V統計量

V統計量は、 1947年の基礎論文で漸近分布理論を展開したリチャード・フォン・ミーゼスにちなんで名付けられた統計学の一種です。 ^{[ 1 ]} V統計量は、1948年にワシリー・ヘフディングによって導入されたU統計量^{[ 2 ] [ 3 ]}（Uは「不偏」の略）と密接に関連しています。 ^{[ 4 ]} V統計量は、確率分布の特定の統計関数によって定義される（サンプルの）統計関数です。

統計関数

経験分布関数の関数 として表現できる統計量は統計関数と呼ばれる。^{[ 5 ]}関数Tの微分可能性はフォン・ミーゼス・アプローチにおいて重要な役割を果たす。そのためフォン・ミーゼスは微分可能な統計関数を考慮している。^{[ 1 ]} ${\displaystyle T(F_{n})}$ ${\displaystyle (F_{n})}$

統計関数の例

1. k次中心モーメントは関数 で あり、 はXの期待値である。関連する統計関数は標本k次中心モーメントである。 ${\displaystyle T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)}$ ${\displaystyle \mu =E[X]}$

   ${\displaystyle T_{n}=m_{k}=T(F_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{k}.}$

2. カイ二乗適合度統計量は統計関数T ( F _n )であり、統計関数

   ${\displaystyle T(F)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(\int _{A_{i}}\,dF-p_{i})^{2}}{p_{i}}},}$

   ここで、A _iはk 個のセルであり、p _{i は}帰無仮説に基づくセルの指定された確率です。
3. クラマー・フォン・ミーゼスとアンダーソン・ダーリングの適合度統計は、関数

   ${\displaystyle T(F)=\int (F(x)-F_{0}(x))^{2}\,w(x;F_{0})\,dF_{0}(x),}$

   ここで、w ( x ;  F ₀ ) は指定された重み関数であり、F ₀は指定された帰無分布です。wが恒等関数の場合、 T ( F _n ) はよく知られたクラマー・フォン・ミーゼスの適合度統計量です。w が恒等関数の場合、T ( F n )_はアンダーソン・ダーリング統計量です。 ${\displaystyle w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}}$

V統計量としての表現

x ₁ , ..., x _nを標本とする。典型的な応用では、統計関数はV統計量として表現される。

${\displaystyle V_{mn}={\frac {1}{n^{m}}}\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{m}=1}^{n}h(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\dots ,x_{i_{m}}),}$

ここでhは対称核関数である。Serfling ^{[ 6 ]}は実際に核を求める方法について議論している。V mn_はm次のV統計量と呼ばれる 。

2次の対称核とは、関数h ( x ,  y )において、 hの定義域内のすべてのxとyに対してh ( x , y )= h ( y , x )となる関数である。サンプルx ₁ , ..., x _nに対して、対応するV統計量は次のように定義される 。

${\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}h(x_{i},x_{j}).}$

V統計量の例

4. 2次のV統計量の例としては、2次中心モーメントm ₂が挙げられる。h ( x , y ) = ( x − y ) ² /2とすると、対応するV統計量は

   ${\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2},}$

   これは分散 の最大尤度推定値である。同じカーネルを用いると、対応するU統計量は（不偏）標本分散となる。

   ${\displaystyle s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$。

漸近分布

例1～3では、統計量の漸近分布が異なります。(1)では正規分布、(2)ではカイ2乗分布、(3)ではカイ2乗変数の加重和です。

フォン・ミーゼスのアプローチは、上記のすべてのケースをカバーする統一理論である。^{[ 1 ]}非公式には、統計関数の漸近分布 の種類は「退化」の次数に依存する。これは、関数Tのテイラー 展開においてどの項が最初の非零項であるかによって決定される。それが線形項である場合、極限分布は正規分布となる。そうでない場合は、（中心極限定理が成り立つような適切な条件下では）より高次の分布が生じる。

U統計量の漸近理論に平行するケースの階層が存在する。^{[ 7 ]} A ( m )を以下のように定義される性質とする 。

午前）：​

1. k < mの場合、 Var( h ( X ₁ , ..., X _k )) = 0 となり、 k = mの場合、 Var( h ( X ₁ , ..., X _k )) > 0 となります。
2. n ^{m /2} R _{mn は}ゼロに近づきます（確率的に）。（R _mnはTのテイラー級数の剰余項です。）

ケースm = 1 (非退化カーネル):

A (1)が真であれば、統計量は​​標本平均であり、中心極限定理よりT(Fn ₎は漸近的に正規分布することがわかる。

分散の例(4)では、m ₂は平均、分散で漸近的に正規分布します（ ）。 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle (\mu _{4}-\sigma ^{4})/n}$ ${\displaystyle \mu _{4}=E(X-E(X))^{4}}$

ケースm = 2 (縮退カーネル):

A (2)が真で、かつであるとする。すると、nV _2,nは分布収束において、独立したカイ2乗変数の重み付き和に収束する。 ${\displaystyle E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,}$ ${\displaystyle E[h(x,X_{1})]\equiv 0}$

${\displaystyle nV_{2,n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}Z_{k}^{2},}$

ここで、は独立した標準正規変数であり、は分布Fと汎関数Tに依存する定数である。この場合、漸近分布は中心ガウス分布の2次形式と呼ばれる。統計量V _{2, n}は退化カーネルV統計量と呼ばれる。クラマー・フォン・ミーゼス汎関数^{[ 1 ]} （例3）に関連するV統計量は、退化カーネルV統計量の一例である。^{[ 8 ]} ${\displaystyle Z_{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

参照

• U統計量
• 漸近分布
• 漸近理論（統計学）

注記

1. フォン・ミーゼス (1947)
2. リー（1990）
3. コロルジュク＆ボロフスキッチ (1994)
4. ホーフディング（1948）
5. フォン・ミーゼス（1947）、309ページ；セルフリング（1980）、210ページ。
6. Serfling（1980年、セクション6.5）
7. サーフリング（1980年、第5～6章）; リー（1990年、第3章）
8. カーネル関数についてはLee（1990、p.160）を参照。

参考文献

• Hoeffding, W. (1948). 「漸近的に正規分布する統計量の一種」 . Annals of Mathematical Statistics . 19 (3​​): 293– 325. doi : 10.1214/aoms/1177730196 . JSTOR  2235637 .
• Koroljuk, VS; Borovskich, Yu.V. (1994). U統計理論（1989年ウクライナ語版からのPVMalyshevとDVMalyshevによる英訳）. ドルドレヒト：Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2608-3。
• リー、AJ（1990）。U-統計：理論と実践。ニューヨーク：Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-8253-4。
• Neuhaus, G. (1977). 「退化したケースにおけるU統計量に対する関数極限定理」 .多変量解析ジャーナル. 7 (3): 424– 439. doi : 10.1016/0047-259X(77)90083-5 .
• Rosenblatt, M. (1952). 「フォン・ミーゼス統計量の変種に関連する極限定理」 Annals of Mathematical Statistics . 23 (4): 617– 623. doi : 10.1214/aoms/1177729341 . JSTOR  2236587 .
• サーフリング, RJ (1980).数理統計学の近似定理. ニューヨーク: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1。
• Taylor, RL; Daffer, PZ; Patterson, RF (1985).交換可能な確率変数の和に関する極限定理. ニュージャージー州: Rowman and Allanheld.
• フォン・ミーゼス, R. (1947). 「微分可能統計関数の漸近分布について」 . Annals of Mathematical Statistics . 18 (2): 309– 348. doi : 10.1214/aoms/1177730385 . JSTOR  2235734 .

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