接続（ベクトル束）

Defines a notion of parallel transport on a bundle

数学、特に微分幾何学とゲージ理論において、ファイバー束上の接続は、束上の平行移動の概念を定義する手段であり、つまり、近くの点上のファイバーを「接続」または識別する方法です。最も一般的なケースはベクトル束上の線型接続であり、この場合、平行移動の概念は線型でなければなりません。線型接続は、共変微分によって同等に指定されます。共変微分は、基本多様体における接線方向に沿って束のセクションを微分し、平行セクションが微分零を持つような演算子です。線型接続は、擬リーマン多様体の接線バンドル上のレヴィ・チヴィタ接続を任意のベクトルバンドルに一般化し、ベクトル場を微分する標準的な方法を提供します。非線型接続は、この概念を、ファイバーが必ずしも線型ではないバンドルに一般化します。

線形接続は、それを記述するための代数的枠組みを提示したJean-Louis KoszulにちなんでKoszul 接続とも呼ばれます (Koszul 1950)。

本稿では、座標を軽視した一般的な数学表記を用いてベクトル束上の接続を定義する。しかしながら、他の表記法も頻繁に用いられる。一般相対論では、ベクトル束の計算は通常、添字付きテンソルを用いて記述される。ゲージ理論では、ベクトル空間ファイバーの自己準同型性が強調される。これらの異なる表記法は、計量接続に関する記事で議論されているように、同値である（そこでのコメントはすべてのベクトル束に当てはまる）。

モチベーション

M をユークリッド空間のような微分可能多様体とする。ベクトル値関数は、自明なベクトル束の切断と見ることができる。一般的な微分可能ベクトル束の切断を考えることができるので、 M上の関数を微分する方法の一般化として、切断を微分できるかどうかを問うのは自然なことである。 ${\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M.}$

束の切断は、ベクトル束の基底からファイバーへの一般化された関数として見ることができます。これは、上図のように切断のグラフによって視覚化できます。

モデルケースはユークリッド空間上の関数を微分するものである。この設定では、方向の点における微分は標準公式で定義される。 ${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dX}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

あらゆる に対して、これは新しいベクトルを定義する。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}.}$

多様体 上のベクトル束の切断 を とするとき、この定義には2つの重要な問題が存在します。まず、多様体 は線型構造を持たないため、 という項は上では意味を持ちません。代わりに、 となるような経路を取り、 を計算します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x+tv}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

しかし、これはまだ意味をなさない。なぜなら、 と は、異なるベクトル空間 と の要素だからである。つまり、これら 2 つの項の減算は自然に定義されないということである。 ${\displaystyle X(\gamma (t))}$ ${\displaystyle X(\gamma (0))}$ ${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle E_{x}.}$

この問題は、ベクトル束に接続という追加の構造を導入することで解決されます。接続を理解するには少なくとも3つの視点があります。正確に定式化すると、これら3つの視点はすべて同等になります。

1. （平行移動）接続は、すべての微分可能な経路に、すべてのに対する線形同型性を割り当てるものと見なすことができます。この同型性を用いて、ファイバーに転送し、その差分を取ることができます。明示的に、これが のみに依存し、を延長する経路には依存しないようにするには、への依存性に（定義において）制約を課す必要があります。これは簡単に定式化できるものではなく、そのためこの「平行移動」の概念は通常、接続を定義する他の方法の副産物として導き出されます。実際、以下の「エーレスマン接続」の概念は、平行移動の無限小定式化に他なりません。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle X(\gamma (t))}$ ${\displaystyle E_{x}}$ $${\displaystyle \nabla _{v}X=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle P_{t}^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$
2. (エーレスマン接続) このセクションは、滑らかな多様体から滑らかな多様体への滑らかな写像として見ることができます。そのため、接空間の要素であるプッシュフォワードを検討することができます。エーレスマンの接続の定式化では、それぞれに、の直和分解を2 つの線形部分空間に割り当てる方法を選択します。そのうちの 1 つは の自然な埋め込みです。この追加データを使用して、をに投影して が に値を持つことを定義します。ベクトル束の線形構造を尊重するために、ファイバー上でeが変化するとの直和分解がどのように移動するかについて、追加の制限を課します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle dX(v),}$ ${\displaystyle T_{X(x)}E.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e\in E_{x},}$ ${\displaystyle T_{X(x)}E}$ ${\displaystyle E_{x}.}$ ${\displaystyle \nabla _{v}X}$ ${\displaystyle dX(v)}$ ${\displaystyle E_{x}.}$ ${\displaystyle T_{e}E}$
3. （共変微分）ユークリッドの文脈における標準的な微分は、いくつかの依存性を満たし、最も基本的な依存性は線型性である。共変微分とは、これらの性質を、積の法則の形式とともに模倣する任意の演算として定義される。 ${\displaystyle dX(v)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle (v,X)\mapsto \nabla _{v}X}$

基底が零次元でない限り、与えられた微分可能ベクトル束上には常に無限個の接続が存在するため、それに応じて切断の微分方法も選択できる。文脈によっては、例えば特定の偏微分方程式を解くことによって決定されるような、異なる選択肢が存在する場合もある。接束の場合、任意の擬リーマン計量（特に任意のリーマン計量）は、レヴィ・チヴィタ接続と呼ばれる標準的な接続を決定する。

正式な定義

を滑らかな多様体上の滑らかな実ベクトル束とする。の滑らかな切断空間を で表す。の共変微分は、以下のいずれかの構造と同値である。 ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle E\to M}$

1. 上のすべての滑らかな関数と上のすべての滑らかなセクションに対して積の法則が成り立つような線形写像 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}$ $${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E.}$
2. 任意の滑らかなセクションsと任意の への、 xと に滑らかに依存する-線型写像の割り当て。この写像は、任意の 2 つの滑らかなセクションと任意の実数と に対して、任意の滑らかな関数 に対して、がとによって関連付けられる。 ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\nabla s)_{x}:T_{x}M\to E_{x}}$ $${\displaystyle \nabla (a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2})=a_{1}\nabla s_{1}+a_{2}\nabla s_{2}}$$ ${\displaystyle s_{1},s_{2}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla (fs)}$ ${\displaystyle \nabla s}$ $${\displaystyle {\big (}\nabla (fs){\big )}_{x}(v)=df(v)s(x)+f(x)(\nabla s)_{x}(v)}$$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle v\in T_{x}M.}$

ベクトル空間と線型写像のベクトル空間の間の標準的な同一性を使用すること以外では、これら 2 つの定義は同一であり、使用される言語のみが異なります。 ${\displaystyle T_{x}^{\ast }M\otimes E_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M\to E_{x},}$

を で表すのが一般的で、はに暗黙的に含まれます。この表記法を用いると、上記の定義の2番目のバージョンの積の法則は次のように書き表されます。 ${\displaystyle (\nabla s)_{x}(v)}$ ${\displaystyle \nabla _{v}s,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v.}$

${\displaystyle \nabla _{v}(fs)=df(v)s+f\nabla _{v}s.}$

注：複素ベクトル束の場合も上記の定義は意味を持ちますが、通常は「実」と「 」が現れる箇所すべてにおいて「複素」と「 」に置き換えられる形で修正されます。これは、複素ベクトル空間間のすべての実線型写像が複素線型であるとは限らないため、追加の制約となります。この区別には曖昧さがあり、複素ベクトル束は実ベクトル束と見なすこともできます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

誘導された接続

ベクトル束 が与えられた場合、それを構成する多くの随伴束が存在する。例えば、双対ベクトル束、テンソル冪、対称および反対称テンソル冪、直和 などである。 への接続は、これらの随伴束のいずれかへの接続を誘導する。随伴束上の接続間の容易な移行は、主束接続の理論によってより簡潔に表現されるが、ここではいくつかの基本的な誘導接続を示す。 ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle E^{\otimes k}}$ ${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$ ${\displaystyle E^{\oplus k}}$ ${\displaystyle E}$

デュアル接続

上の接続が与えられたとき、上の誘導双対接続は次のように暗黙的に定義される。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \xi ,s\rangle )(X)=\langle \nabla _{X}^{*}\xi ,s\rangle +\langle \xi ,\nabla _{X}s\rangle .}$

ここで、 は滑らかなベクトル場、は の切断、 は双対バンドルの切断、そしてベクトル空間とその双対（ と の間の各ファイバー上で発生する）間の自然なペアリング、すなわち です。この定義は、のペアリングに対して自然積則が満たされるように、が への接続となることを本質的に強制していることに注意してください。 ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \xi \in \Gamma (E^{*})}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \langle \xi ,s\rangle :=\xi (s)}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

テンソル積接続

2つのベクトル束上の接続が与えられたとき、テンソル積接続を次の式で 定義する。 ${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$ ${\displaystyle E,F\to M}$

${\displaystyle (\nabla ^{E}\otimes \nabla ^{F})_{X}(s\otimes t)=\nabla _{X}^{E}(s)\otimes t+s\otimes \nabla _{X}^{F}(t).}$

ここで が得られます。これは、テンソル積接続の積則を強制するための自然な組み合わせ方であることに改めて留意してください。テンソル積 に適用された上記の構成を繰り返し適用することで、任意のおよびベクトル束に対して上のテンソル冪接続も得られます。 ${\displaystyle s\in \Gamma (E),t\in \Gamma (F),X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$ ${\displaystyle E^{\otimes k}=(E^{\otimes (k-1)})\otimes E}$ ${\displaystyle E^{\otimes k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle E}$

直和接続

直和接続は次のように定義される。

${\displaystyle (\nabla ^{E}\oplus \nabla ^{F})_{X}(s\oplus t)=\nabla _{X}^{E}(s)\oplus \nabla _{X}^{F}(t),}$

どこ。 ${\displaystyle s\oplus t\in \Gamma (E\oplus F)}$

対称および外部電源接続

ベクトル束の対称冪と外冪はテンソル冪の部分空間として自然に見ることができるので、テンソル積接続の定義はこの設定にそのまま適用できる。実際、対称代数と外冪代数はテンソル代数の内部に直和項として存在し、接続はこの自然な分割を尊重するため、これらの和項のみに限定することができる。具体的には、対称積接続を次のように 定義する。 ${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E\subset E^{\otimes k}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}^{\odot 2}(s\cdot t)=\nabla _{X}s\odot t+s\odot \nabla _{X}t}$

外部製品の接続

${\displaystyle \nabla _{X}^{\wedge 2}(s\wedge t)=\nabla _{X}s\wedge t+s\wedge \nabla _{X}t}$

すべての について。これらの製品を繰り返し適用すると、それぞれおよびに対称的な誘導電力と外部電力接続が生じます。 ${\displaystyle s,t\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle S^{k}E}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$

準同型性接続

最後に、自己準同型のベクトル束上の誘導接続、すなわち自己準同型接続を定義することができる。これは、と上の双対接続のテンソル積接続に過ぎない。とであり、したがって合成も成立するならば、自己準同型接続に関して次の積則が成立する。 ${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} {E}}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle u(s)\in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \nabla _{X}(u(s))=\nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)+u(\nabla _{X}(s)).}$

この式を逆にすると、自己準同型接続を次の式を満たす唯一の接続として定義することができる。

${\displaystyle \nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)=\nabla _{X}(u(s))-u(\nabla _{X}(s))}$

任意の に対して となるため、最初に双対接続とテンソル積接続を定義する必要がなくなります。 ${\displaystyle u,s,X}$

関連するバンドル

階数 のベクトル束と線型群 への任意の表現が与えられたとき、関連するベクトル束 上に誘導接続が存在する。ここで はのフレームの主束である。上記の各例は、この構成の特殊なケースと見なすことができる。すなわち、双対束は双対表現に、テンソル積はテンソル積表現に、直和は直和表現に対応する、といった具合である。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )\to G}$ ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle F=F(E)\times _{\rho }V}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle E}$

外共変微分とベクトル値形式

をベクトル束とする。次数の-値微分形式はテンソル積束の切断である。 ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

このような形式の空間は次のように表される。

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

ここで、最後のテンソル積は、上の滑らかな関数の環上の加群のテンソル積を表します。 ${\displaystyle M}$

値0形式はバンドルの一部分である。つまり、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

この表記法では、上の接続は 線型写像である。 ${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}$

接続は、外微分をベクトル束値形式に一般化したものと考えることができる。実際、接続が与えられた場合、外共変微分に拡張する唯一の方法が存在する。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

この外共変微分は、次のライプニッツ規則によって定義されます。この規則は、形式の単純なテンソルで指定され、線形に拡張されます。 ${\displaystyle \omega \otimes s}$

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge \nabla s}$

ここで、となるので、 はセクションであり、の1形式部分とくさび形にすることで定義されるの値を持つ -形式を表します。値0形式の場合、これは接続 に対する通常のライプニッツ則を回復することに注意してください。 ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{r}(M)}$ ${\displaystyle \deg \omega =r}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \omega \wedge \nabla s}$ ${\displaystyle (r+1)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \nabla s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$

通常の外微分とは異なり、一般に が成り立ちます。実際、は接続の曲率に直接関係しています（下記参照）。 ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$

接続集合のアフィン特性

多様体上の任意のベクトル束は接続を持ち、これは単位分割を用いて証明できる。しかし、接続は一意ではない。と が上の2つの接続である場合、それらの差は -線型作用素となる。つまり、 ${\displaystyle \nabla _{1}}$ ${\displaystyle \nabla _{2}}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

上のすべての滑らかな関数とのすべての滑らかな断面に対して、 となる。したがって、その差は、 の1形式（自己準同型束内の値を持つ）と一意に識別できる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

逆に、が 上の接続であり、が に値を持つ上の 1 形式である場合、 は上の接続です。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle \nabla +A}$ ${\displaystyle E}$

言い換えれば、 上の接続空間はのアフィン空間である。このアフィン空間は一般に と表記される。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

主接続とエアーズマン接続との関係

を階数のベクトルバンドルとし、をの標構バンドルとする。すると、 への（主）接続はへの接続を誘導する。まず、 の切断は右同変写像と一対一対応していることに注意する。（これは、上の の引き戻しを考えればわかる。これは自明バンドルと同型である。）の切断が与えられたとき、対応する同変写像を とする。すると、 の共変微分は次のように与えられる 。 ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi (s)}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

ここで、からまでの の水平方向の揚力です。（水平方向の揚力は 上の接続によって決まることを思い出してください。） ${\displaystyle X^{H}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

逆に、 上の接続は上の接続を決定し、これら 2 つの構成は相互に逆になります。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

上の接続は、上の線型エーレスマン接続によっても同値に決定される。これは、関連する主接続を構築する一つの方法を提供する。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

#誘導接続で議論されている誘導接続は、上で用いられた標準的な表現とは異なる表現を用いて、 のフレームバンドルへの他の随伴バンドル上の接続として構築することができる。例えば、が 上の の標準的な表現を表す場合、上のの表現への随伴バンドルは直和バンドル であり、誘導接続はまさに上で説明したものと同じである。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \rho \oplus \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle E\oplus E}$

ローカル表現

を階数のベクトル束とし、をの開部分集合とし、は 上において自明であるとする。したがって、集合 上、は切断の局所的滑らかなフレームを許容する。 ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

フレームは任意の に対するファイバーの基底を定義するので、フレーム内の任意の局所断面を次のように展開することができる。 ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

滑らかな関数のコレクション。 ${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$

上の接続が与えられれば、接続の特性積則を用いることで、切断の局所座標系を用いて上 を表すことができる。任意の基底切断 に対して、この量は局所座標系において次のように展開できる。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

ここで、局所1形式の集合である。これらの形式は、次のように定義される1形式の行列にまとめることができる。 ${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

は の局所接続形式 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$と呼ばれる。任意の断面への の作用は、積の法則を用いて次のように計算できる。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{j=1}^{k}\left(ds^{j}+\sum _{i=1}^{k}A_{i}^{\ j}s^{i}\right)\otimes e_{j}.}$

局所断面も、局所フレームを基底として列ベクトルとして行列表記で表すと、 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

通常の行列乗算を使って次のように書くことができる。

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

ここで、は列ベクトルとしての各成分に外微分を適用するための略記である。この表記法では、局所的には と表記されることが多い。この意味で、接続は、何らかの自明化における接続一形式によって局所的に完全に規定される。 ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$

#接続集合のアフィン性で説明されているように、任意の接続は他の接続と自己準同型値1形式によって異なります。この観点から、接続1形式とは、上の接続が上の自明な接続と異なるような自己準同型値1形式と全く同じです。自明な接続は、が の自明化集合であるために存在します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$ ${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$

クリストッフェル記号との関係

擬リーマン幾何学では、レヴィ・チヴィタ接続は、接続一形式 ではなく、クリストッフェル記号 を用いて記述されることが多い。擬リーマン多様体の接束だけでなく、任意のベクトル束上の接続に対してクリストッフェル記号を定義することが可能である。そのためには、ベクトル束 の自明化開部分集合であることに加えて、 が多様体 の局所チャートであり、局所座標 を許容すると仮定する。 ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{\ \ k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n});\quad x^{i}:U\to \mathbb {R} }$

このような局所チャートでは、微分1形式に対する明確な局所フレームが与えられ、この基底において局所接続1形式は次のように展開できる。 ${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})}$ ${\displaystyle A_{i}^{j}}$

${\displaystyle A_{i}^{\ j}=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}dx^{\ell }}$

局所滑らかな関数 の集合に対して、上の のクリストッフェル記号と呼ばれる。および がレヴィ・チヴィタ接続である場合、これらの記号は擬リーマン幾何学のクリストッフェル記号と正確に一致する。 ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E=TM}$ ${\displaystyle \nabla }$

局所座標における作用の表現は、局所チャートとクリストッフェル記号を用いてさらに拡張することができ、次のように表される。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{\ell =1}^{n}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)dx^{\ell }\otimes e_{j}.}$

この式を局所座標接線ベクトルで縮約すると次のようになる。 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}}$

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j}.}$

これはローカルに定義された演算子の集合を定義する ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nabla _{\ell }:\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E);\quad \nabla _{\ell }(s):=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j},}$

という性質を持つ

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{\ell =1}^{n}dx^{\ell }\otimes \nabla _{\ell }(s).}$

局所的単純化の変化

を同じ自明化集合上の別の局所フレームとして選択すると、と を関係付ける滑らかな関数の行列が存在し、これは次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbf {e'} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g=(g_{i}^{\ j})}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j=1}^{k}g_{i}^{\ j}e'_{j}.}$

フレームの局所接続形式の構成を辿っていくと、の接続1形式は次のように与えられる ことがわかる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle {A'}_{i}^{\ j}=\sum _{p,q=1}^{k}g_{p}^{\ j}A_{q}^{\ p}{(g^{-1})}_{i}^{\ q}-\sum _{p=1}^{k}(dg)_{p}^{\ j}{(g^{-1})}_{i}^{\ p}}$

ここで は の逆行列を表す。行列表記では、これは次のように書ける。 ${\displaystyle g^{-1}=\left({(g^{-1})}_{i}^{\ j}\right)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle A'=gAg^{-1}-(dg)g^{-1}}$

ここで、は行列の成分ごとに外微分を取ることによって与えられる 1 形式行列です。 ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle g}$

が接線束で、が の座標変換のヤコビアンである場合、レヴィ-チヴィタ接続のクリストッフェル記号の変換に対する長い公式は、上記の接続形式のより簡潔な変換法則から復元できます。 ${\displaystyle E=TM}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

平行移動とホロノミー

ベクトル束上の接続は、の曲線に沿った上の平行移動の概念を定義します。を の滑らかな経路とします。に沿ったの切断が平行であるとは、次の条件を満たす場合です。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

すべての に対して が成り立つ。同様に、によるの引き戻しバンドルを考えることもできる。これは 上のベクトルバンドルであり、上のファイバーを持つ。への接続は上の接続に引き戻される。の 切断が平行であるための必要十分条件は である。 ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$

がからへの経路であるとする。平行区間を定義する上記の方程式は1階常微分方程式であり（上記の局所表現を参照）、したがって、考えられる初期条件ごとに一意の解を持つ。つまり、の各ベクトルに対して、の平行区間が一意に存在する。平行移動写像を定義する。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle s(0)=v}$

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

によって、 が線型同型 であることが示され、その逆はから への逆パスで同じ手順に従うことによって得られる。 ${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$ ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma ^{-}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

接続の共変微分をその平行移動からどのように回復するか。セクションの値は、経路に沿って平行移動してに戻り、その後、固定ベクトル空間、つまり上のファイバーにおいて共変微分が取られます。 ${\displaystyle s(\gamma (t))}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x}$

平行移動は、 の点を基準とする接続のホロノミー群を定義するために使用できます。これは、 を基準とするループから生じるすべての平行移動写像からなるの部分群です。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

接続のホロノミー群は、接続の曲率と密接に関係しています (AmbroseSinger 1953)。

この接続は、その平行移動作用素から次のように復元できる。がベクトル場であり、 が切断である場合、点 においての積分曲線をとる。各 に対して、からまで移動する平行移動写像 を と書く。特に、任意の に対して が成り立つ。すると、ベクトル空間 に曲線が定義され、これは微分可能である。共変微分は次のように復元される。 ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \gamma :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$ ${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

これは、 と のファイバー間のすべての平行輸送同型を指定して、上記の式を の定義としてとることで、接続の同等の定義が与えられることを示しています。 ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$

曲率

上の接続の曲率は、準同型束に値を持つ上の2次元形式である。つまり、 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

それは次の式で定義される。

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

ここで、 とは 上の接ベクトル場であり、は の切断である。 がと の両方において -線型であり、が実際に のバンドル自己準同型を定義することを確認する必要がある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E}$

上で述べたように、共変外微分は-値形式に作用する場合、必ずしも0に平方する必要はない。しかし、この演算子は厳密にテンソル的（つまり -線型）である。これは、この演算子が -値を持つ2次元形式から誘導されることを意味する。この2次元形式は、まさに上で示した曲率形式である。-値形式の場合、 ${\displaystyle d_{\nabla }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

平坦な接続とは、曲率形状が同一に消える接続のことです。

局所形式とカルタンの構造方程式

曲率形式はカルタン構造方程式と呼ばれる局所記述を持つ。が の自明な開部分集合上で局所形式を持つ場合、 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+A\wedge A}$

について。この表記を明確にするために、 は自己準同型値を持つ1次元形式であることに注意する必要がある。したがって、局所座標では は1次元形式の行列の形をとる。この演算は、この行列に成分ごとに外微分を適用し、 は行列の乗算を表す。ここで、成分は乗算されるのではなく、 くさび形にされる。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A\wedge A}$

上の局所座標において、局所自己準同型 の集合に対する接続形式が書かれていれば、 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A=A_{\ell }dx^{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})dx^{\ell }}$ ${\displaystyle A_{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})}$

${\displaystyle F_{\nabla }=\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{q}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial A_{p}}{\partial x^{q}}}+[A_{p},A_{q}]\right)dx^{p}\wedge dx^{q}.}$

これをクリストッフェル記号を用いてさらに展開すると、リーマン幾何学でおなじみの式が得られる。すなわち、 が上の切断面である場合、 ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}}$ ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle F_{\nabla }(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma _{qi}^{\ \ j}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial \Gamma _{pi}^{\ \ j}}{\partial x^{q}}}+\Gamma _{pr}^{\ \ j}\Gamma _{qi}^{\ \ r}-\Gamma _{qr}^{\ \ j}\Gamma _{pi}^{\ \ r}\right)s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}R_{pqi}^{\ \ \ j}s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}.}$

ここで はの完全な曲率テンソルであり、リーマン幾何学では はリーマン曲率テンソルと同一視されます。 ${\displaystyle R=(R_{pqi}^{\ \ \ j})}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$

を形の楔積として定義し、合成ではなく自己準同型の交換子とすれば、 となり、この別の表記法を用いるとカルタン構造方程式は次の形を取ることが分かる。 ${\displaystyle [A,A]}$ ${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+{\frac {1}{2}}[A,A].}$

この代替表記法は主バンドル接続の理論でよく使用され、代わりに接続形式、つまりリー代数の -値 1 形式が使用されます。これには合成の概念はありませんが (自己準同型の場合とは異なり)、リー括弧の概念があります。 ${\displaystyle \omega }$

いくつかの参考文献（例えば (MadsenTornehave1997) を参照）では、カルタン構造方程式はマイナス記号を使用して表記されることがあります。

${\displaystyle F_{\nabla }=dA-A\wedge A.}$

この異なる規則では、行列値 1 形式のウェッジ積における標準的なアインシュタイン表記法とは異なる行列乗算の順序を使用します。

ビアンキのアイデンティティ

リーマン幾何学における第二（微分）ビアンキ恒等式の版は、任意のベクトル束上の接続に対して成り立つ。ベクトル束上の接続は、上の自己準同型接続を誘導することを思い出してほしい。この自己準同型接続は、それ自身に外共変微分を持ち、これを曖昧に と呼ぶ。曲率は大域的に定義された - 値2次元形式であるため、外共変微分を適用することができる。ビアンキ恒等式は、 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle d_{\nabla }}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$

${\displaystyle d_{\nabla }F_{\nabla }=0}$。

これは、リーマン多様体の場合のビアンキ恒等式の複雑なテンソル式を簡潔に表しており、接続と曲率を局所座標で展開することで、この式から標準的なビアンキ恒等式に変換できます。

最初の（代数的）ビアンキ恒等式は、レヴィ・チヴィタ接続の特殊な対称性を利用しているだけなので、一般接続に対する類似物はありません。つまり、曲率テンソルの のベクトル束のインデックスは、計量を使ってインデックスを上げ下げした後に から来る余接束のインデックスと交換できることを利用します。例えば、これによって、レヴィ・チヴィタ接続に対して捩れのない条件を定義できますが、一般的なベクトル束では、 -インデックスは のローカル座標基底を参照し、-インデックスはおよびのローカル座標フレームを参照し、これは の分割から来ます。しかし、特殊な状況、例えば の階数が の次元に等しく、はんだ形式が選択されている場合、はんだ付けを使ってインデックスを交換し、レヴィ・チヴィタ接続ではないアフィン接続に対して捩れの概念を定義できます。 ${\displaystyle E=TM}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}=\Gamma _{i\ell }^{\ \ j}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (E)=E^{*}\otimes E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

ゲージ変換

ベクトル束 上の2つの接続が与えられている場合、それらが同値と見なせるのはどのような場合かという問いは自然である。ベクトル束 の自己同型という明確に定義された概念が存在する。がすべての点 で可逆である場合、切断は自己同型である。このような自己同型はのゲージ変換と呼ばれ、すべての自己同型の群はゲージ群と呼ばれ、しばしばまたは と表記される。ゲージ変換の群は、ベクトル束 の標構束の大文字の随伴束の切断の空間として簡潔に特徴付けることができる。これは、自然にそれ自身と同一視される小文字の随伴束と混同してはならない。この束は、のそれ自身への共役表現 によって主標構束に付随する束であり、 と同じ一般線型群 のファイバーを持つ。は標構束と同じファイバーを持ち、それに付随しているにもかかわらず、標構束とは等しくなく、それ自体も主束ではないことに注意されたい。ゲージ群は、次のように同値に特徴付けることができる。 ${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$ ${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$

のゲージ変換は切断に作用し、したがって共役による接続に作用する。明示的に、が 上の接続である場合、 は次のように 定義される。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{X}(s)=u(\nabla _{X}(u^{-1}(s))}$

について。接続であることを確認するには、積の法則を検証する。 ${\displaystyle s\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\cdot \nabla (fs)&=u(\nabla (u^{-1}(fs)))\\&=u(\nabla (fu^{-1}(s)))\\&=u(df\otimes u^{-1}(s))+u(f\nabla (u^{-1}(s)))\\&=df\otimes s+fu\cdot \nabla (s).\end{aligned}}}$

これはすべての接続のアフィン空間上の の左群作用を定義していることを確認できます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

は をモデルとしたアフィン空間なので、となる自己準同型値1形式が存在するはずである。によって誘導される自己準同型接続の定義を用いると、次のことがわかる。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle A_{u}\in \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla =\nabla +A_{u}}$ ${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} (E)}}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle u\cdot \nabla =\nabla -d^{\nabla }(u)u^{-1}}$

つまり、。 ${\displaystyle A_{u}=-d^{\nabla }(u)u^{-1}}$

2つの接続がゲージ群の作用によって異なる場合、それらの接続はゲージ同値であるとされ、その商空間は上のすべての接続のモジュライ空間となる。一般に、この位相空間は滑らかな多様体でもハウスドルフ空間でもなく、上のヤン・ミルズ接続のモジュライ空間を内部に含み、これはゲージ理論と物理学において重要な関心事である。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

例

• 古典的な共変微分またはアフィン接続は、 Mの接線バンドル上の接続を定義します。より一般的には、接線バンドルとそれ自身およびその双対とのテンソル積を取ることによって形成される任意のテンソルバンドル上の接続を定義します。
• 上の接続は、演算子として明示的に記述できます。 ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla =d+{\begin{bmatrix}f_{11}(x)&f_{12}(x)\\f_{21}(x)&f_{22}(x)\end{bmatrix}}dx}$

ここで、はベクトル値の滑らかな関数上で評価された外微分であり、滑らかである。切断は写像と同一視される。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f_{ij}(x)}$ ${\displaystyle a\in \Gamma (\pi )}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}\\x\mapsto (a_{1}(x),a_{2}(x))\end{cases}}}$

その後

${\displaystyle \nabla (a)=\nabla {\begin{bmatrix}a_{1}(x)\\a_{2}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {da_{1}(x)}{dx}}+f_{11}(x)a_{1}(x)+f_{12}(x)a_{2}(x)\\{\frac {da_{2}(x)}{dx}}+f_{21}(x)a_{1}(x)+f_{22}(x)a_{2}(x)\end{bmatrix}}dx}$

• バンドルにバンドル メトリック(そのベクトル空間ファイバー上の内積) が備わっている場合、メトリック接続はバンドル メトリックと互換性のある接続として定義されます。
• ヤン・ミルズ接続は、ヤン・ミルズ運動方程式を満たす特殊なメトリック接続です。
• リーマン接続は、リーマン多様体の接束上の距離接続です。
• レヴィ・チヴィタ接続は特別なリーマン接続であり、接束上の計量適合接続であり、かつ捩れのない接続である。任意のリーマン接続が与えられれば、必ず唯一つの等価な捩れのない接続が見つかるという意味で、レヴィ・チヴィタ接続は唯一である。「等価」とは、曲率テンソルが異なっていても、同じ計量に適合することを意味する。テレパラレリズムを参照のこと。リーマン接続と対応するレヴィ・チヴィタ接続の違いは、捩れテンソルによって与えられる。
• 外微分は( M上の自明な直線束)上の平坦接続である。 ${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }$
• より一般的には、任意の平坦ベクトル束（つまり、遷移関数がすべて定数であるベクトル束）上には、任意の自明化における外微分によって与えられる標準的な平坦接続が存在します。

参照

• Dモジュール
• つながり（数学）

参考文献

• Chern, Shiing-Shen (1951)、「微分幾何学の話題」、高等研究所、謄写版講義ノート
• Darling, RWR (1994), Differential Forms and Connections , Cambridge, UK: Cambridge University Press, Bibcode :1994dfc..book.....D, ISBN 0-521-46800-0
• 小林昭七、野水克己（1996）[1963]、微分幾何学の基礎、第1巻、Wiley Classics Library、ニューヨーク：Wiley Interscience、ISBN 0-471-15733-3
• Koszul、JL (1950)、「Homologie et cohomologie des algebres de Lie」、Bulletin de la Société Mathématique de France、78 : 65–127、doi : 10.24033/bsmf.1410
• ウェルズ、RO（1973）、複素多様体上の微分解析、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90419-0
• アンブローズ, W.; シンガー, IM (1953)、「ホロノミーに関する定理」、アメリカ数学会誌、75 (3): 428– 443、doi :10.2307/1990721、JSTOR  1990721

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• Tu, LW, 2017. 微分幾何学：接続、曲率、特性類（第275巻）。シュプリンガー。

• Taubes, CH, 2011. 微分幾何学：束、接続、計量、曲率（第23巻）. OUP Oxford.

• Lee, JM (2018)、「リーマン多様体入門」、数学大学院テキスト、第176巻、doi :10.1007/978-3-319-91755-9、ISBN 978-3-319-91754-2

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