ヴェルマモジュール

Objects in representation theory of Lie algebras

ダヤ・ナンド・ヴェルマにちなんで名付けられたヴェルマ加群は、数学の分野であるリー代数の表現論におけるオブジェクトです。

ヴェルマ加群は、複素半単純リー代数の既約表現の分類に用いることができる。具体的には、ヴェルマ加群自体は無限次元であるが、それらの商を用いて、最大重み を持つ有限次元表現を構築することができる。ここで、 は支配的かつ整式である。 ^{[1]これらの準同型は、}旗多様体上の不変微分作用素に対応する。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

非公式建設

最高重量のVe​​rmaモジュールの重量 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \lambda }$

ヴェルマ加群の考え方は次のように説明できる。^[2]を半単純リー代数（簡単のため 上）とする。を の固定されたカルタン部分代数とし、を関連するルート系とする。 を固定された正ルートの集合とする。各 に対して、対応するルート空間の非ゼロ元とルート空間 の非ゼロ元を選択する。を「上昇演算子」、 を「下降演算子」と考える。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

ここで、を任意の線形関数とします。これは必ずしも優勢または整数である必要はありません。目標は、重み を持つ単一の非ゼロベクトルによって生成される、最高重み を持つの表現を構築することです。Verma 加群はそのような最高重み加群の 1 つであり、最高重みを持つ他のすべての最高重み加群がVerma 加群の商であるという意味で最大です。Verma 加群は常に無限次元であることがわかります。ただし、 が優勢整数である場合は、 Verma 加群の有限次元商加群を構築できます。このように、Verma 加群はの有限次元表現の分類で重要な役割を果たします。具体的には、最高重み の定理の難しい部分、つまりすべての優勢整数元が実際には の有限次元既約表現の最高重みとして生じることを示す重要なツールです。 ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ここで、最も重みが大きいVerma加群がどのような形になるかを直感的に理解しようとします。は重みが最大となるベクトルなので、 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$

そして

${\displaystyle X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$。

次に、のアクションによって下げることで取得された要素によって張られる必要があります。 ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}\cdot v}$。

ここで、の交換関係によって要求される、上記形式のベクトル間の関係のみを課す。特に、Verma 加群は常に無限次元である。最も重みの高い Verma 加群の重みは、から正の根の整数組み合わせを減算することで得られるすべての元から構成される。図は に対する Verma 加群の重みを示している。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

単純な順序付けの議論から、この空間に完全リー代数が作用できる方法は1つしかないことがわかる。具体的には、が の任意の元である場合、ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理 の簡単な部分により、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ZY_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}}$

リー代数元の積の線形結合として、まず上昇演算子が作用し、次にカルタン部分代数の元が作用し、最後に下降演算子が作用します。この項の和を に適用すると、上昇演算子を持つ項はすべてゼロになり、カルタンの因子はすべてスカラーとして作用するため、元の形の元が得られます。 ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle v}$

Verma加群の構造をもう少し理解するために、正根の順序を と選び、対応する下降演算子を と表記します。すると、単純な順序付けの議論により、上記の形式のすべての要素は、 を特定の順序で持つ要素の線形結合として書き直すことができます。 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ ${\displaystyle Y_{1},\ldots Y_{n}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y_{1}^{k_{1}}\cdots Y_{n}^{k_{n}}v}$、

ここで、は非負の整数です。実際、このようなベクトルはVerma加群の基底を形成することがわかります。 ${\displaystyle k_{j}}$

このヴェルマ加群の記述は、どのようなものか直感的に理解できるものの、厳密な構成はまだ未知数である。いずれにせよ、ヴェルマ加群は、必ずしも支配的または整数的である必要はなく、任意の に対して、最も重みの高い を持つ表現を与える。この比較的単純な構成の代償として、 は常に無限次元となる。 が支配的かつ整数的である場合、ヴェルマ加群の有限次元かつ既約な商を構成することができる。^[3] ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

sl(2; C)の場合

を の通常の基底とします。 ${\displaystyle {X,Y,H}}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

カルタン部分代数は の張である。任意の複素数 に対してが で定義されるとする。すると、最も重みの高いヴェルマ加群は線型独立なベクトルによって張られ、基底元の作用は以下のようになる：^[4] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (H)=m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\dots }$

${\displaystyle Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$。

(これは特に、かつ であることを意味します。) これらの式は、 の有限次元表現における基底要素の作用方法に基づいていますが、 の固有ベクトルの「連鎖」が終了する必要がなくなった点が異なります。 ${\displaystyle H\cdot v_{0}=mv_{0}}$ ${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H}$

この構成では、は任意の複素数であり、必ずしも実数、正数、整数である必要はありません。しかし、が非負整数の場合は特殊です。その場合、ベクトルの張力が不変であることが容易にわかります。なぜなら だからです。商加群は、次元の有限次元既約表現です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m+1.}$

Vermaモジュールの定義

ヴェルマ加群には2つの標準的な構成があり、どちらも普遍包絡代数の概念を含んでいます。前節の記法を続けます。は複素半単純リー代数、は固定されたカルタン部分代数、 は固定された正根の集合を持つ付随ルート系です。各 に対して、非零元と を選択します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$

包絡代数の商として

ヴェルマ加群の最初の構成^[5]は、の普遍包絡代数の商である。ヴェルマ加群は-加群であると想定されているので、包絡代数の普遍性により、 -加群でもある。したがって、最高重みベクトル を持つヴェルマ加群がある場合、からへの線型写像は次のように 与えられる。 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in U({\mathfrak {g}})}$。

は によって生成されるはずなので、写像は射影的であるべきである。は最も重みの高いベクトルであるはずなので、 の核はにおけるのすべての根ベクトルを含むべきである。また、は重み を持つ重みベクトルであるはずなので、 の核はの形のすべてのベクトルを含むべきである。 ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$。

最後に、 の核はにおける左イデアルになるはずです。結局、 であれば、すべての に対して となります。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x\cdot v=0}$ ${\displaystyle (yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0}$ ${\displaystyle y\in U({\mathfrak {g}})}$

これまでの議論から、次のようなヴェルマ加群の構成が導かれる。商ベクトル空間を次のように 定義する。 ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}$、

形式のすべての要素によって生成される左イデアルは どこにあるか ${\displaystyle I_{\lambda }}$

${\displaystyle X_{\alpha },\quad \alpha \in R^{+},}$

そして

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$。

は左イデアルなので、 の自然左作用は商にも引き継がれます。したがって、は -加群であり、したがって-加群でもあります。 ${\displaystyle I_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

スカラーの拡張により

「スカラーの拡張」手続きは、ある代数（必ずしも可換ではない）上の左加群を、を部分代数として含むより大きな代数上の左加群に変換する手法である。を右 -加群と考えることができ、 は右辺の乗算によってに作用する。は左-加群、は右 -加群なので、代数 上の2つのテンソル積を次のように形成することができる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$。

さて、はそれ自身の左加群なので、上記のテンソル積は、より大きな代数 上の左加群構造を持ち、それは次の要件によって一意に決定される。 ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle a_{1}\cdot (a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v}$

すべてのおよびにおいて が成り立ちます。このように、左- 加群から始めて、左- 加群が生成されました。 ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$

この構成を半単純リー代数の設定に適用する。を の張る部分代数とし、 の根ベクトルとする。（したがって、は の「ボレル部分代数」である。）普遍包絡代数上の左加群を次のように形成することができる。 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

• ${\displaystyle F_{\lambda }}$は、単一のベクトルと-モジュール構造によって張られる1 次元ベクトル空間であり、は の乗算として動作し、正のルート空間は自明に動作します。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$。

この式の目的は、Verma モジュールの最高重みベクトルに対して がどのように作用するかを記述することです。 ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

さて、ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理から、 は の部分代数であることが分かります。したがって、スカラーの拡張手法を適用して、左 -加群を左-加群に変換するには、次のようにします。 ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}$。

は左 - 加群なので、特に の加群（表現）です。 ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ヴェルマモジュールの構造

ヴェルマ加群のどの構成を用いるにせよ、それが非自明であること、すなわち零加群ではないことを証明する必要がある。実際には、ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理を用いて、 の基底ベクトル空間が と同型である ことを示すことが可能である。 ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

ここでは の負のルート空間（つまり の）によって生成されるリー部分代数である。^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

基本的なプロパティ

ヴェルマ加群は-加群とみなされ、最高重み加群です。つまり、最高重みベクトルによって生成されます。この最高重みベクトルは（最初のベクトルは の単位、2番目のベクトルは の単位であり、-加群とみなされます）であり、重み を持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1\otimes 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

多重性

ヴェルマ加群は重み加群であり、すなわち はその重み空間の直和である。 の各重み空間は有限次元であり、-重み空間の次元はを正の根の和として表す方法の数である（これはいわゆるコスタント分割関数と密接に関連している）。この主張は、ヴェルマ加群が のベクトル空間として に同型であるという先の主張、および に対するポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理から導かれる。 ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

普遍的な財産

ヴェルマ加群は非常に重要な性質を持つ。が重み の最高重みベクトルによって生成される任意の表現である場合、射影準同型が存在する。つまり、最高重みベクトルによって生成される最高重みを持つすべての表現（いわゆる最高重み加群）は、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }\to V.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }.}$

既約商モジュール

${\displaystyle W_{\lambda }}$は唯一の最大部分加群を含み、その商は（同型を除いて）最大の重みを持つ唯一の既約表現である^[7]。最大の重みが支配的で整数であれば、この既約商は実際には有限次元であることが証明される。^[8] ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda }$

例として、上で議論したケースを考えてみましょう。最大の重みが「優位積分」（つまり、非負の整数）である場合、 となり、要素の張力は不変です。このとき、商表現は次元 で既約となります。商表現は線型独立なベクトル によって張られます。 の作用は、商における が Verma 加群におけると異なる点を除き、 Verma 加群における の作用と同じです。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle Yv_{m}=0}$ ${\displaystyle Yv_{m}=v_{m+1}}$

ヴェルマ加群自体は、 が反優勢である場合に限り既約である。^[9]従って、が整列している場合、が既約となるのは、の基本重みの基底におけるの座標のいずれもが集合 から来ない場合に限りますが、一般に、この条件は が既約となるために必要だが十分ではない。 ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

その他の特性

ヴェルマ加群は、その最高重みλが支配的な重みのアフィン・ワイル軌道上にあるとき、正則と呼ばれる。言い換えれば、ワイル群Wの元wが存在し、 ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

ここで、 はワイル群のアフィン作用である。 ${\displaystyle \cdot }$

λ のアフィン軌道上に支配的な重みが存在しない場合、ヴェルマ加群は特異 と呼ばれます。この場合、重みが存在し、 は基本ワイル箱の壁上にあります（δ はすべての基本重み の和です）。 ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

ヴェルマ加群の準同型

任意の2つの重みに対して、非自明な準同型写像 ${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

と がリー代数 のワイル群のアフィン作用と結びついている場合にのみ存在し得る。これは、無限小中心指標に関するハリシュ・チャンドラ定理から容易に導かれる。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ヴェルマ加群の各準同型は単射であり、次元

${\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} (W_{\mu },W_{\lambda }))\leq 1}$

任意の に対して。したがって、が の（一意の）サブモジュールと同型である場合に限り、非ゼロ が存在する。 ${\displaystyle \mu ,\lambda }$ ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

^{ヴェルマ加群準同型の完全な分類はBernstein–Gelfand–Gelfand [10]}とVerma ^[11]によって行われ、次のようにまとめられる。

非零準同型が存在するのは、 ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

重みのシーケンス

${\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }$

いくつかの正の根 に対して となり、は対応する根の反射であり、はすべての基本重み の合計 となり、 それぞれ に対して は自然数 となります (は根 に関連付けられたコルートです)。 ${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$ ${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

ヴェルマ加群とが正則ならば、ワイル群Wの唯一の支配重みと唯一の元w、w ′が存在し、 ${\displaystyle M_{\mu }}$ ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$

そして

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}$

ここで、はワイル群のアフィン作用である。重みがさらに整数である場合、非零準同型が存在する。 ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

もし、そして、もし、

${\displaystyle w\leq w'}$

ワイル群のブルハ順序付けにおいて。

ジョーダン・ヘルダー級数

させて

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }}$

を -加群の列とし、商B/Aが最大重みμで既約となるようにする。このとき、非零準同型が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

このことから簡単に分かるのは、 ${\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}$

非ゼロ準同型が存在する。 ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

ベルンシュタイン・ゲルファンド・ゲルファンド解

を最大重みλを持つリー代数の有限次元既約表現とする。ヴェルマ加群の準同型に関する節から、準同型が存在することが分かる。 ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }}$

もし、そして、もし、

${\displaystyle w\leq w'}$

ワイル群のブルハット順序付けにおける次の定理は、ヴェルマ加群によるの射影分解を記述するものである（ 1975年にベルンシュタイン・ゲルファント・ゲルファントによって証明された^[12]）。 ${\displaystyle V_{\lambda }}$

-準同型の正確な列が存在する ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=n}W_{w\cdot \lambda }\to \cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}$

ここで、nはワイル群の最大要素の長さです。

一般化Verma加群にも同様の解決法が存在する。これはBGG解決法と略される。

参照

• リー代数の有限次元表現の分類
• 最高重量の定理
• 一般化Vermaモジュール
• ワイルモジュール

注記

1. 例：ホール 2015 第9章
2. ホール 2015 セクション 9.2
3. ホール 2015 セクション 9.6 および 9.7
4. ホール 2015 セクション 9.2
5. ホール 2015 セクション 9.5
6. ホール 2015 定理 9.14
7. ホール 2015 セクション 9.6
8. ホール 2015 セクション 9.7
9. Humphreys, James (2008-07-22). BGG圏𝒪における半単純リー代数の表現. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 94. American Mathematical Society. doi :10.1090/gsm/094. ISBN 978-0-8218-4678-0。
10. Bernshtein, IN ; Gel'fand, IM; Gel'fand, SI (1971). 「最高重みベクトルによって生成される表現の構造」.関数解析とその応用. 5 (1): 1– 8. doi :10.1007/BF01075841.
11. Verma, Daya-Nand (1968). 「複素半単純リー代数の特定の誘導表現の構造」アメリカ数学会報. 74 (1): 160– 167. doi :10.1090/S0002-9904-1968-11921-4.
12. Bernstein IN、Gelfand IM、Gelfand SI、「基底アフィン空間上の微分演算子と g モジュール、リー群およびその表現の研究」、IM Gelfand 編、Adam Hilger、ロンドン、1975 年。

参考文献

• De Kerf, EA; Bäuerle, GGA; Ten Kroode, APE 編 (1997). 「表現 ― 包絡代数技法」リー代数 ― 有限次元および無限次元リー代数と物理学への応用. 数理物理学研究. 第7巻. pp.  71– 113. doi :10.1016/S0925-8582(97)80004-8. ISBN 978-0-444-82836-1。
• カーター、R.（2005）、有限型およびアフィン型のリー代数、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-85138-1。
• Dixmier, J. (1977), Enveloping Algebras , Amsterdam, New York, Oxford: North-Holland, ISBN 978-0-444-11077-0。
• ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現：初等入門」、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 978-3319134666
• ハンフリーズ、J.（1980）、リー代数と表現論入門、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-90052-8。
• Knapp, AW (2002), Lie Groups Beyond an introduction (2nd ed.), Birkhäuser, p. 285, ISBN 978-0-8176-3926-6。
• ロシャ、アルヴァニー(2001) [1994]、「BGG解像度」、数学百科事典、EMSプレス
• Roggenkamp, K.; Stefanescu, M. (2002), Algebra - Representation Theory , Springer, ISBN 978-0-7923-7114-4。

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