単位円

数学において、単位円とは単位半径、つまり半径1の円のことである。^[1] 特に三角法においては、単位円はユークリッド平面における直交座標系の原点(0, 0)を中心とする半径1の円を指すことが多い。位相幾何学においては、単位円は1次元の単位 $n$ 球面であるため、 $S$ $1$ と表記されることが多い。^[2]^{[注 1]}

もし $(x, y) が$ 単位円の円周上の点であるとすると、 $| x |$ と $| y |は、斜辺の長さが 1 である$ 直角三角形の脚の長さである。したがって、ピタゴラスの定理により、 $x$ と $y は$ 次の式を満たす。 $x^{2}+y^{2}=1.$

すべての $xに対して$ $x 2 = (- x) 2$ であり、単位円上の任意の点の $x$ 軸または $y$ 軸の周りの反射も単位円上にあるため、上記の式は第 1 象限にある点だけでなく、単位円上のすべての点 $($ $x$ $、$ $y$ $)に対して成り立ちます。$

単位円の内部は開単位円と呼ばれ、単位円自体と結合した単位円の内部は閉単位円と呼ばれます。

また、「距離」の他の概念を使用して、リーマン円などの他の「単位円」を定義することもできます。追加の例については、数学的規範に関する記事を参照してください。

複素平面では

複素平面において、単位大きさの数は単位複素数と呼ばれる。これは、実数部と虚数部に分解すると、次の条件を満たす複素数 $z$ の集合である。 $|z|=1.$ $z=x+iy,$ $|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1.$

複素単位円は、複素指数関数を使用して、正の実軸からの角度の測定によってパラメータ化できます(オイラーの公式を参照)。 $\theta$ $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

複素乗算演算では、単位複素数は円群と呼ばれるグループを形成し、通常はと表されます。量子力学では、単位複素数は位相係数と呼ばれます。 $\mathbb {T} .$

単位円上の三角関数

$角度θ$ の三角関数の余弦と正弦は、単位円上で次のように定義できます。単位円上の点 $($ $x$ $,$ $y$ $)と、原点$ $(0,0)から$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ への光線が正の $x$ 軸から角度 $θ$ をなす場合(反時計回りの回転が正)、 $\cos \theta =x\quad {\text{and}}\quad \sin \theta =y.$

方程式 $x 2 + y 2 = 1$ は次の関係を与える。 $\cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta =1.$

単位円は、正弦関数と余弦関数が周期関数であり、任意の整数 $k$ に対して恒等式を持つことを示しています。 $\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )$ $\sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )$

単位円上に描かれた三角形は、三角関数の周期性を示すためにも使えます。まず、原点 $O$ から単位円上の点 $P($ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)までの半径$ $OPを描き、$ $0 <$ $t$ $< ⁠$ $の$ 角度 $tが$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2⁠は$ $x$ 軸の正の腕で形成されます。ここで、点 $Q(x 1,0)$ と線分 $PQ ⊥ OQ$ を考えます。結果は、 $∠ QOP =$ $t$ の $直角三角形△OPQ$ になります。 $PQ の$ 長さは $y$ $1$ 、 $OQ の$ 長さは $x$ $1$ 、 $OP は$ 単位円上の半径として長さ 1 を持つため、 $sin($ $t$ $) =$ $y$ $1$ および $cos($ $t$ $) =$ $x$ $1$ です。これらの同値性を確立したら、原点から円上の点 $R(-$ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)への別の半径$ $ORを取り、$ $x$ 軸の負の腕と同じ角度 $t$ を形成します。ここで、点 $S(-$ $x$ $1$ $,0)$ と線分 $RS ⊥ OS を考えます。結果は、$ $∠ SOR =$ $t$ の直角三角形 $△ORS$ に。したがって、 $∠ROQ = π -$ $t$ であるため、 $R は$ $(cos(π -$ $t$ $), sin(π -$ $t$ $))$ にあるのと同様に、 P は $(cos($ $t$ $), sin($ $t$ $))$ にあることがわかります。結論として、 $(-$ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)は$ $(cos(π -$ $t$ $), sin(π -$ $t$ $))$ と同じ $であり、 ($ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)は$ $(cos($ $t$ $),sin($ $t$ $))$ と同じであるため $、 sin($ $t$ $) = sin(π -$ $t$ $)$ および $-cos($ $t$ $) = cos(π -$ $t$ $)$ が真です。同様に、 $tan( t$ $)$ $= -tan($ $t$ $)$ であると推論できます。なぜなら、 $tan($ $t$ $) =$ $⁠$ $y 1 / \times 1 ⁠$ そして $tan(π - t) = ⁠ y 1 / - \times 1$ 上記の簡単な証明は、等式 $sin$ $($ $⁠$ $π / 4 ⁠) = sin(⁠ 3π / 4 ⁠) = ⁠ 1 / \sqrt2 ⁠$ 。

直角三角形を扱う場合、正弦関数、余弦関数、その他の三角関数は、角度の測定値が0より大きく、 ⁠より小さい場合にのみ意味を持ちます。 $π$ /2⁠。しかし、単位円を用いて定義すると、これらの関数は、2 $π$ より大きい実数値の角度であっても、意味のある値を生成します。実際、6つの標準的な三角関数（正弦、余弦、正接、余接、正割、余割、そして正弦や余割のような古い関数）はすべて、右に示すように、単位円を用いて幾何学的に定義できます。

単位円を使用すると、ラベルの付いていない多くの角度に対する三角関数の値を、角度の和と差の公式を使用して手作業で簡単に計算できます。

複雑なダイナミクス

発展関数を持つ離散非線形力学系のジュリア集合は単位円である。これは最も単純なケースであるため、力学系の研究で広く用いられている。 $f_{0}(x)=x^{2}$

参照

注記

^ 詳しい議論については、円と円盤の技術的な違いを参照してください。^[2]

参考文献

^ Weisstein, Eric W. 「単位円」. mathworld.wolfram.com . 2020年5月5日閲覧。
^ ab Weisstein, Eric W. 「Hypersphere」. mathworld.wolfram.com . 2020年5月6日閲覧。

[3] 詳しい議論については、円と円盤の技術的な違いを参照してください。^[2]

[1] Weisstein, Eric W. 「単位円」. mathworld.wolfram.com . 2020年5月5日閲覧。

[Unit_sphere-2] Weisstein, Eric W. 「Hypersphere」. mathworld.wolfram.com . 2020年5月6日閲覧。