ベクトル論理

ベクトル論理^{[1] [2]は、}行列代数に基づく初等論理の代数 モデルである。ベクトル論理では、真理値がベクトルに写像され、単項演算と二項演算が行列演算子によって実行されると仮定する。「ベクトル論理」はまた、単位ベクトルが命題変数 であるベクトル空間としての古典的な命題論理の表現を指すためにも用いられる^{[3] [4]}。述語論理は、軸が述語文字とを表す同じタイプのベクトル空間として表すことができる。^[5]命題論理のベクトル空間では、原点は偽 F を表し、無限周縁は真 T を表す。一方、述語論理のベクトル空間では、原点は「無」を表し、周縁は無からの逃避、あるいは「何か」を表す。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$

概要

古典的な二項論理は、1つ（モナディック）または2つ（ダイアディック）の変数に依存する少数の数学関数で表現されます。二項論理では、値1は真、値0は偽に対応します。二値ベクトル論理では、真理値真（t）と偽（f）と、2つのq次元正規化された実数値列ベクトル sとnとの対応が必要です。したがって、

${\displaystyle t\mapsto s}$   そして    ${\displaystyle f\mapsto n}$

（ここでは任意の自然数であり、「正規化」とはベクトルの長さが1であることを意味します。通常、 sとnは直交ベクトルです）。この対応はベクトル真理値空間V ₂  = { s , n }を生成します。このベクトル集合を用いて定義される基本的な論理演算は、行列演算子につながります。 ${\displaystyle q\geq 2}$

ベクトル ロジックの演算は、q次元の列ベクトル間のスカラー積に基づいています。ベクトルsとn間の直交性は、の場合、 の場合、 であることを意味します。ここで、 です。 ${\displaystyle u^{T}v=\langle u,v\rangle }$ ${\displaystyle \langle u,v\rangle =1}$ ${\displaystyle u=v}$ ${\displaystyle \langle u,v\rangle =0}$ ${\displaystyle u\neq v}$ ${\displaystyle u,v\in \{s,n\}}$

モナド演算子

モナド演算子は の適用から得られ、関連する行列はq行q列を持ちます。この2値ベクトル論理における2つの基本的なモナド演算子は、恒等演算子と否定演算子です。 ${\displaystyle Mon:V_{2}\to V_{2}}$

• 恒等行列：論理恒等行列 ID( p ) は行列 で表されます。この行列は次のように作用します：Ip  =  p , p  ∈  V _{2 。s}はnに関して直交するため、 となり、同様に となります。このベクトル論理恒等行列は、一般に行列代数の意味での恒等行列ではないことに注意することが重要です。 ${\displaystyle I=ss^{T}+nn^{T}}$ ${\displaystyle Is=ss^{T}s+nn^{T}s=s\langle s,s\rangle +n\langle n,s\rangle =s}$ ${\displaystyle In=n}$
• 否定：論理否定 ¬ pは行列で表される。したがって、Ns  =  nかつNn  =  sとなる。論理否定の逆行的動作、すなわち ¬(¬ p )がpに等しいことは、 N ²  =  Iという事実に対応する。 ${\displaystyle N=ns^{T}+sn^{T}}$

二項演算子

16個の2値二項演算子は 型の関数に対応し、二項行列はq ²行q列を持ちます。これらの二項演算を実行する行列は、クロネッカー積の特性に基づいています。この積の2つの特性は、ベクトル論理の形式化に不可欠です。 ${\displaystyle Dyad:V_{2}\otimes V_{2}\to V_{2}}$

1. 混合積の性質

   A、B、C、Dが行列積ACとBDを形成できる大きさの行列である場合、

   ${\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD}$

2. 分配的転置 転置の演算はクロネッカー積に対して分配的である。
   ${\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}$

これらの特性を利用して、二項論理関数の式を得ることができます。

• 論理積。論理積（ p∧q ）は、2つのベクトル真理値に作用する行列によって実行されます。この、古典的な論理積の真理値表の特徴をその定式化において再現します。 ${\displaystyle C(u\otimes v)}$

${\displaystyle C=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T}}$

そして検証する

${\displaystyle C(s\otimes s)=s,}$そして

${\displaystyle C(s\otimes n)=C(n\otimes s)=C(n\otimes n)=n.}$

• 論理和。論理和（ p∨q ）は行列によって実行される。

${\displaystyle D=s(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}$その結果

${\displaystyle D(s\otimes s)=D(s\otimes n)=D(n\otimes s)=s}$そして

${\displaystyle D(n\otimes n)=n.}$

• 含意。この含意は、古典論理ではp  →  q  ≡ ¬ p  ∨  qという式に対応する。この同値性のベクトル論理版は、この含意をベクトル論理で表す行列 となる。この含意の明示的な表現は以下の通りである。 ${\displaystyle L=D(N\otimes I)}$

${\displaystyle L=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T},}$

そして古典的な含意の性質は満たされる：

${\displaystyle L(s\otimes s)=L(n\otimes s)=L(n\otimes n)=s}$そして

${\displaystyle L(s\otimes n)=n.}$

• 同値性と排他的論理和。ベクトル論理では、同値性p ≡ qは次の行列で表されます。

${\displaystyle E=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T}}$と

${\displaystyle E(s\otimes s)=E(n\otimes n)=s}$そして

${\displaystyle E(s\otimes n)=E(n\otimes s)=n.}$

排他的論理和は同値性の否定、¬( p ≡ q )であり、次式で表される行列に対応する。 ${\displaystyle X=NE}$

${\displaystyle X=n(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}$

と​ ${\displaystyle X(s\otimes s)=X(n\otimes n)=n}$

${\displaystyle X(s\otimes n)=X(n\otimes s)=s.}$

• NANDとNOR

行列SとPはそれぞれシェファー（NAND）演算とピアーズ（NOR）演算に対応します。

${\displaystyle S=NC}$

${\displaystyle P=ND}$

数値例

以下は、 sとnの 2 つの異なる 2 次元直交ベクトルのセットの行列として実装されたいくつかの基本的な論理ゲートの数値例です。

セット1 : $${\displaystyle s={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad n={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$

この場合、恒等演算子と否定演算子は恒等行列と反対角恒等行列である。

$${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$$

そして、連言、選言、含意の行列は

$${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$$それぞれ。

セット2 : $${\displaystyle s={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\quad n={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$$

ここで、恒等演算子は恒等行列ですが、否定演算子はもはや反対角恒等行列ではありません。

$${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$

論理積、論理和、含意の結果の行列は次のようになります。

$${\displaystyle C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\-1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&1&-1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&-1&1\end{bmatrix}}}$$それぞれ。

ド・モルガンの法則

2値論理では、論理積と論理和の演算はド・モルガンの法則: p ∧ q ≡¬(¬ p ∨¬ q ) とその双対 : p ∨ q ≡¬(¬ p ∧¬ q )) を満たします。2値ベクトル論理でもこの法則は検証されます。

${\displaystyle C(u\otimes v)=ND(Nu\otimes Nv)}$ここで、uとvは 2 つの論理ベクトルです。

クロネッカー積は次の因数分解を意味します。

${\displaystyle C(u\otimes v)=ND(N\otimes N)(u\otimes v).}$

すると、2次元ベクトル論理において、ド・モルガンの法則は演算に関する法則だけではなく、演算子に関する法則であることが証明される。^[6]

${\displaystyle C=ND(N\otimes N)}$

対偶の法則

古典的な命題計算では、p  →  q  ≡ ¬ q  → ¬ pの対偶の法則は、 pとqの真理値のすべての可能な組み合わせに対して同値性が成り立つため証明されます。^[7]一方、ベクトル論理では、対偶の法則は、次に示すように、行列代数とクロネッカー積の規則の範囲内の等式の連鎖から生じます。

${\displaystyle L(u\otimes v)=D(N\otimes I)(u\otimes v)=D(Nu\otimes v)=D(Nu\otimes NNv)=}$

${\displaystyle D(NNv\otimes Nu)=D(N\otimes I)(Nv\otimes Nu)=L(Nv\otimes Nu)}$

この結果は、選言行列Dが可換演算を表すという事実に基づいています。

多値2次元論理

多値論理は多くの研究者、特にヤン・ウカシェヴィチによって開発され、不確実性を含む真理値への論理演算の拡張を可能にしました。^[8] 2値ベクトル論理の場合、真理値の不確実性は、確率で重み付けされたsとnを持つベクトルを使用して導入できます。

をこの種の「確率的」ベクトルとする。ここで、論理の多価性は、入力に導入された不確実性を通じて事後的に^{導入される。 [1]} ${\displaystyle f=\epsilon s+\delta n}$ ${\displaystyle \epsilon ,\delta \in [0,1],\epsilon +\delta =1}$

ベクトル出力のスカラー投影

この多値論理の出力はスカラー関数に投影することができ、ライヘンバッハの多値論理との類似性を持つ特定のクラスの確率論理を生成する。 ^{[9] [10] [11]} 2つのベクトルとと2項論理行列が与えられると、ベクトルsへの投影によってスカラー確率論理が提供される 。 ${\displaystyle u=\alpha s+\beta n}$ ${\displaystyle v=\alpha 's+\beta 'n}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle Val(\mathrm {scalars} )=s^{T}G(\mathrm {vectors} )}$

これらの予測の主な結果は次のとおりです。

${\displaystyle NOT(\alpha )=s^{T}Nu=1-\alpha }$

${\displaystyle OR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}D(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-\alpha \alpha '}$

${\displaystyle AND(\alpha ,\alpha ')=s^{T}C(u\otimes v)=\alpha \alpha '}$

${\displaystyle IMPL(\alpha ,\alpha ')=s^{T}L(u\otimes v)=1-\alpha (1-\alpha ')}$

${\displaystyle XOR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}X(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-2\alpha \alpha '}$

関連する否定は次のとおりです。

${\displaystyle NOR(\alpha ,\alpha ')=1-OR(\alpha ,\alpha ')}$

${\displaystyle NAND(\alpha ,\alpha ')=1-AND(\alpha ,\alpha ')}$

${\displaystyle EQUI(\alpha ,\alpha ')=1-XOR(\alpha ,\alpha ')}$

スカラー値が集合{0, ⁠に属する場合1/2⁠ , 1}、この多値スカラー論理は、多くの演算子に関してŁukasiewiczの3値論理とほぼ同一である。また、この集合に属する確率ベクトルに対して単項演算子または二項演算子を作用させると、出力もこの集合の要素になることが証明されている。^[6]

NOTの平方根

この演算子はもともと量子コンピューティングの枠組みの中で量子ビットに対して定義されました。^{[12] [13]}ベクトル論理では、この演算子は任意の直交真理値に対して拡張できます。^{[2] [14]}実際、NOTには2つの平方根があります。

${\displaystyle A=({\sqrt {N}})_{1}={\frac {1}{2}}(1+i)I+{\frac {1}{2}}(1-i)N}$、 そして

${\displaystyle B=({\sqrt {N}})_{2}={\frac {1}{2}}(1-i)I+{\frac {1}{2}}(1+i)N}$、

とは複素共役です。つまり、 、 、 であることに注意してください。もう一つ興味深い点は、-1 の2つの平方根との類似性です。正の根は、負の根はに対応します。結果として、となります。 ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B=A^{*}}$ ${\displaystyle A^{2}=B^{2}=N}$ ${\displaystyle AB=BA=I}$ ${\displaystyle +({\sqrt {-1}})}$ ${\displaystyle ({\sqrt {N}})_{1}=IA}$ ${\displaystyle -({\sqrt {-1}})}$ ${\displaystyle ({\sqrt {N}})_{2}=NA}$ ${\displaystyle NA=B}$

歴史

線形代数を使用して論理演算を表現する初期の試みは、特に関係の計算を解釈するための論理行列の使用において、パースとコピロウィッシュ^[15]に言及することができます。

このアプローチは、高次元の行列とベクトルの使用に基づくニューラルネットワークモデルにヒントを得ています。 ^{[16] [17]ベクトル論理は、古典的な}ブール多項式を行列–ベクトル形式に直接変換したものです。^{[18]この種の形式は}、複素数に関するファジー論理の開発に応用されています。^{[19]論理計算に対する他の行列とベクトルのアプローチは}、量子物理学、コンピューターサイエンス、光学の枠組みの中で開発されています。^{[20] [21]}

インドの生物物理学者GNラマチャンドランは、代数行列とベクトルを用いて、シヤドとサプトバンギとして知られる古典的なジャイナ教論理の多くの演算を表現する形式論を開発した。インド論理学を参照。^[22]この形式論では、命題の各主張に対して独立した肯定的証拠が必要であり、二項補完の仮定は行われない。

ブール多項式

ジョージ・ブールは、論理演算を多項式として発展させました。^{[18]モナド演算子（}恒等演算や否定演算など）の場合、ブール多項式は次のようになります。

${\displaystyle f(x)=f(1)x+f(0)(1-x)}$

4つの異なる単項演算は、係数の異なる2進値から生じます。恒等演算はf (1) = 1かつf (0) = 0で、否定演算はf (1) = 0かつf (0) = 1で発生します。16個の2項演算子の場合、ブール多項式は次のようになります。

${\displaystyle f(x,y)=f(1,1)xy+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(0,0)(1-x)(1-y)}$

二項演算は、係数fがそれぞれの真理値表に示されている値を取る場合、この多項式形式に変換できます。例えば、NAND演算では次の式が求められます。

${\displaystyle f(1,1)=0}$ そして 。 ${\displaystyle f(1,0)=f(0,1)=f(0,0)=1}$

これらのブール多項式は任意の数の変数に拡張することができ、多様な論理演算子を生成することができます。ベクトル論理において、論理演算子の行列ベクトル構造は、これらのブール多項式の線形代数の形式に正確に変換されます。ここで、xと 1− x はそれぞれベクトルsとnに対応します（ yと 1− yも同様です）。NANDの例では、f (1,1)= n、f (1,0)= f (0,1 )= f ( 0,0)= sであり、行列バージョンは次のようになります。

${\displaystyle S=n(s\otimes s)^{T}+s[(s\otimes n)^{T}+(n\otimes s)^{T}+(n\otimes n)^{T}]}$

拡張機能

• ベクトル論理は、高次元ベクトル空間が多くの直交真理値とそれに対応する論理行列の作成を可能にするため、多くの真理値を含むように拡張することができる。^[2]
• この文脈では、ニューラルモデルにヒントを得た再帰プロセスによって、論理的様相を完全に表現することができる。^{[2] [23]}
• この形式論を用いることで、論理計算に関する認知的問題、特に再帰的決定を分析することができる。古典的な命題論理の論理表現は、木構造で自然に表現できる。^[7]この事実はベクトル論理にも保持されており、自然言語の分岐構造の研究に焦点を当てたニューラルモデルにおいて部分的に利用されている。^{[24] [25] [26] [27] [28] [29]}
• フレドキンゲートのような可逆演算による計算は、ベクトル論理で実装できます。このような実装では、計算結果を得るために必要な入力形式と出力フィルタリングを生成する行列演算子の明示的な表現が提供されます。^{[2] [6]}
• 基本的なセルオートマトン（C-A）はベクトル論理の演算子構造を用いて解析することができ、この解析により、そのダイナミクスを支配する法則のスペクトル分解が得られる。^{[30] [31]}
• さらに、この形式論に基づいて離散微分積分法が開発された。^[32]

参照

• 代数論理
• ブール代数
• 命題計算
• 量子論理
• ジョナサン・ウェストファル

参考文献

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