Uniform distribution on an interval
連続均一 確率密度関数
最大条約 の使用 累積分布関数
表記 U [ a , b ] {\displaystyle {\mathcal {U}}_{[a,b]}} パラメータ − ∞ < a < b < ∞ {\displaystyle -\infty <a<b<\infty } サポート [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} PDF { 1 b − a for x ∈ [ a , b ] 0 otherwise {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} CDF { 0 for x < a x − a b − a for x ∈ [ a , b ] 1 for x > b {\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\1&{\text{for }}x>b\end{cases}}} 平均 1 2 ( a + b ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)} 中央値 1 2 ( a + b ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)} モード any value in ( a , b ) {\displaystyle {\text{any value in }}(a,b)} 分散 1 12 ( b − a ) 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}} 狂った 1 4 ( b − a ) {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(b-a)} 歪度 0 {\displaystyle 0} 過剰尖度 − 6 5 {\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}} エントロピ log ( b − a ) {\displaystyle \log(b-a)} MGF { e t b − e t a t ( b − a ) for t ≠ 0 1 for t = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}&{\text{for }}t\neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}} CF { e i t b − e i t a i t ( b − a ) for t ≠ 0 1 for t = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tb}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ta}}{\mathrm {i} t(b-a)}}&{\text{for }}t\neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}}
確率論 と 統計学 において 、 連続一様分布 または 矩形分布は、 対称 確率分布 の一種である 。このような分布は、ある境界値の間に位置する任意の結果が生じる実験を表す。 [1] 境界値はパラメータによって定義され、 その 最小値と最大値がこれに当たる。区間は 閉じた区間 （すなわち ）または 開いた区間 （すなわち ）のいずれかとなる。 [2] そのため、この分布はしばしば と略され 、 は 一様分布を表す。 [1] 境界値の差が区間の長さを定義する。分布の サポート 上にある同じ長さの 区間は すべて、確率が等しい。これは、 分布のサポートに含まれるという制約以外の制約がない、 ランダム変数 の 最大エントロピー確率分布である。 [3] a {\displaystyle a} b , {\displaystyle b,} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} U ( a , b ) , {\displaystyle U(a,b),} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X}
定義
確率密度関数 連続一様分布の 確率 密度関数は f ( x ) = { 1 b − a for a ≤ x ≤ b , 0 for x < a or x > b . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{for }}x<a\ {\text{ or }}\ x>b.\end{cases}}}
2 つの境界とにおける の値は 、通常重要ではありません。なぜなら、それらの値は、 任意の区間におけるの値 も、 の値も、任意の高次モーメント の値も変更しないからです 。 ときにはゼロに選ばれることもあれば、 に選ばれることもあります。後者は、 最大尤度 法による推定の文脈では適切です。 フーリエ解析 の文脈では、 または の 値を とすることができます。その理由は、その場合、この一様関数の多くの 積分変換 の逆変換によって、ゼロ 測度 の点の集合を除いて「 ほとんどすべての場所 で」等しい関数ではなく、関数自体が返されるからです 。 また、それは、 そのような曖昧さのない 符号関数と一致しています。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} ∫ c d f ( x ) d x {\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx} [ c , d ] , {\displaystyle [c,d],} ∫ a b x f ( x ) d x , {\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx,} 1 b − a . {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}.} f ( a ) {\displaystyle f(a)} f ( b ) {\displaystyle f(b)} 1 2 ( b − a ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{2(b-a)}},}
任意の確率密度関数は積分すると となるため、 連続一様分布の確率密度関数は、底辺の長さと高さをそれぞれ とする長方形としてグラフ化されます 。 底辺 の 長 さ が長くなると、高さ（分布境界内の任意の値における密度）は減少します。 [4] 1 , {\displaystyle 1,} b − a {\displaystyle b-a} 1 b − a {\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}}
平均と分散の 観点から見ると、 連続一様分布の確率密度関数は μ {\displaystyle \mu } σ 2 , {\displaystyle \sigma ^{2},} f ( x ) = { 1 2 σ 3 for − σ 3 ≤ x − μ ≤ σ 3 , 0 otherwise . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\[2pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
累積分布関数 連続一様分布の 累積 分布関数は次のようになります。 F ( x ) = { 0 for x < a , x − a b − a for a ≤ x ≤ b , 1 for x > b . {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}}
その逆は次のようになります。 F − 1 ( p ) = a + p ( b − a ) for 0 < p < 1. {\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad {\text{ for }}0<p<1.}
平均と分散の 観点から見ると、 連続一様分布の累積分布関数は次のようになります。 μ {\displaystyle \mu } σ 2 , {\displaystyle \sigma ^{2},} F ( x ) = { 0 for x − μ < − σ 3 , 1 2 ( x − μ σ 3 + 1 ) for − σ 3 ≤ x − μ < σ 3 , 1 for x − μ ≥ σ 3 ; {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}},\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}},\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}};\end{cases}}}
その逆は次のようになります。 F − 1 ( p ) = σ 3 ( 2 p − 1 ) + μ for 0 ≤ p ≤ 1. {\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{ for }}0\leq p\leq 1.}
ランダム変数 を求める には X ∼ U ( 0 , 23 ) , {\displaystyle X\sim U(0,23),} Pr ( 2 < X < 18 ) : {\displaystyle \Pr(2<X<18):} Pr ( 2 < X < 18 ) = ( 18 − 2 ) ⋅ 1 23 − 0 = 16 23 . {\displaystyle \Pr(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}.}
連続一様分布関数のグラフ表現では、 指定された境界内の曲線の下の領域（確率を表す）は長方形になります。上記の具体的な例では、底辺は 、高さは となります [5] [ f ( x ) vs x ] , {\displaystyle [f(x){\text{ vs }}x],} 16 , {\displaystyle 16,} 1 23 . {\displaystyle {\tfrac {1}{23}}.}
ランダム変数 を求めるには X ∼ U ( 0 , 23 ) , {\displaystyle X\sim U(0,23),} Pr ( X > 12 ∣ X > 8 ) : {\displaystyle \Pr(X>12\mid X>8):} Pr ( X > 12 ∣ X > 8 ) = ( 23 − 12 ) ⋅ 1 23 − 8 = 11 15 . {\displaystyle \Pr(X>12\mid X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}.}
上記の例は、 連続一様分布の 条件付き確率の例です。 が X > 8 {\displaystyle X>8} 真であると仮定した場合、 X > 12 ? {\displaystyle X>12?} となる確率はどれくらいでしょうか？ 条件付き確率は標本空間を変えるので、新しい区間長 b − a ′ {\displaystyle b-a'} を計算する必要があります。ここで、および [5] グラフィカルな表現は例1に従います。指定された境界内の曲線の下の領域は確率を表示します。長方形の底辺は 、高さは [5]です。 b = 23 {\displaystyle b=23} a ′ = 8. {\displaystyle a'=8.} 11 , {\displaystyle 11,} 1 15 . {\displaystyle {\tfrac {1}{15}}.}
生成関数
モーメント生成関数 連続一様分布の モーメント生成関数 は [6]であり、この関数から 生のモーメント を計算することができる。 M X = E [ e t X ] = ∫ a b e t x d x b − a = e t b − e t a t ( b − a ) = B t − A t t ( b − a ) , {\displaystyle M_{X}=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{a}^{b}e^{tx}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}={\frac {B^{t}-A^{t}}{t(b-a)}},} m k : {\displaystyle m_{k}:} m 1 = a + b 2 , {\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},} m 2 = a 2 + a b + b 2 3 , {\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},} m k = ∑ i = 0 k a i b k − i k + 1 . {\displaystyle m_{k}={\frac {\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}}{k+1}}.}
連続一様分布に従う確率変数の場合、 期待値 は 、 分散 は m 1 = a + b 2 , {\displaystyle m_{1}={\tfrac {a+b}{2}},} m 2 − m 1 2 = ( b − a ) 2 12 . {\displaystyle m_{2}-m_{1}^{2}={\tfrac {(b-a)^{2}}{12}}.}
特殊なケースでは、 連続一様分布の確率密度関数は次のようになります。 a = − b , {\displaystyle a=-b,} f ( x ) = { 1 2 b for − b ≤ x ≤ b , 0 otherwise ; {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{for }}-b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{otherwise}};\end{cases}}}
モーメント生成関数は次の単純な形に簡約される。 M X = sinh b t b t . {\displaystyle M_{X}={\frac {\sinh bt}{bt}}.}
キュムラント生成関数 n ≥ 2 , {\displaystyle n\geq 2,} において 、区間 上の連続一様分布の- 番目 の キュムラントは - 番目 の ベルヌーイ数 です 。 [7] n {\displaystyle n} [ − 1 2 , 1 2 ] {\displaystyle [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}]} B n n , {\displaystyle {\tfrac {B_{n}}{n}},} B n {\displaystyle B_{n}} n {\displaystyle n}
パラメータがおよびで ある 連続一様分布は、 標準一様分布 と呼ばれます 。 a = 0 {\displaystyle a=0} b = 1 , {\displaystyle b=1,} U ( 0 , 1 ) , {\displaystyle U(0,1),}
標準一様分布の興味深い性質の一つは、 が 標準一様分布に従う場合、 も に従うという点です。この性質は、特に 反対変数 を 生成するために使用できます 。言い換えれば、この性質は 反転法 として知られており、連続標準一様分布は他の任意の連続分布の 乱数 を生成するために使用できます。 [4] が標準一様分布に従う一様乱数、つまり を持つ 場合、 は指定された 累積分布関数 を持つ任意の連続分布から 乱数を生成します [4] u 1 {\displaystyle u_{1}} 1 − u 1 . {\displaystyle 1-u_{1}.} u 1 {\displaystyle u_{1}} U ( 0 , 1 ) , {\displaystyle U(0,1),} x = F − 1 ( u 1 ) {\displaystyle x=F^{-1}(u_{1})} x {\displaystyle x} F . {\displaystyle F.}
他の機能との関係 遷移点において同じ規則が守られている限り、連続一様分布の確率密度関数は、次のように ヘヴィサイドのステップ関数 で表すこともできます。 f ( x ) = H ( x − a ) − H ( x − b ) b − a , {\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},}
または長方形 関数では 次のようになります。 f ( x ) = 1 b − a rect ( x − a + b 2 b − a ) . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \operatorname {rect} \left({\frac {x-{\frac {a+b}{2}}}{b-a}}\right).}
符号関数 の遷移点には曖昧さはありません 。遷移点における半最大値の規則を用いると、連続一様分布は符号関数を用いて次のように表すことができます。 f ( x ) = sgn ( x − a ) − sgn ( x − b ) 2 ( b − a ) . {\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}
プロパティ
瞬間 連続一様分布の 平均（最初の生の モーメント）は次のとおりです。 E [ X ] = ∫ a b x d x b − a = b 2 − a 2 2 ( b − a ) = b + a 2 . {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {b+a}{2}}.}
この分布の 2 番目の生のモーメントは次のとおりです。 E [ X 2 ] = ∫ a b x 2 d x b − a = b 3 − a 3 3 ( b − a ) . {\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.}
一般に、 この分布の - 次モーメントは次のようになります。 n {\displaystyle n} E [ X n ] = ∫ a b x n d x b − a = b n + 1 − a n + 1 ( n + 1 ) ( b − a ) . {\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}
この分布の 分散（第2 中心モーメント）は次のようになります。 Var [ X ] = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] = ∫ a b ( x − a + b 2 ) 2 d x b − a = ( b − a ) 2 12 . {\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}
注文統計 を からのiid サンプル と し 、 を このサンプルからの 番目の 順序 統計量 とします。 X 1 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},...,X_{n}} U ( 0 , 1 ) , {\displaystyle U(0,1),} X ( k ) {\displaystyle X_{(k)}} k {\displaystyle k}
X ( k ) {\displaystyle X_{(k)}} は ベータ分布 、パラメータ 、 を 持つ 。 k {\displaystyle k} n − k + 1. {\displaystyle n-k+1.}
期待値は次のとおりです。 E [ X ( k ) ] = k n + 1 . {\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k}{n+1}}.}
この事実は Q-Qプロットを 作成するときに役立ちます。
差異は次のとおりです。 Var [ X ( k ) ] = k ( n − k + 1 ) ( n + 1 ) 2 ( n + 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Var} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}.}
連続的に均一に分布するランダム変数が固定長の任意の区間内に入る確率は、区間 が分布のサポートに含まれている限り、区間自体の位置とは無関係です（ただし、区間のサイズには依存します）。 ( ℓ ) {\displaystyle (\ell )}
実際、 が の 部分区間 で固定である場合 、次の式が成り立ちます。
これは とは 独立です。 この事実がこの分布の名前の由来です。 X ∼ U ( a , b ) {\displaystyle X\sim U(a,b)} [ x , x + ℓ ] {\displaystyle [x,x+\ell ]} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ℓ > 0 , {\displaystyle \ell >0,} Pr ( X ∈ [ x , x + ℓ ] ) = ∫ x x + ℓ d y b − a = ℓ b − a , {\displaystyle \Pr {\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},} x . {\displaystyle x.}
一様分布は、間隔よりも一般的な集合に一般化できます。
正式には、 正の有限 ルベーグ測度の ボレル集合 、 すなわち、 上の一様分布は、確率密度関数を外側ではゼロ、 外側 では常に等しいと 定義することによって指定できる。 S {\displaystyle S} λ ( S ) , {\displaystyle \lambda (S),} 0 < λ ( S ) < + ∞ . {\displaystyle 0<\lambda (S)<+\infty .} S {\displaystyle S} S {\displaystyle S} 1 λ ( S ) {\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda (S)}}} S . {\displaystyle S.}
興味深い特殊なケースとして、集合 S が 単体で ある場合が挙げられます。標準的なn 頂点単体上で一様分布を得るには、以下の方法が あります。 [8] : Thm.4.1 同じ 指数分布に従う n 個 の独立確率変数を取り 、それらを X 1 ,...,X n と表記し、Y i := X i / (sum i X i ) とします。すると、ベクトル Y 1 ,...,Y n は 単体上で一様分布します。
Xが 標準均一分布に従う 場合、 逆変換サンプリング 法によれば、 Y = − λ −1 ln( X )は （速度）パラメータ λを持つ 指数分布 に従います。 Xが 標準一様分布に従う 場合、 Y = X n はパラメータ(1/ n ,1)を持つ ベータ分布 に従う 。したがって、 標準一様分布は 、パラメータが(1,1)である ベータ分布の特殊なケースです。 アーウィン ・ホール分布は、 n個の i.idU ( 0,1)分布の合計です 。 ベイツ 分布は 、n i.id U (0,1)分布の平均です 。 2つの独立した一様分布U 1 (a,b)+ U 2 (c,d) の和は、平均に関して対称な 台形分布を、支持点 [a+c,b+d] 上に与えます。台形分布の幅は、 U 1 と U 2 の幅の絶対値の差に等しくなります 。傾斜部分の幅は、最も狭い一様分布の幅に相当します。 一様分布の幅 w が同じ場合、結果は サポート [a+c、a+c+2w] 上の、平均を中心に対称な 三角分布になります。 2つの独立した、均等に分布する一様分布U 1 (a,b)+ U 2 (a,b)の和は、 サポート[2a,2b]上の 対称 三角形分布を生成します。 2つのiid 一様確率変数 間の距離| U 1 (a,b)- U 2 (a,b)|も、対称ではありませんが、サポート[0,ba]上で 三角形の分布 を持ちます。
統計的推論
パラメータの推定
最大値の推定
最小分散不偏推定量 が未知である 一様分布 が与えられた場合、 最大値 の最小分散不偏推定量（UMVUE）は次のように表されます。 ここ で は 標本 の最大値 、は 標本サイズ で、非復元標本抽出です （ただし、連続分布の場合、この区別はほとんど影響しません）。これは 離散分布 の推定と同じ理由で成り立ち、 最大値間隔推定 の非常に単純なケースと見ることができます。この問題は、 第二次世界大戦 中のドイツ軍の戦車生産量の推定に最大値推定が適用されたことから、一般に ドイツ戦車問題 として知られています 。 [ 0 , b ] {\displaystyle [0,b]} b , {\displaystyle b,} b ^ UMVU = k + 1 k m = m + m k , {\displaystyle {\hat {b}}_{\text{UMVU}}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}},} m {\displaystyle m} k {\displaystyle k}
モーメント推定法 モーメント法 による 推定値は次のとおりです。 ここで はサンプル平均です。 b ^ M M = 2 X ¯ , {\displaystyle {\hat {b}}_{MM}=2{\bar {X}},} X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}}
最大尤度推定量 最大 尤度 推定値は次のとおりです。 ここで、 は サンプルの最大値 であり、 サンプルの 最大 順序統計量 とも呼ばれます。 b ^ M L = m , {\displaystyle {\hat {b}}_{ML}=m,} m {\displaystyle m} m = X ( n ) , {\displaystyle m=X_{(n)},}
最小値の推定 が未知の a である一様分布が与えられたとき、 a の最大尤度推定値は 、 サンプル最小値 は である 。 [9] [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} a ^ M L = min { X 1 , … , X n } {\displaystyle {\hat {a}}_{ML}=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}
中間点の推定 分布の中点は、 一様分布の平均と中央値の両方です。標本平均値と標本中央値はどちらも 中点の 不偏推定値 ですが、どちらも標本 中範囲 、つまり標本最大値と標本最小値の算術平均ほど 効率的ではありません。標本中範囲は中点の UMVU 推定値（および 最尤推定値 ）です。 a + b 2 , {\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}},}
信頼区間
最大限に を母集団 の最大値とする 標本とする 。このとき 、ルベーグ・ボレル密度は [10] X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}} U [ 0 , L ] , {\displaystyle U_{[0,L]},} L {\displaystyle L} X ( n ) = max ( X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X n ) {\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})} f = d Pr X ( n ) d λ : {\displaystyle f={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}:}
f ( t ) = n 1 L ( t L ) n − 1 = n t n − 1 L n 1 1 [ 0 , L ] ( t ) , {\displaystyle f(t)=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {t}{L}}\right)^{n-1}\!=n{\frac {t^{n-1}}{L^{n}}}1\!\!1_{[0,L]}(t),} の 指標関数 はどこに あるか 1 1 [ 0 , L ] {\displaystyle 1\!\!1_{[0,L]}} [ 0 , L ] . {\displaystyle [0,L].}
上で示した信頼区間は数学的に正しくありません。なぜなら、 を知らない と を解くことができないからです。しかし、 を未知だが有効な任意の について を 解き
、上記の条件を満たす 最小の値を選ぶことは 可能です。区間の長さは確率変数に依存することに注意してください。 Pr ( [ θ ^ , θ ^ + ε ] ∋ θ ) ≥ 1 − α {\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\varepsilon ]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha } ε {\displaystyle \varepsilon } θ {\displaystyle \theta } Pr ( [ θ ^ , θ ^ ( 1 + ε ) ] ∋ θ ) ≥ 1 − α {\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha } ε ≥ α − 1 / n − 1 {\displaystyle \varepsilon \geq \alpha ^{-1/n}-1} θ ; {\displaystyle \theta ;} ε {\displaystyle \varepsilon } θ ^ . {\displaystyle {\hat {\theta }}.}
発生と応用 一様分布関数の確率は、関数形式が単純なため計算が簡単です。 [2] そのため、この分布は、仮説検定、ランダムサンプリング、金融など、以下に示すように様々な用途に使用できます。さらに、一般的に、物理的な起源を持つ実験は一様分布に従います（例：放射性 粒子 の放出）。 [1] ただし、どのような用途でも、固定長の区間に収まる確率は一定であるという不変の仮定があることに注意することが重要です。 [2]
経済学の分野では、 需要 と補充は予想される正規分布に従わないことがよくあります。その結果、 ベルヌーイ過程 などの他の分布モデルが、確率と傾向をより正確に予測するために使用されます。 [11] しかし、Wanke (2008) によると、完全に新製品を分析している ライフサイクル の開始時に在庫管理の リードタイム を調査するという特定のケースでは、一様分布の方が有用であることが証明されています。 [11] このような状況では、新製品に関する既存データがないか、需要履歴が利用できないため、適切または既知の分布が実際には存在しないため、他の分布は実行できない可能性があります。 [11] 新製品のリードタイム (需要に関連) のランダム変数は不明ですが、結果は 2 つの値の妥当な範囲内になる可能性が高いため、この状況では一様分布が理想的です。 [11] したがって、リード タイムがランダム変数を表します。一様分布モデルから、サイクル サービス レベルやサイクルあたりの不足など、 リードタイム に関連する他の要因を 計算することができました。また、計算の単純さから均一分布が使用されたことも指摘されている。 [11]
任意の分布からのサンプリング 一様分布は、任意の分布からのサンプリングに有用です。一般的な手法として、対象とする確率変数の 累積分布関数 （CDF）を用いる逆変換サンプリング法があります。この手法は理論的な研究において非常に有用です。この手法を用いたシミュレーションでは、対象変数のCDFを逆変換する必要があるため、CDFが閉形式で既知でない場合のために、代替手法が考案されてきました。そのような手法の一つが 棄却サンプリング です。
正規 分布は 、逆変換法が効率的でない重要な例です。しかし、逆変換を用いて2つの独立した一様 確率変数を 2つの独立した 正規分布 確率変数に変換する正確な方法である ボックス・ミュラー変換が 存在します。
量子化誤差 アナログ-デジタル変換では、量子化誤差が発生します。この誤差は、丸めまたは切り捨てによって発生します。元の信号が 最下位ビット（LSB）の 1ビットよりもはるかに大きい場合、量子化誤差は信号と有意な相関関係を持たず、ほぼ均一な分布を示します。したがって、 RMS誤差は この分布の分散から生じます。
ランダム変数生成 シミュレーション実験を実行することが有用なアプリケーションは数多くあります。多くの プログラミング言語 には、標準一様分布に従って効果的に分布する 疑似乱数 を生成する実装が付属しています。
一方、均一に分布した数は、 非均一な乱数変数生成 の基礎としてよく使用されます。
が標準均一分布からサンプリングされた値である 場合、その値は 前述のように および によってパラメータ化された均一分布に従います。 u {\displaystyle u} a + ( b − a ) u {\displaystyle a+(b-a)u} a {\displaystyle a} b , {\displaystyle b,}
歴史 一様分布の概念の歴史的起源は定かではないが、「一様」という用語はサイコロゲームにおける 等確率 の概念から生まれたと推測されている（サイコロゲームは連続的な一様標本空間ではなく 離散的 な標本空間を持つ点に注意）。 等確率は、 ジェロラモ・カルダーノ の 『Liber de Ludo Aleae』 で言及されている 。これは16世紀に書かれた、サイコロに関する高度な確率計算を詳述した教本である。 [12]
参照
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。 因数 はによって最大化され、 は によって 制限される 最大の a によって最大化されます。したがって は の最大値です 。 L n ( a , b ) = ∏ i = 1 n f ( X i ) = 1 ( b − a ) n 1 [ a , b ] ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle L_{n}(a,b)=\prod _{i=1}^{n}f(X_{i})={\frac {1}{(b-a)^{n}}}\mathbf {1} _{[a,b]}(X_{1},\dots ,X_{n})} = 1 ( b − a ) n 1 { a ≤ min { X 1 , … , X n } } 1 { max { X 1 , … , X n } ≤ b } {\displaystyle ={\frac {1}{(b-a)^{n}}}\mathbf {1} _{\{a\leq \min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}\}}\mathbf {1} _{\{\max\{X_{1},\dots ,X_{n}\}\leq b\}}} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 1 ( b − a ) n {\displaystyle {\frac {1}{(b-a)^{n}}}} L n ( a , b ) {\displaystyle L_{n}(a,b)} min { X 1 , … , X n } {\displaystyle \min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}} a = min { X 1 , … , X n } {\displaystyle a=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}} L n ( a , b ) {\displaystyle L_{n}(a,b)} ^ Nechval KN、Nechval NA、Vasamanis EK、Makeev VY (2002) 最短の長さの信頼区間の構築。運輸および電気通信 3 (1) 95-103 ^ abcde Wanke, Peter (2008). 「新製品在庫管理への最初の実践的アプローチとしての均一分布」 International Journal of Production Economics . 114 (2): 811– 819. doi :10.1016/j.ijpe.2008.04.004 – Research Gate経由. ^ デヴィッド・ベルハウス (2005 年 5 月)。 「カルダノのLiber de Ludoを解読する」。 ヒストリア マセマティカ 。 32 : 180–202 。 土井 : 10.1016/j.hm.2004.04.001 。
さらに読む
外部リンク
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle {\mathcal {U}}_{[a,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906b38f0905adef68e3c8c7ca6de15858f7742ce)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{ba}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648692e002b720347c6c981aeec2a8cca7f4182f)
![{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\{\frac {xa}{ba}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\1&{\text{for }}x>b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2948c023c98e2478806980eb7f5a03810347a568)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{ba}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{for }}x<a\ {\text{ or }}\ x>b.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd04990d517bf9bb3663f31086a89abd1b0f077f)
![{\displaystyle [c,d],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d224646c92ef76fbe024ed2eb56cb2964cab95)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\[2pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312995655df7721197b7772acbe6efb18cdf1056)
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {xa}{ba}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f8fa14b36ce1147021a210b875bcc4b91d24a3)
![{\displaystyle [f(x){\text{ vs }}x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57d12780dd2f37ecebcef1541f0fdccf1d5358e)
![{\displaystyle M_{X}=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{a}^{b}e^{tx}{\frac {dx}{ba}}={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(ba)}}={\frac {B^{t}-A^{t}}{t(ba)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d264e19e2b684d2c7a50a7a74deec4f37522dd7)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{for }}-b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{otherwise}};\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528f4cb42767408146084a01d1836f80926a6458)
![{\displaystyle [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb7c3f1928e147f684b9cba323e45f0840c4ef4)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{ba}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(ba)}}={\frac {b+a}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552174da28a027cf2c7b8eb9e43973604b3d6585)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{ba}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(ba)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e547791a2f771063976b3f5535122d096a0028e4)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{ba}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(ba)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03156c02c5f1de0f60aab478ff47e2649f4e1c35)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{ba}}={\frac {(ba)^{2}}{12}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112a80de66789bf7cb497108fff7082e54c3dd96)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k}{n+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8688b18b2d8a32b8503ea2ab8da87b1b907407e5)
![{\displaystyle \operatorname {Var} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03c3ea205715beaba2fa8a32fea43f189c1013c)
![{\displaystyle [x,x+\ell ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884130fbd3c593f4108f325e7ce5f5724e808872)
![{\displaystyle \Pr {\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{ba}}={\frac {\ell }{ba}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4a2d74fbb4a3b7148058cb6222a72fe58b83f2)
![{\displaystyle [0,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba22e25e8f8604f012c599a7d4962562c4bb3f02)
![{\displaystyle U_{[0,L]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e995684064674d2d06963db2a581277bfa0c0e6)
![{\displaystyle f(t)=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {t}{L}}\right)^{n-1}\!=n{\frac {t^{n-1}}{L^{n}}}1\!\!1_{[0,L]}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bb994d51861c2c29398652df1cf3c2b79caf0a)
![{\displaystyle 1\!\!1_{[0,L]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cff43b95a58c16bc9a5d97be265cabd4a635bb)
![{\displaystyle [0,L].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865dd4a189168d3c11e65b12bbb7880568652e1f)
![{\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\varepsilon ]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551b3f94638b0326d17c9d4dca7536f6ceeb3826)
![{\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d99f8778c0be6fce3a7ac95c58b20b2f1a9c0d)
![{\displaystyle L_{n}(a,b)=\prod _{i=1}^{n}f(X_{i})={\frac {1}{(ba)^{n}}}\mathbf {1} _{[a,b]}(X_{1},\dots ,X_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964daae30b00147b416f4bfd90cea20f779f5d5d)
