分散ガンマ分布

連続確率分布

分散ガンマ分布
パラメータ	${\displaystyle \mu }$ 位置（実数） （実数）非対称パラメータ（実数）形状パラメータ（代替パラメータ化には[1]を使用） ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \nu =1/\lambda }$ ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\gamma ^{2\lambda }|x-\mu |^{\lambda -1/2}K_{\lambda -1/2}\left(\alpha |x-\mu |\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\lambda )(2\alpha )^{\lambda -1/2}}}\;e^{\beta (x-\mu )}}$ ${\displaystyle K_{\lambda }}$は第二種修正ベッセル関数を表し、ガンマ関数を表す。 ${\displaystyle \Gamma }$
平均	${\displaystyle \mu +2\beta \lambda /\gamma ^{2}}$
分散	${\displaystyle 2\lambda (1+2\beta ^{2}/\gamma ^{2})/\gamma ^{2}}$
MGF	${\displaystyle e^{\mu z}\left(\gamma /{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}}\right)^{2\lambda }}$

分散ガンマ分布、一般化ラプラス分布^[2]、またはベッセル関数分布^[2]は、混合密度がガンマ分布である正規分散平均混合として定義される連続確率分布です。分布の裾は、正規分布よりも緩やかに減少します。したがって、数値的に大きな値が正規分布の場合よりも発生する可能性が高い現象をモデル化するために適しています。例として、金融資産の収益率や乱流風速が挙げられます。この分布は、金融文献でマダンとセネタによって導入されました^[3] 。分散ガンマ分布は、一般化双曲型分布のサブクラスを形成します。

モーメント生成関数に単純な式が存在するという事実は、すべてのモーメントに単純な式が存在することを意味します。分散ガンマ分布のクラスは、次の意味で畳み込みに対して閉じています。 とが、それぞれパラメータ と が同じ値を持つ分散ガンマ分布に従う独立確率変数であり、他のパラメータ 、 、が異なる値を持つ可能性がある 場合、 は パラメータ、、を持つ分散ガンマ分布に従います。 ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2},}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}}$

分散ガンマ分布は、3つの入力パラメータ（C、G、M）を用いて表すこともできます。これらのパラメータは、それぞれの創始者の頭文字にちなんで表記されます。「C」（ここでのパラメータ）が整数の場合、分布は閉じた2-EPT分布に従います。2 -EPT確率密度関数を参照してください。この制約の下で、閉じたオプション価格を導出することができます。 ${\displaystyle \lambda }$

、かつの場合、分布は尺度パラメータを持つラプラス分布となる。 である限り、と の代替選択はラプラス分布に関連する分布を生成する。その歪度、尺度、位置は他のパラメータに依存する。^[4] ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

対称分散ガンマ分布の場合、尖度は次のように表される。^[1] ${\displaystyle 3(1+1/\lambda )}$

分散ガンマプロセスも参照してください。

注記

1. ネスラー, スコット; ホール, アンドリュー (2019年10月4日). 「分散ガンマ分布」.英国王立統計学会. 16 (5): 10–11 . doi : 10.1111/j.1740-9713.2019.01314.x .
2. Kotz, S.; et al. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations . Birkhäuser. p. 180. ISBN 0-8176-4166-1。
3. DB MadanとE. Seneta（1990）：株式市場の収益の分散ガンマ（VG）モデル、Journal of Business、63、pp.511-524。
4. マイヤーズ、ロバート・A. (2010). 『金融と計量経済学における複雑系』シュプリンガー. p. 326. ISBN 9781441977007。

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