有界平均振動

Real-valued function

数学における調和解析において、有界平均振動関数（ BMO関数とも呼ばれる）は、平均振動が有界（有限）である実数値関数である。有界平均振動関数空間（BMO）は、ある厳密な意味で、ハーディ空間H ^pの理論において、本質的に有界な関数の空間L ^∞がL ^p空間の理論において果たす役割と同じ役割を果たす関数空間である。これは、初めてこの空間を提唱し研究したフリッツ・ジョンとルイス・ニーレンバーグにちなんで、ジョン・ニーレンバーグ空間とも呼ばれる。

歴史的注記

Nirenberg (1985, p. 703 および p. 707) によると、^[1]有界平均振動の関数空間は John (1961, pp. 410–411) によって、 に属する有界集合から への写像の研究と、弾性理論、具体的には弾性歪みの概念から生じる対応する問題に関連して導入されました。基本的な表記法は、John & Nirenberg (1961) による直後の論文^[2]で導入され、この論文でこの関数空間のいくつかの特性が証明されました。理論の発展における次の重要なステップは、Charles Fefferman ^{[3]による、有名な Fefferman & Stein 1972 の論文での}BMOとHardy 空間の双対性の証明でした。この結果の構成的な証明は、新しい方法を導入して理論のさらなる発展を開始し、Akihito Uchiyama ^{[4]によって与えられました。} ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{1}}$

意味

定義1.超立方体^[5]上の局所積分関数の平均振動は、次の積分の値として定義される。ここで ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u(y)-u_{Q}|\,\mathrm {d} y}$$

• ${\displaystyle |Q|}$は の体積、すなわちそのルベーグ測度である。 ${\displaystyle Q}$
• ${\displaystyle u_{Q}}$は立方体上の の平均値、すなわち ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle u_{Q}={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}u(y)\,\mathrm {d} y.}$$

定義 2. BMO関数は、に含まれるすべての立方体の集合にわたって取られた平均振動上限が有限である局所的に積分可能な関数です。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

注1平均振動の上限は のBMOノルムと呼ばれ、[ 6 ^]で表されます（場合によっては と表記されることもあります）。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BMO} }}$ ${\displaystyle \|u\|_{*}}$

注2 。平均振動を計算する積分領域として立方体 を使用することは必須ではない。Wiegerinck (2001)では代わりに球体を使用しており、Stein (1993, p. 140)が指摘しているように、そうすることで、有界平均振動の関数の完全に同等の定義が生まれる。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

表記

• 特定のドメインにおける BMO 関数の集合に使用される、一般的に採用されている表記法は です。 の場合、は と略されます。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} (\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} (\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$
• 与えられた BMO 関数のBMOノルムは で表されます。場合によっては と表記されることもあります。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BMO} }}$ ${\displaystyle \|u\|_{*}}$

基本的なプロパティ

BMO機能はローカルp–積分可能

${\displaystyle \operatorname {BMO} }$関数はならば局所的に有界であるが、必ずしも局所的に有界である必要はない。実際、ジョン・ニーレンバーグ不等式を用いると、 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<\infty }$

${\displaystyle \|u\|_{\text{BMO}}\simeq \sup _{Q}\left({\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u-u_{Q}|^{p}dx\right)^{1/p}.}$

BMOはバナッハ空間である

定数関数は平均振動がゼロであるため、定数に対して異なる関数は、たとえその差がほぼすべての点でゼロでなくても、同じノルム値を共有することができる。したがって、関数は、対象とする領域上の定数関数の空間を法とする関数の商空間上で、適切にノルムとなる。 ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ ${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BMO} }}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$

隣接する立方体の平均は比較可能

名前が示すように、関数の平均は、位置とスケールが互いに近い立方体上で計算してもあまり変動しません。正確には、とが2項立方体で、境界が接し、の辺の長さがの辺の長さの半分以上である場合（逆も同様）、 ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle |f_{R}-f_{Q}|\leq C\|f\|_{\text{BMO}}}$

ここでは何らかの普遍定数である。この性質は、実際には に属することと等価である。つまり、が局所積分関数であり、すべての二項立方体と が上記の意味で隣接し、が二項関係にある（ただし、上限は二項立方体 でのみとられる）場合、は に属する。^[7] ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f_{R}-f_{Q}|\leq C}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$

BMOは、H¹

フェファーマン（1971）は、空間 が の双対であり、ハーディ空間が であることを示した。^[8] と のペアリングは次のように与えられる 。 ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle f\in H^{1}}$ ${\displaystyle g\in \operatorname {BMO} }$

${\displaystyle (f,g)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

ただし、この積分は一般に絶対収束しないので、定義する際には注意が必要です。

ジョン・ニーレンバーグ不等式

ジョン・ニーレンバーグ不等式は、境界付き平均振動の関数が平均から特定の量だけどれだけ逸脱できるかを規定する推定値です。

声明

各 に対して、に依存しない定数があり、内の任意の立方体に対して、 ${\displaystyle f\in \operatorname {BMO} \left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \left|\left\{x\in Q:|f-f_{Q}|>\lambda \right\}\right|\leq c_{1}\exp \left(-c_{2}{\frac {\lambda }{\|f\|_{\operatorname {BMO} }}}\right)|Q|.}$$

逆に、この不等式がの代わりに何らかの定数を伴うすべての立方体に対して成り立つ場合、 はであり、ノルムは最大で定数倍されます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BMO} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ ${\displaystyle C}$

その結果、BMOからL∞^​

ジョン・ニーレンベルグ不等式は、実際には関数のノルム以上の情報を与えることができる。局所積分可能な関数 に対して、 をその最小値とする。 ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A(f)}$ ${\displaystyle A>0}$

${\displaystyle \sup _{Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}e^{\left|f-f_{Q}\right|/A}\mathrm {d} x<\infty .}$

ジョン・ニーレンバーグ不等式は、何らかの普遍定数 に対して が成り立つことを意味する。しかし、関数 に対しては、上記の不等式はすべての に対して成り立つ。言い換えれば、が 内にある場合である。したがって、定数 は、 内の関数が部分空間 からどれだけ離れているかを測定する方法を与える。この記述はより正確に次のように表現できる。^[9]次元のみに依存する定数 が存在し、任意の関数に対して次の両側不等式が成り立つ。 ${\displaystyle A(f)\leq C\|f\|_{\operatorname {BMO} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle A(f)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle A(f)}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {BMO} (\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\frac {1}{C}}A(f)\leq \inf _{g\in L^{\infty }}\|f-g\|_{\text{BMO}}\leq CA(f).}$

一般化と拡張

BMOHとBMOAのスペース

周囲空間の次元が1のとき、空間BMOは単位円上の調和関数の線型部分空間とみなすことができ、ハーディ空間の理論で重要な役割を果たす。定義2を用いることで、単位円上のBMO( T )空間を関数f  : T → Rの空間として定義することができる。

${\displaystyle {\frac {1}{|I|}}\int _{I}|f(y)-f_{I}|\,\mathrm {d} y<C<+\infty }$

すなわち、単位円^[10]のあらゆる弧Iにおける平均振動が有界となるようなものである。ここで、前述と同様に、f _Iは弧Iにおけるfの平均値である。

定義3.単位円板上の解析関数が調和BMO空間に属する、あるいはBMOH空間に属するとは、BMO( T )関数のポアソン積分である場合に限る。したがって、BMOHは、以下の形を満たすすべての関数uの成す空間である。

${\displaystyle u(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{\left|a-e^{i\theta }\right|^{2}}}f(e^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta }$

標準装備：

${\displaystyle \|u\|_{\text{BMOH}}=\sup _{|a|<1}\left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{|a-e^{i\theta }|^{2}}}\left|f(e^{i\theta })-u(a)\right|\mathrm {d} \theta \right\}}$

BMOH に属する解析関数の部分空間は、解析 BMO 空間またはBMOA 空間と呼ばれます。

BMOAは双対空間としてH¹（D）

チャールズ・フェファーマンは、そのオリジナルの研究で、実BMO空間が上半空間 R ⁿ × (0, ∞]上の実数値調和ハーディ空間の双対であることを証明した。^[11]単位円板上の複素解析と調和解析の理論では、彼の結果は次のように述べられている。^[12] H ^p ( D )を単位円板 上の解析的ハーディ空間とする。p = 1に対して、f ∈ H ¹ ( D )とg  ∈ BMOAを反線形変換T _gを使用してペアリングすることにより 、( H ¹ )*をBMOAと同一視する。

${\displaystyle T_{g}(f)=\lim _{r\to 1}\int _{-\pi }^{\pi }{\bar {g}}(e^{i\theta })f(re^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta }$

H ¹関数 fに対しては常に極限が存在し、T _gは双対空間 ( H ¹ )* の元であるが、変換は反線型であるため、( H ¹ )* と BMOAの間には等長同型性は存在しないことに注意されたい。しかし、共役 BMOA 関数の空間を考察すれば、等長同型性が得られる。

スペースVMO

平均振動消失関数の空間VMOは、BMOにおける無限遠で消失する連続関数の閉包である。これはまた、立方体Q上の「平均振動」が有界であるだけでなく、立方体Qの半径が0または∞に近づくにつれて一様に0に近づく関数の空間としても定義できる。VMO空間は、無限遠で消失する連続関数の空間のハーディ空間的な類似体であり、特に実数値調和ハーディ空間H ¹はVMOの双対である。^[13]

ヒルベルト変換との関係

R上の局所積分可能な関数fがBMOであるための必要十分条件は、次のように書けることである。

${\displaystyle f=f_{1}+Hf_{2}+\alpha }$

ここで、f _i ∈ L ^∞、αは定数、Hはヒルベルト変換です。

BMO ノルムは、そのような表現全体の最小値に相当します。 ${\displaystyle \|f_{1}\|_{\infty }+\|f_{2}\|_{\infty }}$

同様に、fがVMOであるためには、 f _iがR上の一様連続関数として上記の形式で表現できる必要がある。^[14]

二項BMO空間

ΔをR ⁿ内の二項立方体の集合とする。二項立方体空間BMO（BMO _dと表記）は、BMO関数の場合と同じ不等式を満たす関数の空間であるが、上限はすべての二項立方体の上に収まる。この上限は、||•|| _{BMO d}と表記されることもある。

この空間はBMOを適切に含める。特に、関数log( x ) χ _[0,∞)は、2項BMOに含まれるがBMOには含まれない関数である。しかし、関数fが、 C > 0である任意のR ⁿのxに対して|| f (•− x )|| _{BMO d} ≤ Cとなるような関数であれば、 1/3のトリックによりfもBMOに含まれる。 R ⁿではなくT ⁿ上のBMOの場合、関数fが、 n+1個の適切に選ばれたxに対して|| f (•− x )|| _{BMO d} ≤ Cとなるような関数であれば、fもBMOに含まれる。これは、BMO( T ⁿ )が2項BMOのn+1回の移動の共通部分であることを意味する。双対性により、H ¹ ( T ⁿ )は2項H ^1のn +1回の移動の和である。^[15]

二項BMOはBMOよりもはるかに狭いクラスであるが、BMOに当てはまる多くの定理は二項BMOでは証明がはるかに簡単であり、場合によっては、特別な二項の場合に最初に証明することで元のBMO定理を復元できる。^[16]

例

関数の例としては次のようなものがあります。 ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$

• すべての有界（測定可能）関数。が に属する場合、次式が成り立ちます。^[17]しかし、次の例が示すように、逆は成り立ちません。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BMO} }\leq 2\|f\|_{\infty }}$
• ゼロにならない任意の多項式に対する関数。特に、これは に対しても成り立つ。^[17] ${\displaystyle \log |P|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |P(x)|=|x|}$
• が重みならば、 はである。逆に、が ならば、 は十分小さいに対する重みである。この事実はジョン・ニーレンバーグ不等式の結果である。^[18] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle \log(w)}$ ${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle BMO}$ ${\displaystyle e^{\delta f}}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle \delta >0}$

注記

1. フリッツ・ジョンの論文集のほかに、有界平均振動関数の理論の一般的な参考文献として、多くの（短い）歴史的注釈が付いた、スタインの有名な本（1993年、第4章）があります。
2. 、Communications on Pure and Applied Mathematicsの第 14 巻に収録されている論文 (John & Nirenberg 1961) の直前のものである。
3. エリアス・スタインはこの事実の発見をフェファーマンのみの功績としている。(スタイン 1993、p. 139)を参照。
4. 証明についてはUchiyama 1982を参照。
5. または のとき、はそれぞれ立方体または正方形であり、 のとき、積分領域は有界閉区間です。 ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n=1}$
6. 基本プロパティ」セクションで示したように、これはまさに標準です。
7. ジョーンズ、ピーター (1980). 「BMOの拡張定理」.インディアナ大学数学ジャーナル. 29 (1): 41– 66. doi : 10.1512/iumj.1980.29.29005 .
8. 証明については、Fefferman & Stein (1972) の原著論文、Uchiyama (1982) の論文、または Stein の包括的なモノグラフ(1993、p. 142) を参照してください。
9. 詳細については、Garnett & Jones 1978 の論文を参照してください。
10. 単位円Tの弧は、 T自身を共域とする連続関数の下での実数直線R上の有限区間の像として定義できます。より単純でやや素朴な定義は、「弧 (幾何学) 」の項で参照できます。
11. 本エントリのフェファーマン定理のセクションを参照してください。
12. 例えばGirela（2001、pp.102-103）を参照。
13. Stein 1993、180ページを参照。
14. ガーネット 2007
15. T. Mei, BMOは2つの二項BMOの積集合である。CR Math. Acad. Sci. Paris 336 (2003), no. 12, 1003-1006.
16. これらのテーマの包括的な展開については、参考文献 Garnett & Jones 1982 を参照してください。
17. Stein 1993、p. 140を参照。
18. Stein 1993、197ページを参照。

参考文献

歴史的参照

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