一様4次元多面体

四面体セルが見える切断された120セルのシュレーゲル図
切断された120セルのH 3 コクセター平面（D 10対称）への正投影。頂点と辺のみが描画されている。

幾何学において、一様4次元多面体（いっよう4じんたいぶつ）[1]とは、頂点推移的でセルが一様多面体、面が正多角形である4次元多面体である。

非凸凸一様四 次元多面体は47個存在する。凸凸多面体には2つの無限集合があり、凸一様多面体の柱状体として生じる例は17個存在する。また、非凸星状多面体も無数に存在する。

発見の歴史

  • 凸正多面体:
  • 正多面体（星型多面体セルおよび/または頂点図形）
    • 1852年:ルートヴィヒ・シュレーフリも、10個の通常の星型4次元多面体のうち、セルまたは頂点図形が{ 5 / 2 ,5}と{5, 5 / 2 }である6個を除いて4個を発見した。
    • 1883 :エドムント・ヘスは、著書（ドイツ語）『Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder Einleitung in die』の中で、非凸正則 4 多面体の 10 個のリストを完成させました。 Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder、von dr.エドモンド・ヘス。 Mit sechzehn lithographyierten tafeln..
  • 凸半正多面体: (コクセターの均一カテゴリ以前の様々な定義)
  • 凸均一多面体:
    • 1940 年: HSM Coxeterが著書『Regular and Semi-Regular Polytopes』でこの研究を体系的に拡張しました。
    • 凸一様4次元多面体:
      • 1965年：ジョン・ホートン・コンウェイとマイケル・ガイが、コンピューター解析によって確立した著書『4次元アルキメデス多面体』の中で、凸形状の完全なリストを最終的に列挙しました。これには、大反プリズムという、非ウィトフ凸4次元多面体が1つだけ追加されています。
      • 1966年、 ノーマン・ジョンソンは指導教官コクセターの指導の下、博士論文『均一多面体とハニカムの理論』を完成させ、4次元以上の均一多面体の基礎理論を完成させた。
      • 1986年、コクセターは論文「Regular and Semi-Regular Polytopes II」を発表しました。この論文には、ユニークなスナブ 24 セル構造と異常な大反プリズムの対称性の分析が含まれていました。
      • 1998年[8] -2000年: 4次元多面体はノーマン・ジョンソンによって体系的に命名され、ジョージ・オルシェフスキーのオンライン索引一覧（この一覧のベースとして使用）に基づいて命名された。ジョンソンは、3次元多面体の多面体と同様に、ギリシャ語の語源poly（「多くの」）とchoros（「部屋」または「空間」）にちなんで、4次元多面体をポリコラ（polychora）と名付けた。[9]均一多面体の名称は、コクセター図の環に基づく接頭辞を持つ6つの正多面体から始まった。切頂形t 0,1、切頂形t 0,2、ランシネーションt 0,3、単環形はrectifiedと呼ばれ、最初の環が2番目または3番目の節点にある場合はbi、tri接頭辞が追加された。[10] [11]
      • 2004年：コンウェイ・ガイ集合が完全であることの証明が、マルコ・メラーの博士論文「四次元アルキメディスケ・ポリトープ」の中で発表された。メラーはジョンソンの命名体系を自身のリストに再現した。[12]
      • 2008年：ジョン・H・コンウェイが『The Symmetries of Things 』[13]を出版した。本書には、コクセター群族による凸一様4次元多面体および高次元多面体の初めての印刷物リストが掲載されており、各環コクセター図置換（スナブ、グランドアンチプリズム、デュオプリズム）の一般頂点図も掲載されている。コンウェイはこれらを積プリズムの意味でプロプリズムと呼んだ。彼は、切り捨てと二切り捨て以外のインデックス付き環置換に独自のijk -ambo命名法を用い、ジョンソンの名はすべて本書の索引に掲載されている。
  • 非正規均一星型4次元多面体：（非凸均一多面体に類似）
    • 1966年：ジョンソンは博士論文の中で4次元空間における3つの非凸均一反プリズムについて記述した。[14]
    • 1990-2006 : 共同研究により、2005年までにジョナサン・バウワーズとジョージ・オルシェフスキーによって合計1845個の均一な4次元多面体（凸面と非凸面）が特定され、[15] 2006年にさらに4個が発見され、合計1849個となった。この数には、75個の非プリズム状の均一な多面体のうち74個のプリズムが含まれる（これは有限集合であるため、立方プリズムは四次元体と重複するため除外される）が、デュオプリズムや反プリズムのプリズムの無限カテゴリは含まれない。[16]
    • 2020-2023年：342個の新しい多面体が発見され、既知の均一な4次元多面体の総数は2191個になった。このリストは完全であることが証明されていない。[16] [17]

正4次元多面体

正4次元多面体は、一様4次元多面体のサブセットであり、追加の要件を満たします。正4次元多面体は、シュレーフリ記号{ p , q , r }で表され、 { p , q }型のセル、{ p }型の面、{ r }型の辺図形、{ q , r }型の頂点図形を持ちます。

正4次元多面体{ p , q , r }の存在は、セルとなる正多面体{ p , q }と頂点図形となる{ q , r }の存在によって制約されます。

有限4次元多面体としての存在は不等式に依存する：[18]

すべてのセル、面、辺、頂点が合同であるという性質を持つ16 個の正 4 次元多面体:

凸一様4次元多面体

4次元における均一4次元多面体の対称性

直交部分群
F 4の 24 個のミラーは、 2 つの直交するD 4グループに分解できます。
  1. ＝（12枚の鏡）
  2. ＝（12枚の鏡）
B 3 × A 1の10個の鏡像群は、4つのA 1とD 3の直交群に分解できる。
  1. ＝（3+1ミラー）
  2. ＝（ミラー6枚）

4次元には5つの基本的なミラー対称点群族がある: A 4 =、B 4 =、D 4 =、F 4 =、H 4 =[ 10] 3つのプリズマティック群も存在するA 3 A 1 =、B 3 A 1 =、H 3 A 1 =、および双柱群: I 2 (p)×I 2 (q) =各グループは、鏡面によって囲まれたGoursat 四面体 基本領域によって定義されます。

それぞれの反射一様4次元多面体は、コクセター図のノードの順列の周りの環で表されるウィトフ構成によって、4次元の1つ以上の反射点群に構築できます。ミラー超平面は、色付きのノードで見られるように、偶数枝で区切られてグループ化できます。形式[a,b,a]の対称群には、対称順序が2倍になる拡張対称性[[a,b,a]]があります。これには[3,3,3]、[3,4,3]、[ p ,2, p ]が含まれます。対称環を持つこれらのグループ内の一様多面体には、この拡張対称性が含まれます。

ある一様多面体において、ある色のすべての鏡が非環式（不活性）である場合、その非活性鏡をすべて除去することで、その多面体はより低い対称性を持つ構成となります。ある色のすべてのノードが環式（活性）である場合、交代操作によって、カイラル対称性を持つ新しい4次元多面体（「空の」円で囲まれたノードとして表示されます）が生成されますが、その形状は一般に一様解を生成するように調整できません。

ワイル
群		コンウェイ
四元数		抽象
構造		注文コクセター
図		コクセター
記法		交換子
部分群		コクセター
数
（h）		ミラー
m =2 h
還元不可能
A4​+1/60[I×I].21S5​120[3,3,3][3,3,3] +510
D4​±1/3[T×T].21/2. 2 S 4192[3 1,1,1 ][3 1,1,1 ] +612
B4​±1/6[0×0].22 S 4 = S 2 ≀S 4384[4,3,3]8412
F4​±1/2[O×O].2 33. 2 S 41152[3,4,3][3 + ,4,3 + ]121212
H4​±[I×I].22.(A 5 ×A 5 ).214400[5,3,3][5,3,3] +3060
プリズマティックグループ
A 3 A 1+1/24[O×O].2 3S 4 × D 148[3,3,2] = [3,3]×[ ][3,3] +-61
B 3 A 1±1/24[O×O].2S 4 × D 196[4,3,2] = [4,3]×[ ]-361
H 3 A 1±1/60[I×I].2A 5 × D 1240[5,3,2] = [5,3]×[ ][5,3] +-151
デュオプリスマティック群（偶数の場合は2p、2qを使用）
I 2 ( p )I 2 ( q )±1/2[D 2 p ×D 2 q ]D p ×D q4ポイント[ p ,2, q ] = [ p ]×[ q ][ p + ,2, q + ]-p q
I 2 ( 2p )I 2 ( q )±1/2[D 4 p ×D 2 q ]D 2 p ×D q8ポイント[2 p ,2, q ] = [2 p ]×[ q ]-p p q
I 2 ( 2p )I 2 ( 2q )±1/2[D 4 p ×D 4 q ]D 2p × D 2q16ポイント[2 p ,2,2 q ] = [2 p ]×[2 q ]-p p q q

列挙

6 つの正凸 4 次元多面体を含み、デュオプリズムとアンチプリズムの無限集合を除くと、64 個の凸一様 4 次元多面体があります。

  • 5つはプラトン立体に基づく多面体プリズムです（立方体超プリズムは四次元体なので、1つは正多面体と重なります）
  • 13はアルキメデス立体に基づく多面体である
  • 9つは自己双対正則A4 [ 3,3,3]群（5細胞）ファミリーに属します。
  • 9個は自己双対正則F 4 [3,4,3]群（24細胞）ファミリーに属します。（スナブ24細胞を除く）
  • 15個は通常のB 4 [3,3,4] グループ（テッセラクト/ 16細胞）ファミリーに属します（3個は24細胞ファミリーと重複します）
  • 15個は通常のH4 [ 3,3,5]グループ（120細胞/ 600細胞）ファミリーに属します。
  • [3,4,3]群（24細胞）ファミリーの1つの特別なスナブ形式。
  • 1 つの特別な非ウィソフ 4 次元多面体、大反プリズム。
  • 合計: 68 − 4 = 64

これら64個の一様4次元多面体は、ジョージ・オルシェフスキーによって以下に索引付けされている。重複対称形は括弧内に索引付けされている。

上記の 64 個に加えて、残りの凸形状をすべて生成する無限プリズマティック セットが 2 つあります。

A4家族

5セルは、120次の二倍体五元対称性[3,3,3]を持ち、[10]、5つの要素の順列と同型であり、すべての頂点のペアは同じように関連している。

ファセット (セル) が指定され、指定されたノードを削除することによって Coxeter ダイアグラムの場所にグループ化されます。

[3,3,3] 一様多面体
#名前
Bowers の名前（および頭字語）		頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		場所別の細胞数要素数
ポジション3

（5）		ポジション2

（10）		ポジション1

（10）		ポジション0

（5）		細胞顔エッジ頂点
15細胞
ペンタコロン[10]（ペン）
{3,3,3}		（4）

（3.3.3）		510105
2整流5細胞
整流五細胞（ラップ）
r{3,3,3}		（3）

（3.3.3.3）		（2）

（3.3.3）		10303010
3切断された5細胞
切断された五芒星（先端）
t{3,3,3}		（3）

（3.6.6）		（1）

（3.3.3）		10304020
45細胞
小菱形五芒星（srip）
rr{3,3,3}		（2）

（3.4.3.4）		（2）

（3.4.4）		（1）

（3.3.3.3）		20809030
75細胞
大菱形五芒星（把持部） の切頂部
tr{3,3,3}		（2）

（4.6.6）		（1）

（3.4.4）		（1）

（3.6.6）		208012060
8ランシトランケート5細胞
プリズマトールホバテッドペンタクロロン（プリプ）
t 0,1,3 {3,3,3}		（1）

（3.6.6）		（2）

（4.4.6）		（1）

（3.4.4）		（1）

（3.4.3.4）		3012015060
[[3,3,3]] 一様多面体
#名前
Bowers の名前（および頭字語）		頂点
図形		コクセター図

シュレーフリ記号​
場所別の細胞数要素数
ポジション 3-0

（10）		ポジション1-2

（20）		代替細胞顔エッジ頂点
5* 5細胞
小型プリズマトデカクロロン（spid） のランシネーション
t 0,3 {3,3,3}		（2）

（3.3.3）		（6）

（3.4.4）		30706020
6*ビットランケーテッド5細胞
デカコロン（デカ）
2t{3,3,3}		（4）

（3.6.6）		10406030
9*全端5細胞
大プリズマトデカクロロン（ギッピッド）
t 0,1,2,3 {3,3,3}		（2）

（4.6.6）		（2）

（4.4.6）		30150240120
非均一オムニスナブ 5 細胞
スナブ デカコロン (スナド)
スナブ ペンタコロン (スニッド) [19]
高さ0,1,2,3 {3,3,3}		（２）
（３．３．３．３．３）		（２）
（３．３．３．３）		（4）
（3.3.3）		9030027060

アスタリスク*でマークされた3つの均一な4次元多面体形式は、240の位数[[3,3,3]]の高次の拡張五元対称性を持つ。これは、基となる5次元セルの任意の元に対応する元は、その双対の元に対応する元のいずれかと交換できるためである。1つの小さな指数部分群[3,3,3] +（位数60）、またはその倍数[[3,3,3]] + （位数120）が存在し、これらは完全性のために記載されたが均一ではない、オムニスナブ5次元セルを定義する。

B4家族

この族は、2倍体16面体対称性[10] [4,3,3]を持ち、その位数は24×16=384である。4つの軸の順列は4!=24通りあり、各軸の鏡映は2 4 =16通りである。3つの小さな指数部分群があり、最初の2つは一様な4次元多面体を生成する。これらの多面体は他の族にも繰り返され、[1 + ,4,3,3]、[4,(3,3) + ]、[4,3,3] +であり、いずれも位数は192である。

テッセラクト切断

#名前
（バウアーズ名と頭字語）		頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		場所別の細胞数要素数
ポジション3

（8）		ポジション2

（24）		ポジション1

（32）		ポジション0

（16）		細胞顔エッジ頂点
10テッセラクトまたは8セル
テッセラクト（tes）
{4,3,3}		（4）

（4.4.4）		8243216
11修正四次元方陣（rit）
r{4,3,3}		（3）

（3.4.3.4）		（2）

（3.3.3）		24889632
13切頂四次元方位図（tat）
t{4,3,3}		（3）

（3.8.8）		（1）

（3.3.3）		248812864
14斜め格子四辺形
小さな菱形四辺形（スリット）
rr{4,3,3}		（2）

（3.4.4.4）		（2）

（3.4.4）		（1）

（3.3.3.3）		5624828896
15ランシネーテッド テッセラクト
（ランシネーテッド 16 セルとも呼ばれる）
小型のディスプリズマトテッセラクトヘキサデカコロン（シドピス）
t 0,3 {4,3,3}		（1）

（4.4.4）		（3）

（4.4.4）		（3）

（3.4.4）		（1）

（3.3.3）		8020819264
16ビットトランケーテッド テッセラクト
(ビットトランケーテッド 16 セルとも呼ばれる)
テッセラクトヘキサデカコロン (tah)
2t{4,3,3}		（2）

（4.6.6）		（2）

（3.6.6）		2412019296
18切頂四次元方位図
大菱形四次元方位図（グリット）
tr{4,3,3}		（2）

（4.6.8）		（1）

（3.4.4）		（1）

（3.6.6）		56248384192
19ランシ切頂四次元方陣
プリズマトールホムバテッドヘキサデカコロン（proh）
t 0,1,3 {4,3,3}		（1）

（3.8.8）		（2）

（4.4.8）		（1）

（3.4.4）		（1）

（3.4.3.4）		80368480192
21全切形四角形
（全切形16細胞とも呼ばれる）
大円錐台形テッセラクトヘキサデカコロン（ギッドピス）
t 0,1,2,3 {3,3,4}		（1）

（4.6.8）		（1）

（4.4.8）		（1）

（4.4.6）		（1）

（4.6.6）		80464768384
関連する半四次元方陣、[1 + ,4,3,3]一様4次元多面体
#名前
（Bowersスタイルの頭字語）		頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		場所別の細胞数要素数
ポジション3

（8）		ポジション2

（24）		ポジション1

（32）		ポジション0

（16）		代替細胞顔エッジ頂点
[12]半四面体 デミテッセ
ラクト
= 16セル（16進数）		＝
h{4,3,3}={3,3,4}		（4）

（3.3.3）		（4）

（3.3.3）		1632248
[17]カンティック四次元方陣
=切断された16セル（thex）		＝
h 2 {4,3,3}=t{4,3,3}		（4）

（6.6.3）		（1）

（3.3.3.3）		249612048
[11]ルンシック四次元方陣
=修正四次元方陣(rit)		＝
h 3 {4,3,3}=r{4,3,3}		（3）

（3.4.3.4）		（2）

（3.3.3）		24889632
[16]ランシカンティック四次元方陣
=ビットランケーテッド四次元方陣(tah)		＝
h 2,3 {4,3,3}=2t{4,3,3}		（2）

（3.4.3.4）		（2）

（3.6.6）		2412019296
[11]=修正四次元方陣（ネズミ）＝
h 1 {4,3,3}=r{4,3,3}		24889632
[16]=ビット切り捨て四次元方位子(tah)＝
h 1,2 {4,3,3}=2t{4,3,3}		2412019296
[23]=整流24セル（リコ）＝
h 1,3 {4,3,3}=rr{3,3,4}		4824028896
[24]=切り捨てられた24セル（tico）＝
h 1,2,3 {4,3,3}=tr{3,3,4}		48240384192
#名前
（Bowersスタイルの頭字語）		頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		場所別の細胞数要素数
ポジション3

（8）		ポジション2

（24）		ポジション1

（32）		ポジション0

（16）		代替細胞顔エッジ頂点
非均一オムニスナブ・テッセラクト
スナブ・テッセラクト（SNET）[20]
（またはオムニスナブ16セル）
高さ0,1,2,3 {4,3,3}		（1）

（3.3.3.3.4）		（1）

（3.3.3.4）		（1）

（3.3.3.3）		（1）

（3.3.3.3.3）		（4）

（3.3.3）		272944864192

16セル切断

#名前（バウアーズ名と頭字語）頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		場所別の細胞数要素数
ポジション3

（8）		ポジション2

（24）		ポジション1

（32）		ポジション0

（16）		代替細胞顔エッジ頂点
1216細胞
ヘキサデカコロン[10] (hex)
{3,3,4}		（8）

（3.3.3）		1632248
[22]*整流16セル（ 24セル
と同じ）（ico）		＝
r{3,3,4}		（2）

（3.3.3.3）		（4）

（3.3.3.3）		24969624
17切断された16細胞切断された16細胞
体（thex）
t{3,3,4}		（1）

（3.3.3.3）		（4）

（3.6.6）		249612048
[23]*整流16セル（整流24セル
と同じ）（rico）		＝
rr{3,3,4}		（1）

（3.4.3.4）		（2）

（4.4.4）		（2）

（3.4.3.4）		4824028896
[15]ランシネーテッド16セル
（ランシネーテッドテッセラクトとも呼ばれる）（シドピス）
t 0,3 {3,3,4}		（1）

（4.4.4）		（3）

（4.4.4）		（3）

（3.4.4）		（1）

（3.3.3）		8020819264
[16]ビットトランケーテッド16セル
（ビットトランケーテッドテッセラクトとも呼ばれる）（tah）
2t{3,3,4}		（2）

（4.6.6）		（2）

（3.6.6）		2412019296
[24]*切り捨て16セル（切り捨て24セル
と同じ）（tico）		＝
tr{3,3,4}		（1）

（4.6.6）		（1）

（4.4.4）		（2）

（4.6.6）		48240384192
20ランシ切頂16細胞
角柱方形四辺形体（プリット）
t 0,1,3 {3,3,4}		（1）

（3.4.4.4）		（1）

（4.4.4）		（2）

（4.4.6）		（1）

（3.6.6）		80368480192
[21]全切形16細胞
（全切形四次元体とも呼ばれる）（ギッドピス）
t 0,1,2,3 {3,3,4}		（1）

（4.6.8）		（1）

（4.4.8）		（1）

（4.4.6）		（1）

（4.6.6）		80464768384
[31]交互片側切頂16セル（スナブ24セル
と同じ）（サディ）
sr{3,3,4}		（1）

（3.3.3.3.3）		（1）

（3.3.3）		（2）

（3.3.3.3.3）		（4）

（3.3.3）		14448043296
非均一ランシック・スナブ整流化16セル・
ピリトスナブ・テッセラクト（pysnet）
sr 3 {3,3,4}		（1）

（3.4.4.4）		（2）

（3.4.4）		（1）

（4.4.4）		（1）

（3.3.3.3.3）		（2）

（3.4.4）		176656672192
(*)四面体を平行移動すると八面体が生成されるように、16 セルを平行移動すると、次のファミリーの正規のメンバーである 24 セルが生成されます。

完全性のために、スナブ24セルはこの族に繰り返して加えられています。これは、半対称群[(3,3) + ,4]を持つ、片切形16セルまたは切形24セルの交代です。切形八面体セルは二十面体になります。立方体は四面体になり、削除された頂点の隙間に96個の新しい四面体が生成されます。

F4家族

この族は二倍体イコシテトラコリック対称性[10] [3,4,3] を持ち、その位数は24×48=1152である。これは、24個のセルそれぞれに正八面体の48個の対称性が存在することを意味する。3つの小さな指数サブグループがあり、最初の2つの同型ペアは均一な4次元多面体を生成する。これは他の族にも繰り返され、[3 + ,4,3]、[3,4,3 + ]、[3,4,3] +であり、いずれも位数は576である。

[3,4,3] 一様4次元多面体
#名前頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		場所別の細胞数要素数
ポジション3

（24）		ポジション2

（96）		ポジション1

（96）		ポジション0

（24）		細胞顔エッジ頂点
2224細胞（整流16細胞
と同じ）イコシトラコリン[10] (ico)

{3,4,3}		（6）

（3.3.3.3）		24969624
23整流24細胞（カンテラレーション16細胞
と同じ）整流イコシトラコリン（リコ）

r{3,4,3}		（3）

（3.4.3.4）		（2）

（4.4.4）		4824028896
24切断された24細胞（切断された16細胞
と同じ）切断されたイコシトラコリン（tico）

t{3,4,3}		（3）

（4.6.6）		（1）

（4.4.4）		48240384192
2524細胞の
小さな菱形のイコシトラコロン（srico）
rr{3,4,3}		（2）

（3.4.4.4）		（2）

（3.4.4）		（1）

（3.4.3.4）		144720864288
2824細胞の
大菱形イコシトラコロン（グリコ）
tr{3,4,3}		（2）

（4.6.8）		（1）

（3.4.4）		（1）

（3.8.8）		1447201152576
29ランシトランケート型24細胞
プリズマトールホバテッドイコシトラコロン（プリコ）
t 0,1,3 {3,4,3}		（1）

（4.6.6）		（2）

（4.4.6）		（1）

（3.4.4）		（1）

（3.4.4.4）		24011041440576
[3 + ,4,3] 一様4次元多面体
#名前頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		場所別の細胞数要素数
ポジション3

（24）		ポジション2

（96）		ポジション1

（96）		ポジション0

（24）		代替細胞顔エッジ頂点
31†スナブ 24細胞
スナブ ディスコシトラコリン (サディ)
s{3,4,3}		（3）

（3.3.3.3.3）		（1）

（3.3.3）		（4）

（3.3.3）		14448043296
非均一runcic スナブ 24 セル
Prismatorhombisnub イコシテトラコロン (プリッシ)
s 3 {3,4,3}		（1）

（3.3.3.3.3）		（2）

（3.4.4）		（1）

（3.6.6）		（3）

トライカップ		2409601008288
[25]カンティックスナブ24セル（カンテラテッド24セル
と同じ）（スリコ）
s 2 {3,4,3}		（2）

（3.4.4.4）		（1）

（3.4.3.4）		（2）

（3.4.4）		144720864288
[29]ランシカンティック スナブ 24 セル(ランシトランケーテッド 24 セル
と同じ) (プリコ)
s 2,3 {3,4,3}		（1）

（4.6.6）		（1）

（3.4.4）		（1）

（3.4.4.4）		（2）

（4.4.6）		24011041440576
(†) ここでのスナブ24セルは、その一般的な名称にもかかわらず、スナブ立方体とは類似していません。むしろ、切頂24セルの交代によって導かれます。その対称数はわずか576です（イオン性減イコシテトラコリック群、[3 + ,4,3]）。

5細胞と同様に、24細胞は自己双対であるため、次の3つの形式では対称性が2倍になり、合計は2304になります（拡張イコシテトラコリック対称性[[3,4,3]]）。

[[3,4,3]] 一様4次元多面体
#名前頂点
図形		コクセター図

シュレーフリ記号​
場所別の細胞数要素数
ポジション 3-0


（48）		ポジション2-1


（192）		細胞顔エッジ頂点
2624細胞の
小型プリズマトテトラコントクタクロロン（spic）
t 0,3 {3,4,3}		（2）

（3.3.3.3）		（6）

（3.4.4）		240672576144
27二分円錐型24細胞
テトラコントクタクロロン（続き）
2t{3,4,3}		（4）

（3.8.8）		48336576288
30全端截型24細胞
大柱状四面体（ギッピック）
t 0,1,2,3 {3,4,3}		（2）

（4.6.8）		（2）

（4.4.6）		240139223041152
[[3,4,3]] +等角4次元多面体
#名前頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		場所別の細胞数要素数
ポジション 3-0


（48）		ポジション2-1


（192）		代替細胞顔エッジ頂点
非均一オムニスナブ 24細胞
スナブテトラコントクタコロン (snoc)
スナブイコシトラコロン (sni) [21]
高さ0,1,2,3 {3,4,3}		（2）

（3.3.3.3.4）		（2）

（3.3.3.3）		（4）

（3.3.3）		81628322592576

H4家族

この族は二倍体ヘキサコシコリック対称性[10] [5,3,3] を持ち、その位数は120×120=24×600=14400です。これは、120個の正十二面体それぞれに120、または600個の正四面体それぞれに24が相当します。[5,3,3] + という小さな指数サブグループが1つ存在し、その位数はすべて7200です。

120セル切断

#名前
（バウアーズ名と頭字語）		頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		場所別の細胞数要素数
ポジション3

（120）		ポジション2

（720）		ポジション1

（1200）		ポジション0

（600）		代替細胞顔エッジ頂点
32120 セル
(ヘカトニコサションまたはドデカコンタション) [10]
ヘカトニコサション (hi)
{5,3,3}		（4）

（5.5.5）		1207201200600
33整流された120細胞
整流されたヘカトニコサコリン（ラヒ）
r{5,3,3}		（3）

（3.5.3.5）		（2）

（3.3.3）		720312036001200
36切断された120細胞の
切断されたヘカトニコサコロン（thi）
t{5,3,3}		（3）

（3.10.10）		（1）

（3.3.3）		720312048002400
37120細胞の短冊状の
小型菱形ヘカトニコサコロン（srahi）
rr{5,3,3}		（2）

（3.4.5.4）		（2）

（3.4.4）		（1）

（3.3.3.3）		19209120108003600
38ランシネートされた120細胞
（ランシネートされた600細胞もある）
小型のディスプリズマトヘキサコシヘカトニコサコロロン（シドピクシ）
t 0,3 {5,3,3}		（1）

（5.5.5）		（3）

（4.4.5）		（3）

（3.4.4）		（1）

（3.3.3）		2640744072002400
39二分円錐120細胞
（二分円錐600細胞とも呼ばれる）
ヘキサコシヘカトニコサコロロン（xhi）
2t{5,3,3}		（2）

（5.6.6）		（2）

（3.6.6）		720432072003600
42120細胞からなる
大菱形ヘカトニコサコロン（grahi）
tr{5,3,3}		（2）

（4.6.10）		（1）

（3.4.4）		（1）

（3.6.6）		19209120144007200
43ランシトランケーテッド 120 セル
プリズマトールホバテッド ヘキサコシクロロン (prix)
t 0,1,3 {5,3,3}		（1）

（3.10.10）		（2）

（4.4.10）		（1）

（3.4.4）		（1）

（3.4.3.4）		264013440180007200
46全截形120細胞（全截形600細胞
とも）大ディスプリズマトヘキサコシヘカトニコサコロロン（ギドピクシ）

t 0,1,2,3 {5,3,3}		（1）

（4.6.10）		（1）

（4.4.10）		（1）

（4.4.6）		（1）

（4.6.6）		2640170402880014400
非均一オムニスナブ120細胞
スナブヘカトニコサコロノン（スニクシ）[22] （オムニスナブ600細胞
と同じ）
高さ0,1,2,3 {5,3,3}		（１）
（３．３．３．３．５）		（１）
（３．３．３．５）		（１）
（３．３．３．３）		（１）
（３．３．３．３．３）		（4）
（3.3.3）		984035040324007200

600セル切断

#名前
（Bowersスタイルの頭字語）		頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		対称場所別の細胞数要素数
ポジション3

（120）		ポジション2

（720）		ポジション1

（1200）		ポジション0

（600）		細胞顔エッジ頂点
35600細胞
ヘキサコシコロン[10] (例)
{3,3,5}		[5,3,3]
順序 14400		（20）

（3.3.3）		6001200720120
[47]20減600セル
=グランドアンチプリズム（ギャップ）		非ウィソフ
建築		[[10,2 + ,10]]
順序 400
指数 36		（2）

（3.3.3.5）		（12）

（3.3.3）		320720500100
[31]24減音600セル
=スナブ24セル（サディ）		非ウィソフ
建築		[3 + ,4,3]
順序 576
インデックス 25		（3）

（3.3.3.3.3）		（5）

（3.3.3）		14448043296
非均一二-24減数600細胞
二イコシテトラ減数ヘキサコシコロン（ビデックス）		非ウィソフ
建築		順序144
インデックス100		（6）

tdi		4819221672
34整流された600細胞
整流ヘキサコシクロロン（rox）
r{3,3,5}		[5,3,3]（2）

（3.3.3.3.3）		（5）

（3.3.3.3）		72036003600720
非均一120 減整流 600 セル
渦巻き角柱減整流ヘキサコシクロロン (スピドロックス)		非ウィソフ
建築		注文番号 1200
インデックス 12		（2）

3.3.3.5		（2）

4.4.5		（5）

P4		84026402400600
41切断された600細胞
切断されたヘキサコシクロロン（tex）
t{3,3,5}		[5,3,3]（1）

（3.3.3.3.3）		（5）

（3.6.6）		720360043201440
40600細胞からなる斜交斜面の
小型菱形ヘキサコシクロロン（srix）
rr{3,3,5}		[5,3,3]（1）

（3.5.3.5）		（2）

（4.4.5）		（1）

（3.4.3.4）		14408640108003600
[38]ランシネート600細胞（ランシネート120細胞
とも）（sidpixhi）
t 0,3 {3,3,5}		[5,3,3]（1）

（5.5.5）		（3）

（4.4.5）		（3）

（3.4.4）		（1）

（3.3.3）		2640744072002400
[39]ビットランケート 600 セル
(ビットランケート 120 セル) (xhi)
2t{3,3,5}		[5,3,3]（2）

（5.6.6）		（2）

（3.6.6）		720432072003600
45600細胞の
大菱形六角形藻（グリックス）
tr{3,3,5}		[5,3,3]（1）

（5.6.6）		（1）

（4.4.5）		（2）

（4.6.6）		14408640144007200
44ランシトランケート型600細胞
プリズマトールホバテッドヘカトニコサコロン（プラヒ）
t 0,1,3 {3,3,5}		[5,3,3]（1）

（3.4.5.4）		（1）

（4.4.5）		（2）

（4.4.6）		（1）

（3.6.6）		264013440180007200
[46]omn​​itruncated 600-cell
( omnitruncated 120-cellとも呼ばれる) (gidpixhi)
t 0,1,2,3 {3,3,5}		[5,3,3]（1）

（4.6.10）		（1）

（4.4.10）		（1）

（4.4.6）		（1）

（4.6.6）		2640170402880014400

D4家族

この半平面子族[3 1,1,1 ] は、新たな一様4次元多面体を導入するものではないが、これらの代替構成を繰り返すことは価値がある。この族の位数は12×16=192である。すなわち、4つの軸の順列は4!/2=12通り（そのうち半分は交互に、各軸の鏡映は2 4 =16通り）である。一様4次元多面体を生成する小さな指数部分群が1つ存在し、[3 1,1,1 ] +、位数は96である。

[3 1,1,1 ] 一様4次元多面体
#名前（Bowersスタイルの頭字語）頂点
図形		コクセター図

＝
＝		場所別の細胞数要素数
ポジション0

（8）		ポジション2

（24）		ポジション1

（8）		ポジション3

（8）		ポジション Alt
(96)		3210
[12]
半四角形（ 16セル
と同じ）（16進数）		＝
h{4,3,3}		（4）

（3.3.3）		（4）

（3.3.3）		1632248
[17]カンティック四次元方陣（切り詰められた16セル
と同じ）（thex）		＝
h 2 {4,3,3}		（1）

（3.3.3.3）		（2）

（3.6.6）		（2）

（3.6.6）		249612048
[11]ランシック四次元方陣（修正四次元方陣
と同じ）（rit）		＝
h 3 {4,3,3}		（1）

（3.3.3）		（1）

（3.3.3）		（3）

（3.4.3.4）		24889632
[16]ランシカンティック四次元方陣（ビットランケーテッド四次元方陣
と同じ）（tah）		＝
h 2,3 {4,3,3}		（1）

（3.6.6）		（1）

（3.6.6）		（2）

（4.6.6）		24969624

3つの分岐ノードが同じようにリングされている場合、対称性は[3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3]として6増加し、これらの多面体は24セルファミリーから繰り返されます。

[3[3 1,1,1 ]] 一様4次元多面体
#名前（Bowersスタイルの頭字語）頂点
図形		コクセター図
＝
＝		場所別の細胞数要素数
ポジション0,1,3

（24）		ポジション2

（24）		ポジション Alt
(96)		3210
[22]整流16セル（ 24セル
と同じ）（ico）		＝＝＝
{3 1,1,1 } = r{3,3,4} = {3,4,3}		（6）

（3.3.3.3）		4824028896
[23]整流16セル（整流24セル
と同じ）（rico）		＝＝＝
r{3 1,1,1 } = rr{3,3,4} = r{3,4,3}		（3）

（3.4.3.4）		（2）

（4.4.4）		2412019296
[24]canti切り詰め16セル（切り詰め24セル
と同じ）（tico）		＝＝＝
t{3 1,1,1 } = tr{3,3,4} = t{3,4,3}		（3）

（4.6.6）		（1）

（4.4.4）		48240384192
[31]スナブ 24セル（サディ）＝＝＝
s{3 1,1,1 } = sr{3,3,4} = s{3,4,3}		（3）

（3.3.3.3.3）		（1）

（3.3.3）		（4）

（3.3.3）		14448043296

ここでも、対称群 [3 1,1,1 ] +を持つスナブ24セルは、切断された24セルの交互切断を表し、削除された頂点の位置に96個の新しい四面体を作成します。以前のグループでは部分的にスナブされた4次元多面体として現れましたが、この対称群内でのみ、ケプラーのスナブ、すなわちスナブ立方体とスナブ十二面体との完全な類似性を持ちます。

グランドアンチプリズム

非ウィソフ的一様凸4次元多面体の一つに、大反プリズムと呼ばれるものがある。これは、20個の五角形反プリズムが300個の四面体で結合された2つの垂直リングを形成することで構成されている。これは、2つの平行多角形が三角形の帯で結合されて構成される3次元反プリズムと大まかに類似している。しかし、大反プリズムは、それらとは異なり、一様多面体の無限族のメンバーではない。

その対称性はイオン減少コクセター群、[[10,2 + ,10]]、次数400です。

#名前（Bowersスタイルの頭字語）写真頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		種類別の細胞要素数ネット
細胞顔エッジ頂点
47グランドアンチプリズム（ギャップ）シンボルなし300
（3.3.3）		20
（3.3.3.5）		32020 {5}
700 {3}		500100

プリズマティック均一4次元多面体

プリズム多面体とは、 2つの低次元多面体の直積です。よく知られている例としては、多角形と線分との積である3次元プリズムが挙げられます。プリズム一様4次元多面体は、2つの無限族から構成されます。

  • 多面体プリズム：線分と一様多面体の積。このファミリーは、3次元プリズムと反プリズム上に構築されたプリズムを含むため、無限である。
  • デュオプリズム: 2 つの多角形の積。

凸多面体プリズム

最も明白な柱状4次元多面体の族は、多面体柱状体、すなわち多面体と線分との積である。このような4次元多面体のセルは、平行な超平面上に位置する2つの同一の一様多面体（基底セル）と、それらを結合する柱状体層（側方セル）から構成される。この族には、75個の非柱状一様多面体（そのうち18個は凸多面体であり、そのうちの1つである立方体柱状体は、上記で四次元方位角柱として列挙されている）の柱状体が含まれる。[要出典]

5 つのプラトン立体と 13 のアルキメデス立体から作成される凸多面体プリズムは 18 個あり、さらに 3 次元のプリズムと反プリズムの無限の族が存在する。[要出典] 多面体プリズムの対称数は、基本多面体の 2 倍である。

四面体プリズム：A3× あ1

この柱状四面体対称性は [3,3,2]、位数 48 です。指数 2 の部分群は [(3,3) + ,2] と [3,3,2] +の 2 つがありますが、2 番目の部分群では均一な 4 次元多面体は生成されません。

[3,3,2] 一様4次元多面体
#名前（Bowersスタイルの頭字語）写真頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		種類別の細胞要素数ネット
細胞顔エッジ頂点
48四面体柱（テペ）
{3,3}×{ }
t 0,3 {3,3,2}		2
3.3.3		4
3.4.4		68 {3}
6 {4}		168
49切頂四面体プリズム（tuttip）
t{3,3}×{ }
t 0,1,3 {3,3,2}		2
3.6.6		4
3.4.4		4
4.4.6		108 {3}
18 {4}
8 {6}		4824
[[3,3],2] 一様4次元多面体
#名前（Bowersスタイルの頭字語）写真頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		種類別の細胞要素数ネット
細胞顔エッジ頂点
[51]正四面体柱（正八面体柱
と同じ）（ope）
r{3,3}×{ }
t 1,3 {3,3,2}		2
3.3.3.3		4
3.4.4		616 {3}
12 {4}		3012
[50]斜交正四面体柱（立方八面体柱
と同じ）（コープ）
rr{3,3}×{ }
t 0,2,3 {3,3,2}		2
3.4.3.4		8
3.4.4		6
4.4.4		1616 {3}
36 {4}		6024
[54]切頂四面体柱（切頂八面体柱
と同じ）（トープ）
tr{3,3}×{ }
t 0,1,2,3 {3,3,2}		2
4.6.6		8
6.4.4		6
4.4.4		1648 {4}
16 {6}		9648
[59]スナブ四面体プリズム（イコサヘドラルプリズム
と同じ）（ipe）
sr{3,3}×{}		2
3.3.3.3.3		20
3.4.4		2240 {3}
30 {4}		7224
非均一オムニスナブ四面体反プリズム、
ピリトヘドラル二十面体反プリズム（ピカプ）
2
3.3.3.3.3		8
3.3.3.3		6+24
3.3.3		4016+96 {3}9624

八面体プリズム：B3× あ1

この柱状八面体族の対称性は[4,3,2]、位数96です。指数2、位数48の部分群は6つあり、これらは交互4次元多面体で以下のように表現されます。対称性は[(4,3) + ,2]、[1 + ,4,3,2]、[ 4,3,2 + ]、[4,3 + ,2]、[4,(3,2) + ]、[4,3,2] + です。

#名前（Bowersスタイルの頭字語）写真頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		種類別の細胞要素数ネット
細胞顔エッジ頂点
[10]立方プリズム（テッセラクト
と同じ） （ 4-4デュオプリズムと同じ）（tes）

{4,3}×{ }
t 0,3 {4,3,2}		2
4.4.4		6
4.4.4		824 {4}3216
50立方八面体柱（斜交四面体柱
と同じ）（コープ）
r{4,3}×{ }
t 1,3 {4,3,2}		2
3.4.3.4		8
3.4.4		6
4.4.4		1616 {3}
36 {4}		6024
51八面体プリズム（直角四面体プリズム
と同じ） （三角逆プリズムと同じ）（ope）

{3,4}×{ }
t 2,3 {4,3,2}		2
3.3.3.3		8
3.4.4		1016 {3}
12 {4}		3012
52菱形立方八面体プリズム（シルコープ）
rr{4,3}×{ }
t 0,2,3 {4,3,2}		2
3.4.4.4		8
3.4.4		18
4.4.4		2816 {3}
84 {4}		12048
53切頂立方柱（ティックカップ）
t{4,3}×{ }
t 0,1,3 {4,3,2}		2
3.8.8		8
3.4.4		6
4.4.8		1616 {3}
36 {4}
12 {8}		9648
54切頂八面体柱（切頂四面体柱
と同じ）（トープ）
t{3,4}×{ }
t 1,2,3 {4,3,2}		2
4.6.6		6
4.4.4		8
4.4.6		1648 {4}
16 {6}		9648
55切頂立方八面体柱（ギルコープ）
tr{4,3}×{ }
t 0,1,2,3 {4,3,2}		2
4.6.8		12
4.4.4		8
4.4.6		6
4.4.8		2896 {4}
16 {6}
12 {8}		19296
56スナブ立方柱（スニカップ）
sr{4,3}×{}		2
3.3.3.3.4		32
3.4.4		6
4.4.4		4064 {3}
72 {4}		14448
[48]四面体柱（テペ）
h{4,3}×{}		2
3.3.3		4
3.4.4		68 {3}
6 {4}		168
[49]切頂四面体プリズム（tuttip）
h 2 {4,3}×{ }		2
3.3.6		4
3.4.4		4
4.4.6		68 {3}
6 {4}		168
[50]立方八面体プリズム（コープ）
rr{3,3}×{}		2
3.4.3.4		8
3.4.4		6
4.4.4		1616 {3}
36 {4}		6024
[52]菱形立方八面体プリズム（シルコープ）
s 2 {3,4}×{ }		2
3.4.4.4		8
3.4.4		18
4.4.4		2816 {3}
84 {4}		12048
[54]切頂八面体プリズム（トープ）
tr{3,3}×{}		2
4.6.6		6
4.4.4		8
4.4.6		1648 {4}
16 {6}		9648
[59]正二十面体柱（イペ）
s{3,4}×{}		2
3.3.3.3.3		20
3.4.4		2240 {3}
30 {4}		7224
[12]16セル（16進数）
s{2,4,3}		2+6+8
3.3.3.3		1632 {3}248
非均一オムニスナブ四面体反プリズム
= 黄銅二十面体反プリズム (ピカプ)
sr{2,3,4}		2
3.3.3.3.3		8
3.3.3.3		6+24
3.3.3		4016+96 {3}9624
非均一エッジスナブ八面体ホソコロンの
ピリトスナブオルタプリズム（ピスナ）
sr 3 {2,3,4}		2
3.4.4.4		6
4.4.4		8
3.3.3.3		24
3.4.4		4016+48 {3}
12+12+24+24 {4}		14448
非均一オムニスナブキュービックアンチプリズム
スナブキュービックアンチプリズム (スニキャップ)
2
3.3.3.3.4		12+48
3.3.3		8
3.3.3.3		6
3.3.3.4		7616+192 {3}
12 {4}		19248
非均一ルンシック・スナブ立方ホソコロンの
切頂四面体オルタプリズム（トゥータ）
s 3 {2,4,3}		2
3.6.6		6
3.3.3		8
三角形のキューポラ		16526024

正二十面体柱状体：H3× あ1

この柱状二十面体対称性は [5,3,2]、位数 240 です。指数 2 のサブグループが 2 つあります ([(5,3) + ,2] と [5,3,2] + )。ただし、2 番目のサブグループは均一なポリクロロンを生成しません。

#名前（バウアーズ名と頭字語）写真頂点
図形		コクセター図
とシュレーフリ
記号		種類別の細胞要素数ネット
細胞顔エッジ頂点
57十二面体プリズム（ドープ）
{5,3}×{ }
t 0,3 {5,3,2}		2
5.5.5		12
4.4.5		1430 {4}
24 {5}		8040
58二十面体プリズム（iddip）
r{5,3}×{ }
t 1,3 {5,3,2}		2
3.5.3.5		20
3.4.4		12
4.4.5		3440 {3}
60 {4}
24 {5}		15060
59二十面体柱（スナブ四面体柱
と同じ）（ipe）
{3,5}×{ }
t 2,3 {5,3,2}		2
3.3.3.3.3		20
3.4.4		2240 {3}
30 {4}		7224
60切頂十二面体プリズム（ティディップ）
t{5,3}×{ }
t 0,1,3 {5,3,2}		2
3.10.10		20
3.4.4		12
4.4.10		3440 {3}
90 {4}
24 {10}		240120
61菱形十二面体柱（スリディップ）
rr{5,3}×{ }
t 0,2,3 {5,3,2}		2
3.4.5.4		20
3.4.4		30
4.4.4		12
4.4.5		6440 {3}
180 {4}
24 {5}		300120
62切頂二十面体柱（ティペ）
t{3,5}×{ }
t 1,2,3 {5,3,2}		2
5.6.6		12
4.4.5		20
4.4.6		3490 {4}
24 {5}
40 {6}		240120
63切頂二十面体プリズム（グリッドディップ）
tr{5,3}×{ }
t 0,1,2,3 {5,3,2}		2
4.6.10		30
4.4.4		20
4.4.6		12
4.4.10		64240 {4}
40 {6}
24 {10}		480240
64スナブ十二面体プリズム（スニディップ）
sr{5,3}×{ }		2
3.3.3.3.5		80
3.4.4		12
4.4.5		94160 {3}
150 {4}
24 {5}		360120
非均一オムニスナブ十二面体反プリズム
スナブ十二面体反プリズム (スニダップ)
2
3.3.3.3.5		30+120
3.3.3		20
3.3.3.3		12
3.3.3.5		18420+240 {3}
24 {5}		220120

デュオプリズム: [p] × [q]

最も単純なデュオプリズムである 3,3 デュオプリズム。シュレーゲル図では、6 つの三角プリズムセルのうちの 1 つが示されています。

2つ目は、2つの正多角形の積である一様デュオプリズムの無限族である。デュオプリズムのコクセター・ディンキン図はその頂点図形は二蝶形四面体であり、。

この族は最初の族と重なり合う。2つの「因子」多角形のうち1つが正方形の場合、その積は3次元プリズムを底とする超プリズムと等価である。因子がp角形とq角形であるデュオプリズム（「p,qデュオプリズム」）の対称数は、 p ≠ qの場合には4 pqである。因子が両方ともp角形の場合、対称数は8 p 2である。このテッセラクトは4,4デュオプリズムとも考えられる。

{ p }×{ q }の拡張fベクトルは( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q )です。

  • 細胞: p q -角柱、q p -角柱
  • 面: pq正方形、p q角形、q p角形
  • エッジ: 2pq
  • 頂点: pq

3 次元の反プリズムの無限の族に、4 次元で均一な類似物は存在しません。

pqデュオプリズムの無限集合-- p q -角柱プリズム、q p -角柱プリズム:

名前コクセターグラフ細胞画像ネット
3-3デュオプリズム（トリディップ）3+3三角柱
3-4 デュオプリズム（ティスディップ）立方体3個、
三角柱4個
4-4 デュオプリズム(tes)
(テッセラクトと同じ)		4+4個のキューブ
3-5 デュオプリズム（トラペディップ）3つの五角柱と
5つの三角柱
4-5 デュオプリズム（スクイップディップ）五角柱4個、立方体
5個
5-5デュオプリズム（ペディップ）5+5五角柱
3-6 デュオプリズム（ティディップ）六角柱3個、
三角柱6個
4-6 デュオプリズム（シディップ）六角柱4個、立方体
6個
5-6 デュオプリズム（フィディップ）5つの六角柱
6つの五角柱
6-6 デュオプリズム（ヒディップ）6+6六角柱

3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8

4-3
4-4
4-5
4-6
4-7
4-8

5-3
5-4
5-5
5-6
5-7
5-8

6-3
6-4
6-5
6-6
6-7
6-8

7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8

8-3
8-4
8-5
8勝6敗
8-7
8-8

変更は可能です。＝はデュオアンチプリズムの族を与えますが、一般に均一にすることはできません。均一にできる唯一の凸の場合がp = q = 2で、通常の16セルを与えます。均一にできる唯一の非凸の場合がp = 5、q = 5 / 3で、いわゆるグレートデュオアンチプリズムを与えます。p-2q角柱アンチプリズム（2p-4qデュオプリズムのエッジ交代）を与えるが、これはいかなる場合でも均一にできるわけではない。[23]

多角柱: [p] × [ ] × [ ]

均一なプリズムの無限集合は4pデュオプリズムと重なり合う: (p≥3) -- p立方体と 4 p角柱プリズム - (すべて4 p デュオプリズムと同じ) シリーズの 2 番目の多面体は、通常の四次元体の低い対称性、{4}×{4} です。


凸p角柱プリズム
名前{3}×{4}{4}×{4}{5}×{4}{6}×{4}{7}×{4}{8}×{4}{p}×{4}
コクセター
図


画像




細胞3 {4}×{}
4 {3}×{} 		4 {4}×{}
4 {4}×{} 		5 {4}×{}
4 {5}×{} 		6 {4}×{}
4 {6}×{} 		7 {4}×{}
4 {7}×{} 		8 {4}×{}
4 {8}×{} 		p {4}×{}
4 {p}×{}
ネット


多角形反柱柱: [p] × [ ] × [ ]

均一な反プリズムの無限集合は、 2つの平行な均一な反プリズムから構成される：(p≥2) -- 2 つのp角形反プリズム、2 つのp角形プリズムと2p三角プリズムで接続されています。

凸p角錐反柱プリズム
名前s{2,2}×{}s{2,3}×{}s{2,4}×{}s{2,5}×{}s{2,6}×{}s{2,7}×{}s{2,8}×{}s{2,p}×{}
コクセター
図







画像
頂点
図形
細胞2 s{2,2}
(2) {2}×{}= {4}
4 {3}×{}		2 s{2,3}
2 {3}×{}
6 {3}×{}		2 s{2,4}
2 {4}×{}
8 {3}×{}		2 s{2,5}
2 {5}×{}
10 {3}×{}		2 s{2,6}
2 {6}×{}
12 {3}×{}		2 s{2,7}
2 {7}×{}
14 {3}×{}		2 s{2,8}
2 {8}×{}
16 {3}×{}		2 s{2,p}
2 {p}×{}
2 p {3}×{}
ネット

p角形反柱状柱は、4p三角形、4p正方形、4p角形の面を持ちます。また、 10p辺と4p頂点を持ちます。

不均一な交替

3次元スナブキューブのように、交代により、環形式から2つのカイラル頂点集合の半分の頂点が削除される。しかし、均一な解を得るには、頂点の位置を等長になるように調整する必要があります。四次元では、この調整は2つの交互図形に対してのみ可能であり、残りの図形は非等辺交互図形としてのみ存在します。

コクセターは、すべての環が交互に並んだランク4のコクセター群に対して、2つの一様解のみを示した（白丸で示す）。1つ目は, s{2 1,1,1 } は、半二次元的図形の指数24の部分群（対称性[2,2,2] +、位数8）の形式を表す。, h{4,3,3} (対称性 [1 + ,4,3,3] = [3 1,1,1 ], 位数 192)。2番目は, s{3 1,1,1 } は、スナブ24セルの指数6の部分群（対称性 [3 1,1,1 ] +、位数96）形式である。, s{3,4,3},（対称性[3 + ,4,3]、次数576）。

その他の変更、例えば、全切形四次元方陣の代替として は、辺の長さが等しいことを解くことは一般に過剰決定論的であるため（方程式は6つあるが変数は4つしかない）、一様図形にすることはできません（6つの方程式があるのに変数は4つだけです）。このような非一様交代図形は、完全環図形の頂点の2つの半集合のうち1つを削除することで、頂点推移的な4次元多面体として構成できますが、辺の長さは不等になります。一様交代図形と同様に、一様図形の対称性の半分、つまり[4,3,3] + （位数192）を持ちます。これは、交代全切形四次元方位図の対称性です。[24]

交代を伴うウィトフ構成は、頂点推移的な図形を生成する。この図形は正三角形にすることができるが、交代する隙間（削除された頂点の周囲）が正三角形または半正三角形ではないセルを生成するため、一様ではない。このような図形は、スカリフォーム多面体と呼ばれることが提案されている。[25]このカテゴリでは、ジョンソン立体のサブセットをセルとして扱うことが可能であり、例えば三角形のキューポラなどが挙げられる。

ジョンソン立体内の各頂点配置は、頂点図形内に存在しなければなりません。例えば、四角錐には、底面付近の頂点配置が3.3.4、頂点の頂点配置が3.3.3.3の2つの頂点配置があります。

4 つの凸正三角形の場合のネットと頂点図、および各頂点の周囲のセルの一覧を以下に示します。

不均一なセルを持つ4つの凸頂点推移正辺4次元多面体
コクセター
図		s 3 {2,4,3},s 3 {3,4,3},その他
関係菱形八面体柱の48頂点のうち24頂点
ランシトランケーテッド24セルの576頂点のうち288頂点
600セル
の120頂点のうち72頂点		600セルの720頂点
のうち600頂点
投影
ピラミッドの2つの輪
ネット
ランシック・スナブ・キュービック・ホソコロノン[26] [27]
ランシック・スナブ24セル[28] [29]		[30] [31] [32][33] [34]
細胞
頂点
図形
(1) 3.4.3.4:三角形のキューポラ
(2) 3.4.6: 三角形のキューポラ
(1) 3.3.3:四面体
(1) 3.6.6:切頂四面体
(1) 3.4.3.4: 三角錐
(2) 3.4.6: 三角錐
(2) 3.4.4:三角柱
(1) 3.6.6:切頂四面体(1) 3.3.3.3.3:二十面体

(2) 3.3.3.5:三減二十面体
(4) 3.5.5: 三減二十面体
(1) 3.3.3.3:四角錐
(4) 3.3.4: 四角錐
(2) 4.4.5:五角柱
(2) 3.3.3.5五角柱反プリズム

46個の非柱状ウィソフ的均一ポリコーラの幾何学的導出

46個のウィソフ4次元多面体には、6個の凸正4次元多面体が含まれる。残りの40個は、正多面体から幾何学的操作によって導かれ、その対称性のほとんどまたはすべてが保存されるため、共通する対称群によって分類することができる。


切り捨て操作の概要図
基本領域上の万華鏡のような生成点の位置の例。

正四次元多面体から40個の一様四次元多面体を導く幾何学的操作は、切頂操作である。四次元多面体は、頂点、辺、または面で切頂操作される可能性があり、以下の表の列に示すように、それらの要素に対応するセルが追加される。

コクセター・ディンキン図は、ウィソフ万華鏡の4つの鏡をノードとして示し、ノード間の辺には鏡間の角度（π / n ラジアンまたは180/ n度）を示す整数がラベル付けされている。丸で囲まれたノードは、各形状においてどの鏡がアクティブであるかを示している。ある鏡は、その形状上にない頂点に対してアクティブである。

手術シュレーフリ記号対称コクセター図説明
親t 0 {p,q,r}[p,q,r]元の正規形 {p,q,r}
整流t 1 {p,q,r}元のエッジがポイントに縮退するまで切り捨て操作が適用されます。
双整流化
（整流双対）		t 2 {p,q,r}面は完全に切り詰められ、点になります。平行化双対面と同じです。
三重整流化
（デュアル）		t 3 {p,q,r}セルは点に切り取られます。正規双対{r,q,p}
切り捨てt 0,1 {p,q,r}各頂点は、元の辺の中央が残るように切り取られます。頂点があった場所には、親の頂点図形である新しいセルが作成されます。元のセルも同様に切り取られます。
ビット切り捨てt 1,2 {p,q,r}修正形式と二重修正形式の間の切り捨て。
三分位t 2,3 {p,q,r}切り捨てられた双対 {r,q,p}。
カンテレーションt 0,2 {p,q,r}エッジと頂点に適用される切り捨てで、通常の形式と二重の修正形式間の進行を定義します。
双カンテレーションt 1,3 {p,q,r}直交双対 {r,q,p}。
ランシネーション
（または拡張）		t 0,3 {p,q,r}セル、面、エッジに適用される切り捨て。通常のフォームとデュアル間の進行を定義します。
カンティトランケーションt 0,1,2 {p,q,r}カンテレーションと切り捨ての両方の操作が同時に適用されます。
双断端t 1,2,3 {p,q,r}切り捨て双対 {r,q,p}。
ランシトランケーションt 0,1,3 {p,q,r}ランシネーションと切り捨ての両方の操作が一緒に適用されます。
ルンチカンテレーションt 0,2,3 {p,q,r}切り捨て双対 {r,q,p} を実行します。
オムニトランケーション
（ランシカンティトランケーション）		t 0,1,2,3 {p,q,r}3 つの演算子すべての適用。
半分h{2p,3,q}[1 + ,2p,3,q]
=[(3,p,3),q]		交代​、同じ
カンティックh 2 {2p,3,q}同じ
ルンチッチh 3 {2p,3,q}同じ
ルンシカンティックh 2,3 {2p,3,q}同じ
四半期q{2p,3,2q}[1 + ,2p,3,2q,1 + ]同じ
冷遇s{p,2q,r}[p + ,2q,r]交互切り捨て
カンティックの冷遇s 2 {p,2q,r}交互切断
ランシッチの冷遇s 3 {p,2q,r}ランシネーテッド交互切り捨て
ルンシカンティックな冷遇s 2,3 {p,2q,r}ランシカンテラテッド交互切り捨て
冷遇は是正されたsr{p,q,2r}[(p,q) + ,2r]交互切断整流
ht 0,3 {2p,q,2r}[(2p,q,2r,2 + )]交互ランシネーション
ビスナブ2s{2p,q,2r}[2p,q + ,2r]交互ビット切り捨て
オムニスナブht 0,1,2,3 {p,q,r}[p,q,r] +交互全切断

凸型均一ハニカムも参照してください。これらのハニカムの一部は、これらの操作を通常の立方ハニカムに適用した例を示しています。

二つの多面体が互いに双対である場合（例えば、テッセラクトと16セル、あるいは120セルと600セルなど）、ビット切り捨て、ランシネーティング、またはオムニ切り捨ては、どちらに対しても同じ操作を行った場合と同じ図形を生成します。したがって、表に分詞のみが記載されている場合は、どちらの親にも適用されると理解してください。

拡張対称性による構成の要約

この表には、A 4、B 4、F 4、H 4対称性から構築された46個の均一ポリコーラが、完全拡張対称性とコクセター図によって示されています。D 4対称性も含まれていますが、これは重複のみを作成します。交代は、カイラル対称性によってグループ化されています。すべての交代が示されていますが、異なるファミリーからの3つの構成を持つスナブ24セルのみが均一です。括弧内の数は、繰り返しまたは非均一です。コクセター図には、1から46の下付き添え字インデックスが付けられています。3-3および4-4デュオプリスマティックファミリーが含まれており、後者はB 4ファミリーとの関係のために含まれています。

コクセターグループ拡張
対称性		ポリコラカイラル
拡張
対称性		交互ハニカム
[3,3,3]
[3,3,3]

（注文番号120）		6（1） |（2） |（3）
（4） |（7） |（8）
[2 + [3,3,3]]

（注文番号240）		3（5） |（6） |（9）[2 + [3,3,3]] +
(120の位)		（1）（−）
[3,3 1,1 ]
[3,3 1,1 ]

（注文番号192）		0（なし）
[1[3,3 1,1 ]]=[4,3,3]
＝
（注文番号384）		（4）（12） |（17） |（11） |（16）
[3[3 1,1,1 ]]=[3,4,3]
＝
（命令1152）		（3）（22） |（23） |（24）[3[3,3 1,1 ]] +
=[3,4,3] +
(順序576)		（1）（31）（＝）
（−）
[4,3,3]
[3[1 + ,4,3,3]]=[3,4,3]
＝
（命令1152）		（3）（22） |（23） |（24）
[4,3,3]

（注文番号384）		12（10） |（11） |（12） |（13） |（14）
（15） |（16） |（17） |（18） |（19）
（20） |（21）		[1 + ,4,3,3] +
(順序96)		（2）（12）（＝）
（31）
（−）
[4,3,3] +
(順序 192)		（1）（−）
[3,4,3]
[3,4,3]

（命令1152）		6（22） |（23） |（24）
（25） |（28） |（29）		[2 + [3 + ,4,3 + ]]
(順序576)		1（31）
[2 + [3,4,3]]

（注文番号2304）		3（26） |（27） |（30）[2 + [3,4,3]] +
(順序1152)		（1）（−）
[5,3,3]
[5,3,3]

（注文番号 14400）		15（32） |（33） |（34） |（35） |（36）
（37） |（38） |（39） |（40） |（41）
（42） |（43） |（44） |（45） |（46）		[5,3,3] +
(順序7200)		（1）（−）
[3,2,3]
[3,2,3]

（注文番号36）		0（なし）[3,2,3] +
(次数18)		0（なし）
[2 + [3,2,3]]

（注文番号72）		0[2 + [3,2,3]] +
(順序36)		0（なし）
[[3],2,3]=[6,2,3]
＝
（注文番号72）		1[1[3,2,3]]=[[3],2,3] + =[6,2,3] +
(順序36)		（1）
[(2 + ,4)[3,2,3]]=[2 + [6,2,6]]
＝
（注文番号288）		1[(2 + ,4)[3,2,3]] + =[2 + [6,2,6]] +
(次数144)		（1）
[4,2,4]
[4,2,4]

（注文番号64）		0（なし）[4,2,4] +
(順序32)		0（なし）
[2 + [4,2,4]]

（注文番号128）		0（なし）[2 + [(4,2 + ,4,2 + )]]
(順序64)		0（なし）
[(3,3)[4,2*,4]]=[4,3,3]
＝
（注文番号384）		（1）（10）[(3,3)[4,2*,4]] + =[4,3,3] +
(次数192)		（1）（12）
[[4],2,4]=[8,2,4]
＝
（注文番号128）		（1）[1[4,2,4]]=[[4],2,4] + =[8,2,4] +
(64次の順)		（1）
[(2 + ,4)[4,2,4]]=[2 + [8,2,8]]
＝
（命令512）		（1）[(2 + ,4)[4,2,4]] + =[2 + [8,2,8]] +
(256の位)		（1）

均一な星型ポリコラ

前述の無限デュオプリズムおよびアンチプリズムプリズム族（これらは無限個の非凸要素を持つ）以外にも、多くの均一な星型ポリコーラが発見されている。1852年、ルートヴィヒ・シュレーフリは4つの正則星型ポリコーラを発見した：{5,3,5/2}、{5/2,3,5}、{3,3,5/2}、{5/2,3,3}。1883年、エドムント・ヘスは残りの6つを発見した：{3,5,5/2}、{5/2,5,3}、{5,5/2,5}、{5/2,5,5/2}、{5,5/2,3}、{3,5/2,5}。ノーマン・ジョンソンは1966年の博士論文で、3つの均一な反プリズム状の星型ポリコーラについて記述しました。これらは、正十二面体の辺と頂点を共有する3つの二三角多面体に基づいています。その後、ジョナサン・バウアーズやジョージ・オルシェフスキーを含む他の研究者によってさらに多くのものが発見され、現在までに2127個の均一な星型ポリコーラが知られています（星型多面体に基づく無限の二重プリズム集合は含みません）。現在のところ、この集合が完全であることを証明する証拠はありません。

参照

参考文献

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    • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 第3版, Dover, New York, 1973
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    • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
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  • ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章）
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  • NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
  • NWジョンソン：幾何学と変換、（2015）第11章：有限対称群
  • リチャード・クリツィング「スナブ、交互ファセット、ストット・コクセター・ディンキン図」『対称性：文化と科学』第21巻第4号、329～344頁（2010年）
  • 凸一様4次元多面体
    • 四次元における一様凸多面体、マルコ・メラー（ドイツ語）。これらの図形の別名（ジョナサン・バウアーズ、ジョージ・オルシェフスキー、ノーマン・ジョンソンなどによるものを含む）も収録。
    • 正則凸多面体と半正則凸多面体の短い歴史的概要
    • ソース付きJava3Dアプレット
  • 非凸一様4次元多面体
    • ジョナサン・バウワーズによるユニフォーム・ポリコーラ
    • Stella4D Stella (ソフトウェア)は、64 個の凸状フォームと無限のプリズム ファミリを含む既知の均一な多面体のインタラクティブなビューを生成します。
  • Klitzing, Richard. 「4D 均一多面体」。
  • 4次元多面体とコクセター群W(A4)の双対多面体の四元数による表現International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 9, No. 4 (2012) Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Mudhahir Al-Ajmi (2012) [1]
2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族アン​B nI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
正多角形三角形四角p角形六角形五角形
均一な多面体四面体八面体•立方体デミキューブ十二面体•二十面体
均一ポリクロロンペンタコロン16セル• Tesseractデミテッセラクト24セル120セル• 600セル
一様5次元多面体5単体5-オルソプレックス• 5-キューブ5デミキューブ
一様6次元多面体6単体6-オルソプレックス• 6-キューブ6デミキューブ1 22 • 2 21
一様7次元多面体7単体7-オルソプレックス• 7-キューブ7デミキューブ1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体8単体8-オルソプレックス• 8-キューブ8デミキューブ1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体9単体9-オルソプレックス• 9-キューブ9デミキューブ
一様10次元多面体10単体10-オルソプレックス• 10-キューブ10デミキューブ
一様n多面体n -単体n -オルソプレックス• n -キューブn -デミキューブ1 k2 • 2 k1 • k 21n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算
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