ビリアル定理

Physics theorem

力学において、ビリアル定理は、保存力（仕事が経路に依存しない）によって束縛された離散粒子の安定系の全運動エネルギーの時間平均と、系の全位置エネルギーの時間平均を関連付ける一般的な方程式を与える。数学的には、この定理は次のように述べている 。

$${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

ここで、は粒子の全運動エネルギー、は位置r _kにある 番目の粒子に働く力、そして山括弧は括弧内の量の時間平均を表す。式の右辺のビリアルという語は、ラテン語で「力」または「エネルギー」を意味するvisに由来し、1870年にルドルフ・クラウジウスによって技術的に定義された。^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle k}$

ビリアル定理の重要性は、統計力学で扱われるような、厳密な解が困難な非常に複雑な系であっても、平均全運動エネルギーを計算できることである。この平均全運動エネルギーは、等分配定理によって系の温度と関連付けられる。しかし、ビリアル定理は温度の概念に依存せず、熱平衡状態にない系にも成立する。ビリアル定理は様々な形で一般化されており、最も顕著な例としてはテンソル形式が挙げられる。

システムの任意の2つの粒子間の力が、粒子間距離の何乗かに比例する位置エネルギー から生じる場合、ビリアル定理は次のような単純な形をとる。 ${\displaystyle V(r)=\alpha r^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$$

したがって、平均全運動エネルギーの2倍は、平均全位置エネルギーの2倍に 等しい。一方、は距離 にある2つの粒子間の位置エネルギーを表し、は系全体の位置エネルギー、すなわち系内のすべての粒子対の位置エネルギーの合計を表す。このような系の一般的な例としては、自身の重力によって束縛されている恒星が挙げられる。 ${\displaystyle \langle T\rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \langle V_{\text{TOT}}\rangle }$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V_{\text{TOT}}}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle n=-1}$

歴史

1870年、ルドルフ・クラウジウスは20年にわたる熱力学の研究を経て、ニーダーライン自然医学協会で「熱に応用可能な力学的定理について」という講演を行いました。この講演では、系の平均vis vivoはそのビリアルに等しい、すなわち平均運動エネルギーは平均位置エネルギーの半分であると述べられました。ビリアル定理は、古典重力力学に適用されるラグランジュの等式^{[移動リソース？ ]}から直接導かれます。ラグランジュの等式は、1772年に出版されたラグランジュの『三体問題に関するエッセイ』に原型が含まれています。カール・ヤコビによるこの等式を物体に一般化し、現在のラプラスの等式の形に拡張したものは、古典的なビリアル定理に非常に似ています。しかし、方程式の開発につながった解釈は非常に異なっていました。なぜなら、方程式の開発当時は、統計力学が熱力学と古典力学の個別の研究をまだ統合していなかったからです。^[2]この定理は後に、ジェームズ・クラーク・マクスウェル、レイリー卿、アンリ・ポアンカレ、スブラマニアン・チャンドラセカール、エンリコ・フェルミ、ポール・ルドゥ、リチャード・ベイダー、ユージン・パーカーによって利用、普及、一般化、さらに発展させられました。フリッツ・ツビッキーは、現在では暗黒物質と呼ばれている目に見えない物質の存在を推測するためにビリアル定理を使用した初めての人物でした。リチャード・ベイダーは、システム全体の電荷分布が、ビリアル定理に従う運動エネルギーと位置エネルギーに分割できることを示しました。^{[3]多くの応用例のもう1つの例として、ビリアル定理は、}白色矮星の安定性に関するチャンドラセカール限界を導くために使用されています。 ${\displaystyle N}$

特別なケースの例

質量が等しい粒子が互いに引力によって作用している状況を考えてみましょう。粒子は半径 の円軌道の正反対の点に位置しているとします。速度はと で、それぞれ力 と に垂直です。それぞれの大きさは と に固定されています。からまでの時間間隔における系の平均運動エネルギーは ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}(t)=-\mathbf {v} _{1}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}(t)=-\mathbf {F} _{1}(t)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

$${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}|\mathbf {v} _{k}(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}(t)|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}(t)|^{2}\right)\,dt=mv^{2}.}$$

質量中心を原点とすると、粒子は位置と大きさを一定に保ちます。引力は位置と反対方向に作用するため、向心力の公式を適用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(t)=-\mathbf {r} _{1}(t)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(t)\cdot \mathbf {r} _{1}(t)=\mathbf {F} _{2}(t)\mathbf {r} _{2}(t)=-Fr}$ ${\displaystyle F=mv^{2}/r}$

$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle =-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle ,}$$

必要に応じて。注：原点がずれている場合も同じ結果が得られます。これは、変位と等しく反対方向の力との内積が、正味の打ち消し合うためです。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}(t)}$

ステートメントと導出

ビリアル定理は総運動エネルギーと位置エネルギーの平均化に依存しますが、ここでの説明では平均化を最後のステップまで延期します。

点粒子の集合の場合、原点の周りのスカラー慣性モーメントは ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}|\mathbf {r} _{k}|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2},}$$

ここで、と は番目の粒子の質量と位置を表し、は位置ベクトルの大きさです。スカラーを考えてみましょう。 ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r_{k}=|\mathbf {r} _{k}|}$

$${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},}$$

ここで、は 番目の粒子の運動量ベクトルである。^[4]質量が一定であると仮定すると、は慣性モーメントの時間微分の半分である。 ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G.\end{aligned}}}$$

逆に、の時間微分は ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},\end{aligned}}}$$

ここで、 は 番目の粒子の質量、はその粒子に働く正味の力、 は各粒子の速度に応じたシステムの全運動エネルギーである。 ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}}$

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$$

粒子間の位置エネルギーとの関連

粒子に働く力の合計は、システム内の他の粒子からのすべての力の合計です。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk},}$$

ここでは粒子 が粒子 に及ぼす力である。したがって、ビリアルは次のように書ける。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}.}$$

粒子は自分自身に作用しないので（つまり、の場合）、この対角線の下側と上側の項に合計を分割し、それらをペアで加算します。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{jj}=0}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N-1}\sum _{j=k+1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{j=2}^{N}\sum _{k=1}^{j-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j})\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}-\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{j})=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}),\end{aligned}}}$$

ここでは、ニュートンの運動の第 3 法則、つまり(等しく反対方向の反応)を使用しました。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}}$

力は、点粒子と点の間の距離のみの関数であるポテンシャルエネルギーから導かれる場合がよくあります。力はポテンシャルエネルギーの負の勾配であるため、この場合は ${\displaystyle V_{jk}}$ ${\displaystyle r_{jk}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V_{jk}=-{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),}$$

これは、粒子が粒子に及ぼす力と等しく、その反対方向の力であり、明示的な計算によって確認できる。したがって、 ${\displaystyle \mathbf {F} _{kj}=-\nabla _{\mathbf {r} _{j}}V_{kj}=-\nabla _{\mathbf {r} _{j}}V_{jk}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.\end{aligned}}}$$

したがって

$${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.}$$

べき乗法則の力の特殊なケース

一般的な特殊なケースでは、2つの粒子間の位置エネルギーはそれらの距離の累乗に比例します。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r_{ij}}$

$${\displaystyle V_{jk}=\alpha r_{jk}^{n},}$$

ここで係数と指数は定数である。このような場合、ビリアルは ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV_{jk}={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}},\end{aligned}}}$$

どこ

$${\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V_{jk}}$$

システムの全位置エネルギーです。

したがって

$${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}.}$$

重力系の場合、指数はラグランジュの恒等式を与える。 ${\displaystyle n=-1}$

$${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}},}$$

これはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって導出され、カール・ヤコビによって拡張されました。

時間平均化

この導関数の期間平均は次のように定義される。 ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$$

そこから正確な方程式が得られる。

$${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }.}$$

ビリアル定理によれば、 ${\displaystyle \langle dG/dt\rangle _{\tau }=0}$

$${\displaystyle 2\langle T\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }.}$$

時間微分の平均がゼロになる理由は数多くあります。よく挙げられる理由の一つは、安定的に束縛された系、つまり永久に束縛され、パラメータが有限である系に当てはまります。この場合、系の粒子の速度と座標には上限と下限があり、 は2つの極値、つまり と の間で制限され、が無限大の極限では平均はゼロになります。 ${\displaystyle G^{\text{bound}}}$ ${\displaystyle G_{\text{min}}}$ ${\displaystyle G_{\text{max}}}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\text{bound}}}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$$

の時間微分の平均がほぼゼロであっても、ビリアル定理は同じ程度の近似で成り立ちます。 ${\displaystyle G}$

指数 を持つべき乗法則の力の場合、一般的な方程式は次のようになります。 ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

重力吸引の場合、平均運動エネルギーは平均負の位置エネルギーの半分に等しくなります。 ${\displaystyle n=-1}$

$${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

この一般的な結果は、惑星系や銀河などの複雑な重力システムに役立ちます。

ビリアル定理の簡単な応用は、銀河団に関するものです。宇宙空間のある領域が異常に銀河で満ち溢れている場合、それらの銀河は長い間一緒に存在してきたと仮定するのが妥当であり、ビリアル定理を適用できます。ドップラー効果の測定は銀河の相対速度の下限を与え、ビリアル定理は暗黒物質を含む銀河団全体の質量の下限を与えます。

検討中のシステムに対してエルゴード仮説が成り立つ場合、時間にわたって平均を取る必要はなく、アンサンブル平均を取ることもでき、同等の結果が得られます。

量子力学では

ビリアル定理はもともと古典力学のために導出されたものですが、ウラジミール・フォック^[5]がエーレンフェスト定理を用いて初めて示したように、量子力学でも成り立ちます。

ハミルトニアンの交換子を評価する

$${\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m_{n}}}}$$

位置演算子と運動量演算子 を用いて ${\displaystyle X_{n}}$

$${\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}$$

粒子の、 ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m_{n}}}.}$$

すべての粒子を合計すると、

$${\displaystyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$$

整流子は

$${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}},}$$

ここでは運動エネルギーである。この式の左辺は 、ハイゼンベルクの運動方程式によれば である。この時間微分の期待値は定常状態ではゼロとなり、量子ビリアル定理が導かれる。 ${\textstyle T=\sum _{n}P_{n}^{2}/2m_{n}}$ ${\displaystyle dQ/dt}$ ${\displaystyle \langle dQ/dt\rangle }$

$${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle .}$$

ポホジャエフの正体

量子力学の分野において、定常非線形シュレーディンガー方程式またはクライン・ゴルドン方程式の局所解に適用可能なビリアル定理の別の形式として、ポホジャエフの恒等式^[6]（デリックの定理とも呼ばれる）が存在する。を連続かつ実数値とし、 とする。 ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle g(0)=0}$

と表記する。 ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$

$${\displaystyle u\in L_{\text{loc}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\quad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\quad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\quad n\in \mathbb {N} }$$

方程式の解となる

$${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u),}$$

分布の意味で、関係式を満たす。 ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \left({\frac {n-2}{2}}\right)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G{\big (}u(x){\big )}\,dx.}$$

特殊相対論では

特殊相対論における単一粒子の場合、 は成り立ちません 。代わりに が成り立ちます。ここではローレンツ因子です。 ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle T=(\gamma -1)mc^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$$

を定義すると、 ${\displaystyle \mathbf {\beta } ={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T.\end{aligned}}}$$

最後の式は次のように簡略化できる。

$${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T=\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T.}$$

したがって、前のセクションで説明した条件（ニュートンの第3運動法則、 相対性にもかかわらず）の下では、べき乗法則ポテンシャルを持つ粒子の時間平均は ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

特に、運動エネルギーと位置エネルギーの比率は固定されなくなり、必然的に次の範囲に収まります。

$${\displaystyle {\frac {2\langle T_{\text{TOT}}\rangle }{n\langle V_{\text{TOT}}\rangle }}\in [1,2],}$$

相対論的なシステムほど、より大きな比率を示します。

例

ビリアル定理は周期運動に対して特に単純な形をとる。これは非線形振動子の摂動計算に用いることができる。^[7]

これは中心ポテンシャルにおける運動の研究にも使用できる。^[4]中心ポテンシャルが の形であれば、ビリアル定理は に簡略化される。^[要出典]特に、重力や静電（クーロン）引力の場合、となる。 ${\displaystyle U\propto r^{n}}$ ${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {n}{2}}\langle U\rangle }$ ${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle }$

駆動減衰調和振動子

Sivardiere, 1986に基づく解析。^[7]質量、位置、駆動力、バネ定数、減衰係数を持つ1次元振動子の場合、運動方程式は ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F\cos(\omega t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle m\underbrace {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}} _{\text{acceleration}}=\underbrace {-kx{\vphantom {\frac {d}{d}}}} _{\text{spring}}\ \underbrace {-\ \gamma {\frac {dx}{dt}}} _{\text{friction}}\ \underbrace {+\ F\cos(\omega t){\vphantom {\frac {d}{d}}}} _{\text{external driving}}.}$$

発振器が定常状態に達すると、安定した振動 を実行します。ここで、 は振幅、 は位相角です。 ${\displaystyle x=X\cos(\omega t+\varphi )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$

ビリアル定理を適用すると が得られ、これは に簡略化されます。ここでは振動子の固有振動数です。 ${\displaystyle m\langle {\dot {x}}{\dot {x}}\rangle =k\langle xx\rangle +\gamma \langle x{\dot {x}}\rangle -F\langle \cos(\omega t)x\rangle }$ ${\displaystyle F\cos(\varphi )=m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})X}$ ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$

2つの未知数を解くには、別の方程式が必要です。定常状態では、1サイクルあたりの電力損失は1サイクルあたりの電力増加と等しくなります。

$${\displaystyle \underbrace {\langle {\dot {x}}\,\gamma {\dot {x}}\rangle } _{\text{power dissipated}}=\underbrace {\langle {\dot {x}}\,F\cos \omega t\rangle } _{\text{power input}},}$$

これを簡略化すると となります。 ${\displaystyle \sin \varphi =-{\frac {\gamma X\omega }{F}}}$

これで、解を求める2つの方程式ができました。

$${\displaystyle {\begin{cases}X={\sqrt {\dfrac {F^{2}}{\gamma ^{2}\omega ^{2}+m^{2}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}},\\\tan \varphi =-{\dfrac {\gamma \omega }{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}.\end{cases}}}$$

理想気体の法則

質点からなる理想気体で満たされた容器を考えてみましょう。質点に作用する力は容器の壁からのみ生じます。この場合、ビリアル定理の式は

$${\displaystyle {\Big \langle }\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}{\Big \rangle }=-P\oint {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {r} \,dA,}$$

定義により、圧力Pはガスが壁面に及ぼす面積当たりの平均力であり、壁面に垂直な力です。負の符号が付いているのは、外向きの単位法線ベクトルであり、ここで用いる力は壁面から粒子に作用する力だからです。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

すると、ビリアル定理は次のように述べる。

$${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {P}{2}}\oint {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {r} \,dA.}$$

発散定理により、. ${\textstyle \oint {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {r} \,dA=\int \nabla \cdot \mathbf {r} \,dV=3\int dV=3V}$

等分配から、平均全運動エネルギーは となる。したがって、理想気体の法則は となる。^[8] ${\textstyle \langle T\rangle =N{\big \langle }{\frac {1}{2}}mv^{2}{\big \rangle }=N\cdot {\frac {3}{2}}kT}$ ${\displaystyle PV=NkT}$

暗黒物質

1933年、フリッツ・ツヴィッキーはビリアル定理を用いてかみのけ座銀河団の質量を推定し、約450の質量差を発見した。ツヴィッキーはこの差が「暗黒物質」によるものだと説明した。^[9]彼は1937年に解析を精緻化し、約500の差を発見した。^{[10] [11]}

理論分析

彼はかみのけ座銀河団を、ほぼ等しい質量を持つ星々の球状「ガス」として近似し、 としました。銀河団全体の重力による位置エネルギーは で、 となります。十分に長い時間にわたって星々の運動がすべて同じであると仮定すると（エルゴード性）、となります。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \langle T\rangle ={\frac {1}{2}}Nm\langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle U=-\sum _{i<j}{\frac {Gm^{2}}{r_{i,j}}}}$ ${\textstyle \langle U\rangle =-Gm^{2}\sum _{i<j}\langle {1}/{r_{i,j}}\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {1}{2}}N^{2}Gm^{2}\langle {1}/{r}\rangle }$

Zwicky は、一定密度の均一な球の重力ポテンシャルとして推定し、 としました。 ${\displaystyle \langle U\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {3}{5}}{\frac {GN^{2}m^{2}}{R}}}$

ビリアル定理によれば、クラスターの全質量は

$${\displaystyle Nm={\frac {5\langle v^{2}\rangle }{3G\langle {\frac {1}{r}}\rangle }}}$$

データ

ツヴィッキー^[9]は、銀河団にはそれぞれ観測された恒星質量（ハッブルの示唆による）を持つ銀河があり、銀河団の半径は であると推定した。彼はまた、銀河スペクトルのドップラーシフトから銀河の視線速度を と測定した。運動エネルギーが等分配であると仮定すると、 となる。 ${\displaystyle _{1933}}$ ${\displaystyle N=800}$ ${\displaystyle m=10^{9}M_{\odot }}$ ${\displaystyle R=10^{6}{\text{ly}}}$ ${\displaystyle \langle v_{r}^{2}\rangle =(1000{\text{km/s}})^{2}}$ ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle =3\langle v_{r}^{2}\rangle }$

ビリアル定理によれば、クラスターの全質量は となるはずです。しかし、観測された質量は であり、これは全質量が観測質量の450倍であることを意味します。 ${\displaystyle {\frac {5R\langle v_{r}^{2}\rangle }{G}}\approx 3.6\times 10^{14}M_{\odot }}$ ${\displaystyle Nm=8\times 10^{11}M_{\odot }}$

一般化

レイリー卿は1900年にビリアル定理の一般化を発表し、^[12] 1903年に部分的に再版された。^[13] アンリ・ポアンカレは1911年にビリアル定理の一種を証明し、原始星雲からの太陽系の形成（当時は宇宙起源論として知られていた）の問題に適用した。^{[14]ビリアル定理の変}分形は1945年にルドゥによって開発された。^[15]ビリアル定理のテンソル形はパーカー、 ^[16]チャンドラセカール^[17]およびフェルミによって開発された。 ^[18]ビリアル定理の次の一般化は、1964年にポラードによって逆二乗則の場合に対して確立された：^{[19] [20] [検証に失敗した]}そうでない場合は 境界項を追加する必要がある。^[21] $${\displaystyle 2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\quad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0.}$$

電磁場の包含

ビリアル定理は電場と磁場を含むように拡張することができる。その結果は^{[22]である。}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$$

ここで、 は慣性モーメント、は電磁場の運動量密度、は「流体」の運動エネルギー、は粒子のランダムな「熱」エネルギー、 は 対象とする体積の電気エネルギーと磁気エネルギーです。最後に、 は局所移動座標系で表される流体圧力テンソルです 。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle W^{\text{E}}}$ ${\displaystyle W^{\text{M}}}$ ${\displaystyle p_{ik}}$

$${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$$

は電磁応力テンソルであり、 ${\displaystyle T_{ik}}$

$${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$$

プラズモイドは磁場とプラズマの有限な配置である。ビリアル定理を用いると、このような配置は外力によって閉じ込められなければ膨張することが容易に分かる。耐圧壁や磁気コイルのない有限な配置では、表面積分はゼロになる。右辺の他の項はすべて正なので、慣性モーメントの加速度も正になる。膨張時間 を推定することも容易である。全質量が半径 内に閉じ込められている場合、慣性モーメントはおおよそ となり、ビリアル定理の左辺は となる。右辺の項を合計すると約 となり、はプラズマ圧力または磁気圧力の大きい方となる。これら2つの項を等しくし、 について解くと、次式が得られる。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle MR^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {MR^{2}}{\tau ^{2}}}}$ ${\displaystyle pR^{3}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}$$

ここではイオン音波（磁気圧力がプラズマ圧力よりも高い場合はアルヴェン波）の速度である。したがって、プラズモイドの寿命は音響（またはアルヴェン）伝播時間と同程度であると予想される。 ${\displaystyle c_{s}}$

相対論的均一系

物理システムの場合、圧力場、電磁場、重力場、粒子の加速場を考慮すると、ビリアル定理は相対論的な形で次のように表される。^[23]

$${\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

ここで、値は粒子の運動エネルギーを、系の中心にある粒子の ローレンツ因子に等しい係数だけ 超えています。通常の条件下では と仮定すると、ビリアル定理において、運動エネルギーは位置エネルギーと係数 ではなく、0.6に近い係数 によって関連付けられていることがわかります。古典的なケースとの違いは、系内の圧力場と粒子の加速場を考慮している一方で、スカラーの微分はゼロではなく、物質微分として考える必要があるためです。 ${\displaystyle W_{k}=\gamma _{c}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \gamma _{c}}$ ${\displaystyle \gamma _{c}\approx 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle G}$

一般化ビリアルの積分定理の解析により、場の理論に基づいて、温度の概念を使わずに、システムの典型的な粒子の二乗平均平方根速度の式を見つけることができる。^[24]

$${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},}$$

ここで、は光速、は加速度場定数、は粒子の質量密度、は電流半径です。 ${\displaystyle ~c}$ ${\displaystyle ~\eta }$ ${\displaystyle ~\rho _{0}}$ ${\displaystyle ~r}$

粒子に対するビリアル定理とは異なり、電磁場に対するビリアル定理は次のように記述される：^[25]

$${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$$

ここで、エネルギーは4元電流に関連する運動場エネルギーとして考えられ、 ${\textstyle ~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$ ${\displaystyle j^{\alpha }}$

$${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$$

電磁テンソルの成分を通して求められる位置場エネルギーを設定します。

天体物理学では

ビリアル定理は天体物理学において頻繁に適用され、特に系の重力による位置エネルギーと運動エネルギーまたは熱エネルギーの関係に用いられます。 質量、半径、速度、温度に対するビリアル関係式は^[要出典]です。定数はニュートン定数、ボルツマン定数、陽子質量です。これらの関係式は近似値に過ぎず、主要な数値係数（例：または）が完全に無視されることがよくあることに注意してください。 $${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

銀河と宇宙論（ビリアル質量と半径）

天文学において、銀河（あるいは一般の過密度）の質量と大きさは、それぞれ「ビリアル質量」と「ビリアル半径」で定義されることが多い。連続流体中の銀河や過密度は非常に拡張される可能性があり（等温球などの一部のモデルでは無限大にまで拡張されることもある）、それらの質量と大きさを具体的かつ有限な尺度で定義することは困難な場合がある。ビリアル定理や関連概念は、これらの特性を定量化する便利な手段となることが多い。

銀河の力学では、銀河の質量は、円軌道を仮定し、そのガスと恒星の回転速度を測定することで推定されることが多い。ビリアル定理を用いると、速度分散も同様に利用できる。系の運動エネルギー（粒子あたり）を、位置エネルギー（粒子あたり）を とすると、次のように書ける。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}v^{2}\sim {\frac {3}{2}}\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle U\sim {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}}$

$${\displaystyle {\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.}$$

ここで、速度分散が測定される半径は、その半径内の質量です。ビリアル質量と半径は、一般的に速度分散が最大となる半径、すなわち ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.}$$

これらの定義は近似的な性質を持つだけでなく、多くの近似が行われているため、桁数と単位数の比例定数はしばしば省略される（上記の式のように）。したがって、これらの関係式は、桁数的な意味で、あるいは自己無矛盾に使用される場合にのみ正確である。

宇宙論では、ビリアル質量と半径の別の定義がよく用いられ、銀河または銀河団を中心とし、その内部でビリアル平衡が保たれる球の半径を指す。この半径は観測的に決定するのが難しいため、臨界密度よりも特定の係数だけ平均密度が大きくなる半径として近似されることが多い。ここで、 はハッブルパラメータ、は重力定数である。係数として一般的に選択されるのは200で、これは球面トップハット崩壊における典型的な過剰密度にほぼ相当する（ビリアル質量を参照）。この場合、ビリアル半径は次のように近似される。 $${\displaystyle \rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.}$$

ビリアル質量はこの半径に対して次のように定義される。

$${\displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.}$$

星

ビリアル定理は、重力による位置エネルギーと熱運動エネルギー（すなわち温度）の関係を確立することで、恒星の核にも適用できる。主系列の恒星が核で水素をヘリウムに変換すると、核の平均分子量が増加し、自重を支えるのに十分な圧力を維持するために核は収縮しなければならない。この収縮によって核の位置エネルギーは減少し、ビリアル定理によれば、熱エネルギーは増加する。核の温度はエネルギーが失われても上昇し、実質的には比熱は負になる。^[26]この現象は、核が縮退して圧力が温度に依存しなくなり、ビリアル関係が成り立たなくなるまで、主系列を超えて続く。^[27] ${\displaystyle n=-1}$

参照

• ビリアル係数
• ウイルスストレス
• ビリアル質量
• チャンドラセカールテンソル
• チャンドラセカールのビリアル方程式
• デリックの定理
• 等分割定理
• エーレンフェストの定理
• ポホジャエフの正体
• 統計力学

参考文献

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さらに読む

• ゴールドスタイン, H. (1980).古典力学（第2版）. アディソン・ウェスレー. ISBN 978-0-201-02918-5。
• コリンズ, GW (1978). 恒星天体物理学におけるビリアル定理. Pachart Press.書誌コード:1978vtsa.book.....C. ISBN 978-0-912918-13-6。
• i̇Pekoğlu, Y.; Turgut, S. (2016). 「ヘルマン・ファインマン定理からの量子ビリアル定理の基本的導出」. European Journal of Physics . 37 (4) 045405. Bibcode :2016EJPh...37d5405I. doi :10.1088/0143-0807/37/4/045405. S2CID  125030620.

外部リンク

• MathPagesのビリアル定理
• ジョージア州立大学、重力収縮と星形成

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