上部セット

Subset of a preorder that contains all larger elements

の約数のハッセ図。関係 が の約数である順に並べられており、上側の集合は緑色で示されている。白い集合は下側の集合を形成する。 ${\displaystyle 210}$ ${\displaystyle \uparrow 2}$ ${\displaystyle \downarrow 105.}$

数学において、半順序集合の上集合（Xにおける上向き閉集合、アップセット、または同位体集合とも呼ばれる）^[1]とは、以下の性質を持つ部分集合である。すなわち、 sがSに含まれ、Xのx がsより大きい場合（つまり の場合）、xはSに含まれる。言い換えれば、Sの何らかの元以上のXの任意のx元は、必ずSの元でもある、または、 ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle s<x}$

${\displaystyle a\in S\land b\geq a\implies b\in S}$

下側集合(下方閉集合、下方集合、減少集合、初期セグメント、または半イデアルとも呼ばれる)という用語は、同様に、 Sの何らかの要素に対する X の任意の要素 x は必ず S の要素でもあるという特性を持つ、 XのサブセットSとして定義されます。 ${\displaystyle \,\leq \,}$

意味

を順序付き集合とする。上集合（上向き閉集合、アップ集合、増加集合、等音集合とも呼ばれる）^[1]は、次の意味で「上向きに閉じている」部分集合である。 ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

すべての人のために、そしてすべての場合 ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle u\leq x}$ ${\displaystyle x\in U.}$

双対概念は下方集合（下方閉集合、下方集合、減少集合、初期セグメント、または半理想集合とも呼ばれる）であり、これは「下降に対して閉じている」という意味で、 ${\displaystyle L\subseteq X}$

すべての人のために、そしてすべての場合 ${\displaystyle l\in L}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\leq l}$ ${\displaystyle x\in L.}$

順序イデアルやイデアルという用語は、下側集合の同義語として使用されることがあります。^{[2] [3] [4]この用語の選択は、}格子のイデアルの概念を反映していません。なぜなら、格子の下側集合は必ずしも部分格子ではないからです。^[2]

プロパティ

• 事前注文されたすべてのセットは、それ自体の上位セットです。
• 任意の上位集合の族の積集合と和集合もまた上位集合である。
• 上位セットの補集合は下位セットであり、その逆もまた同様です。
• 部分的に順序付けられた集合が与えられたとき、包含関係を満たす順序付けられたの上側集合の族は完全格子であり、上側集合は格子 である。 ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle X}$
• 半順序集合の任意の部分集合が与えられたとき、それを含む最小の上側集合は上向き矢印を使用して と表されます(上側閉包と下側閉包を参照)。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \uparrow Y}$
  • 双対的に、最小の下側集合は下向き矢印を使用して次のように表される。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \downarrow Y.}$
• 下集合は、の要素であるの形をとるとき主集合と呼ばれる。 ${\displaystyle \downarrow \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$
• 有限な半順序集合の全ての下集合は、その最大要素全てを含む最小の下集合に等しい。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
  • ${\displaystyle \downarrow Y=\downarrow \operatorname {Max} (Y)}$ここで、は、 ${\displaystyle \operatorname {Max} (Y)}$ ${\displaystyle Y.}$
• 有向下集合は順序イデアルと呼ばれます。
• 降順連鎖条件を満たす半順序において、反連鎖と上集合は、以下の一対一対応関係によって一対一に対応する。各反連鎖をその上閉包に写す（下記参照）。逆に、各上集合をその最小元集合に写す。この対応関係は、より一般的な半順序には成立しない。例えば、実数 集合と実数集合は、どちらも空反連鎖に写される。 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>0\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>1\}}$

上部閉鎖と下部閉鎖

半順序集合の要素が与えられたとき、 の上閉包または上方閉包はまたはで定義され 、の下閉包または下方閉包はまたはで定義される。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle x^{\uparrow },}$ ${\displaystyle \uparrow \!x,}$ $${\displaystyle x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\downarrow X},}$ ${\displaystyle x^{\downarrow },}$ ${\displaystyle \downarrow \!x,}$ $${\displaystyle x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.}$$

集合 および は、それぞれ を元として 含む最小の上側集合および下側集合である。より一般的には、およびで表される部分集合が与えられたとき、の上側閉包およびの下側閉包をそれぞれ および と 定義する。 ${\displaystyle \uparrow \!x}$ ${\displaystyle \downarrow \!x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle A^{\downarrow X}}$ $${\displaystyle A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$$ $${\displaystyle A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.}$$

このように、そしてこの形式の上部集合と下部集合は主集合と呼ばれます。ある集合の上部閉包と下部閉包は、それぞれそれを含む最小の上部集合と下部集合です。 ${\displaystyle \uparrow x=\uparrow \{x\}}$ ${\displaystyle \downarrow x=\downarrow \{x\},}$

上閉包と下閉包は、 の冪集合からそれ自身への関数として見た場合、クラトフスキー閉包公理をすべて満たすため、閉包作用素の例となる。結果として、集合の上閉包はそれを含むすべての上集合の交点に等しく、下集合についても同様である。（実際、これは閉包作用素の一般的な現象である。例えば、集合の位相閉包はその集合を含むすべての閉集合の交点である。ベクトル集合の成す範囲はそれを含むすべての部分空間の交点である。群の部分集合によって生成される部分群はそれを含むすべての部分群の交点である。環の部分集合によって生成されるイデアルはそれを含むすべてのイデアルの交点である、などである。） ${\displaystyle X}$

序数

順序数は通常、それより小さい順序数全体の集合と同一視されます。したがって、各順序数は、集合包含によって完全に順序付けられたすべての順序数のクラスにおいて、下位集合を形成します。

参照

• 抽象単体複体（独立系とも呼ばれる） - 包含関係に関して下向きに閉じた集合族。
• 共終集合–半順序集合の部分集合で、すべての要素に対して、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y.}$

参考文献

1. Dolecki & Mynard 2016、27～29頁。
2. ブライアン・A・デイヴィー、ヒラリー・アン・プリーストリー共著（2002年） 『格子と秩序入門』（第2版）ケンブリッジ大学出版局、20、44頁。ISBN 0-521-78451-4。LCCN  2001043910。
3. Stanley, RP (2002).列挙的組合せ論. Cambridge studies in advanced math. 第1巻. Cambridge University Press. p. 100. ISBN 978-0-521-66351-9。
4. Lawson, MV (1998).逆半群：部分対称性の理論. World Scientific. p. 22. ISBN 978-981-02-3316-7。

• Blanck, J. (2000). 「位相空間のドメイン表現」(PDF) .理論計算機科学. 247 ( 1–2 ): 229– 255. doi : 10.1016/s0304-3975(99)00045-6 . 2017年8月8日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2014年7月21日閲覧。
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• ホフマン、KH（2001）、低分離公理（T0）と（T1）

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upper_set&oldid=1313306920"