均一収束

Mode of convergence of a function sequence

関数列は、任意の小さな値に対して、グラフがfの周りの-チューブ内にあるような添え字が存在するとき、常にfに一様収束します。 ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n\geq N.}$

連続関数列の極限は連続である必要はありません。関数列（緑と青でマーク）は領域全体で点ごとに収束しますが、極限関数は不連続です（赤でマーク）。 ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)}$

数学の解析学の分野において、一様収束は、点ごとの収束よりも強い関数の収束モードです。関数列が関数定義域としての集合上の極限関数に一様収束する場合、任意の小さな正の数を与えたときに、関数のすべての点において、各関数の差がfから最大でfまでとなるような数を見つけることができる必要があります ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$

非公式には、が からと選択した距離未満しか違わない場合、は に一様収束します。を保証するには、が より小さくないことを保証するだけでよく、の値を事前に知らなくても見つけることができます。言い換えれば、収束率は にわたって一様です。つまり、任意の小さな距離に対して、に依存する可能性があるが とは独立している数が存在するため、を選択すると、すべてのに対してが保証されます。 ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N=N(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle x\in E.}$

対照的に、から への点ごとの収束は、任意の が与えられた場合、の特定の値に対して がの範囲内にあることを保証するだけです（つまり、 だけでなく にも依存する可能性があります）。異なるでは、のより大きな値が必要になる場合があります ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N=N(\varepsilon ,x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n\geq N.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N.}$

一様収束と点収束の違いは、微積分学の歴史の初期には十分に理解されておらず、誤った推論の例につながっていました。カール・ワイエルシュトラスによって最初に形式化されたこの概念は、関数の連続性、リーマン積分可能性、そして追加の仮定を伴えば微分可能性といったいくつかの性質が、収束が一様である場合は極限まで適用されますが、収束が一様でない場合は必ずしも適用されないため、重要です。 ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

歴史

1821年、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、 連続関数の収束する和は常に連続であるという証明を発表しました。これに対し、 1826年にニールス・ヘンリック・アーベルはフーリエ級数の文脈において反例とされるものを発見し、コーシーの証明は誤りであると主張しました。当時は収束の完全に標準的な概念は存在せず、コーシーは無限小法を用いて収束を扱っていました。現代の言葉で言えば、コーシーが証明したのは、一様収束する連続関数の列には連続極限があるということです。連続関数の単なる点収束の極限が連続関数に収束しないことは、関数の列を扱う際に異なるタイプの収束を区別することの重要性を示しています。^[1]

一様収束という用語は、おそらくクリストフ・グーダーマンが1838年に楕円関数に関する論文で初めて使用したもので、級数の「収束モード」が変数や関数に依存しない場合に「一様収束」という表現を使用しました。彼は級数がこのように収束することを「注目すべき事実」と考えていましたが、正式な定義は与えておらず、証明でもこの特性を使用していませんでした。^[2] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi .}$

グーダーマンの弟子で、1839年から1840年にかけて彼の楕円関数の講義を受講したカール・ワイエルシュトラスは、 1841年の論文『潜在関数の理論について』（ Zur Theorie der Potenzreihen ）で「gleichmäßig konvergent 」 （ドイツ語：一様収束）という用語を作り出し、1894年に出版されました。それとは別に、フィリップ・ルートヴィヒ・フォン・ザイデル^[3]とジョージ・ガブリエル・ストークスも同様の概念を明確に表現しました。GH ハーディは論文「サー・ジョージ・ストークスと一様収束の概念」の中で3つの定義を比較し、「ワイエルシュトラスの発見は最も早く、解析学の基本的な考え方の一つとしてその広範な重要性を完全に認識したのは彼だけだった」と述べています

ワイエルシュトラスとベルンハルト・リーマンの影響を受けて、この概念と関連する問題は、19世紀末にヘルマン・ハンケル、ポール・デュ・ボア＝レーモン、ウリッセ・ディーニ、チェーザレ・アルツェラら によって精力的に研究されました。

定義

まず、実数値関数の一様収束を定義しますが、この概念は計量空間、そしてより一般的には一様空間に写像する関数にも容易に一般化できます（下記参照）。

を集合とし、をその上の実数値関数の列とします。任意のに対して、すべてのに対して、すべてのに対してとなる自然数が存在するとき、列は極限で一様収束するという。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\bigl |}f_{n}(x)-f(x){\bigr |}<\varepsilon .}$

からの一様収束の表記法は完全に標準化されておらず、さまざまな著者がさまざまな記号を使用しています。以下はその例です（人気の高い順に）。 ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _{n\to \infty }f_{n}.}$

多くの場合、特別な記号は使用されず、著者は単に次のように書きます

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly} }$

収束が一様であることを示します。（対照的に、について副詞なしの表現は、 が であるとき、すべての について 上の点単位の収束を意味すると解釈されます。） ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

は完備計量空間であるため、コーシー判定基準を用いて、一様収束の同等の代替定式化を与えることができます。が（前述の意味で）一様収束する場合、すべての に対して、となる自然数が存在する場合と同値です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies {\bigl |}f_{m}(x)-f_{n}(x){\bigr |}<\varepsilon }$。

さらに同等の別の定式化として、 と定義すると、

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}{\bigl |}f_{n}(x)-f(x){\bigr |},}$

がとして一様収束する場合と同値です。したがって、 における の一様収束は、 によって定義される一様計量（上限計量とも呼ばれる）に関する関数空間における の（単純）収束として特徴付けることができます。 ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d_{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \textstyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}{\bigl |}f(x)-g(x){\bigr |}.}$

記号的に、

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff d(f_{n},f)\to 0}$。

が計量空間であり、すべての に対して、 で一様収束するような が存在する場合、この列はの極限で局所一様収束すると言われています。一様収束は局所一様収束を意味し、それは点収束を意味することは明らかです。 ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle B(x,r)\cap E.}$

注釈

直感的に言えば、関数の列がに一様収束するとは、任意に小さい が与えられたときに、を持つ関数がすべてを中心とする幅の「チューブ」（つまり と の間）内に収まるように が関数の定義域全体にわたって見つかる場合です ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)-\varepsilon }$ ${\displaystyle f(x)+\varepsilon }$

一様収束の定義において、「すべての に対して」を「自然数が存在する 」の前に移動することで量指定子の順序を入れ替えると、数列の点収束の定義になることに注意してください。この違いを明確にするために、一様収束の場合、は にのみ依存し、 の選択は、 の特定の値が与えられたすべての に対して有効でなければなりません。対照的に、点収束の場合、は と の両方に依存する可能性があり、 の選択は、との特定の値が与えられた場合にのみ有効でなければなりません。したがって、一様収束は点収束を意味しますが、以下のセクションの例が示すように、その逆は真ではありません。 ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=N(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N=N(\varepsilon ,x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$

一般化

この概念は、( M , d )が距離空間である関数E → Mに、をで置き換えることで直接拡張できます。 ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}$ ${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}$

最も一般的な設定は、関数E → Xのネットの一様収束です。ここで、Xは一様空間です。ネットが極限f  : E → Xで一様収束するとは、 X内のすべての側近Vに対して、 E内のすべてのxとすべてのnに対して、Vに含まれるようなものが存在する場合のみです。この状況では、連続関数の一様極限は連続のままです。 ${\displaystyle (f_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}$ ${\displaystyle (f_{\alpha }(x),f(x))}$

超実数設定における定義

一様収束は、超実数設定において簡略化された定義が可能です。したがって、の領域内のすべての超実数xとすべての無限nに対して、が無限に近い場合、数列はfに一様収束します（一様連続性の同様の定義については、微分連続性を参照してください）。対照的に、点ごとの連続性は、実数xに対してのみこれを必要とします。 ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle {f}^{*}}$ ${\displaystyle {f}_{n}^{*}(x)}$ ${\displaystyle {f}^{*}(x)}$

例

について、一様収束の基本的な例は次のように表すことができます。列は一様収束しますが、は収束しません。具体的には、と仮定します。各関数は、の値に関係なく、のとき以下になります。一方、の値が1に近づくにつれて、（以下でより詳しく説明します）の値がますます増加するときのみ、以下になります。 ${\displaystyle x\in [0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{x+n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{x+n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

位相空間 Xが与えられたとき、 X上の有界 実数値または複素数値関数の空間に一様ノルム位相を持たせることができ、一様計量は次のように定義されます。

${\displaystyle d(f,g)={\|f-g\|}_{\infty }=\sup _{x\in X}{\bigl |}f(x)-g(x){\bigr |}.}$

したがって、一様収束とは、単に一様ノルム位相における収束を意味します。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\|f_{n}-f\|}_{\infty }=0}$。

関数の列 ${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\[3mu]f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

は、関数列が点ごとに収束するが一様収束しない典型的な例である。これを示すために、まず、 の点ごとの極限が関数であり、次のように与えられることを観察する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\[3mu]1,&x=1.\end{cases}}}$

点収束：すべてのに対しておよびであるため、およびに対して収束は自明です。および が与えられた場合、 の最小の整数指数 を選択することで、が到達するかそれを下回ることを保証できます（ここで、上の角括弧は切り上げを示します。天井関数を参照してください）。したがって、すべての に対して点ごとに が成立します。 の選択はおよびの値に依存することに注意してください。さらに、 を固定して選択した場合、（より小さく定義することはできません） は 1 に近づくにつれて無制限に大きくなります。これらの観察は、一様収束の可能性を排除します。 ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$ ${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in (0,1)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N=\lceil \log \varepsilon /\log x\rceil }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$

収束の非一様性：をどれだけ大きく選択しても となるおよびの値が存在するような を見つけることができるため、収束は一様ではありません。これを確認するには、まず をどれだけ大きく選択しても となる および の値が存在することに注意してください。 したがって、 を選択した場合、すべてのおよびに対して となるは決して見つかりません。明示的に、 にどのような候補を選択するかに関係なく、におけるの値を考えます ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ ${\displaystyle f_{n}(x_{0})={\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{4}},}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{0}={\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{1/N}}$

${\displaystyle {\bigl |}f_{N}(x_{0})-f(x_{0}){\bigr |}=\left|{{\Bigl (}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{1/N}{\Bigr )}{\vphantom {\big |}}^{N}\!-0}~\!\right|={\tfrac {1}{2}}>{\tfrac {1}{4}}=\varepsilon ,}$

候補は不合格です。なぜなら、すべての に対して の内側にそれぞれを「制限」しようとする試みから「逃れた」 の例が見つかったからです。実際、であることは容易にわかります 。 ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

の場合、 という要件に反します。 ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$

この例では、点ごとの収束は微分可能性や連続性を保存しないことが容易にわかります。数列の各関数は滑らかですが、つまり、すべてのn、に対して、極限は連続でさえありません。 ${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$

指数関数

指数関数の級数展開は、ワイエルシュトラスのMテストを用いて、任意の有界部分集合上で一様収束することが示せます。 ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$

定理（ワイエルシュトラスのMテスト）。 を関数の列とし、をすべてのおよびに対して となる正の実数の列とします。が収束する場合、 は で絶対かつ一様収束します。 ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$ ${\displaystyle E}$

複素指数関数は、次の級数として表すことができます

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

任意の有界部分集合は、複素平面において原点を中心とする半径 の円板の部分集合である。ワイエルシュトラスのMテストでは、円板内の位置に依存しない、級数の項の上限を求める必要がある。 ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

これを行うには、

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

および ${\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}$

が収束する場合、Mテストは元の級数が一様収束することを主張する。 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$

ここでは比テストを使用できる。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

これは、 上の級数が収束することを意味する。したがって、元の級数はすべての に対して一様収束し、 であるため、級数は に対しても一様収束する。 ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle z\in D_{R},}$ ${\displaystyle S\subset D_{R}}$ ${\displaystyle S.}$

特性

• すべての一様収束する列は に対して局所一様収束する。
• すべての局所一様収束する列はに対してコンパクト収束する。
• 局所コンパクト空間では、局所一様収束とコンパクト収束は一致する。
• 像距離空間が完備である計量空間上の連続関数の列は、それが一様コーシー である場合に限り、一様収束する
• がコンパクト区間（または一般にコンパクト位相空間）であり、が連続な点ごとの極限を持つ連続関数の単調増加列（すべてのnとxに対して）である場合、収束は必然的に一様である（ディーニの定理）。がコンパクト区間であり、が点ごとに収束する等連続列である場合も、一様収束が保証される。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (f_{n})}$

応用

連続性への応用

一様収束定理の強化に対する反例。この定理では、一様収束ではなく点ごとの収束が仮定される。連続する緑の関数は、非連続な赤の関数に収束する。これは、収束が一様でない場合にのみ起こり得る ${\displaystyle \sin ^{n}(x)}$

と が位相空間である場合、関数 の連続性について話すことは理にかなっています。さらに が距離空間であると仮定すると、から への（一様）収束も明確に定義されます。次の結果は、一様収束によって連続性が保たれることを示しています。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n},f:E\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

一様極限定理—が位相空間、が距離空間、 が連続関数 の列であると仮定します。 が上にある場合、も連続です ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}:E\to M}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$

この定理は「トリック ${\displaystyle \varepsilon /3}$」によって証明され、このトリックの典型的な例です。与えられた不等式（目的の量が より小さいこと）を証明するには、連続 ${\displaystyle \varepsilon }$性と一様収束の定義を用いて3つの不等式を作成し（3つの別々の量がそれぞれ より小さいことを実証します）、 ${\displaystyle \varepsilon /3}$それらを三角不等式で組み合わせて目的の不等式を作成します。

証明

任意の点をとします。が で連続であることを証明します。 とします。一様収束により、となる自然数が存在する ${\displaystyle x_{0}\in E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \forall x\in E\quad d{\bigl (}f_{N}(x),f(x){\bigr )}\leq {\tfrac {1}{3}}\varepsilon }$

（一様収束は上記の命題がすべての に対して真であることを示していますが、ここでは数列の1つの関数、すなわち に対してのみ使用します）。 ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle f_{N}}$

における の連続性から、となるようなを含む開集合が存在することがわかります。 ${\displaystyle f_{N}}$ ${\displaystyle x_{0}\in E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \forall x\in U\quad d{\bigl (}f_{N}(x),f_{N}(x_{0}){\bigr )}\leq {\tfrac {1}{3}}\varepsilon }$。

したがって、三角不等式を用いると、

${\displaystyle \forall x\in U\quad d{\bigl (}f(x),f(x_{0}){\bigr )}\leq d{\bigl (}f(x),f_{N}(x){\bigr )}+d{\bigl (}f_{N}(x),f_{N}(x_{0}){\bigr )}+d{\bigl (}f_{N}(x_{0}),f(x_{0}){\bigr )}\leq \varepsilon }$、

となり、におけるの連続性が示されます ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \quad \square }$

この定理は実解析とフーリエ解析の歴史において重要なものです。なぜなら、18世紀の多くの数学者は、連続関数の列は常に連続関数に収束するという直感的な理解を持っていたからです。上の図は反例を示しており、実際には多くの不連続関数は連続関数のフーリエ級数として表すことができます。連続関数の列の各点の極限が連続であるという誤った主張（もともと連続関数の収束級数として述べられた）は、「コーシーの誤った定理」として悪名高く知られています。一様極限定理は、極限関数における連続性の保存を確実にするためには、より強い収束の形、すなわち一様収束が必要であることを示しています。

より正確には、この定理は、一様連続関数の一様極限は一様連続であると述べています。局所コンパクト空間では、連続性は局所一様連続と同値であり、したがって連続関数の一様極限は連続です。

微分可能性へ

が区間で、すべての関数が微分可能で極限 に収束する場合、関数列 の極限をとることで微分関数を決定することが望ましい場合がよくあります。しかし、これは一般には不可能です。収束が一様であっても、極限関数は微分可能である必要はなく（関数列 があらゆる場所で解析的な関数で構成されていても微分可能ではありません。ワイエルシュトラス関数を参照）、また微分可能であるとしても、極限関数の導関数が導関数の極限に等しい必要はありません。たとえば、一様極限 の場合を考えてみましょう。明らかに、も常にゼロです。ただし、関数列 の導関数は で与えられ、関数列はどの関数にも収束せず、またどの関数にもまったく収束しません。微分可能関数列の極限と導関数列の極限の関係を確実にするためには、導関数列の一様収束と、関数列の少なくとも1つの点における収束が必要です。^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle f',}$

が 上の微分可能関数の列で、ある に対してが存在し（かつ有限であり） 、その列が上で一様収束する場合、 は上の関数に一様収束し、に対してとなります。 ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ ${\displaystyle (f'_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$

積分可能性へ

同様に、積分と極限過程を交換したいことがよくあります。リーマン積分については、一様収束が仮定されていれば、これを行うことができます。

がコンパクト区間上で定義され、 極限 で一様収束するリーマン積分可能関数の列である場合、 はリーマン積分可能であり、その積分は の積分の極限として計算できます。 ${\displaystyle {(f_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ $${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}$$

実際、区間上の一様収束する有界関数の族の場合、上側リーマン積分と下側リーマン積分は、極限関数の上側リーマン積分と下側リーマン積分に収束します。これは、n が十分に大きい場合、 のグラフがfのグラフのεの範囲内にあり、したがって の上側和と下側和がそれぞれ の上側和と下側和の値の範囲内にあるためです ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon |I|}$ ${\displaystyle f}$

この点に関して、リーマン積分を放棄し、代わりにルベーグ積分を使用すれば、点ごとの収束以上のものを必要としない、はるかに強力な定理を得ることができます。

解析性へ

モレラの定理を用いると、解析関数の列が複素平面の領域 S において一様収束する場合、その極限は S において解析的であることを示すことができます。この例は、実区間における解析関数の一様極限は微分可能である必要さえないため、複素関数は実関数よりも振る舞いが良いことを示しています（ワイエルシュトラス関数を参照）。

級数へ

は収束すると言います。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

1. E上で点ごとに収束する場合、かつその場合のみ。部分和の列が任意の について収束する場合。 ${\displaystyle \textstyle s_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)}$ ${\displaystyle x\in E}$
2. E上で一様収束する場合、かつその場合のみ。s _nがとして一様収束する場合。 ${\displaystyle n\to \infty }$
3. E上で絶対的に収束する場合、かつその場合のみ。すべての について収束する場合。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}$ ${\displaystyle x\in E}$

この定義から、次の結果が導かれます

x ₀が集合Eに含まれ、各f _nがx ₀で連続であるとする。Eで一様収束する場合、f はEにおいてx ₀で連続である。であり、各f _nがEで積分可能であると仮定する。Eで一様収束する場合、fはEで積分可能であり、 f _nの積分の級数はf _nの級数の積分に等しい。 ${\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ ${\displaystyle E=[a,b]}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

ほぼ一様収束

関数の定義域が測度空間 Eである場合、関連するほぼ一様収束の概念を定義できる。関数の列がEでほぼ一様収束するとは、任意のに対して、より小さい測度を持つ測定可能な集合が存在し、関数の列が で一様収束する場合を言う。言い換えれば、ほぼ一様収束とは、関数の列がその補集合で一様収束するような、任意に小さい測度の集合が存在することを意味する ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle E_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$

数列のほぼ一様収束は、その名前から推測されるように、数列がほぼあらゆる場所で一様収束することを意味するわけではないことに注意してください。しかし、エゴロフの定理は、有限測度空間において、ほぼあらゆる場所で収束する関数の列は、同じ集合上でもほぼ一様収束することを保証します。

ほぼ一様収束は、ほぼあらゆる場所で収束し、測度においても収束することを意味します

参照

• 確率における一様収束
• 収束のモード（注釈付き索引）
• ディーニの定理
• アルツェラ＝アスコリの定理

注釈

1. Sørensen, Henrik Kragh (2005). 「例外と反例：コーシーの定理に関するアーベルのコメントを理解する」Historia Mathematica . 32 (4): 453– 480. doi :10.1016/j.hm.2004.11.010.
2. Jahnke, Hans Niels (2003). 「6.7 19世紀における解析学の基礎：ワイエルシュトラス」解析学の歴史. AMS Bookstore. p. 184. ISBN 978-0-8218-2623-2。
3. ラカトシュ、イムレ(1976).証明と反駁．ケンブリッジ大学出版局．141ページ．ISBN   978-0-521-21078-2。
4. ルーディン、ウォルター (1976).数学解析の原理第3版、定理7.17. マグロウヒル: ニューヨーク.

参考文献

• コンラッド・クノップ,無限級数の理論と応用; ブラック・アンド・サン社, ロンドン, 1954年, ドーバー出版により再版, ISBN 0-486-66165-2。
• GH ハーディ,サー・ジョージ・ストークスと一様収束の概念;ケンブリッジ哲学協会紀要, 19 , pp. 148–156 (1918)
• ブルバキ著『数学の要素：一般位相幾何学』第5章～第10章（ペーパーバック） ; ISBN 0-387-19374-X
• ウォルター・ルーディン著『数学解析の原理』第3版、マグロウヒル、1976年
• ジェラルド・フォランド著『実解析：現代技法とその応用』第2版、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、1999年、ISBN 0-471-31716-0。
• ウィリアム・ウェイド著『解析学入門』第3版、ピアソン、2005年

外部リンク

「一様収束」、数学百科事典、EMSプレス、2001年 [1994]

• コロラド大学によるフーリエ級数の一様収束の図解例

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