ウリゾーンの補題

Characterization of normal spaces by continuous functions

位相幾何学において、ウリゾーンの補題は、位相空間が正規であるための必要十分条件は、任意の2つの互いに素な閉部分集合が連続関数によって分離できることである、と述べる補題である。^[1]

ウリゾーンの補題は、正規空間上で様々な性質を持つ連続関数を構成する際によく用いられる。すべての計量空間とすべてのコンパクト・ハウス ドルフ空間は正規空間であるため、この補題は広く適用可能である。この補題はティーツェの拡大定理によって一般化され、通常はティーツェの拡大定理の証明にも用いられる。

この補題は数学者 パベル・サムイロヴィチ・ウリゾーンにちなんで名付けられました。

議論

近隣によって区切られた 2 つのセット。

位相空間の二つの部分集合とが近傍によって分離されているとは、と の近傍が互いに素であることを意味する。特に、 とは必然的に素である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

2 つの単純な部分集合と は、すべて に対してかつすべて に対してとなるような、単位区間への連続関数が存在するとき、連続関数によって分離されていると言われます。このような関数は、およびに対するUrysohn 関数と呼ばれます。特に、 とは必ず互いに素です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle f(b)=1}$ ${\displaystyle b\in B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

したがって、2つの部分集合と が関数によって分離されている場合、それらの閉包も関数によって分離されている。また、2つの部分集合と が関数によって分離されている場合、 と は近傍によって分離されている。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

正規空間とは、任意の二つの互いに素な閉集合が近傍によって分離できる位相空間である。ウリゾーンの補題によれば、位相空間が正規であるためには、任意の二つの互いに素な閉集合が連続関数によって分離できる必要がある。

集合と はによって正確に分離される必要はありません。つまり、 と の外部で とが である必要はなく、保証もありません。すべての 2 つの互いに素な閉部分集合と が連続関数 によって正確に分離される位相空間は、完全に正規です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \neq 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

ウリゾーンの補題は、「ティコノフ性」や「完全ハウスドルフ空間」といった他の位相的性質の定式化につながった。例えば、この補題の系として、正規T ₁空間はティコノフ性を持つということがわかる。

正式な声明

位相空間が正規空間であるためには、任意の2つの空でない閉じた分離部分集合とに対して、次を満たす連続写像が存在する必要がある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(A)=\{0\}}$ ${\displaystyle f(B)=\{1\}.}$

証明スケッチ

証明の一部として構築された最初の数セットのイラスト。

証明は、正規性の以下の代替的な特徴付けを繰り返し適用することで進む。が正規空間であり、が の開部分集合であり、が閉集合である場合、となるような開集合と閉集合が存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}$

とを の互いに素な閉部分集合とする。証明の要点は、この正規性の特徴付けを と に繰り返し適用し、各ステップで構築される新しい集合を継続していくことである。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{\complement }}$

構築する集合は二項分数でインデックス付けされます。すべての二項分数 に対して、 の開集合と閉集合を構築します。これらの集合は次のようになります。 ${\displaystyle r\in (0,1)}$ ${\displaystyle U(r)}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$そしてすべてのために、 ${\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}$すべてのために、 ${\displaystyle r}$
• のために、。 ${\displaystyle r<s}$ ${\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}$

直感的に、集合とは次の層から外側に向かって拡張されます。 ${\displaystyle U(r)}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}A&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complement }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complement }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complement }\end{array}}}$

この構築は数学的帰納法によって進められる。基本ステップとして、2つの追加集合とを定義する。 ${\displaystyle U(1)=B^{\complement }}$ ${\displaystyle V(0)=A}$

ここで、と が に対して既に構成されていると仮定する。 については、この条件は空虚に満たされている点に注意されたい。は正規分布なので、任意の に対して、 となる開集合と閉集合を見つけることができる。 ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}$

${\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}$

次に、上記の 3 つの条件が検証されます。

これらの集合が得られたら、任意の に対してが成り立つことを定義します。そうでない場合は任意の に対してが成り立ちます。ここで は下限を表します。二項有理数が稠密 であるという事実を用いることで、が連続であり、 という性質を持ち、であることを示すのはそれほど難しくありません。このステップを実行するには、集合が必要です。 ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$ ${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}$ ${\displaystyle V(r)}$

Mizarプロジェクトは、 URYSOHN3 ファイル内の Urysohn の補題の証明を完全に形式化し、自動的にチェックしました。

参照

• 軟化剤

注記

1. ウィラード1970年第15節。

参考文献

• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。
• ウィラード、スティーブン（1970年）『一般位相幾何学』ドーバー出版ISBN 0-486-43479-6。

外部リンク

• 「ウリゾーンの補題」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Mizar システムの証明: https://www.mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20

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