分散安定化変換

応用統計学において、分散安定化変換とは、グラフィカルな探索的データ分析における検討を簡素化するため、または単回帰分析や分散分析手法の適用を可能にするために特に選択されるデータ変換である。^[1]

概要

分散安定化変換を選択する目的は、データセット内の値xに適用する単純な関数ƒを見つけ、値yの変動性が平均値に依存しないような新しい値 $y$ $=$ $ƒ$ $($ $x$ $)$ を作成することです。例えば、値xが異なるポアソン分布からの実現値であるとします。つまり、それぞれの分布の平均値μは異なります。ポアソン分布では分散は平均と同じなので、分散は平均に応じて変化します。しかし、単純な分散安定化変換では

y={\sqrt {x}}\,

を適用すると、観測に関連するサンプリング分散はほぼ一定になります。詳細といくつかの代替変換については、 Anscombe 変換を参照してください。

分散安定化変換は、ポアソン分布や二項分布といった特定のパラメトリック分布族ではよく知られていますが、データ解析の中にはより経験的に行われるものもあります。例えば、べき乗変換の中から適切な固定変換を探すといった方法です。あるいは、データ解析によって分散と平均の関係が関数型であることが示唆される場合、これを用いて分散安定化変換を導出することができます。^[2]例えば、平均μに対して、

\operatorname {var} (X)=h(\mu ),\,

分散安定化変換の適切な基底は

y\propto \int ^{x}{\frac {1}{\sqrt {h(\mu )}}}\,d\mu ,

ここで、便宜上、任意の積分定数と任意のスケーリング係数を選択できます。

例: 相対分散

$X$ が正の確率変数であり、ある定数sに対して分散が $h (μ) = s 2 μ 2$ と与えられる場合、標準偏差は平均に比例し、これは固定相対誤差と呼ばれる。この場合、分散安定化変換は

y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\ln(x)\propto \log(x)\,.

つまり、分散安定化変換は対数変換です。

例: 絶対分散と相対分散

分散が $h (μ) = σ 2 + s 2 μ 2$ $と与えられる場合、 |$ $μ$ $|$ が十分に小さいときは固定分散 $σ 2$ によって分散が支配され、 $|$ $μ$ $|$ が十分に大きいときは相対分散 $s$ $2$ $μ$ $2$ によって分散が支配される。この場合、分散安定化変換は

y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {\sigma ^{2}+s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\operatorname {asinh} {\frac {x}{\sigma /s}}\propto \operatorname {asinh} {\frac {x}{\lambda }}\,.

つまり、分散安定化変換は、 $λ$ $=$ $σ$ $/$ $s$ のスケール値 $x$ $/$ $λ$ の逆双曲線正弦です。

例: ピアソン相関

フィッシャー変換は、ピアソン相関係数の分散安定化変換です。

デルタ法との関係

ここではデルタ法を大まかに示していますが、分散安定化変換との関係を理解するには十分です。より正式なアプローチについては、デルタ法を参照してください。

を確率変数とし、をとします。を正規関数として定義します。の一次テイラー近似は次のようになります。 $X$ $E[X]=\mu$ $\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}$ $Y=g(X)$ $g$ $Y=g(x)$

$Y=g(X)\approx g(\mu )+g'(\mu )(X-\mu )$

上記の式から次の式が得られます。

E[Y]\approx g(\mu )

そして

\operatorname {Var} [Y]\approx \sigma ^{2}g'(\mu )^{2}

この近似法はデルタ法と呼ばれます。

ここで、かつとなる確率変数を考えてみましょう。分散と平均の関係に注目してください。これは、例えば線型モデルにおける異分散性を意味します。したがって、目標は、の分散が（少なくとも近似的に）期待値に依存しないような関数を見つけることです。 $X$ $E[X]=\mu$ $\operatorname {Var} [X]=h(\mu )$ $g$ $Y=g(X)$

条件を課すと、この等式は次の微分方程式を意味します。 $\operatorname {Var} [Y]\approx h(\mu )g'(\mu )^{2}={\text{定数}}$

{\frac {dg}{d\mu }}={\frac {C}{\sqrt {h(\mu )}}}

この常微分方程式は、変数分離により次の解を持ちます。

g(\mu )=\int {\frac {C\,d\mu }{\sqrt {h(\mu )}}}

この最後の表現はMS Bartlettの論文で初めて登場しました。^[3]

参考文献

^ エヴェリット, BS (2002).ケンブリッジ統計辞典（第2版）. CUP. ISBN 0-521-81099-X。
^ Dodge, Y. (2003).オックスフォード統計用語辞典. OUP. ISBN 0-19-920613-9。
^ Bartlett, MS (1947). 「変換の利用」.バイオメトリクス. 3 : 39–52 . doi :10.2307/3001536.

[1] エヴェリット, BS (2002).ケンブリッジ統計辞典（第2版）. CUP. ISBN 0-521-81099-X。

[2] Dodge, Y. (2003).オックスフォード統計用語辞典. OUP. ISBN 0-19-920613-9。

[3] Bartlett, MS (1947). 「変換の利用」.バイオメトリクス. 3 : 39–52 . doi :10.2307/3001536.