均一空間

Topological space with a notion of uniform properties

位相幾何学という数学の分野において、一様空間とは、完全性、一様連続性、一様収束性といった一様性質を定義するために用いられる付加的な構造を持つ集合である。一様空間は計量空間や位相群を一般化するが、その概念は解析学におけるほとんどの証明に必要な最も弱い公理を定式化するために設計されている。

位相構造の通常の性質に加えて、一様空間では、相対的な近さと点の近さという概念が形式化されます。言い換えれば、「xはaに近いが、yはbに近い」といった概念は、一様空間では意味を持ちます。これに対し、一般の位相空間では、集合A,Bが与えられた場合、点xがAに任意に近い（つまり、Aの閉包内にある）と言うこと、あるいはA がBよりもxのより小さな近傍であると言うことは意味を持ちますが、点の近さと相対的な近さという概念は、位相構造だけではうまく説明できません。

意味

均一空間には3つの同等の定義があります。いずれも均一な構造を備えた空間から成ります。

アントラージュの定義

この定義は、位相空間の表現を近傍システムで適応したものである。の部分集合の空でない集合は ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X}$均一な構造（または次の公理を満たす場合、均一性（uniformity ）が成り立ちます。

1. では対角線はどこにあるか ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle \Delta \subseteq U,}$ ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X.}$
2. もし、そして ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$ ${\displaystyle V\in \Phi .}$
3. もし、そして ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V\in \Phi }$ ${\displaystyle U\cap V\in \Phi .}$
4. ならばとなるものが存在し、ここで は と自身との合成を表す。の2つの部分集合との合成は次のように定義される。 ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V\in \Phi }$ ${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\circ V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X\times X}$ $${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ there exists }}y\in X\,{\text{ such that }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.}$$
5. ならば、逆はどこにあるか ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle U^{-1}\in \Phi ,}$ ${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$ ${\displaystyle U.}$

（２）と（３）を合わせると、の非空性は、フィルタであることを示す。最後のプロパティが省略された場合、空間は ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X.}$準一様。の元は ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Phi }$近隣またはentourage はフランス語で周囲を意味する言葉から来ています。

通常、は の垂直断面であり、は第2座標への正準射影である、と書きます。グラフ上では、典型的な周囲は「」対角線を囲む塊として描かれ、異なる がすべて垂直断面を形成します。と が であるとき、 とは ${\displaystyle U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),}$ ${\displaystyle U\cap (\{x\}\times X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{2}}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle U[x]}$ ${\displaystyle (x,y)\in U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$-近い。同様に、の部分集合内のすべての点のペアが -近い場合（つまり、が に含まれる）、-小さいと呼ばれる。 周囲は ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$対称性はちょうど のとき、あるいは同値な のときである。最初の公理は、各点が各周囲に対して自身に -近い番目の公理は、「-近い-近い」ということは、均一性における近似関係でもあることを保証する。4番目の公理は、各周囲に対して周囲が存在することを述べている。最後に、最後の公理は、均一構造に関する「近似性」という性質が と において対称的であることを述べている。 ${\displaystyle (x,y)\in U}$ ${\displaystyle (y,x)\in U}$ ${\displaystyle U^{-1}=U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

あ随行員の拠点または均一性の基本的な周囲環境(または近傍環境のあらゆる周囲環境がに属する集合を含むような の環境の集合のこと。したがって、上記の性質 2 により、基本的な周囲環境系が均一性を明確に指定できる。、 の集合を含む のサブセットの集合である。あらゆる均一空間には、対称的な周囲環境から成る基本的な周囲環境系が存在します。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

一様性に関する直感は、距離空間の例によって提供される。が距離空間である場合、集合はの標準的な一様構造の基本的な側近システムを形成する。そして、 と の間の距離が最大で以下のとき、とはちょうど -近い。 ${\displaystyle (X,d)}$ $${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a.}$

ある均一性が同じ集合上の別の均一性よりも細かい場合、その均一性はより粗いと言われる。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi \supseteq \Psi ;}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi .}$

擬似計量学の定義

一様空間は、擬距離体系 を用いて代替的かつ同値的に定義することができる。このアプローチは、特に関数解析において有用である（擬距離は半ノルムによって提供される）。より正確には、を集合 上の擬距離とすると、の逆像は一様性の基本的な側近系を形成することが示される。 によって生成される一様性は、単一の擬距離 によって定義される一様性である。一部の著者は、位相が擬距離によって定義される空間をゲージ空間 と呼ぶ。 ${\displaystyle f:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle f.}$

擬似メトリクスの族 にとって、族によって定義される均一構造は、個々の擬似メトリクスによって定義される均一構造の最小の上限です。この均一性の環境の基本システムは、個々の擬似メトリクスによって定義される均一性の環境の有限交差の集合によって提供されます。擬似メトリクスの族が有限である場合、同じ均一構造が単一の擬似メトリクス、つまり族の上限エンベロープによって定義されていることがわかります。 ${\displaystyle \left(f_{i}\right)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle \sup _{}f_{i}}$

より自明ではないが、可算な基本環境系（したがって特に擬計量の可算族によって定義される一様性）を許容する一様構造は、単一の擬計量によって定義できることが示される。結果として、任意の一様構造は、（おそらく非可算な）擬計量の族によって上記のように定義できる（『ブルバキ：一般位相学』第9章 §1 項 4 を参照）。

均一カバーの定義

一様空間 とは、「一様被覆」と呼ばれる特別な被覆族を備えた集合であり、これは、スターリファインメントによって順序付けられたときにフィルターを形成する被覆の集合から抽出される。被覆とは、任意のに対してが存在するようなが成り立つとき、と書かれた被覆のスターリファインメントであると言われる。公理的に、フィルターであるための条件は次のように帰着する。 ${\displaystyle (X,\Theta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Theta ,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle U\in \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle B\subseteq U.}$

1. ${\displaystyle \{X\}}$は一様被覆（つまり、）である。 ${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$
2. 均一なカバーと のカバーがある場合、も均一なカバーです。 ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$
3. とが一様被覆である場合、との両方をスターリファインする一様被覆が存在する。 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

点と均一な被覆が与えられれば、 の要素の和集合を「サイズ」の典型的な近傍として考えることができ、この直感的な尺度は空間全体に均一に適用されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$

側近の意味での一様空間が与えられたとき、ある側近が存在し、各側近に対して が存在するとき、被覆は一様であると定義する。これらの一様被覆は、2番目の定義のように一様空間を形成する。逆に、一様被覆の意味での一様空間が与えられたとき、一様被覆上の範囲としての のスーパーセットは、1番目の定義のように一様空間の側近となる。さらに、これら2つの変換は互いに逆変換である。^[1] ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {P} }$ ${\displaystyle U[x]\subseteq A.}$ ${\displaystyle \bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

均一空間の位相

あらゆる一様空間は、空でない部分集合を開集合と定義することで位相空間となる。この場合、任意の一様空間に対して、が の部分集合となるような側近が存在することが必要条件となる。この位相において、点の近傍フィルタはである。これは、「半分のサイズ」の側近の存在を再帰的に利用することで証明できる。一般的な位相空間と比較すると、一様構造の存在により近傍のサイズの比較が可能になり、とは「同じサイズ」であるとみなされる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in O}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{V[x]:V\in \Phi \}.}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle V[y]}$

均一な構造によって定義される位相は次のように表される。均一性によって誘導される。位相空間上の均一構造は、両立する。一般に、位相空間上の与えられた位相と、複数の異なる均一構造が両立することがある。 ${\displaystyle X.}$

均一化可能な空間

位相空間はトポロジと互換性のある均一な構造がある場合は均一化可能。

任意の均一化可能空間は完全に正則な位相空間である。さらに、均一化可能空間に対して、以下の式は同値である。 ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$コルモゴロフ空間である
• ${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間である
• ${\displaystyle X}$はティコノフ空間である
• 任意の適合する均一構造の場合、すべての周囲との交点は対角線である。 ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}.}$

一部の著者（例えば、Engelking）は、この最後の条件を均一化可能な空間の定義に直接追加しています。

均一化可能空間の位相は常に対称位相です。つまり、その空間はR ₀空間です。

逆に、完全に正則な空間はどれも一様化可能である。完全に正則な空間の位相と両立する一様性は、上のすべての連続実数値関数を一様連続にする最も粗い一様性として定義できる。この一様性の基本的な側近系は、 が 上の連続実数値関数であり、 が一様空間の側近であるような集合のすべての有限交差によって提供される。この一様性は、 の元の位相よりも明らかに粗い位相を定義する。これは元の位相よりも細かい（したがって、 が と一致する）ことは、完全な正則性の単純な帰結である。任意の と の近傍に対して、の補集合においてとが1に等しい連続実数値関数が存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {R} .}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle V.}$

特に、コンパクトハウスドルフ空間は均一化可能である。実際、コンパクトハウスドルフ空間において、その対角線上の近傍全体の集合は、位相と両立する唯一の均一性を満たす。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$

ハウスドルフ一様空間は、その一様性が擬距離の可算族によって定義できる場合、計量化可能である。実際、上で議論したように、そのような一様性は単一の擬距離によって定義でき、その空間がハウスドルフであるならば、その擬距離は必然的に計量となる。特に、ベクトル空間の位相がハウスドルフであり、かつ半ノルムの可算族によって定義できる場合、そのベクトル空間は計量化可能である。

均一な連続性

位相空間間の連続関数が位相的性質を保存するのと同様に、一様空間間の 一様連続関数も一様性質を保存します。

一様連続関数とは、側近の逆像が再び側近となる関数、あるいは同値として、一様被覆の逆像が再び一様被覆となる関数として定義される。明示的に、一様空間間の関数は ${\displaystyle f:X\to Y}$が一様連続であるとは、 のあらゆる側近に対してに の側近が存在しである場合、 または言い換えれば、が の側近であるがの側近であり、は次のように定義される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)\in U}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\times f:X\times X\to Y\times Y}$ ${\displaystyle (f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).}$

すべての一様連続関数は、誘導された位相に関して連続です。

一様写像を持つ一様空間は圏を形成する。一様空間間の同型は圏と呼ばれる。一様同型。明示的には、一様連続な一対一写像であり、その逆写像も一様連続である。一様埋め込みは、一様空間間の一様連続写像でありも一様連続である。ここで、像は部分空間の一様性を継承する。 ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle i^{-1}:i(X)\to X}$ ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle Y.}$

完全

完備計量空間の概念を一般化すると、一様空間の完備性も定義できます。コーシー列の代わりに、コーシーフィルタ（またはコーシーネット）を使います。

あコーシーフィルタ（それぞれ、コーシー前置フィルタ（または前置フィルタ）は、任意の側近に対して が存在するようなフィルタ（または前置フィルタ）である。言い換えれば、フィルタが「任意に小さい」集合を含む場合、それはコーシーフィルタである。定義から、（一様構造によって定義される位相に関して）収束するすべてのフィルタはコーシーフィルタであることが分かる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle A\in F}$ ${\displaystyle A\times A\subseteq U.}$最小コーシーフィルタとは、それ自身以外のより小さい（つまり粗い）コーシーフィルタを含まないコーシーフィルタです。すべてのコーシーフィルタには、一意の最小コーシーフィルタ。各点の近傍フィルタ（その点のすべての近傍を含むフィルタ）は、最小コーシーフィルタです。

逆に、一様空間はすべてのコーシーフィルタが収束するならば、完全である。任意のコンパクトハウスドルフ空間は、位相と両立する唯一の一様性に関して完全一様空間である。

完全一様空間は次のような重要な性質を持つ：一様空間の稠密部分集合から完全一様空間への一様連続関数であるとき、一様連続関数は（一意に）すべての一様連続関数に拡張できる。 ${\displaystyle f:A\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

完全一様空間にすることができる位相空間は、その一様性が元の位相を誘導するため、完全一様化可能空間と呼ばれます。

あ一様空間の完備化とは 、一様空間その像が空間の稠密部分なる一様埋め込みペアである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (i,C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i:X\to C}$ ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle C.}$

均一空間のハウスドルフ完成

距離空間と同様に、すべての一様空間には ${\displaystyle X}$ハウスドルフ完備化: つまり、完全なハウスドルフ一様空間と一様連続写像( がハウスドルフ一様空間であればは位相的埋め込み)が存在し、次の性質を満たす: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$

の完全ハウスドルフ一様空間への一様連続写像に対して、次のような一様連続写像が唯一存在する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle f=gi.}$

ハウスドルフ完備化は同型性を除いて一意である。集合として、は 上の極小コーシーフィルタから成るとみなせる。の各点の近傍フィルタは極小コーシーフィルタなので、写像はへの写像によって定義できる。このように定義された写像は一般に単射ではない。実際、同値関係のグラフはのすべての側近の交点であり、したがって がハウスドルフであるとき、まさに単射となる。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (x).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i(x)=i(x')}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$

上の均一構造は次のように定義される：各 ${\displaystyle Y}$対称的な側近 （つま​​り が を意味する）において、 を、-小集合を共有する最小コーシーフィルタのすべてのペアの集合とします。これらの集合は、側近の基本システムを形成することが示され、はこのように定義された均一な構造を備えています。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (x,y)\in V}$ ${\displaystyle (y,x)\in V}$ ${\displaystyle C(V)}$ ${\displaystyle (F,G)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C(V)}$ ${\displaystyle Y}$

集合は の稠密部分集合である。がハウスドルフ ならば、 は への同型写像となり、したがってその完備化の稠密部分集合と同一視できる。さらに、は常にハウスドルフであり、 ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i(X)}$に関連付けられたハウスドルフ一様空間。 ${\displaystyle X.}$同値関係を表す 場合、商空間は同相である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i(x)=i(x'),}$ ${\displaystyle X/R}$ ${\displaystyle i(X).}$

例

1. あらゆる計量空間は 一様空間とみなせる。実際、計量空間は擬計量空間であるからこそ、擬計量空間の定義は一様構造を備える。この一様性を構成する基本的な系は、以下の集合によって提供される。 ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$

   ${\displaystyle \qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.}$

   上のこの一様構造は、上の通常の計量空間位相を生成します。しかし、異なる計量空間が同じ一様構造を持つこともあります（自明な例として、計量の定数倍が挙げられます）。この一様構造は、計量空間の一様連続性と完全性の同値な定義も生成します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$
2. 計量を用いることで、位相が一致する異なる一様構造の簡単な例を構築できる。例えば、を 上の通常の計量とし、 を とする と、両方の計量から 上の通常の位相が導かれるが、一様構造は異なる。なぜなら、 はについては一様構造の側近となるが、 については はそうではないからである 。非公式には、この例は通常の一様性を、連続でありながら一様ではない連続関数の作用によって歪ま​​せていると考えることができる。 ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle d_{2}(x,y).}$
3. 任意の位相群 （特に任意の位相ベクトル空間）は、部分集合を側近と定義することと、それがの単位元のある近傍に対する集合を含むことと同値であるとき、一様空間となる。この一様構造は の右一様性と呼ばれる。なぜなら、任意の に対して右乗法がこの一様構造に関して一様連続となるからである。 の左一様性も定義できる。この2つは必ずしも一致しないが、どちらも の与えられた位相を生成する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V\subseteq G\times G}$ ${\displaystyle \{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle x\to x\cdot a}$ ${\displaystyle G;}$ ${\displaystyle G.}$
4. 任意の位相群とその部分群に対して、左剰余類の集合は、以下のように定義される一様性に関して一様空間である。単位元が一様性の近傍を走る集合は、一様性の基本的側近系を形成する。対応する誘導位相は、自然写像によって定義される商位相に等しい。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G\to G/H.}$
5. 自明な位相は、全体の直積が唯一の周囲である均一な空間に属します。 ${\displaystyle X\times X}$

歴史

アンドレ・ヴェイユが1937年に初めて一様構造を明示的に定義する以前は、完備性などの一様概念は距離空間を用いて議論されていました。ニコラ・ブルバキは『トポロジー一般』の中で、環境因子を用いて一様構造の定義を与え、ジョン・テューキーは一様被覆の定義を与えました。ヴェイユはまた、一様空間を擬計量族によって特徴づけました。

参照

• 粗構造 – 幾何学と位相幾何学における概念
• 完全計量空間 – 計量幾何学
• 完全位相ベクトル空間 – 関数解析における構造
• 完全に均一化可能な空間
• 位相幾何学におけるフィルタ – 位相幾何学におけるすべての基本的な概念と結果を記述し特徴付けるためにフィルタを使用する
• 初期の均一構造 – 特定の関数を連続させる最も粗いトポロジーPages displaying short descriptions of redirect targets
• 近接空間 – サブセット間の「近さ」の概念を記述する構造
• 空間（数学）  - 構造が追加された数学的集合
• 一様収束の位相
• 均一な連続性 – 機能の変化の均一な抑制
• 一様同型 – 一様連続同相
• 均一性 – 均一位相空間のカテゴリにおける研究対象
• 均一連結空間 – 均一空間の種類

参考文献

1. "IsarMathLib.org" . 2021年10月2日閲覧。

• ニコラ・ブルバキ、一般トポロジー( Topologie Générale )、ISBN 0-387-19374-X（第1～4章）、ISBN 0-387-19372-3（第5章～第10章）：第2章は均一構造の包括的なリファレンスであり、第9章§1は擬似計量論をカバーし、第3章§3は位相群上の均一構造をカバーしています。
• Ryszard Engelking著『一般位相幾何学』改訂・完全版、ベルリン、1989年。
• ジョン・R・イズベル著『Uniform Spaces 』ISBN 0-8218-1512-1
• IM James著『一様空間入門 』ISBN 0-521-38620-9
• IM ジェームズ『位相空間と一様空間 』 ISBN 0-387-96466-5
• ジョン・テューキー『位相幾何学における収束と均一性』ISBN 0-691-09568-X
• アンドレ・ヴェイユ、均一な構造と一般的なトポロジーの空間、Act。科学。 Ind. 551、パリ、1​​937

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