフ一様5次元多面体である。200頂点、1100辺、1940面（五角形40面、正方形500面、三角形1400面）、1360セル（四面体600面、五角形反プリズム40面、三角プリズム700面、五角形プリズム20面）、および322ハイパーセル（大反プリズム2面）を持つ。 、20個の五角形反プリズムプリズム、300個の四面体プリズム ）。

#名前要素数
ファセット細胞顔エッジ頂点
104グランドアンチプリズムプリズム（ギャッププリズム）[10]322136019401100200

一様5次元多面体に対するWythoff構成に関する注釈

鏡映5次元一様多面体の構築は、ウィトフ構成法によって行われ、コクセター図で表現されます。コクセター図では、各ノードはミラーを表します。ノードはリング状に配置され、どのミラーがアクティブであるかを示します。生成される一様多面体の完全な集合は、リング状ノードの一意の順列に基づいています。一様5次元多面体は、各族に属する正多面体との関連で命名されます。一部の族には正多面体の構成子が2つあり、命名方法が2通りある場合があります。

ここでは、均一な 5 次元多面体を構築し、名前を付けるために使用できる主な演算子を示します。

最後の操作であるスナブ、そしてより一般的にはオルタネーションは、非反射形状を作成できる操作です。これらの操作は、ノードに「中空のリング」として描画されます。

プリズマティック形式と分岐グラフでは同じ切り捨てインデックス表記を使用できますが、わかりやすくするためにノードに明示的な番号付けシステムが必要です。

手術拡張
シュレーフリ記号		コクセター図説明
親t 0 {p,q,r,s}{p,q,r,s}任意の正5次元多面体
修正済みt 1 {p,q,r,s}r{p,q,r,s}辺は完全に切り詰められ、単一の点になりました。5次元多面体は、親多面体と双対多面体の面を組み合わせたものになりました。
二次元化t 2 {p,q,r,s}2r{p,q,r,s}双対化により、面は点に、セルは双対に縮小されます。
三重整流化t 3 {p,q,r,s}3r{p,q,r,s}三重整流化はセルを点に縮小します。（二重整流化）
四角形化t 4 {p,q,r,s}4r{p,q,r,s}四面体変換は4面を点に変換します。(双対)
切り捨てt 0,1 {p,q,r,s}t{p,q,r,s}元の頂点はそれぞれ切り取られ、その隙間を新しい面が埋めます。切り取りには自由度があり、その解は一様な切り取られた5次元多面体を作成することです。5次元多面体は、元の面の2倍の辺を持ち、双対の面を含みます。
カンテラテッドt 0,2 {p,q,r,s}rr{p,q,r,s}頂点の切り捨てに加えて、元の各エッジが斜面化され、その場所に新しい長方形の面が現れます。
ランシネートt 0,3 {p,q,r,s}ランシネーションはセルを削減し、頂点とエッジに新しいセルを作成します。
ステリケートt 0,4 {p,q,r,s}2r2r{p,q,r,s}立体化はファセットを削減し、ギャップ内の頂点と辺に新しいファセット（ハイパーセル）を作成します。（5次元多面体の拡張操作と同じです。）
全切断t 0,1,2,3,4 {p,q,r,s}切り捨て、カンテレーション、ランシネーション、およびステリケーションの 4 つの演算子がすべて適用されます。
半分h{2p,3,q,r}交替、同じ
カンティックh 2 {2p,3,q,r}同じ
ルンチッチh 3 {2p,3,q,r}同じ
ルンシカンティックh 2,3 {2p,3,q,r}同じ
立体的h 4 {2p,3,q,r}同じ
ステリルンシックh 3,4 {2p,3,q,r}同じ
立体的h 2,4 {2p,3,q,r}同じ
ステリルンシカンティックh 2,3,4 {2p,3,q,r}同じ
冷遇s{p,2q,r,s}交互切り捨て
冷遇は是正されたsr{p,q,2r,s}交互切断整流
ht 0,1,2,3 {p,q,r,s}交互ランシカンティトランケーション
完全な無視ht 0,1,2,3,4 {p,q,r,s}交互全切断

規則的で均一なハニカム

コクセター図は、ファミリー間の対応関係と、図内の高次対称性を表します。各行の同じ色のノードは、同一のミラーを表します。黒いノードは、この対応関係ではアクティブではありません。

ユークリッド4次元空間に規則的かつ一様なモザイクを生成する基本アフィンコクセター群は5つ、プリズマティック群は13個存在する。 [11] [12]

基本群
#コクセターグループコクセター図フォーム
1[3 [5] ][(3,3,3,3,3)]7
2[4,3,3,4]19
3[4,3,3 1,1 ][4,3,3,4,1 + ]＝23 (新規 8 件)
4[3 1,1,1,1 ][1 + ,4,3,3,4,1 + ]＝9 (新規 0)
5[3,4,3,3]31 (新規 21)

ユークリッド 4 次元空間には 3 つの正則ハニカムがあります。

均一なハニカムを生成する他のファミリ:

これらの反射形式からの伸長 (層の挿入) と回転 (層の回転) によって、4 次元空間における非ウィソフ均一タイル分割も存在します。

プリズマティックグループ
#コクセターグループコクセター図
1×[4,3,4,2,∞]
2×[4,3 1,1 ,2,∞]
3×[3 [4] ,2,∞]
4× ×[4,4,2,∞,2,∞]
5× ×[6,3,2,∞,2,∞]
6× ×[3 [3] ,2,∞,2,∞]
7× × ×[∞,2,∞,2,∞,2,∞]
8×[3 [3] ,2,3 [3] ]
9×[3 [3]、2、4、4]
10×[3 [3] ,2,6,3]
11×[4,4,2,4,4]
12×[4,4,2,6,3]
13×[6,3,2,6,3]

規則的で均一な双曲面ハニカム

双曲コンパクト群

ランク 5 の 5 つのコンパクトな双曲型 Coxeter 群があり、それぞれ Coxeter 図の環の順列として双曲型 4 次元空間に均一なハニカムを生成します。

= [(3,3,3,3,4)]:

= [5,3,3 1,1 ]:

= [3,3,3,5]:

= [4,3,3,5]:
= [5,3,3,5]:

H4空間には5つ​​の正則コンパクト凸双曲型ハニカムが存在する: [13]

コンパクトな正凸双曲面ハニカム
ハニカム名シュレーフリ
記号
{p,q,r,s}		コクセター図ファセット
タイプ
{p,q,r}		セル
タイプ
{p,q}		顔の
タイプ
{p}		顔の
図
{s}		エッジ
図形
{r,s}		頂点
図形
{q,r,s}		デュアル
5次5細胞（ペンテ）{3,3,3,5}{3,3,3}{3,3}{3}{5}{3,5}{3,3,5}{5,3,3,3}
3次120セル（ヒッテ）{5,3,3,3}{5,3,3}{5,3}{5}{3}{3,3}{3,3,3}{3,3,3,5}
5次テッセラティック（ピテスト）{4,3,3,5}{4,3,3}{4,3}{4}{5}{3,5}{3,3,5}{5,3,3,4}
オーダー4 120セル（シッテ）{5,3,3,4}{5,3,3}{5,3}{5}{4}{3,4}{3,3,4}{4,3,3,5}
オーダー5 120セル（フィッテ）{5,3,3,5}{5,3,3}{5,3}{5}{5}{3,5}{3,3,5}自己双対

H 4空間には 4 つの通常のコンパクトな双曲型スターハニカムも存在します。

コンパクトで規則的な双曲型星型ハニカム
ハニカム名シュレーフリ
記号
{p,q,r,s}		コクセター図ファセット
タイプ
{p,q,r}		セル
タイプ
{p,q}		顔の
タイプ
{p}		顔の
図
{s}		エッジ
図形
{r,s}		頂点
図形
{q,r,s}		デュアル
3次小星状120細胞{5/2,5,3,3}{5/2,5,3}{5/2,5}{5}{5}{3,3}{5,3,3}{3,3,5,5/2}
オーダー5/2 600セル{3,3,5,5/2}{3,3,5}{3,3}{3}{5/2}{5.5/2}{3,5,5/2}{5/2,5,3,3}
5面体120セル{3,5,5/2,5}{3,5,5/2}{3,5}{3}{5}{5/2,5}{5.5/2.5}{5,5/2,5,3}
オーダー3の120セル{5,5/2,5,3}{5.5/2.5}{5.5/2}{5}{3}{5,3}{5/2,5,3}{3,5,5/2,5}
双曲型パラコンパクト群

階数5のパラコンパクト双曲型コクセター群は9個存在し、それぞれがコクセター図の環の順列として4次元空間に一様ハニカムを生成する。パラコンパクト群は、無限の面または頂点図形を持つハニカムを生成する。

= [3,3 [4] ]:

= [4,3 [4] ]:
= [(3,3,4,3,4)]:
= [3 [3]×[] ]:

= [4,/3\,3,4]:
= [3,4,3 1,1 ]:
= [4,3 2,1 ]:
= [4,3 1,1,1 ]:

= [3,4,3,4]:

注記

  1. ^ T. ゴセット「 n次元空間における正則図形と半正則図形について」メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
  2. ^ 多次元用語集、ジョージ・オルシェフスキー
  3. ^ Bowers, Jonathan (2000). 「Uniform Polychora」（PDF） . Reza Sarhagi編著. Bridges 2000. Bridges Conference. pp.  239– 246.
  4. ^ ユニフォーム・ポリテラ、ジョナサン・バウワーズ
  5. ^ 一様多面体
  6. ^ ACW (2012年5月24日)、「Convex uniform 5-polytopes」、Open Problem Garden、2016年10月5日時点のオリジナルよりアーカイブ、2016年10月4日閲覧。
  7. ^ 正則多面体と半正則多面体 III、p.315 5次元の3つの有限群
  8. ^ Coxeter ,正多面体, §12.6 反射の数、式12.61
  9. ^ 「N,k-dippip」。
  10. ^ 「ガッピップ」.
  11. ^ 正多面体、p.297。表IV、反射によって生成される既約群の基本領域。
  12. ^ 正多面体と半正多面体 II、pp.298-302 四次元ハニカム
  13. ^ コクセター『幾何学の美：12のエッセイ』第10章：双曲空間における正則ハニカム、要約表IV p213

参考文献

  • T. ゴセット：n 次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900 年（正則 4 次元多面体 3 つと半正則 4 次元多面体 1 つ）
  • A. ブール・ストット(1910)。 「正多面体と空間充填からの半正則の幾何学的演繹」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。Ⅹ（１）．アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 4 月 29 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
  • HSMコクセター：
    • HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973 (p. 297 Fundamental areas for irreductionible groups generated by reflections, Spherical and Euclidean)
    • HSM Coxeter著『幾何学の美：12のエッセイ』（第10章：双曲空間における正則ハニカム、要約表IV、p213）
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] 2016年7月11日にWayback Machineにアーカイブ
    • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • （論文23）HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]（p. 287 5D Euclidean groups, p. 298 Four-dimensionsal honeycombs）
    • （論文24）HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
  • ジェームズ・E・ハンフリーズ「反射群とコクセター群」ケンブリッジ高等数学研究、29（1990）（141ページ、6.9双曲型コクセター群の一覧、図2）[2]
  • Klitzing, Richard. 「5D 均一多面体 (ポリテラ)」– 非凸形式と、B 5および D 5ファミリーからの重複構成を含む
2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族アン​B nI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
正多角形三角形四角p角形六角形五角形
均一な多面体四面体八面体•立方体デミキューブ十二面体•二十面体
均一ポリクロロンペンタコロン16セル• Tesseractデミテッセラクト24セル120セル• 600セル
一様5次元多面体5単体5-オルソプレックス• 5-キューブ5デミキューブ
一様6次元多面体6単体6-オルソプレックス• 6-キューブ6デミキューブ1 22 • 2 21
一様7次元多面体7単体7-オルソプレックス• 7-キューブ7デミキューブ1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体8単体8-オルソプレックス• 8-キューブ8デミキューブ1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体9単体9-オルソプレックス• 9-キューブ9デミキューブ
一様10次元多面体10単体10-オルソプレックス• 10-キューブ10デミキューブ
一様n多面体n -単体n -オルソプレックス• n -キューブn -デミキューブ1 k2 • 2 k1 • k 21n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算
2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間家族/ /
E 2均一なタイリング0 [3]δ 3hδ 3qδ 3六角
E 3均一な凸型ハニカム0 [4]δ 4hδ 4qδ 4
E4​均一な4ハニカム0 [5]δ 5hδ 5qδ 524セルハニカム
E 5均一な5ハニカム0 [6]δ 6hδ 6qδ 6
E 6均一な6ハニカム0 [7]δ 7hδ 7qδ 72 22
E 7均一な7ハニカム0 [8]δ 8hδ 8qδ 81 33 • 3 31
E8​均一な8ハニカム0 [9]δ 9hδ 9qδ 91 52 • 2 51 • 5 21
E9​均一な9ハニカム0 [10]δ 10hδ 10qδ 10
E 10均一な10ハニカム0 [11]δ 11hδ 11qδ 11
E n −1均一な（n −1）ハニカム0 [ n ]δ nhδ nqδ n1 k 2 • 2 k 1 • k 21
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