ユニタリ除数

Certain type of divisor of an integer

数学において、自然数 a が数bの単位因子(またはホール因子) であるとは、 aが数bの約数であり、aとb / a が互いに素であり、1 以外に共通因数を持たない場合を指します。同様に、 bの約数aが単位因子である場合、aのすべての素因数がaとbにおける同じ重複度を持ちます。

ユニタリ因子の概念は、ブロック因子という用語を使用したR.ヴァイダナサスワミ（1931）^[1]に由来します。

例

整数 5 は 60 の単位約数です。これは、5 と60 の共通因数は 1 のみであるためです。 ${\displaystyle {\frac {60}{5}}=12}$

逆に、6 は 60 の約数ではありますが、単位約数ではありません。6 と 6 には、1 以外の共通因数、つまり 2 があるからです。 ${\displaystyle {\frac {60}{6}}=10}$

単位約数の和

単位約数の和関数はギリシャ文字の小文字シグマで表され、 となります。単位約数のk乗の和は となります。 ${\displaystyle \sigma ^{*}(n)}$ ${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

これは乗法関数です。与えられた数の真約数を足し合わせるとその数になる場合、その数は完全数と呼ばれます。

プロパティ

数 1 はあらゆる自然数の単位約数です。

数nの単位約数の数は2 ^{k 個}であり、ここでkはnの異なる素因数の個数である。これは、各整数 N > 1が、異なる素数pの正のべき乗の積となるためである。したがって、Nのすべての単位約数は、 の素約数{ p }の与えられた部分集合S上の、 p ∈ Sの素因数のべき乗の積である。 k個の素因数がある場合、 S の部分集合はちょうど2 ^k個存在し、次の命題が成り立つ。 ${\displaystyle p^{r_{p}}}$ ${\displaystyle p^{r_{p}}}$

nの単位約数の和は、n が2 の累乗( 1 を含む) の場合は奇数になり、そうでない場合は偶数になります。

nの単位約数の個数と和はどちらもnの乗法関数であるが、完全には乗法ではない。ディリクレ生成関数は

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.}$

nのすべての約数は、nが平方数でない場合に限り、ユニタリです。

nの単位約数全体の集合は、最大公約数で与えられ、最小公倍数で与えられるブール代数を形成する。同様に、 nの単位約数全体の集合はブール環を形成し、その加算と乗算は次のように与えられる 。

${\displaystyle a\oplus b={\frac {ab}{(a,b)^{2}}},\qquad a\odot b=(a,b)}$

ここでaとbの最大公約数を表す。^[2] ${\displaystyle (a,b)}$

奇数の単位因子

奇数の単位約数のk乗の和は

${\displaystyle \sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\,\mid \,n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

これは乗法的な関数でもあり、ディリクレ生成関数を持つ。

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}$

双ユニタリ因子

nの約数dは、 dとn / dの最大公約数が 1 であるとき、双ユニタリ約数である。この概念は D. Suryanarayana (1972) に由来する。[整数の双ユニタリ約数の個数、The Theory of Arithmetic Functions、Lecture Notes in Mathematics 251: 273–282、New York、Springer–Verlag]。

nの二元約数の数は平均位数のnの乗法関数であり、^[3] ${\displaystyle A\log x}$

${\displaystyle A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ =0.8073308216\cdots .}$

双ユニタリ完全数とは、その双ユニタリ約数の和に等しい数である。そのような数は6、60、90のみである。^[4]

OEISシーケンス

• OEIS : A034444は ${\displaystyle \sigma _{0}^{*}(n)}$
• OEIS : A034448は ${\displaystyle \sigma _{1}^{*}(n)}$
• OEIS :A034676からOEIS : A034682は ${\displaystyle \sigma _{2}^{*}(n)}$ ${\displaystyle \sigma _{8}^{*}(n)}$
• OEIS : A034444は、単位約数の個数です ${\displaystyle 2^{\omega }(n)}$
• OEIS : A068068は ${\displaystyle \sigma _{0}^{(o)*}(n)}$
• OEIS : A192066は ${\displaystyle \sigma _{1}^{(o)*}(n)}$
• OEIS : A064609は ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}^{*}(i)}$
• OEIS : A306071は定数Aです

参考文献

1. R. ヴァイダヤナサスワミ(1931). 「乗法算術関数の理論」.アメリカ数学会誌. 33 (2): 579– 662. doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
2. Conway, JH; Norton, SP (1979). 「Monstrous Moonshine」 .ロンドン数学会報. 11 (3): 308– 339. doi :10.1112/blms/11.3.308.
3. イヴィッチ（1985）p.395
4. Sandor et al (2006) p.115

• リチャード・K・ガイ(2004).数論における未解決問題.シュプリンガー・フェアラーク. p. 84. ISBN 0-387-20860-7。 セクションB3。
• パウロ・リーベンボイム(2000). 『My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory』 シュプリンガー・フェアラーク p. 352. ISBN 0-387-98911-0。
• コーエン、エックフォード (1959). 「剰余系（mod r）のクラスと関連する算術関数．I. メビウス反転の一般化」. Pacific J. Math . 9 (1): 13– 23. doi : 10.2140/pjm.1959.9.13 . MR  0109806.
• コーエン、エックフォード (1960). 「整数の単位約数に関連する算術関数」. Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80 . doi :10.1007/BF01180473. MR  0112861. S2CID  53004302.
• コーエン、エックフォード (1960). 「整数の単位約数の個数」.アメリカ数学月刊誌. 67 (9): 879– 880. doi :10.2307/2309455. JSTOR  2309455. MR  0122790.
• コーエン, グレアム・L. (1990). 「整数の無限約数について」. Math. Comp . 54 (189): 395– 411. Bibcode :1990MaCom..54..395C. doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR  0993927.
• コーエン, グレアム L. (1993). 「整数の無限約数に関連する算術関数」. Int. J. Math. Math. Sci . 16 (2): 373– 383. doi : 10.1155/S0161171293000456 .
• フィンチ、スティーブン（2004）「ユニタリズムとインフィニタリズム」（PDF）。
• イヴィッチ、アレクサンダル (1985).リーマンゼータ関数. リーマンゼータ関数の理論とその応用. ワイリー・インターサイエンス出版. ニューヨーク他: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 395. ISBN 0-471-80634-X. Zbl  0556.10026。
• Mathar, RJ (2011). 「乗法算術関数のディリクレ級数の概観」arXiv : 1106.4038 [math.NT].セクション4.2
• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 （2006年）。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300。
• Toth, L. (2009). 「オイラーの算術関数と最大公約数和関数の双ユニタリー類似物について」J. Int. Seq . 12 .

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ユニタリ因子」。MathWorld。
• Mathoverflow | ユニタリ因子のブール環

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