分散ガンマプロセス

Concept in probability

分散ガンマ過程の3つのサンプルパス（それぞれ赤、緑、黒）

確率過程論（数学的確率論の一部）において、分散ガンマ（VG）過程（ラプラス運動とも呼ばれる）は、ランダムな時間変化によって決定されるレヴィ過程である。この過程は有限モーメントを持ち、多くのレヴィ過程と区別される。VG過程には拡散要素がないため、純粋なジャンプ過程である。増分は独立しており、ラプラス分布の一般化である分散ガンマ分布に従う。

VG過程には、他の過程と関連付ける表現がいくつか存在します。例えば、ガンマ過程に従うランダムな時間変化を伴うドリフトを伴うブラウン運動 として記述できます（文献では という表記法が用いられています）。 ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle \theta t}$ ${\displaystyle \Gamma (t;1,\nu )}$ ${\displaystyle \Gamma (t;\gamma =1/\nu ,\lambda =1/\nu )}$

${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\theta \,\Gamma (t;1,\nu )+\sigma \,W(\Gamma (t;1,\nu ))\quad .}$

これを別の言い方で述べると、分散ガンマ過程はガンマ従属項に従属するブラウン運動であると言えます。

VG過程は有限変化なので、2つの独立したガンマ過程の差として表すことができます。^[1]

${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\Gamma (t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\Gamma (t;\mu _{q},\mu _{q}^{2}\,\nu )}$

どこ

${\displaystyle \mu _{p}:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}+{\frac {\theta }{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad \mu _{q}:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}-{\frac {\theta }{2}}\quad .}$

あるいは、複合ポアソン過程によって近似することもでき、これは明示的に与えられた（独立した）ジャンプとその位置を含む表現につながる。この最後の特徴付けは、ジャンプの位置とサイズを含むサンプルパスの構造を理解するのに役立つ。^[2]

分散ガンマ過程の初期の歴史についてはSeneta（2000）を参照のこと。^[3]

瞬間

分散ガンマ過程の平均は、およびとは独立であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X(t)]=\theta t}$

分散は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Var} [X(t)]=(\theta ^{2}\nu +\sigma ^{2})t}$

3番目の中心モーメントは

${\displaystyle \operatorname {E} [(X(t)-\operatorname {E} [X(t)])^{3}]=(2\theta ^{3}\nu ^{2}+3\sigma ^{2}\theta \nu )t}$

4番目の中心モーメントは

${\displaystyle \operatorname {E} [(X(t)-\operatorname {E} [X(t)])^{4}]=(3\sigma ^{4}\nu +12\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu ^{2}+6\theta ^{4}\nu ^{3})t+(3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu +3\theta ^{4}\nu ^{2})t^{2}}$

オプション価格設定

VGプロセスは、ブラウン運動よりも歪度と尖度のより広範なモデル化を可能にするため、オプションの価格設定に有利です。そのため、分散ガンマモデルは、単一のパラメータセットを用いて、異なる権利行使価格と満期日のオプションを一貫して価格設定することを可能にします。MadanとSenetaは、分散ガンマプロセスの対称バージョンを提示しています^[4] 。Madan 、Carr、Chang ^[1]は、このモデルを非対称形式に拡張し、分散ガンマプロセスに基づくヨーロピアンオプションの価格設定式を提示しています。

ヒルサとマダンは、分散ガンマ過程におけるアメリカンオプションの価格設定方法を示しています。^[5]フィオラーニは、分散ガンマ過程におけるヨーロピアンオプションとアメリカンバリアオプションの数値解を提示しています。^[6]彼はまた、分散ガンマ過程におけるバニラおよびバリアヨーロピアンオプションとアメリカンバリアオプションの価格設定を行うためのコンピュータコードも提供しています。

Lemmensら^[7]は、分散ガンマモデルを含むいくつかのレヴィモデルの算術アジアオプションの境界を構築した。

信用リスクモデリングへの応用

分散ガンマ法は、構造モデルにおける信用リスクのモデリングに効果的に適用されてきました。この法の純粋なジャンプ特性と分布の歪度と尖度を制御できることから、このモデルは満期が短い証券のデフォルトリスクを適切に価格設定することが可能です。これは、原資産がブラウン運動に従う構造モデルでは一般的に不可能なことです。Fiorani、Luciano、およびSemeraro ^{[8]は、分散ガンマ法を適用した}クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）のモデル化を行いました。彼らは広範な実証的検証を行い、分散ガンマ法を適用した価格設定が、文献で提示されている他のモデルと比較して優れたパフォーマンスを示すことを示しました。

シミュレーション

分散ガンマ過程のモンテカルロ法はFu (2000)によって説明されている。^[9]アルゴリズムはKorn et al. (2010)によって発表されている。^[10]

VGをガンマ時間変化ブラウン運動としてシミュレートする

• 入力: VGパラメータと時間増分、ここで ${\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu }$ ${\displaystyle \Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.}$
• 初期化: X (0) = 0に設定します。
• ループ: i = 1 からNまで:

1. 過去のランダム変量とは独立して、独立したガンマ変量と正規変量を生成します。 ${\displaystyle \Delta \,G_{i}\,\sim \Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu )}$ ${\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$
2. 戻る ${\displaystyle X(t_{i})=X(t_{i-1})+\theta \,\Delta G_{i}+\sigma {\sqrt {\Delta G_{i}}}Z_{i}.}$

ガンマの差としてVGをシミュレートする

このアプローチ^{[9] [10]}はガンマ表現の違いに基づいており、ここでは上記のように定義されています。 ${\displaystyle X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;=\;\Gamma (t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\Gamma (t;\mu _{q},\mu _{q}^{2}\,\nu )}$ ${\displaystyle \mu _{p},\mu _{q},\nu }$

• 入力: VGパラメータ[ ]と時間増分、ここで ${\displaystyle \theta ,\sigma ,\nu ,\mu _{p},\mu _{q}}$ ${\displaystyle \Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.}$
• 初期化: X (0) = 0に設定します。
• ループ: i = 1 からNまで:

1. 過去のランダム変量から独立して、独立したガンマ変量を生成します。 ${\displaystyle \gamma _{i}^{-}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{q}),\quad \gamma _{i}^{+}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{p}),}$
2. 戻る ${\displaystyle X(t_{i})=X(t_{i-1})+\Gamma _{i}^{+}(t)-\Gamma _{i}^{-}(t).}$

2-EPT分布としての分散ガンマ

整数という制約の下では、分散ガンマ分布は2-EPT確率密度関数として表すことができます。この仮定の下では、バニラオプション価格とそれに関連するギリシャ関数を閉形式に導出することが可能です。包括的な説明については、^{[11]を参照してください。} ${\displaystyle {\frac {1}{\nu }}}$

参考文献

1. Dilip Madan、Peter Carr、Eric Chang (1998). 「分散ガンマ過程とオプション価格設定」(PDF) . European FinanceReview . 2 : 79–105 .
2. Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001). The Laplace distribution and generalizations : a revisit with applications to communications, economics, engineering, and finance . Boston [ua]: Birkhäuser. ISBN 978-0817641665。
3. ユージン・セネタ(2000). 「分散・ガンマ過程の初期」. マイケル・C・フー、ロバート・A・ジャロウ、ジュイー・J・イェン、ロバート・J・エリオット編. 『数理ファイナンスの進歩』 ボストン: バークハウザー. ISBN 978-0-8176-4544-1。
4. Madan, Dilip B.; Seneta, Eugene (1990). 「株式市場リターンのための分散ガンマ（VG）モデル」. J​​ournal of Business . 63 (4): 511– 524. doi :10.1086/296519. JSTOR  2353303.
5. Hirsa, Ali; Madan, Dilip B. (2003). 「分散ガンマ下におけるアメリカンオプションの価格設定」. Journal of Computational Finance . 7 (2): 63– 80. doi :10.21314/JCF.2003.112. S2CID  8283519.
6. Filo Fiorani (2004).分散ガンマ過程におけるオプション価格設定. 未発表論文. p. 380. SSRN  1411741.PDF.
7. Lemmens, Damiaan; Liang, Ling Zhi; Tempere, Jacques; De Schepper, Ann (2010)「Lévyモデルにおける離散算術アジアンオプションの価格設定限界」、Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications、389 (22): 5193– 5207、Bibcode :2010PhyA..389.5193L、doi :10.1016/j.physa.2010.07.026
8. Filo Fiorani、Elisa Luciano、Patrizia Semeraro、(2007)、純粋に不連続な資産を備えた構造モデルにおける単一および共同デフォルト、ワーキング ペーパー No. 41、カルロ アルベルト ノートブック、Collegio Carlo Alberto。 URL PDF
9. Michael C. Fu (2000). 「分散-ガンマとモンテカルロ」 Michael C. Fu、Robert A. Jarrow、Ju-Yi J. Yen、Robert J. Elliott (編) 『数理ファイナンスの進歩』 ボストン: Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4544-1。
10. Ralf Korn、Elke Korn、Gerald Kroisandt (2010). Monte Carlo Methods and Models in Finance and Insurance . Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4200-7618-9。（セクション7.3.3）
11. Sexton, C. および Hanzon, B.、「金融モデリングアプリケーションにおける両側 EPT 密度の状態空間計算」、 www.2-ept.com

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